Oleh: ABDUL MUIZ., S.Pd., M.Pd.,

DEFINISI 2.1

a R, a P a 0

Simbolik:

Untuk semua bilangan Real, misalkan a. a

anggota bilangan real positif jika dan hanya

jika a adalah bilangan real yang positif

Naratif:

Semua bilangan real yang positif adalah

anggota dari bilangan real positif

DEFINISI 2.2

a R, –a P a 0

Simbolik:

Untuk semua bilangan Real, misalkan a. a

anggota bilangan real positif jika dan hanya

jika a adalah bilangan real yang negatif

Naratif:

Invers dari semua bilangan real yang negatif

adalah anggota dari bilangan real positif

DEFINISI 2.3

a, b R, a – b P a b b a

Simbolik:

Untuk semua bilangan Real, misalkan a dan b. Pengurangan dari a oleh b menghasilkan bilangan Real positif jika dan hanya jika a lebih dari b atau b kurang dari a

Naratif:

Selisih dari dua bilangan real yang berbeda adalah anggota bilangan real positif

DEFINISI 2.4

a, b R, a – b P {0} a b b a

Simbolik:

Untuk semua bilangan Real, misalkan a dan b. Pengurangan dari a oleh b menghasilkan bilangan Real tidak negatif jika dan hanya jika a sama dengan b atau a lebih dari b atau b kurang dari a

Naratif:

Selisih dari dua bilangan real adalah anggota dari bilangan real tidak negatif

SIFAT 2.1

a, b P a b P

Simbolik:

Jika a dan b anggota bilangan real positif,

maka hasil penjumlahan a dan b anggota

bilangan positif juga

Naratif:

Operasi penjumlahan pada sistem bilangan

real positif bersifat tertutup

SIFAT 2.2

a, b P a b P

Simbolik:

Jika a dan b anggota bilangan real positif,

maka hasil perkalian a dengan b anggota

bilangan positif juga

Naratif:

Operasi perkalian pada sistem bilangan real

positif bersifat tertutup

SIFAT 2.3

a R a 0 a = 0 a 0

Simbolik:

Jika a anggota bilangan real, maka a bilangan negatif atau a sama dengan nol atau a bilangan positif

Naratif:

Sifat trikotomi dari bilangan real adalah bilangan negatif, bilangan nol atau bilangan positif

SIFAT 2.4

a, b R a b a = b a b

Simbolik:

Jika a dan anggota bilangan real, maka a

kurang dari b atau a sama dengan b atau a

lebih dari b

Naratif:

Sifat trikotomi dari dua bilangan real adalah

kurang dari, sama dengan atau lebih dari

SIFAT 2.5

a, b, c R, a b c b a b c

Simbolik:

Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan

real berurutan dan berbeda, maka b lebih

dari a dan b kurang dari c

Naratif:

Sifat dari tiga bilangan real berurutan yang

berbeda adalah lebih dari dan kurang dari

SIFAT 2.6

a, b, c R, a b c b a b c,

Simbolik:

Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan real berurutan dan dimungkinkan sama, maka b lebih dari atau sama dengan a dan b kurang dari atau sama dengan c

Naratif:

Sifat dari tiga bilangan real berurutan adalah lebih dari atau sama dengan dan kurang dari atau sama dengan

TUGAS KELOMPOK

Kel I : (Teorema 2.1 dan 2.2)

Kel II : (Teorema 2.3 dan 2.4)

Kel III : (Teorema 2.5 dan 2.6)

Kel IV : (Teorema 2.7 dan 2.8)

Kel V : (Teorema 2.9 dan 2.10)

Kel VI : (Teorema 2.11 dan 2.12)

Kel VII : (Teorema 2.13 dan 2.14)

Kel VIII : (Teorema 2.15 dan 2.16)

Kel IX : (Teorema 2.17 dan 2.18)

Kel X : (Teorema 2.19 dan 2.20)

TEOREMA 2.1

a R, a > 0 1/a > 0

Simbolik:

Jika a anggota bilangan real positif, maka hasil pembagian satu oleh a adalah bilangan positif juga.

Naratif:

Hasil satu oleh semua bilangan real positif adalah bilangan positif juga

TEOREMA 2.2

a R, a < 0 1/a < 0

Simbolik:

Jika a anggota bilangan real negatif, maka hasil pembagian satu oleh a adalah bilangan negatif juga.

Naratif:

Hasil satu oleh semua bilangan real negatif adalah bilangan negatif juga

TEOREMA 2.3

a, b, c R, a > b b > c a > c

Simbolik:

Jika a, b dan c anggota bilangan real, a lebih

dari b dan b lebih dari c maka a lebih dari c

Naratif:

Jika terdapat tiga bilangan real berurutan

secara menurun, maka tanda hubung

ketidaksamaannya adalah lebih dari

TEOREMA 2.4

a, b, c R, a < b b < c a < c

Simbolik:

Jika a, b dan c anggota bilangan real, a kurang dari b dan b kurang dari c maka a kurang dari c

Naratif:

Jika terdapat tiga bilangan real berurutan secara naik, maka tanda hubung ketidaksamaannya adalah kurang dari

TEOREMA 2.5

a, b, c R, a > b a + c > b + c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b, maka hasil penjumlahan a dan c lebih dari hasil penjumlahan b dan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari ditambah dengan bilangan real lainnya, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.6

a, b, c R, a < b a + c < b + c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b, maka hasil penjumlahan a dan c kurang dari hasil penjumlahan b dan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari ditambah dengan bilangan real lainnya, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.7

a, b, c R, a > b c > 0 a • c > b • c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b dan c bilangan real positif, maka hasil perkalian a dengan c lebih dari hasil perkalian b dengan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari dikalikan dengan bilangan real positif, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.8

a, b, c R, a < b c > 0 a • c < b • c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b dan c bilangan real positif, maka hasil perkalian a dengan c kurang dari hasil perkalian b dengan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari dikalikan dengan bilangan real positif, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.9

a, b, c R, a > b c < 0 a • c < b • c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a lebih dari b dan c bilangan real negatif, maka hasil perkalian a dengan c kurang dari hasil perkalian b dengan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung lebih dari dikalikan dengan bilangan real negatif, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi kurang dari

TEOREMA 2.10

a, b, c R, a < b c < 0 a • c > b • c

Simbolik:

Jika a, b, c anggota bilangan real, a kurang dari b dan c bilangan real negatif, maka hasil perkalian a dengan c lebih dari hasil perkalian b dengan c

Naratif:

Jika dua bilangan real dengan tanda hubung kurang dari dikalikan dengan bilangan real negatif, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi lebih dari

TEOREMA 2.11

a, b, c, d R, a > b c > d a + c > b + d

Simbolik:

Jika a, b, c, d anggota bilangan real, a lebih dari b dan c lebih dari d maka penjumlahan a dan c lebih dari b dan c

Naratif:

Jika terdapat dua kelompok bilangan real dengan tanda ketidaksamaan yang sama yaitu lebih dari dan bilangan yang seletak dijumlahkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.12

a, b, c, d R, a < b c < d a + c < b + d

Simbolik:

Jika a, b, c, d anggota bilangan real, a kurang dari b dan c kurang dari d maka penjumlahan a dan c kurang dari b dan c

Naratif:

Jika terdapat dua kelompok bilangan real dengan tanda ketidaksamaan yang sama yaitu kurang dari dan bilangan yang seletak dijumlahkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.13

a, b R, a b 0 a 0 b 0

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan positif, maka a dan b adalah bilangan positif juga

Naratif:

Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan positif, maka kedua bilangan tersebut adalah bilangan positif juga

TEOREMA 2.14

a, b R, a b 0 a < 0 b < 0

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan positif, maka a dan b adalah bilangan negatif

Naratif:

Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan positif, maka kedua bilangan tersebut adalah bilangan negatif

TEOREMA 2.15

a, b R, a b < 0 a > 0 b < 0

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan negatif, maka a bilangan positif dan b adalah bilangan negatif

Naratif:

Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan negatif, maka salah satu dari bilangan tersebut adalah bilangan positif dan yang lainnya negatif

TEOREMA 2.16

a, b R, a b < 0 a < 0 b > 0

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real, hasil perkalian a dengan b adalah bilangan negatif, maka a bilangan negatif dan b adalah bilangan positif

Naratif:

Jika hasil perkalian dari dua bilangan real adalah bilangan negatif, maka salah satu dari bilangan tersebut adalah bilangan negatif dan yang lainnya positif

TEOREMA 2.17

a, b R, 0 > a > b a2 < b2

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real negatif, a lebih dari b, maka kuadrat dari a nilainya kurang dari kuadrat b.

Naratif:

Jika dua bilangan real negatif dengan tanda hubung lebih dari dikuadratkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya berubah menjadi kurang dari

TEOREMA 2.18

a, b R, 0 < a < b a2 < b2

Simbolik:

Jika a, b anggota bilangan real positif, a kurang dari b, maka kuadrat dari a nilainya kurang dari kuadrat b.

Naratif:

Jika dua bilangan real positif dengan tanda hubung kurang dari dikuadratkan, maka tanda hubung ketidaksamaannya tidak berubah

TEOREMA 2.19

a, b R, a > b a > ½ (a + b) > b

Simbolik:

Jika a, b adalah bilangan real, a lebih dari b, maka setengah dari hasil penjumlahan a dan b terletak diantara a dan b dengan tanda hubung lebih dari

Naratif:

Jika dua bilangan real dihubungkan dengan tanda lebih dari, maka setengah dari hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut terletak diantaranya dan tidak mengubah tanda ketidaksamaannya

TEOREMA 2.20

a, b R, a < b a < ½ (a + b) < b

Simbolik:

Jika a, b adalah bilangan real, a kurang dari b, maka setengah dari hasil penjumlahan a dan b terletak diantara a dan b dengan tanda hubung kurang dari

Naratif:

Jika dua bilangan real dihubungkan dengan tanda kurang dari, maka setengah dari hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut terletak diantaranya dan tidak mengubah tanda ketidaksamaannya