Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan

Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS

Program Studi : Pendidikan Matematika

Semester : IV (Empat)

Oleh : Nego Linuhung, M.Pd

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan

Terkecil (KPK)

Di Sekolah Dasar (SD)

Apakah yang dimaksud?

Faktor

Faktor Prima; dan

Faktorisasi

Faktor

suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang habis untuk

membagi bilangan itu.

Faktor prima

suatu bilangan adalah bilangan prima yang terkandung dalam

faktor bilangan itu.

Faktorisasi

adalah bentuk perkalian bilangan-bilangan prima suatu

bilangan.

di Sekolah Dasar (SD)

1. Carilah FPB dari 18 dan 24

Jawab:

18 = 2 x 3 x 3. (faktorisasi)

24 = 2 x 2 x 2 x 3 (faktorisasi)

FPB dari 18 dan 24 = 2 x 3 = 6.

2. Carilah FPB dari 24, 36, dan 40.

Jawab:

24 = 2 x 2 x 2 x 3. (faktorisasi)

36 = 2 x 2 x 3 x 3. (faktorisasi)

40 = 2 x 2 x 2 x 5. (faktorisasi)

FPB dari 24, 36, dan 40 = 2 x 2 = 4.

Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

di Sekolah Dasar (SD)

Cara menentukan FPB:

Tuliskan bilangan itu dalam bentuk perkalian faktor prima

(faktorisasi)

Ambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.

Jika faktor yang sama dari setiap bilangan, tetapi banyaknya

berbeda, ambil faktor yang sedikit.

Latihan:

Cari FPB dari:

18, 20, dan 24

32, 48, dan 80

Menentukan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

di Sekolah Dasar (SD)

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

di Sekolah Dasar (SD)

Contoh:

1. Carilah KPK dari 12 dan 18

Jawab:

12 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 (faktorisasi)

18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32 (faktorisasi)

KPK dari 12 dan 18 = 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32 = 4 x 9 = 36

2. Carilah KPK dari 15, 20, dan 30.

Jawab:

15 = 3 x 5 = 3 x 5 (faktorisasi)

20 = 2 x 2 x 5 = 22 x 5 (faktorisasi)

30 = 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5 (faktorisasi)

KPK dari 15, 20, dan 30 = 22 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60

Tentukan KPK dan FPB dari 24, 30, dan 42!

Cara I

24 = 2 x 2 x 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

42 = 2 x 3 x 7

KPK dari 24, 30, dan 42 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7

= 8 x 3 x 5 x 7

= 840

FPB dari 24, 30, dan 42 = 2 x 3 = 6.

Cara II

24 30 42

12 15 21

6 15 21

3 15 21

1 5 7

1 1 7

1 1 1

KPK dari 24, 30, dan 42

= 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7

= 8 x 3 x 5 x 7 = 840

FPB dari 24, 30, dan 42 = 2 x 3 = 6.

2

2

2

3

5

7

Soal:

Ada 3 buah lampu, merah, kuning, dan hijau. Mula-mula ketiga lampu

itu menyala serentak bersamaan. Kemudian, lampu merah menyala setiap

4 detik, lampu kuning menyala setiap 5 detik, dan lampu hijau menyala

setiap 6 detik. Tiap berapa detik ketiga lampu itu menyala bersamaan?

Definisi:

“Bilangan bulat b disebut terbagi oleh bilangan bulat a, jika ada

bilangan bulat x sehingga b=ax, dapat ditulis sebagai a │b untuk “a

membagi b” atau “b terbagi a“.

Catatan: istilah “membagi” dan “terbagi” di sini diartikan “membagi

habis” atau “terbagi habis” sehingga tidak ada sisa (tak bersisa)

Untuk b = ax, maka

a di sebut faktor b, atau pembagi b.

b di sebut juga kelipatan a.

x di sebut hasil bagi (untuk a ≠0)

Keterbagian

Contoh:

4 membagi 24 atau 24 terbagi 4 karena ada bilangan x,

sehingga 24 = 4.x (dimana x = 6, merupakan hasil bagi).

4 tidak membagi 35 karena tidak ada bilangan x,

sehingga 35 = 4.x (tidak ada nilai x yang memenuhi)

Keterbagian

Teorema:

Untuk bilangan bulat sebarang m dan n dengan n>0,

ada bilangan bulat q dan r sehingga: m = qn + r

dengan 0 ≤ r < n.

dimana bilangan r disebut sisa pembagian m oleh n dan

q disebut sisa hasil bagi m oleh n.

Algoritma Pembagian

Istilah pembagi bersama di SD sering disebut faktor persekutuan

Defenisi:

Suatu bilangan bulat a disebut pembagi bersama b dan c, jika a membagi b dan a

membagi c (a│b dan a│c)

Tiap bilangan bulat tak nol hanya memiliki sejumlah terbatas pembagi saja (faktor

saja), sehingga banyaknya pembagi bersama untuk b dan c hanya ada sejumlah

terbatas saja, kecuali untuk kasus b = c = 0.

Bilangan 1 akan membagi tiap bilangan. Maka 1 merupakan pembagi bersama dua

bilangan bulat sembarang a dan b sehingga tiap pasang bilangan bulat akan selalu

memiliki pembagi bersama (faktor persekutuan).

Pembagi Bersama

Tentukan faktor pembagi bersama dari 45 dan 36!

Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;

Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36;

Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9

Pembagi Bersama

Teorema 1 (Teorema Euclidean).

Misalkan m dan n adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat n > 0. Jika m

dibagi dengan n maka terdapat dua buah bilangan bulat unik q (quotient) dan r

(remainder), sedemikian sehingga

m = nq + r, dengan 0 ≤ r < n. ……………(1)

Contoh:

1987 dibagi dengan 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47:

1987 = 97 × 20 + 47

–22 dibagi dengan 3 memberikan hasil bagi –8 dan sisa 2:

–22 = 3(–8) + 2

tetapi –22 = 3(–7) – 1 salah karena r = –1 tidak memenuhi syarat 0 ≤ r < n.

Teorema Euclidean

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Misalkan a dan b bilangan bulat tidak nol.

Pembagi bersama terbesar (FPB – greatest common divisor atau gcd)

dari a dan b adalah bilangan bulat terbesar d sedemikian hingga

d | a dan d | b.

Bila c | a dan c | b, maka d ≥ c

Dalam hal ini kita nyatakan bahwa FPB(a, b) = d.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Penjelasan di atas dapat disajikan sebagai berikut:

Teorema:

Jika (a,b) = d, yaitu d FPB untuk a dan d maka berlaku “d

membagi a” dan “d membagi b”. jika ada c yang membagi a dan

b, maka c ≤ d.

Contoh 1.

Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;

Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36;

Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9

FPB(45, 36) = 9

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Teorema.

Misalkan m dan n bilangan bulat, dengan syarat n > 0 sedemikian

sehingga

m = nq + r , 0 ≤ r < n. maka FPB(m, n) = FPB(n, r)

Contoh 2:

m = 60, n = 18,

60 = 18 3 + 6

maka FPB(60, 18) = FPB(18, 6) = 6

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)