METODE PEMBUKTIAN

32
METODE PEMBUKTIAN Bahan Kuliah Matematika Diskrit

description

METODE PEMBUKTIAN. Bahan Kuliah Matematika Diskrit. Langkah-langkah Pembuktian (1). Tulis teorema yang akan dibuktikan. Tandai permulaan pembuktian dengan kata “ Bukti ”. Buktikan secara lengkap dan menyeluruh. Tulis variabel dan tipenya yang akan digunakan. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of METODE PEMBUKTIAN

Page 1: METODE PEMBUKTIAN

METODE PEMBUKTIANBahan Kuliah Matematika Diskrit

Page 2: METODE PEMBUKTIAN

Langkah-langkah Pembuktian (1) Tulis teorema yang akan dibuktikan. Tandai permulaan pembuktian dengan kata

“Bukti”. Buktikan secara lengkap dan menyeluruh.

Tulis variabel dan tipenya yang akan digunakan. Bila ada sifat dari variabel yang digunakan, tulis

sifat tersebut dengan lengkap dan jelas.

Page 3: METODE PEMBUKTIAN

Langkah-langkah Pembuktian (1) Bila menggunakan sifat – sifat tertentu seperti

sifat komutatif maka tuliskan sifat tersebut. Jika ditengah pembuktian dijumpai suatu

ekspresi, misal r + s maka singkat ekspresi tersebut, misal dinyatakan dengan k.

Tandai akhir dari pembuktian.

Page 4: METODE PEMBUKTIAN

Kesalahan yg sering dilakukan Menyimpulkan dari satu atau beberapa

contoh. Simbol yang sama untuk dua hal berbeda. Melompat ke kesimpulan padahal belum. mengasumsikan apa yg akan dibuktikan.

Page 5: METODE PEMBUKTIAN

Metode Pembuktian (1) Pembuktian Langsung

Metode pengecekan satu per satu. Pembuktian berdasarkan kasus – kasus Pembuktian dengan eliminasi kasus Pembuktian dengan ekuivalensi

Page 6: METODE PEMBUKTIAN

Metode Pembuktian (2) Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian dengan kontradiksi

dilakukan dengan ingkaran kalimat-nya dan buktikan salah

Pembuktian dengan kontraposisi

dilakukan dengan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Page 7: METODE PEMBUKTIAN

Contoh Metode Pembuktian Langsung

Buktikan bahwa untuk semua bilangan genap n antara 4 dan 30, n dapat dinyatakan sebagai jumlahan bilangan prima.

Penyelesaian:

dengan pengecekan satu persatu, maka:

4=2+2; 6=3+3; 8=3+5; 10=5+5; 12=5+7; 14=11+3; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7; 22=17+5; 24=19+5; 26=19+7; 28=17+11; 30=19+11

Page 8: METODE PEMBUKTIAN

Contoh:Buktikan bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap

Bukti:

Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Karena m dan n adalah bilangan-bilangan genap, maka m=2r dan n=2s untuk bilangan-bilangan bulat r dan s, sehingga:

m+n = 2r + 2s

= 2 (r+s).

= 2 k (misalkan k= r+s)

Page 9: METODE PEMBUKTIAN

ContohBuktikan bahwa untuk semua bilangan bulat a, b, dan c berlakulah:

Jika a adalah faktor dari b dan b adalah faktor dari c, maka a adalah faktor dari c.

Page 10: METODE PEMBUKTIAN

ContohBukti:

Misal a, b, dan c bilangan-bilangan bulat yang memenuhi sifat:

a adalah faktor dari b dan b adalah faktor dari c

a faktor dari b berarti b=ka untuk suatu bil bul k

b faktor dari c berarti c=nb untuk suatu bil bul n

Didapat: c = nb

= n (ka)

= (nk) a

Page 11: METODE PEMBUKTIAN

ContohUntuk sembarang bilangan riil x, buktikan bahwa jika |x|>4, maka x2 > 16.

Bukti:

Misal x bilangan riil yang memenuhi |x|>4

Akan dibuktikan bahwa x2 > 16

|x|> 4 berarti bahwa x > 4 atau x < -4

Jika x > 4 maka x2 > 42 = 16

Jika x< -4 berarti –x > 4, sehingga (-x)2 > 42 atau x2 >16

Jadi, baik x > 4 maupun x < -4, x2 > 16.

Page 12: METODE PEMBUKTIAN

ContohBuktikan bahwa jika p adalah sembarang bilangan prima yang ganjil maka p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3 untuk suatu bilangan bulat n.

Page 13: METODE PEMBUKTIAN

ContohBukti:

Ambil sembarang bilangan prima ganjil p.

Jika p dibagi 6, maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1, 2, 3, 4 atau 5. Ini berarti bahwa

p = 6n atau p = 6n+1 atau p = 6n+2 atau

p = 6n+3 atau p = 6n+4 atau p = 6n+5

untuk suatu bilangan bulat n.

Page 14: METODE PEMBUKTIAN

ContohUntuk kasus p = 6n = 2 (3n)

Misal s = 3n. Karena n adalah bilangan bulat, maka s juga bilangan bulat sehingga p = 2s untuk suatu bilangan bulat s. Karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Page 15: METODE PEMBUKTIAN

ContohUntuk kasus p = 6n + 2 = 2 (3n+1)

Misal k = 3n+1. Karena n adalah bilangan bulat, maka k juga merupakan bilangan bulat sehingga p = 2k untuk suatu bilangan bulat k. karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Page 16: METODE PEMBUKTIAN

ContohUntuk kasus p = 6n + 4 = 2 (3n+2)

Misalkan r = 3n+2. Karena n adalah bilangan bulat, maka r juga merupakan bilangan bulat, sehingga p = 2r untuk suatu bilangan bulat r. Karena p merupakan kelipatan 2, maka p merupakan bilangan genap sehingga bisa dieliminasi dari kasus.

Page 17: METODE PEMBUKTIAN

ContohUntuk kasus p = 6n+3 = 3 (2n+1)

Misalkan m = 2n+1. Karena n adalah bilangan bulat, maka m juga merupakan bilangan bulat sehingga p = 3m untuk suatu bilangan bulat m. Ini berarti p habis dibagi 3, sehingga p bukan bilangan prima, kecuali untuk m = 1 (n=0) yang menghasilkan p = 3.

Page 18: METODE PEMBUKTIAN

ContohDengan elininasi tersebut, kasus yang tersisa adalah p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3.

Jadi terbuktilah bahwa jika p adalah bilangan prima ganjil, maka p = 6n+1 atau p = 6n+5 atau p = 3 untuk suatu bilangan bulat n.

Page 19: METODE PEMBUKTIAN

ContohBuktikan ekuivalensi di bawah ini:

Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat.

a dan b mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan positif n bila dan hanya bila (a-b) habis dibagi n.

Page 20: METODE PEMBUKTIAN

ContohHarus dibuktikan 2 hal:

Jika a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan bilangan positif n, maka (a-b) habis dibagi n.

Jika (a-b) habis dibagi n, maka a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan bilangan positif n.

Page 21: METODE PEMBUKTIAN

ContohMisalkan a dan b adalah bil2 bulat yang mempunyai

sisa sama (misal s) bila dibagi dengan n. Akan dibuktikan bahwa (a-b) habis dibagi n

a=kn+s dan b=jn+s dengan 0<s<n; k dan j bil bulat

a-b = (kn+s)-(jn+s) = (kn-jn) = (k-j)n

Misal p=k-j. Karena k dan j bil bulat, maka p bil bulat.

Sehingga a-b = pn untuk suatu bil bul p

Ini berarti bahwa (a-b) habis dibagi n.

Page 22: METODE PEMBUKTIAN

ContohMisalkan a dan b bil2 bulat sedemikian hingga (a-b)

habis dibagi n. Akan dibuktikan bahwa a dan b mempunyai sisa yang sama bila dibagi dengan n.

Misalkan s1 adalah sisa yang terjadi bila a dibagi n dan

s2 adalah sisa yang terjadi bila b dibagi n.

Jadi a=kn+s1 dengan 0<s1<n

b=jn+s2 dengan 0<s2<n

Akan ditunjukkan bahwa s1=s2

Page 23: METODE PEMBUKTIAN

ContohDiketahui bahwa (a-b) habis dibagi n, berarti

a-b = pn untuk suatu bilangan bulat p

a = b + pn = (jn + s2) + pn = (j+p) n + s2

Misal r = j+p. karena j dan p adalah bil2 bulat, maka r juga bilangan bulat sehingga:

a = r n + s2 dengan 0<s2<n

Akan tetapi jika a dibagi dengan n, maka pastilah hasil dan sisanya merupakan bil tunggal. Ini berarti s1=s2 dan r=k.

Page 24: METODE PEMBUKTIAN

Contoh Metode Pembuktian Tak Langsung

Pembuktian dengan kontradiksi:

Buktikan bahwa tidak ada bilangan bulat yang terbesar.

Page 25: METODE PEMBUKTIAN

ContohBukti:

Misalkan negasi dari pernyataan tersebut benar. Jadi andaikan ada bilangan bulat yang terbesar (sebutlah N). Karena N terbesar, maka N n untuk semua bilangan bulat n. Ambil M = N+1. Karena N adalah bilangan bulat, maka M juga bilangan bulat. Di samping itu, jelas bahwa N < M (karena M = N+1). Didapat: N n untuk semua bilangan bulat n

N < M untuk bilangan bulat M (krn M=N+1)

Keduanya kontradiksi

Page 26: METODE PEMBUKTIAN

Contoh

Buktikan bahwa hasil kali 2 bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

Page 27: METODE PEMBUKTIAN

ContohBukti:

Ambil sembarang 2 buah bilangan ganjil m dan n. Andaikan hasil kalinya (m.n) adalah genap. Karena m dan n bilangan ganjil, maka m=2k+1 dan n=2s+1 untuk bilangan-bilangan bulat k dan s.

mn=(2k+1)(2s+1)= 4ks+2s+2k=2(2ks+s+k)+1 Misal p=2ks+s+k. Maka p bilangan bulat karena k dan s bilangan bulat. mn=2p+1 untuk bil bul p.

mn ganjil, kontradiksi dengan pengandaian.

Page 28: METODE PEMBUKTIAN

ContohPembuktian dengan kontraposisi

Buktikan bahwa untuk bilangan-bilangan bulat m dan n:

Jika m+n 73, maka m 37 atau n 37

Page 29: METODE PEMBUKTIAN

ContohBukti:

Jika p adalah pernyataan m+n 73

q adalah pernyataan m 37

r adalah pernyataan n 37

Maka kalimat tsb dapat dinyatakan sbg: p(qr)Kontraposisinya adalah –(qr) -p atau (-q-r) -p

Dengan demikian, untuk membuktikan pernyataan mula-mula, cukup dibuktikan kebenaran pernyataan:

Page 30: METODE PEMBUKTIAN

ContohJika m<37 dan n<37 maka m+n < 73

Ambil 2 bilangan bulat m dan n dengan sifat m<37 dan n<37

m<37 berarti m 36 dan n<37 berarti n 36,

Sehingga m+n 36+36 m+n 72 m+n < 73

Terbukti bahwa jika m<37 dan n<37 maka m+n < 73

Dengan terbuktinya kontraposisi, terbukti pula kebenaran pernyataan mula-mula.

Page 31: METODE PEMBUKTIAN

LatihanBuktikan pernyataan-pernyataan berikut ini:

1. Untuk setiap bilangan bulat n, jika n adalah bilangan genap, maka n adalah bilangan genap.

2. Untuk setiap bilangan-bilangan bulat m dan n, jika m.n=1 maka m=1 dan n=1.

3. Untuk setiap bilangan bulat a, jika (a-2) habis dibagi 3, maka (a-1) habis dibagi 3 juga.

4. Untuk setiap bilangan bulat a, jika (a-1) mod 3=0 atau (a-2) mod 3=0, maka (a-1) mod 3=0.

5. Jika a dan b adalah bil2 ganjil, maka a+b bil genap

6. Jika a mod 10=2 dan b mod 10=8, mk a+b hbs dibagi

Page 32: METODE PEMBUKTIAN

SELAMAT BELAJAR