Metode Liapunov

1

Metode Liapunov1. Pengertian metode liapunov Metode Liapunov ini adalah salah satu jenis metode yang dapat digunakan untuk : menyelidiki kinerja (terutama kestabilan) sistem linier maupun nonlinier , yang tak berubah dengan waktu maupun berubah dengan waktu dengan order rendah maupun order tinggi hanya berlaku bagi sistem nonlinier , dengan sifat nonlinieritas tidak diskontinyu atau mendadak perubahannya Pemikiran Liapunov didalam menyelidiki kelakuan sistem dinamis bertitik tolak pada hukum kekekalan energi, dimana jumlah energi kinetis dan energi potensial suatu sistem yang bergerak (sistem dimamis) adalah konstan diambil anggapan bahwa selama suatu benda bergerak maka berlaku hukum kekekalan energi jadi kalau energi potensial semakin tinggi, maka energi kinetik semakin rendah, yang juga berarti kecepatan gerakan benda semakin pelan, demikian juga sebaliknya

Jenis metode Liapunov ada 2 macam , yaitu :

metode Liapunov-1 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem , dengan cara melakukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier sistem metode Liapunov-2 : adalah metode yang digunakan untuk menentukan kestabilan sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial nonli-nier sistem Hasil yang diperoleh dari metode Liapunov diatas , hanya bersifat kualitatif, yaitu : hanya dapat menentukan sistem stabil atau tidak stabil

derajat kestabilan yang dapat ditentukan adalah :

a) kestabilan asimptotis global (globally asymptotic stability)b) kestabilan dalam daerah luas (stability in the large)

c) kestabilan dalam daerah sempit (stability in the small)

d) kestabilan menurut Liapunov (stability in the sense of Liapunov)

2. Kriteria Kestabilan Liapunov

Persamaan keadaan untuk sistem nonlinier secara umum dapat ditulis sebagai berikut :

dimana untuk sistem mekanik :

Penyelesaian secara analitis terhadap persamaan diatas jarang sekali dapat dilakukan Jika diusahakan penyelesaian secara numerik , maka :akan timbul pertanyaan mengenai sifat kestabilannya , yaitu :

apakah sepenuhnya dapat dijawab keadaan bilamana dikehendaki penyelesaian yang mempertimbangkan tak terhingga himpunan kondisi awal dengan menggunakan dengan keadaan tak terhingga himpunan kondisi awal tersebut terhadap :

permasalahan engineering dan memusatkan perhatian kepada pengetahuan tentang sistemnya , maka :para analis mungkin hanya akan membatasi pada masalah yang berkaitan dengan kondisi awal yang tertentu sajaberbagai metode penyelesaian telah dikemukakan untuk mendapat-kan informasi tentang kestabilan dan domain dari pada sistem yang memenuhi persamaan , tanpa mengambil jalan yang mengarah ke penyelesaian lengkap . Sistem nonlinier bisa mempunyai beberapa daerah kerja yang berbeda-beda ada daerah yang mempunyai response (hubungan antara output dan input) linier dan ada pula yang nonlinier. Dengan demikian konsep kestabilan untuk sistem nonlinier menjadi sulit untuk ditentukan. Metode Liapunov langsung dan metode Popov mendekati penyelesaian penentuan kestabilan sistem secara kualitatif. Kondisi-kondisi yang exact terhadap optimalitas pengontrolan , dapat diperoleh dengan memakai :

Pemrograman dinamis dan kalkulus variasi Kondisi-kondisi ini didalam banyak hal dapat memberikan aspek-aspek kualitatip tentang sistem , misalnya saja tentang fungsi kontrol optimal .

Metode Liapunov-1 adalah : metode dimana persamaan diferensial sistem dinamis dapat diselesaikan kestabilan ataupun ketidak stabilan sistem ditentukan dari hasil penyelesaian persamaan diferensial tadi

Kelompok ini tidak punya arti yang penting bila dikaitkan dengan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier Pada metode pertama ini Liapunov tidak menunjukkan bahwa penyelesaian dapat diperoleh dalam bentuk deret Untuk menentukan kestabilan sistem dalam bentuk deret dapat digunakan metode Liapunov kedua Liapunov juga membuktikan bahwa penyelesaian-penyelesaian secara pendekatan terhadap persamaan diferensial nonlinier sering menghasilkan informasi kestabilan yang penting Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov pertama ini, dianggap bahwa :

nonlinieritas adalah bernilai tunggal (tidak ada hysteresis) mempunyai turunan-turunan setiap order disekitar titik A Fungsi nonlinier, y = f(x) dapat diuraikan menurut deret Taylor disekitar titik A yang uraiannya sebagai berikut :

Suku pertama dan kedua deret diatas menggambarkan pendekatan linier disekitar titik kerja sistem nonlinieritas Karena pada umumnya akar-akar persamaan kharateristik dari transfer-function untuk sistem gerak suatu sistem adalah kompleks. Liapunov membuktikan bahwa:

jika bagian riil dari akar-akar persamaan kharateristik yang berkaitan dengan pendekatan linier terhadap persamaan diferensial tersebut bukan nol , maka :pendekatan linier akan selalu dapat memberikan jawaban yang benar terhadap ramalan kestabilan nonlinier. Teorema Liapunov ini dapat menunjukkan bahwa :pendekatan linier terhadap persamaan diferensial nonlinier dapat dapat dipakai untuk menentukan kestabilan sistem. Jika bagian riil dari akar-akar persamaan kharateristik yang telah dianggap linier bernilai:

negatip, maka gerakan sistem adalah stabil disekitar titik yang ditinjau tadi positip, maka gerakan adalah tidak stabil disekitar titik tersebut nol, maka tidak ada kesimpulan yang dapat ditarik.

Sebagai contoh, marilah melihat :

persamaan diferensial Van der Pol berikut, yang menggambarkan kena-ikan tegangan osilator.

dimana

Pada keadaan seimbang atau keadaan diam (titik equilibrium atau titik singulir) maka:

Kecepatan = dan percepatan , kedua-duanya = 0

Karena itu : v = V pada titik kesetimbangan

Untuk menentukan kelakuan yang ada didalam daerah titik keseimbangan V, maka diambil :

v = V + vi

dimanapada titik keseimbangan dan

Dengan demikian persamaan diferensial Van der Pol dapat diubah menjadi :

Jika didekati secara linier, yaitu dengan mengabaikan , maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai :

Persamaan karakteristiknya adalah :

Dengan menggunakan Routh-Hurwitz stability criterion, maka sistem akan stabil bila :

Hal ini dapat dibuktikan dengan membuat deret Routh sebagai berikut :

Agar sistem stabil, kolom pertama deret Routh harus tidak mengalami perubahan tanda

Jadi agar sistem stabil, maka :

.

Karena u < 0 , maka sistem akan stabil jika V 2- 1 < 0 , atau V < 1

Jika V = 1, metode Liapunov tidak dapat digunakan , sebab pada keadaan ini akan menghasilkan nilai akar persamaan kharateristik yang menyebabkan (bagian riil dari akar-akar persaman kharateristik = 0)Sistem pada saat V = 1 adalah dalam keadaan berosilasi Perlu untuk ditekankan bahwa metode Liapunov pertama hanya dapat menentukan kestabilan disekitar titik keseimbangan saja

Metode Liapunov-2 : adalah metode yang didalam menentukan kestabilan adalah tanpa menyelesaikan persamaan diferensial dari persamaan gerak sistem

Pada metode ini lebih dahulu dibentuk persamaan keadaan untuk sistem dinamis

Selanjutnya ditentukan jumlah dari energi potensial dan energi kinetik, yang mana sesuai dengan hukum ilmu fisika , yaitu jumlah tersebut adalah konstan

Jumlah kedua jenis energi tersebut disebut dengan fungsi Liapunov, yang nilai selalu positip (defenit positip) dan merupakan fungsi yang skalar

Jika turunan fungsi Liapunov terhadap waktu adalah negatip, maka sistemnya stabil asymptotis (stabil dimana gelombang gejala peralihan semakin lama semakin kecil)

Untuk memberi gambaran tentang metode Liapunov kedua ini, perhatikanlah persamaan dife-rensial linier yang menggam-barkan sistem massa-pegas-redaman lebih dahulu, sebagai gambar dibawah ini Sebagai dasar ntuk membahas teori kestabilan, perlu diperhatikan kestabilan yang terjadi pada sistem massa-pegas-redaman Sistem massa-pegas-redaman

Persamaan diferensial gejala peralihan (transient) untuk sistem massa-pegas-redaman adalah :

EMBED Equation.3 Dengan mengambil :

Persamaan keadaan dalam bentuk persamaan matrix untuk sistem massa-pegas-redaman adalah

Berdasarkan hukum kekekalan energi, maka , dimana

dan

= gaya pengembalian oleh pegas, maka :

Dengan demikian :

Kecepatan perubahan energi = , atau :

Jika koefisien gesekan , maka :

(selalu negatip) V= fungsi Liapunov : adalah fungsi skalar (tidak mempunyai arah) Metode untuk menentukan stabil atau tidaknya suatu sistem dengan menggunakan fungsi Liapunov : yang dibuat secara langsung dengan menganggap fungsi Liapunov tersebut fungsi defenit positip disebut dengan : Metode Liapunov langsung (Liapunov Directs Method) atau Metode Liapunov Kedua (Second Method of Liapunov) .

Permasalahan utama didalam metode Liapunov ini adalah pada pembentukan fungsi Liapunov yang berlaku pada sistem dinamis tersebut.

Fungsi Liapunov tersebut adalah fungsi skalar defenit positip Jika fungsi Liapunov = V(x) = Ek + Ep = C = konstan , maka :

V(x) adalah defenit positip ; Untuk suatu sistem yang stabil asymptotis (keluaran sistem semakin lama semakin mendekati nilai yang dinginkan) , dengan fungsi Liapunov defenit positip maka harus dipenuhi

Jika persyaratan tersebut diatas dipenuhi maka dapat dijamin bahwa V(x) defenit positip Jika dari persamaan , untuk : , maka :

Hasil penyelesaian untuk Pers. Diferensial diatas adalah :

dan

.Karena itu : dibuat fungsi Liapunov

dapat diganti menjadi :

Maka sistem adalah stabil asimptotis global Hal ini terlihat bahwa jumlah energi total adalah defenit positip dan kecepatan perubahan energinya pada kedua-duanya adalah hampir sama dengan nol Maka sistem yang terdiri atas massa-pegas-redaman (dengan parameter-parameter sebagai-mana contoh), adalah : Sistem yang stabil asimptotis (asymptotically stable).

Ini berarti bahwa keadaan akan kembali ke titik pusat, dari setiap titik x yang berada didalam daerah R yang menutupi titik pusat tersebut Sistem dengan jenis kestabilan asimptotis ini lebih disukai oleh para pakar teknik kontrolKestabilan sistem nonlinier tergantung pada ruang keadaan yang dimilikinya, dan pada besarnya masukan ke sistem nonlinier tersebut. Dengan demikian kestabilan sitem nonlinier dapat dikelompok-kan sebagai berikut :a) kestabilan lokal, atau ketabilan daerah kecil (stability in the small)b) kestabilan tertentu (finite stability)

c) kestabilal global, atau kestabilan daerah luas (stability in the large)

Suatu sistem nonlinier mempunyai kestabilan lokal, jika keluaran sistem tersebut akan tetap berada pada suatu daerah yang sangat kecil (infinitesimal region) disekitar sebuah titik singular (atau titik keseimbangan, yaitu suatu titik dimana kecepatan dan percepatan gerak-an sistem dititik itu = 0), jika mendapat masukan yang berupa gangguan kecil.

Suatu sistem nonlinier mempunyai kestabilan tertentu jika keluaran sistem tersebut kembali akan menuju ke titik singulir, dari setiap titik yang berada didalam suatu daerah R yang tertentu ukurannya , yang mengelilingi titik tersebut.

Suatu sistem nonlinier mempunyai kestabilan global jika daerah R tadi mencakup seluruh ruang keadaan.

Kelompok kestabilan yang telah disebutkan diatas tidak mengabaikan adanya limit cycles (yaitu osilasi yang terjadi pada sistem nonlinier) , selain hanya tidak memasukkan kemungkinan titik keadaan yang cenderung menuju ke tak terhingga .

Jika titik keadaan mendekati singularitas atau titik kesetimbangan (yaitu jika kecepatan dan percepatan yang bernilai nol) pada waktu mendekati tak terhingga (untuk setiap kondisi awal yang berada pada daerah yang diperhatikan ) , maka sistem digambarkan sebagai memiliki kesta-bilan asimptotis.

Kestabilan asimptotis tidak mencakup suatu limit cycle yang stabil sebagai persyaratan kesetim-bangan dinamis yang mungkin. Persyaratan terkuat yang mungkin, yang dapat diberlakukan pada sistem kontrol nonlinier dengan parameter yang tak berubah dengan waktu adalah kestabilan asimptotis.

Faktor utama yang menjadi pilihan untuk analisa adalah fungsi energi V, yang mana V = fungsi defenit positip = fungsi Liapunov.

Sebagai contoh dari fungsi defenit positip adalah : = fungsi defenit positip.

Disini , V = 0

Peta fungsi Liapunov V = defenit positip tersebut, sebagai fungsi x1 dan x2 terlihat sebagai kurva berikut ini :

Teori kestabilan Liapunov dapat disingkat kedalam ruang keadaan berdimensi-n, dengan pernyataan sebagai berikut :

Suatu sistem dinamis order-n akan mempunyai sifat kestabilan asimptotis, jika dapat diperoleh suatu fungsi defenit positip V, yang turunannya terhadap waktu adalah negatip, sepanjang lin-tasan sistem tersebut.

Fungsi defenit positip tersebut dinamakan Fungsi Liapunov. Biasanya tidak mudah untuk mendapatkan fungsi Liapunov tersebut. Metode untuk mendapatkan fungsi Liapunov tersebut, diantaranya adalah metode gradien variabel dan metode format.

Pembenaran terhadap metode Liapunov kedua paling baik dapat diperlihatkan, dengan cara melihat portrait bidang fase berikut :

x2 P

x1

V = C1

V = C2 V = C3

V = 0 menyatakan pusat dari ruang keadaan. Nilai-nilai lain yang dihasilkan oleh himpunan persamaan diatas melukiskan kurva ellips didalam ruang keadaan tersebut.

Turunan fungsi V terhadap waktu adalah :

Dengan fungsi Liapunov

Jika maka state (keadaan) harus bergerak dari titik keadaan awal p , dengan nilai V yang menjadi semakin kecil dan arahnya menuju ketitik pusat. Sistem seperti ini berkelakuan stabil asimptotis.

Prinsip pemikiran diatas dapat dikembangkan untuk sistem-sistem dengan order yang lebih tinggi.

Untuk melukiskan penggunaan dari metode Liapunov kedua ini dapat dilihat pada contoh gerak sistem dengan persamaan diferensial dinamika sistem sebagai berikut ini :

dimana :

EMBED Equation.3 Jika V = fungsi Liapunov = fungsi defenit positip, yang sesuai dengan hukum kekalan energi , yang misalnya dipilih dengan bentuk :

, maka menurut Liapunov , agar sistemnya stabil,

Maka :

Agar sistem stabil :

, maka yang paling mudah dipilih :

sehingga syaratnya adalah :

Syarat diatas sudah pasti dipenuhi , karena sudah ditentukan bahwa

Keseimbangan atau equlibrium terjadi pada titik-titik singulir, yaitu jika :

Titik equilibrium tersebut adalah stabil asimptotis , sebab pada titik tersebut berlaku hubungan , sebagaimana telah disebutkan sebelumnya.

Jika . Jika , maka sistem stabil jika dipenuhi persyaratan sebagai berikut :

Jadi stabil stabil jika

Kalau persyaratan diatas dipenuhi , maka sistem stabil didalam daerah kecil (Stability in the small)

Contoh :Jika persamaan keadaan suatu sistem nonlinier adalah sebagai berikut ini :

dimana a dan b dan tidak pernah keduanya secara bersama-sama bernilai nol.

Selanjutnya dianggap bahwa fungsi Liapunov adalah :

, kecuali jika

,

, kecuali jika

Jika a < 0 dan b < 0 maka titik kesetimbangan adalah tidak stabil, sebab .

Jika a > 0 dan b < 0, maka hanya terjadi jika

Dengan demikian jika a > 0 dan b < 0, sistem akan stabil jika ; ini berarti bahwa :

kestabilan terjadi hanya untuk gangguan-gangguan awal yang tidak menyebabkan titik terletak diluar strip sejajar (horisontal strip) pada bidang phase Karena itu titik pusat koordinat , yaitu , yang juga titik kesetimbangan adalah stabil asimptotis Perlu untuk diketahui bahwa persyaratan kestabilan yang didapatkan dari fungsi V tertentu biasanya sudah cukup, namun tidak perlu. Selain itu fungsi Liapunov untuk sistem tertentu apapun juga tidaklah hanya satu saja Oleh karena itu jika fungsi V tertentu gagal untuk menunjukkan suatu sistem tertentu stabil ataupun tidak stabil, maka :

tidak ada jaminan bahwa dapat diperoleh fungsi V lain yang dapat menun-jukkan sistem stabil ataupun tidak stabil Juga tidak ada jaminan bahwa peningkatan batas-batas yang berdasarkan suatu fungsi V tertentu akan dapat menyebabkan keseimbangan menjadi tidak stabil.Kriteria Kestabilan Liapunov Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian sehingga = semi defenit negatip sepanjang lintasan-lintasan phase sistem , maka titik pusat koordinat dikatakan stabil menurut Liapunov (stable in the sense of Liapunov) ; dalam hal ini lintasa phase akan mendekati titik pusat koordinat jika . Jika , maka lintasan phasenya dari fungsi Liapunov V(x) akan selalu konstan (tidak menjadi semakin kecil) , dan lintasan phase semacam ini disebut dengan limit cycle. Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian sehingga = defenit negatip sepanjang lintasan phase sistem , maka titik pusat koordinat disebut dengan stabil asimptotis . Dalam hal ini , keseimbangan (equilibrium) terjadi di titik pusat koordinat. Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian sehingga = semi defenit negatip sepanjang lintasan-lintasan phase sistem , maka titik pusat koordinat dikatakan stabil menurut Liapunov (stable in the sense of Liapunov) ; dalam hal ini lintasa phase akan mendekati titik pusat koordinat jika . Jika , maka lintasan phasenya dari fungsi Liapunov V(x) akan selalu konstan (tidak menjadi semakin kecil) , dan lintasan phase semacam ini disebut dengan limit cycle. Jika suatu sistem memiliki fungsi Liapunov = V(x) = defenit positip sedemikian sehingga = defenit negatip sepanjang lintasan phase sistem , maka titik pusat koordinat disebut dengan stabil asimptotis . Dalam hal ini , keseimbangan (equilibrium) terjadi di titik pusat koordinat .Metode Liapunov LangsungMetode Liapunov langsung (Direct Method of Liapunov), sering juga disebut dengan metode Liapunov kedua (Liapunov 2nd-method) , dapat dilihat pada contoh berukut ini.

Suatu sistem kontrol nonlinier digambarkan dengan blok-diagram berikut :

R(s) E(s) C(s)

Inverse Laplace-transformnya adalah :

Jika diambil x1 = c ; x2 = ; x3 = ; , maka persamaan keadaannya adalah :

Untuk menyelidiki kestabilan sistemnya, maka :

pengaruh dari exitasi (penggerak) tertentu , yaitu r , dapat diabaikan Jadi dianggap r = 0, maka dapat dituliskan :

Jadi

Jadi :

Sebetulnya terdapat lebih dari satu model persamaan ruang keadaan untuk sistem dengan blok diagram yang sama. Hal ini disebabkan, jika anggapan yang diambil terhadap keadaan atau state adalah berbeda, maka akan berbeda pula persamaan keadaannya.Sebagai contoh pada sistem dengan blok diagram diatas akan dapat dimodifikasi menjadi sebagai berikut : x3 x2

Persamaan keadaannya adalah:

Dengan sendirinya jika r = 0, maka persamaan keadaannya menjadi sebagai berikut :

Persamaan keadaan umum untuk sistem order-3Contoh soal : Metode Liapunov Langsung (Direct Method of Liapunov)Perhatikan persamaan keadaan sistem catu-balik , sebagaimana telah diturunkan sebelumya, yai-tu :

Dalam hal ini akan didapatkan :

Selanjutnya dapat dicari persamaan baru sebagai berikut :

Persamaan kharateristiknya adalah :

Bentuk persamaan kharateristik diatas disederhanakan menjadi sebagi berikut :

dimana

Jadi persamaan keadaannya adalah sebagai berikut :

Dapat dibuktikan bahwa blok diagram dibawah , yang dibagian kiri dapat diganti dengan blok yang dibagian kanan

Hal ini disebabkan Closed-Loop Transfer Function adalah sama. sebagaimana terlihat dibawah ini :

Metode UNTUK MEmbentukFUNGSI LIAPUNOV SECARA SISTEMATISMembentuk fungsi Liapunov adalah masalah yang paling sulit didalam penggunaan metode Liapunov untuk menyelidiki kinerja sistem kontrol . Fungsi Liapunov didalam hal ini adalah fungsi skalar defenit positip . Pada bab ini akan dibahas beberapa metode untuk membentuk fungsi Liapunov tersebut .1. METODE VARIABLE GRADIENT untuk membentuk fungsi liapunovKarena fungsi Liapunov harus defenit positip, maka dianggap bahwa bentuk umum dari fungsi Liapunov adalah :

Bentuk persamaan kwadratis tersebut dalam bentuk yang lebih umum,

adalah :

, dimana

Malkin telah membuktikan bahwa fungsi Liapunov tersebut dapat membuktikan stabil atau tidak stabil terhadap sistem-sistem linier dengan order berapapun juga.

Namun sayangnya untuk sistem-sistem yang nonlinier, fungsi Liapunov tersebut tidak dapat digunakan untuk membuktikan stabil ataupun tidak stabil bagi semua jenis sistem nonlinier, kecuali untuk sistem nonlinier yang persamaannya dapat digambarkan sebagai fungsi yang dapat diferensiir.

Salah satu cara untuk membentuk fungsi Liapunov adalah dengan menggunakan metode vari-able gradient. Untuk itu, perhatikanlah persamaan berikut ini :

Penulisan dengan cara lain adalah :

dimana gradient = = turunan terhadap tempat

Bentuk umum dari adalah :

Syarat yang perlu dan cukup bagi suatu vector menjadi sebuah gradient adalah :

Hubungan tersebut akan dapat dipenuhi jika persamaan curl terpenuhi.Persamaan curl tersebut adalah :

Untuk sistem order-3, yaitu pada , maka :

Untuk sistem order-5 . Banyaknya persamaan curl = 10, yaitu

Syarat penutup untuk fungsi Liapunov , , agar dapat menjamin terjadinya fungsi defenit positip, adalah sebagai berikut :

pDisini dianggap bahwa coefisient terdiri atas bagian konstan, , dan bagian varibel, . Untuk koefisien diagonal, yaitu , maka bagian variabelnya hanya fungsi dari saja.

Agar persamaan curl dipenuhi, maka .Contoh soal 1 :

Suatu sistem kontrol catu balik mempunyai blok diagram sebagai berikut :

R(s) E(s) E3(s) C(s) Elemen Nonliner Linier plant

Inverse Laplace transform-nya adalah :

Ambillah :

Karena itu persamaan gradient fungsi Liapunov V adalah :

Agar Fungsi defenit negatip (agar sistemnya stabil), maka dapat dipilih :

Dengan memasukkan persyaratan penutup sebagaimana telah dibahas sebelumnya , yaitu :

Maka harus dipenuhi a22 = 2 ; a12 = a21 < 2, supaya a12 a22 < 0Karena , dimana pada contoh soal ini sudah didapatkan

dan telah dilakukanya pemilihan , maka :

Untuk sistem order-2 maka persamaan curl adalah:

Buktinya :

Dengan terpenuhinya persamaan curl , maka fungsi Liapunov dapat dihitung berdasarkan rumus :

Maka fungsi Liapunov adalah :

Untuk mengetahui apakah fungsi Liapunov V(x) defenit positip , dibuat persamaan matrix defenit positip untuk fungsi Liapunov tersebut , sehingga dapat dituliskan :

Karena sebelumnya sudah diperoleh hasil :

Maka :

EMBED Equation.3 Dari hasil diatas diperoleh

Dengan demikian matrix

Jika matrix A defenit positip , maka V(x) defenit positip

Dengan menggunakan teorema Sylvester , matrix A dapat diselidiki , defenit positip atau tidak Menurut teorema ini , matrix A defenit positip jika semua matrix-minornya defenit positip , yang berarti bahwa semua determinant minor matrix A bernilai positipKarena itu

Dari hasil diatas , yaitu : dan

maka :

Berdasarkan hasil yang diperoleh diatas , maka dengan memasukkan , didapatkanlah :

Sebelumnya sudah didapatkan

Ambillah

Maka

Maka dengan pilihan diatas sistem adalah stabil asymptotis global . Contoh soal 2 :Jika lintasan maju (forward path) = dan lintasan catu balik = = nonlinier , buktikanlah menggunakan metode gradien variabel , sistem tersebut akan stabil jika

Bukti : Blok diagram sistem kontrol nonlinier adalah sebagai berikut :

Dengan memakai metode gradien variabel :

Agar dapat diperoleh dipilih

Dengan pilihan tersebut didapat : , nilainya harus defenit negatipKarena itu ;

Syarat yang cukup dan perlu agar menjadi suatu gradien adalah ; persamaan ini bisa terpenuhi jika persamaan curl dipenuhi , sehingga harus dipenuhi

Karena , maka persamaan curl memang dipenuhi

Fungsi Liapunov =

harus defenit positip

dapat dinyatakan dengan

; jika dibandingkan dengan hasil sebelumnya , yaitu : , maka

Dengan demikian

Jika matrix A defenit positip , maka V(x) defenit positip juga

Dengan menggunakan teorema Sylvester , matrix A akan defenit positip jika semua minor matrix A juga defenit positip .

Minor-minor matrix A adalah

dan

Syarat terakhir ini tidak bertentangan dengan syarat harus dipenuhi sebagaimana yang telah didapatkan sebelumnya , yaitu :

Dari hasil yang sudah didapat sebelumnya , yaitu : dan , maka :

Jika dibandingkan dengan hasil yang didapat sebelumnya , yaitu :

maka :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Karena itu

EMBED Equation.3 Karena sudah dibuktikan agar sistem stabil, harus dipenuhi ; jika maka :

Contoh soal 3 :Suatu sistem kontrol catu balik nonlinier mempunyai blok diagram sebagai berikut :

R(s) E(s) E2(s) C(s) Elemen Nonliner Linier PlantGunakanlah fungsi Liapunov dengan metode gradient variabel untuk untuk menyelidiki kinerja sistem kontrol diatas !

Jawab :

Inverse Laplace transform-nya adalah :

Ambillah :

Karena itu persamaan gradient fungsi Liapunov V , yaitu (V , adalah :

Untuk sistem order-2 maka persamaan curl adalah:

maka

Agar dapat dijamin Fungsi defenit negatip , maka dipilih :

Selanjutnya dengan mengambil , maka akan diperoleh

V(x) dihitung dengan integrasi berikut :

Karena ( defenit positip ( karena V(x) hanya bernilai positip jika x2 < 0 ) , meskipun , dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sistem stabil hanya bila

SISTEM KENDALI NON LINEARMETODE LIAPUNOV

Disusun oleh :

Muhammad Indirwan Prayudhitama

(14223900)

Teknik Elektro

ISTN DUREN 3

2015M

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

N

EMBED Equation.3

N

Kontour V konstan dilukiskan dengan kurva-kurva C1 ,C2 , dan C3 . Lintasan fase sistem order-2 ini, yang titik awal-nya adalah P, digambarkan dengan persamaan keadaan berikut :

EMBED Equation.3

V = a 2 x1 2+b 2x2 2 = Fungsi defenit positip , dengan a dan b adalah koefisien tak tentu .

V =0 , C1, C2,, C3 dengan 0 < C1 < C2 < C3

Selanjut dapat diperoleh himpunan persamaan berikut ini :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

N

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Titik equilibrium adalah titik dimana EMBED Equation.3 ; hal ini akan terjadi pada

(x,y) = (0.0) = titik pusat

EMBED Equation.3

N

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

x1

x2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

_1293431348.unknown

_1302249300.unknown

_1302249317.unknown

_1302249325.unknown

_1302249329.unknown

_1302249336.unknown

_1493622131.unknown

_1493625852.unknown

_1302249337.unknown

_1302249334.unknown

_1302249335.unknown

_1302249332.unknown

_1302249333.unknown

_1302249330.unknown

_1302249331.unknown

_1302249327.unknown

_1302249328.unknown

_1302249326.unknown

_1302249321.unknown

_1302249323.unknown

_1302249324.unknown

_1302249322.unknown

_1302249319.unknown

_1302249320.unknown

_1302249318.unknown

_1302249309.unknown

_1302249313.unknown

_1302249315.unknown

_1302249316.unknown

_1302249314.unknown

_1302249311.unknown

_1302249312.unknown

_1302249310.unknown

_1302249305.unknown

_1302249307.unknown

_1302249308.unknown

_1302249306.unknown

_1302249302.unknown

_1302249304.unknown

_1302249301.unknown

_1302241734.unknown

_1302249284.unknown

_1302249292.unknown

_1302249296.unknown

_1302249298.unknown

_1302249299.unknown

_1302249297.unknown

_1302249294.unknown

_1302249295.unknown

_1302249293.unknown

_1302249288.unknown

_1302249290.unknown

_1302249291.unknown

_1302249289.unknown

_1302249286.unknown

_1302249287.unknown

_1302249285.unknown

_1302249276.unknown

_1302249280.unknown

_1302249282.unknown

_1302249283.unknown

_1302249281.unknown

_1302249278.unknown

_1302249279.unknown

_1302249277.unknown

_1302249267.unknown

_1302249272.unknown

_1302249274.unknown

_1302249275.unknown

_1302249273.unknown

_1302249270.unknown

_1302249271.unknown

_1302249268.unknown

_1302242275.unknown

_1302242380.unknown

_1302249265.unknown

_1302249266.unknown

_1302246969.unknown

_1302248071.unknown

_1302242412.unknown

_1302242363.unknown

_1302242254.unknown

_1302242261.unknown

_1302241979.unknown

_1302242042.unknown

_1300340718.unknown

_1301945367.unknown

_1302241153.unknown

_1302241328.unknown

_1302241567.unknown

_1302241310.unknown

_1302240662.unknown

_1302240921.unknown

_1301945678.unknown

_1301945891.unknown

_1301945625.unknown

_1301942904.unknown

_1301943976.unknown

_1301944073.unknown

_1301943747.unknown

_1301941323.unknown

_1301941912.unknown

_1301942128.unknown

_1300341603.unknown

_1293785659.unknown

_1293786856.unknown

_1293786941.unknown

_1293787298.unknown

_1293787345.unknown

_1293787014.unknown

_1293786905.unknown

_1293785853.unknown

_1293784607.unknown

_1293784637.unknown

_1293432997.unknown

_1293783525.unknown

_1293433075.unknown

_1293432968.unknown

_1101326074.unknown

_1197613176.unknown

_1197681910.unknown

_1197842661.unknown

_1242842436.unknown

_1242842842.unknown

_1242843238.unknown

_1293431258.unknown

_1242842981.unknown

_1242842781.unknown

_1197943315.unknown

_1200456808.unknown

_1242842395.unknown

_1200456390.unknown

_1200456788.unknown

_1197858692.unknown

_1197937196.unknown

_1197937219.unknown

_1197858783.unknown

_1197842777.unknown

_1197684324.unknown

_1197690831.unknown

_1197692632.unknown

_1197839849.unknown

_1197842570.unknown

_1197838686.unknown

_1197691683.unknown

_1197692062.unknown

_1197691606.unknown

_1197686379.unknown

_1197686853.unknown

_1197686329.unknown

_1197682541.unknown

_1197682573.unknown

_1197680120.unknown

_1197681142.unknown

_1197681677.unknown

_1197680506.unknown

_1197680721.unknown

_1197681083.unknown

_1197680323.unknown

_1197613811.unknown

_1197615227.unknown

_1197617943.unknown

_1197618757.unknown

_1197619616.unknown

_1197618100.unknown

_1197616714.unknown

_1197613865.unknown

_1197613237.unknown

_1197613350.unknown

_1197235307.unknown

_1197601463.unknown

_1197607849.unknown

_1197612124.unknown

_1197612567.unknown

_1197605619.unknown

_1197607682.unknown

_1197604992.unknown

_1197604633.unknown

_1197236345.unknown

_1197236418.unknown

_1197238523.unknown

_1197235975.unknown

_1197236003.unknown

_1101328808.unknown

_1127706896.unknown

_1197147608.unknown

_1127707401.unknown

_1127302529.unknown

_1127304114.unknown

_1101326441.unknown

_1101326840.unknown

_1101326163.unknown

_1080849690.unknown

_1094274796.unknown

_1100297117.unknown

_1101022038.unknown

_1101324541.unknown

_1101325996.unknown

_1101324237.unknown

_1101324525.unknown

_1100980958.unknown

_1100981153.unknown

_1100968632.unknown

_1100978052.unknown

_1100297164.unknown

_1100280903.unknown

_1100296819.unknown

_1100296997.unknown

_1100296154.unknown

_1095497745.unknown

_1095568951.unknown

_1100149483.unknown

_1095569066.unknown

_1095568511.unknown

_1095568649.unknown

_1095494599.unknown

_1095494994.unknown

_1095495856.unknown

_1095493783.unknown

_1094265252.unknown

_1094267354.unknown

_1094273410.unknown

_1094266429.unknown

_1080849694.unknown

_1094264584.unknown

_1094264829.unknown

_1093758786.unknown

_1093940168.unknown

_1080849691.unknown

_692675788.unknown

_692695307.unknown

_692733201.unknown

_692847847.unknown

_1080849688.unknown

_1080849689.unknown

_1080849684.unknown

_692734225.unknown

_692847786.unknown

_692785515.unknown

_692733495.unknown

_692695938.unknown

_692698074.unknown

_692698755.unknown

_692714205.unknown

_692698243.unknown

_692697293.unknown

_692695602.unknown

_692681388.unknown

_692681516.unknown

_692683631.unknown

_692681462.unknown

_692679240.unknown

_692679774.unknown

_692679332.unknown

_692676634.unknown

_377302641.unknown

_377379998.unknown

_692663614.unknown

_692675221.unknown

_692675680.unknown

_692669506.unknown

_377381236.unknown

_377381756.unknown

_377381817.unknown

_377381877.unknown

_377381634.unknown

_377380435.unknown

_377377959.unknown

_377378911.unknown

_377378277.unknown

_377378362.unknown

_377378164.unknown

_377377618.unknown

_377299999.unknown

_377301792.unknown

_377302127.unknown

_377302605.unknown

_377301951.unknown

_377301201.unknown

_377301621.unknown

_377301282.unknown

_377301174.unknown

_377297613.unknown

_377299175.unknown

_377299433.unknown

_377297714.unknown

_377298216.unknown

_377297458.unknown

_377297574.unknown

_377297411.unknown