LISANI, S.TP, MP

Luas daerah yang dibatasi oleh beberapa

kurva dapat ditentukan dengan menghitung

integral tertentu.

Andaikan kurva y = f(x) dan kurva y = g(x)

kontinu pada interval a ≤ x ≤ b, dan kurva

y = f(x) terletak di atas atau pada kurva

y = g(x), maka luas daerah yang dibatasi

kurva y = f(x), kurva y = g(x),

garis x = a dan x = b adalah sebagai berikut:

y1 =f(x)Y

y2 =g(x)

XLuasnya ?

O x1 = a x2 = b

b

L =af (x) − g (x)dx ; f(x) > g(x)

Langkah-langkah

Menghitung Luas Daerah :

1. Tentukan daerah yang diminta denganmenggambar daerahnya

Perhatikan daerah yang dimaksud untukmenentukan batas-batas integrasinya

Tentukan rumus luas yang lebih mudah digunakan(L = ∫ y dx atau L = ∫ x dy )

Hitung nilai integral sebagai hasil luas daerah

2.

3.

4.

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinata. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= −2x + 4, sb.Y dan sb.X

Langkah 1. : Garis Y = −2X + 4,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Titik pot. dgn. Sb.X → (2, 0)

Titik pot. dgn. Sb.Y → (0, 4)

Langkah 2. : Gambar garis tersebut yang melalui titik pot.

dan sumbu-sumbu koordinat

Sb.Y

Y= −2x + 4

Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantaraSb.Y dan Sb.X

garis

4

Daerah yang diminta

Sb.X2

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinatX2b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= − 5X + 4 dan sb.X

X2Langkah 1. : Garis Y = − 5X + 4 ,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Titik pot. dgn. Sb.X → (1, 0) & (4,0)Sb.Y

Titik pot. dgn. Sb.Y → (0, 4)

Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang melalui titik potong dan sumbu x

Langkah 3. : Arsir daerah yang ada

diantara kurva dan Sb.X

X2Y= − 5X + 4

Sb.X1 4

Daerah

diminta

Catatan:

Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi

Letak daerah ada di bawah sumbu, maka luasnya = − nilai integral

4

01 4

Daera

yang

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinatX2c. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= − 5X + 4, sb.Y dan sb.X

X2Langkah 1. : Kurva Y = – 5x + 4,

Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Titik pot. dgn. Sb.X → (1, 0) & (4,0) Titik pot. dgn. Sb.Y → (0, 4)

Langkah 2. : Gambar kurva tsb. yang

Sb.Y

melalui titik potong dan sumbu-sumbu koordinat

Langkah 3. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X

X2Y= − 5X + 4Daerah

diminta

Sb.X

Catatan: Untuk mencari titik potong dengan sumbu X, gunakan faktorisasi

yang 4Y= X2 −

0

1 4

III. Kurva dan garisd. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X − 4, dan 2Y+X − 4 = 0

X2Langkah 1. : Garis Y = + 3X– 4,Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat

Titik pot. dgn. Sb.X → (1, 0) & (-4,0)

Titik pot. dgn. Sb.Y → (0, -4)Sb.Y

Langkah 2. : Garis 2Y+ X – 4 = 0,Y= X2 − 5X + 4 Tentukan titik potong dengan sumbu-sumbu

koordinat

Titik pot. dgn. Sb.X → (-4, 0)

Titik Pot. Dgn. Sb.Y → (0, -2)

2Y+ X - 4 = 0

1 Sb.X−4

−2Daerah

yang

diminta

Langkah 3. : Gambar kurva tsb. yang melaluititik potong dan Garisnya

Langkah 4. : Arsir daerah yang ada diantara kurva Sb.Y dan Sb.X

−4

Catatan:

Batas-batas daerah tersebut adalah kedua titik potong kurva dan garis

1. Batas-batas integrasi merupakan nilai awal dan akhir pada sumbukoordinat dari suatu daerah yang akan dihitung.

Batas-batas integrasi tergantung pada arah integrasi yang

dilakukan:

b

2.

a merupakan batas bawah (awal)b merupakan batas atas (akhir)

a dan b terletak pada sumbu xL= f (x) dx

a

d

c

c merupakan batas bawah (awal)d merupakan batas atas (akhir)

c dan d terlat pada sumbu yL= f (y)dy

I. Garis dan sumbu-sumbu koordinata. Daerah yang dibatasi oleh garis Y= −2x + 4, sb.Y dan sb.X

Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:

(1) 0 sampai 2, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X2

L = − 2 x + 4 dx0

Sb.Y

Y= − 2x + 4

(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integral berbasis

4

(ke arah) Sb. Y4

y −4L= dy

0 2Daerah yang diminta

Sb.X2

II. Kurva dan sumbu-sumbu koordinatX2b. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= − 5X + 4, sb.Y dan sb.X

Batas-batas integrasi ada dua, yaitu:

(1) 0 sampai 1, jika perhitungan integral berbasis (ke arah) Sb. X1

x 2L = − 5x + 4 dx

Sb.Y0

Daerah

yang

diminta

(2) 0 sampai 4, jika perhitungan integralY= X − 5X + 42

berbasis (ke arah) Sb. Y

Karena basis yang kita gunakan adalah Sb.y, maka4

Persamaan kurva f(x) diubah menjadi f(y).

x 2 4

0

y = −5x + 41 4 Sb.X9 5L= y + + dy

5 )2 − 5 )2 9 4 2− 25 + 4 = (xy = (x − −2 4 2 4

9 5x = y + +4 2

III. Kurva dan garisb. Daerah yang dibatasi oleh Kurva Y= X2 + 3X − 4, dan 2Y+X + 4 = 0

Batas- batas integrasi (berbasis Sb.x)

Dengan memperhatikan gambar, maka batas-batas diperoleh

dengan cara mencari titik-titik potong kurva dan garis, yaitu

Y= X2 + 3X − 4, disubtitusikan ke 2Y+X − 4 = 0

2( x 2 + 3 x − 4 ) + x + 4 = 0

2 x 2 + 6 x − 8 + x + 4 = 0

2 x 2 + 7 x − 4 = 0

Sb.Y

Y= X2 − 3X − 4

1 Sb.X−4

−2

2Y+ X – 4 = 0 (2 x + 8)(2x − 1) = 0−4

12

x = −4 dan x =1 2

Daerah yang

diminta12 4−x2L= ( x + 3x − 4) −(−4

)dx2

Contoh 1:

Hitunglah luas

kurva y = 3x2 +

daerah yang dibatasi

6x , sumbu X, dan

0 dan x = 2garis-garis x =

Penyelesaian:Sketsalah terlebih dahulu

grafik y = 3x2 + 6x

Titik potong dengan sumbu X

y = 0 → 3x2 + 6x = 0 → 3x(x + 2) = 0

x = 0 atau x = -2

sehingga titik potong dengan sumbu X

adalah di (0,0) dan (-2,0)

= 3x2Sketsa grafik

Y

y + 6x

= 3x2y + 6x

XL=?

O-2x =2

= 3x2y + 6xY

XL=?

x =2-2 O

2

2

(3x2+6x)dx x3+3x2L = =0

0

= (23 + 3.22 ) − 0 = 20 satuan luas

Contoh 2:

Luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y = x3, sumbu Y, garis

y = 8 adalah…

Penyelesaian:

x3Sketsa grafik fungsi y = dan garis y = 8

Y x3y =y = 8

XO

1

Y =x y 3

x3y =y = 8

XO

8 8d

c

8

0

1 343

43

13L = =xdy y = y=y dy

4 4 03 0

88

0

31 43y dy = y3

4 0

3

4

3

4 4

= −(8 3 0 3 )

3 44

.23. 3= .8 3 =4 4

43= .16 =12

412 satuan luasJadi, luasnya adalah

Contoh 3:

Luas daerah yang dibatasi oleh

kurva y = x2, sumbu Y, dan garis

y = x + 6 adalah…

22Saturday, May 18, 2013

Penyelesaian:

x2Sketsa grafik y = dan garis y = x + 6

Y

x2y =6

X–6

Y

x2y = 6?

X–6

batas atas ditentukan

kedua grafik

oleh perpotongan

Y

x2y =6

X–6

Titik potong antara y x2= dan y = x + 6

x2→ – x – 6 = 0x2 = x + 6(x – 3)(x + 2) = 0

Y9

x2y =

6

X-2 3–6

(x – 3)(x + 2) = 0

y = 9 → (3,9)x = 3 →

y = 4 → (-2,4)→x = -2

Y9

x2y =

6

X–6 -2 3

Jadi batas-batas pengintegralannya

adalah x1 = 0 dan x2 = 3

Y9

x2y =

6

–6 -2 3

3

3

6− x2 ) x2 x3 )+

+

=(x dx ( 1 +6x− 13L = 2 0

0

.02 +6.0− .03)= .32 6.3− .33− (1 11 12 32 3

X

.32+6.3− .33− .02 +6.0− .03)12

1 (1 1L = 3 2 3

= 4 +18−9−0

12

=

13

12

Jadi,luasnya adalah 13 satuan luas1

2

SELESAI

SOAL PENUGASAN

1. Diketahui D adalah daerah yang dibatasi oleh kurva

dan garis y = x + 2x2 + y = 4

2. Diketahui R adalah daerah yang dibatasi oleh garisy =x + 4 x2dan parabola y = −2

3. Diketahuisumbu X,

Q adalah daerah yang dibatasi olehdan y = −x+ 2x 2y =

Dari ketiga soal tersebut, carilah :a. Gambar daerahnyab. Hitung titik potongnya (jika ada)c. Hitung luasnya