Modul MM 1 - 4

Modul Matematika SMA Kelas X Semester I 1

Modul 1

BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif berlaku : an = a x a x a x x a n faktor an dibaca a pangkat n dengan a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat. Contoh Soal 1.1 : Tulislah tanpa menggunakan notasi pangkat a. 23 = 2x2x2 = 8 b. (3a)2 = 3a x 3a c. 62 + 102 = 6x6 + 10x10 = 136 Sifat sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif Untuk a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, berlaku sifat sifat dibawah ini : am x an = am + n

n

m

aa

= am n, a o dan m > n

(ab)n = an x bn n

ba

= n

n

ba , b o

(am)n = amn Contoh Soal 1.2 : Dengan menggunakan sifat bilangan berpangkat, sederhanakanlah soal soal berikut : a. 34 x 32 = 34+2 = 36 b. 5a2 . a = 5a2+1 = 5a3

Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang

berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Kompetensi Dasar : 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar

dan logaritma. 1.2 Melakukan manipulasi aljabar

dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan logaritma


c. 46

33 = 36 4 = 32

d. 24

pp . p6 = 2

41

pp6 + = 2

5

pp6 = 6p5 2 = 6p3

e. (3x)2 = 32 x2 = 9x2 f. (3a2b)3 = 33 (a2)3 b3 = 27a2x3 b3

g. 2

32

=

94

32

2

2

=

h. (24)3 = 24x3 = 212

2. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif Dan Nol a0 = 1, dengan a 0

a-n = na1 , a 0

n-a1 = an, a 0

Jika a = 0, maka a dan a-n tidak terdefinisi Contoh Soal 1.3 : Sederhanakan dan tulislah tanpa pangkat negatif a. (-2)0 = 1

b. 3-2 = 231 =

91

c. 3101

= 103 = 1000

d. 3x-4 = 3 . 4x1 = 4x

3

e. -p

yx

= p

yx

1

=

p

p

yx1 = p

p

xy =

p

xy

f. (3a-1b)-2 = 3-2 (a-1)-2 b-2 = 231 a2 2b

1

= 22

b1a

91 = 2

2

9ba

g. 2

1-

2

2yx

= ( )

( ) 21-222

y2x

= 22-4

y2x

= 22 2-4

yx

= 2442 yx4

x1.

y4

=


Latihan 1.1

1. Sederhanakan ( )( )1 - 4a3b-2b2b - 2a

xxx x

Jawab :

2. Nyatakan dalam pecahan sederhana 1-1--2 -2

baba

Jawab :

3. Untuk x = -6 dan y = 3 , hitunglah 3 (x-2 y-2)-1

Jawab :

4. Tentukan nilai dari ( )1

1

2

2

2

23:

31.

44.

83

Jawab :

5. Misalkan hambatan total R dari sebuah rangkaian seri paralel dirumuskan dalam

persamaan R = ( 21 R1

R1+ )-1 + R3 dengan R1 = 0,2 dan R2 = 0,04 dan R3 = 0,4 .

Jawab :


6. (2x2)3 x -4 = ........................

Jawab :

7. Jika a = 3 dan b = 2, nilai terbesar diantara perpangkatan berikut adalah ....................

Jawab :

8. 31

212

21

32

1

21

32

a

b:ba.b

a

= .............................

Jawab : 9. (a5 : a6 : a-3)-2 : a-1 = ...........................

Jawab :

10. 4--3

2-

-2 -3

rqp:

rqp = ..............................

Jawab :


11. 675

p11-p

p11

p11

+

+

= ....................................

Jawab :

12. Bentuk 2-nnn2n

3333

+ dapat disederhanakan menjadi ........................

Jawab :

13. Bentuk sederhana ( ) ( )( ) 12

2321

10.3310.5.10.3

= ..................................

Jawab :

14. 11

1-2-

3-

yxyx

= ..

Jawab :

15. Bentuk sederhana 2332

3232

++ adalah ....................

Jawab :


3. Bilangan Berpangkat Pecahan Dan bentuk Akar

a. Bilangan Berpangkat Pecahan

n1

a = n a untuk n 2 dan n bilangan asli

( ) n mmnnm

aaa == dengan m B, n A dan n 2

Contoh Soal 1.1 :

Hitunglah :

21

16 = 4416 2 22 ==

( )252

51

52

323232 =

= = 22 = 4

b. Bentuk Akar

Bentuk akar adalah dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ba ,

dengan a dan b bilangan bulat dan b 0

Contoh : 4, ,32

0, 333 .......................

Sifat sifat bentuk akar

aa 2 =

bxa axb = ; a dan b a

ba

ba= , a 0 dan b > 0

Contoh Soal 1.2 :

a. 662 =

b. 727x 4 7x428 ===

c. 32

94

94

==


Operasi aljabar bentuk akar

ab c a = (b c) a ; b, c, R dan a 0

p a x q a = pq b x a ; p, q, R dan a, b, 0

ba

ba= ; a 0 dan b > 0

( ) ( )baab2ba =+ Contoh Soal 1.3 :

Sederhanakan bentuk akar berikut :

a. 2.42.9818 +=+

= 2223 +

= (3 + 2) 2

= 5 2

b. 6123x24)x3(34x 23 ==

c. 35

155

15==

d. ( ) 262x62261228 =+=

Merasionalkan pecahan b

a ; b > 0

bba

bbx

ba

=

Contoh Soal 1.4 :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut :

a. 552

55x

52

52

== b. 3061

630

66x

65

65

===


Merasionalkan pecahan ba

c

atau ba

c

( )bab-ac

b-ab-ax

bac

bac

2 =

+=

+

( )babac

babax

b-ac

b-ac

2 +

=+

+=

( )b-a

bacbabax

b ac

bac +

=+

+

=

( )b-a

bacbabax

b ac

bac

=

+=

+

Contoh Soal 1.5 :

Rasionalkan penyebut pecahan pecahan berikut :

a. 3-13-1x

312

312

+=

+ b.

3232x

3232

3232

+

+

+=

+

= ( )( )( )3131312+

= 34

332324

+++

= ( )31

312 =

1347+

= ( )31 = 7 + 4 3 = -1 + 3


Latihan 1.2

1. Hitunglah (-27) 31

Jawab :

2. Nyatakan bentuk pangkat pecahan ini ke dalam bentuk akar

( ) ( ) ( )21

21

21

147714852433 +

Jawab :

3. Sederhanakan bentuk akar 3 129

b81a64

Jawab :

4. Sederhanakan bentuk

2

21-

2-1

23

1

ab

cba4

( )33 ba .

Jawab :

5. Diketahui x = 161 , y = 32 dan z = 9, hitunglah x 4

1

, y 52

, z 23

Jawab :


6. Diketahui a = 2 + 3 , b = 2 - 3 dan c = 4 3 . Hitunglah a + 4b 3c.

Jawab :

7. Tentukan nilai dari 1429

3228

+

+

Jawab :

8. Jika a = 3232

+ dan b = 3232

+

, tentukan a b.

Jawab :

9. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 1528+ cm. Tentukan luas permukaan

kubus.

Jawab :

10. Diketahui p = 8 - 122 dan q = 8 + 2 12 . Tentukan nilai q

1p

1+ .

Jawab :


11. 3

321

16

= ............................

Jawab :

12. 41

32

43

9

3816

+ = ......................

Jawab :

13. 6

3 32

= .............................

Jawab :

14. Jika a 0 maka ( ) ( )

( )31

4

323

a16

2aa2

= .............................

Jawab :


15. Jika a = 3131

+

dan b = 3131

+ maka a + b = .................

Jawab :

16. Apabila 35

8

dirasionalkan penyebutnya maka bentuk tersebut menjadi

................ Jawab :

17. Jika a = 2 + 7 dan b = 2 - 7 , maka a2 + b2 4ab = .....................

Jawab :

18. Nilai dari 108482274 + = .............................

Jawab :

19. Bentuk sederhana dari 35

2+

adalah ........................

Jawab :


20. Nilai dari 625

3248

+

+ sama dengan ...............................

Jawab :

21. Bentuk 549+ dapat disederhanakan menjadi ..........................

Jawab :

22. Diketahui nilai p = 216, q = 256 dan r = 27. Nilai p q- r- = .................................

Jawab :

23. Hitunglah

46

32

21

91

Jawab :


24. Diketahui x = 3 dan y = 12, maka

22 xyyx

= ................................

Jawab :

25. Bentuk sederhana dari

++

+

b-abab-aba

adalah ................................

Jawab :

4. Logaritma

Logaritma adalah invers dari perpangkatan

Jika ab = c, maka alog c = b, dengan a > 0, c > 0

a adalah bilangan pokok

b adalah hasil logaritma

c disebut numerus

Contoh Soal 1.1 :

a. Tulislah bilangan berpangkat ini dalam bentuk logaritma.

23 = 8

6 = 6

Jawab :

23 = 8 2log 8 = 3

6 = 6 6log 6 = 21


b. Tulislah ke dalam bentuk bilangan berpangkat : 2log 64 = 6

5log 125

1 = -3

Jawab : 2log 64 = 6 26 = 64

5log 125

1 = -3 5-3 = 125

1

Sifat sifat Logaritma alog 1 = 0 alog xy = alog x + alog y

alog a = 1 alog yx = alog x - alog y

alog an = n alog c = alogclog

g

g

alog xn = n. alog x alog b . blog c = alog c

a alog x = x

Contoh Soal 1.2 :

Sederhanakan 321log-9log

161log3 log 232

131

++

Jawab :

321log-9log

161log3log 232

131

++

= 5-2234-1221

13 2log3log2log3 log ++

= 52421

+++

= 2110

221

=


Latihan 1.3 :

1. Jika xlog b = 5 dan 2xlog c = 5, tentukan nilai bc .

Jawab :

2. Jika 2log n = 3 dan m = 2n, tentukan nilai n m.

Jawab :

3. Jika 5log 2 = b, tunjukkan bahwa 25log 32 = 25 b.

Jawab :

4. Hitunglah nilai dari logaritma 3log321 log27log

161 log

21 3

123 ++ .

Jawab :

5. Tentukan nilai dari 2log8log2log8log

22

2222

Jawab :


6. Sederhanakan 3log 27 + 2. 2log 2 2 - 2log 81 + 64log.3-2log 22

1

.

Jawab :

7. Hitunglah nilai 27 log.811log.2log 233

1

Jawab :

8. Sederhanakan alog6464

Jawab :

9. Hitunglah x jika xlog31log 9log.

23-27log.

31 aaaa =+

Jawab :

10. Hitunglah : 10log

15log100log

1425 ++

Jawab :


11. Bentuk logaritma dari 4 = a adalah .......................

Jawab :

12. Untuk a > 0 dan b > 0, nma blog = ..........................

Jawab :

13. 2log 4 + 2log 12 2log 6 = ............................

Jawab :

14. Jika a = 0,1666 ........., maka alog 36 = .......................

Jawab :

15. alog =

a1 log.

c1log.

b1 cb .........................

Jawab :


16. alog aalogxa a3 = .....................

Jawab :

17. Jika 4log 6 = m + 1, maka 9log 8 = ......................

Jawab :

18. Jika (1/a)log b1 = 2, maka ............................

Jawab :

19. Jika 10log x = b maka 10log 100 = ...........................

Jawab :

20. Jika alog 81- 2 alog 27 + alog 27 + alog 243 = 6 maka a = .....................

Jawab :


21. log ( )15 log

45 log3 log55 ++ = ........................

Jawab :

22. Jika [alog (3x 1)] [ 5log a] = 3, maka x = .....................

Jawab :

23. Jika 2log ,216x 2 = maka xlog 2 = .....................

Jawab :

24. Jika 3log 5 = p dan 5log 4 = q maka 4log 15 = ...................

Jawab :

25. Persamaan xlog 2 + xlog (3x 4) = 2 mempunyai dua penyelesaian x1 dan x2. Nilai

x1 dan x2.

Jawab :


26. Jika 3log a = 2 maka ( ) 31

21

3a

= ............................

Jawab :

27. Diketahui log 5 = 0,6989 dan log 3 = 0,4771 maka nilai log 45 = ......................

Jawab :

28. Diketahui log 1 = 0,000 dan log 2 = 0,301 maka log 0,25 = ...........................

Jawab :

29. Jika log a = 0,112 dan log b = 0,223 maka nilai log ( )b.a 2 = .......................... Jawab :

30. Nilai dari log ba , jika log 2

2

ab = 16 adalah .........................

Jawab :


Modul 2

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

ax2 + bx c = 0 dengan a,b,c R dan a 0

2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus kuadrat

Contoh Soal 2.1 :

Tentukan HP persamaan kuadrat dengan memfaktorkan :

x2 5x + 6 = 0

Jawab :

x2 5x + 6 = 0

(x 3) (x 2) = 0

x 3 = 0 atau x 2 = 0

x = 3 x = 2

jadi HP = {2,3}

Tentukan HP persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

x2 4x 3 = 0

Jawab :

x2 4x 3 = 0

Standar Kompetensi : 2. Memecahkan masalah yang

berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.

Kompetensi Dasar : 2.1 Memahami konsep fungsi 2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana

dan fungsi kuadrat 2.3 Menggunakan sifat dan aturan tentang

persamaan dan pertidaksamaan kuadrat. 2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam

perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.

2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat

2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya


x2 4x = 3

x2 4x + 4 = 4 + 3

(x 2)2 = 7

x 2 = 7

x = 2 + 7 atau x = 2 - 7

jadi, HP = { 2 - 7 , 2 + 7 }

Tentukan HP persamaan kuadrat dengan rumus kuadrat

2x2 5x + 3 = 0

Jawab :

2x2 5x + 3 = 0

a = 2 b = -5 c = 3

x1,2 = a2ac4b b- 2

= 2.2

3.2.4255

= 4

15

= 4

15

x1 = 23

415=

+ atau x2 = 4

15 = 1

jadi, HP = {1, 23 }

3. Jenis Akar Akar Persamaan Kuadrat

Untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan diskriminan D = b2 4ac, maka :

D > 0 maka persamaan kuadrat memiliki dua akar real berlainan

D = 0 maka persamaan kuadrat memiliki satu akar real (kembar)

D < 0 maka persamaan kuadrat tidak memiliki satu akar real (imajiner)


Contoh Soal 2.2 :

Tanpa menyelesaikan persamaan kuadrat, tentukan jenis jenis akarnya.

a. x2 2x 3 = 0

Jawab : x2 2x 3 = 0, a = 1, b = -2, c = -3

D = b2 4ac = (-2)2 4 (1) (-3) = 16 > 0 maka persamaan kuadrat

mempunyai dua akar real yang berbeda.

b. x (x + 3) = - 4

c. Jawab : x (x + 3) = - 4

x2 + 3x + 4 = 0, a = 1, b = 3, c = 4

D = b2 4ac = (3)2 4 (1) (4) = -7 < 0 maka persamaan kuadrat tidak

mempunyai akar real.

4. Rumus Jumlah dan Hasil Akar Akar Persamaan Kuadrat

Untuk PK ax2 + bx + c = 0, a 0 maka :

Jumlah akar akar PK : x1 + x2 = ab-

Hasil kali akar akar PK : x1 x2 = ac

Selisih akar akar PK : x1 x2 = aD atau (x1 x2)2 = 2a

D

Bentuk simetri akar akar PK :

21 x1

x1+ =

21

21

xx x x + ( )221

22

21

22

21 xx

xxx1

x1 +

=+

( )( ) 21221212221 xx2xxxxxx +=+ ( )221

22

21

22

21 xx

xxx1

x1 +

=+

( )( )21212221 xxxxxx +=

( ) ( ) 21221221 xx4xxxx +=

( ) ( )21213213231 xxxx3xxxx +=+

21

22

21

1

2

2

1

xxxx

xx

xx +

=+


Contoh Soal 2.3

Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan 2x2 + 10x + 5 = 0, tentukan nilai dari :

a. 21 x

1x1+

b. 2221 xx +

c. ( )221 xx Jawab :

2x2 + 10x + 5 = 0 ; a = 2, b = 10, c = 5

x1 + x2 = =

=

210

ab -5

x1 . x2 = 25

ac=

22

55

xxxx

x1

x1

21

21

21

=

=+

=+

( ) ( ) 202525xx2xxxx 221

221

22

21 =

=+=+

( ) ( ) ( ) 152545xx4xxxx 221

221

221 =

=+=

Contoh Soal 2.4. :

Salah satu akar persamaan x2 + 6x + (m + 2) = 0 dua kali akar yang lainnya.

Tentukan m dan akar akar tersebut.

Jawab :

Misalkan akar akarnya x1 dan x2 maka :

x1 + x2 = 616

ab-

=

=

Karena akar yang satu dua kali akar lainnya yaitu :

x1 = 2x2 maka 2x2 + x2 = -6

3x2 = -6

x2 = -2

x1 = -4


x1 . x2 = ( )

12m

ac +=

-4 . -2 = m + 2

8 = m + 2

m = 6

Jadi m = 6 dan akar akarnya x1 = -4 dan x2 = -2

5. Menyusun Persamaan Kuadrat Yang Diketahui Akar Akarnya.

Perkalian Faktor : (x x1) (x x2) = 0

Rumus jumlah dan hasil kali : x2 (x1 + x2) x + x1x2 = 0

Contoh Soal 2.5. :

a. Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya -2 dan 3 dengan

memfaktorkan dan rumus jumlah dan hasil kali.

Jawab :

Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3

Perkalian faktor : (x x1) (x x2) = 0

( x + 2) ( x 3) = 0

x2 x 6 = 0

Rumus jumlah dan hasil kali : x2 (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 (-2 + 3) x + -2.3 = 0

x2 x 6 = 0

b. Persamaan kuadrat 2x2 8x 10 = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2.

Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 2x1 dan 2x2.

Jawab :

Misal akar akar persamaannya dan maka :

= 2x1 dan = 2x2

+ = 2x1 + 2x2 = 2 (x1 + x2) =

282 = 8

. = 2x1 . 2x2 = 4x1x2 = 4 . 210 = -20

Jadi x2 ( + ) x + = 0 x2 8x 20 = 0


Latihan 2.1 :

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat berikut dengan memfaktorkan.

a. x2 + 4x + 3 = 0

Jawab :

b. 2x2 5x = 0

Jawab :

c. 2m41 - 25 = 0

Jawab :

d. x2 5 = 0

Jawab :

2. Tentukan HP persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat sempurna.

a. 9x2 24x + 12 = 0

Jawab :


b. 3x2 2x 3 = 0

Jawab :

3. Tentukan HP persamaan kuadrat x2 + 2 2 x 3 = 0 dengan menggunakan rumus

kuadrat.

Jawab :

4. Tentukan k agar k x2 6x + k = 0 mempunyai akar akar real dan berbeda.

Jawab :

5. Persamaan (m 1) x2 + 2mx + (3m 2) = 0 mempunyai akar kembar. Hitunglah

nilai m dan tentukan akarnya.

Jawab :

6. Tentukan nilai a sehingga a = 1x2x3xx

2

2

+++ mempunyai akar akar yang real.

Jawab :


7. Akar akar persamaan kuadrat 4x2 4x -3 = 0 adalah dan . Tentukan nilai dari

11

11

++

+ .

Jawab :

8. Salah satu akar persamaan kuadrat mx2 + (2m + 1) x + (4m 6) = 0 kebalikan dari

akar yang lain (akar akarnya berkebalikan). Tentukan nilai m dan akar akar

tersebut.

Jawab :

9. Akar akar persamaan kuadrat (m 1)x2 (2m 3) x m + 1 = 0 saling

berlawanan, tentukan nilai m dan akar akar tersebut.

Jawab :

10. Diketahui x2 + (m + 2) x + 6m = 0 dengan akar akar dan , jika 2 + 2 = 13.

Tentukan nilai m, dan akar akar tersebut.

Jawab :


11. Jika salah satu akar persamaan kuadrat x2 (m 1) x + (2m 7) = 0 adalah dua

lebihnya dari akar yang lainnya. Tentukan nilai m dan akar akar tersebut.

Jawab :

12. Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 2 + 3 dan 2 - 3 .

Jawab :

13. Persamaan kuadrat x2 2x 15 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Tentukan

persamaan kuadrat yang akar akarnya 3x1 2 dan 3x2 2.

Jawab :

14. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan kuadrat 2x2 5x 12 = 0, tentukan

21

222

1

xx

xx

+

Jawab :

15. Jika x1 dan x2 adalah akar akar persamaan kuadrat (a 1) x2 (a + 1) x + 2 = 0

dan 2x1 + x2 = 0 tentukan nilai a.

Jawab :


16. Dibawah ini yang merupakan akar persamaan kuadrat 2x2 3x 5 = 0 adalah .........

Jawab :

17. Persamaan kuadrat x2 12 = 0 mempunyai akar x1 dan x2 dengan x1 < x2. Nilai dari

4x1 + x2 = ..................

Jawab :

18. Dengan melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, persamaan kuadrat 2x2 + 6x + 4

= 0 dapat diubah menjadi (x + p)2 = q maka nilai p + q = .........................

Jawab :

19. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat 2x2 9x c = 0 adalah 121, maka nilai c = ..

Jawab :

20. Akar akar persamaan x2 + px -21 q2 = 0 adalah p dan q, p dan 2q = 6 dan p 0.

Nilai p q = ..............

Jawab :


21. Persamaan (m 1)x2 + 4x + 2m = 0 mempunyai akar akar real, maka nilai m

adalah.

Jawab :

22. Persamaan (2m 4)x2 + 5x + 2 = 0 mempunyai akar akar real berkebalikan, maka

nilai m = ..................

Jawab :

23. Akar akar persamaan kuadrat 2x2 3x 1 = 0 adalah dan persamaan kuadrat

baru yang akar akarnya (2 1) dan (2 1) adalah .................

Jawab :

24. Akar akar persamaan x2 4x + 6 = 0 adalah x1 dan x2 nilai =+ 2221 xx ..............

Jawab :

25. Persamaan 2x2 + qx + (q 1) = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 jika 4xx 2221 =+ ,

maka nilai q = ................

Jawab :


26. Selisih kuadrat akar akar persamaan 2x2 6x + 2k + 1 = 0 adalah 6. Nilai k adalah

Jawab :

27. Jika akar akar persamaan x2 + 5x + a = 0 dua kali akar akar persamaan 2x2 + bx

3 = 0 maka nilai a + b = ................

Jawab :

28. Persamaan kuadrat 3x2 ax + b = 0 mempunyai akar akar x1 dan x2 dengan x1 0

dan x2 0. Persamaan kuadrat yang akar akarnya 21 x

1danx1 adalah ...............

Jawab :

29. Jika persamaan 3x6x

2x4xt2

2

++++= mempunyai dua akar yang sama untuk t = a dan t =

b, maka a + b = ................

Jawab :

30. Jika x1 dan x2 akar persamaan kuadrat x2 (5 a) x 5 = 0 dan x1 x2 = 2 6 maka

nilai a sama dengan.

Jawab :


31. Jika jumlah kuadrat akar akar persamaan x2 3x + n = 0 sama dengan jumlah

pangkat tiga akar akar persamaan x2 + x n = 0 maka nilai n adalah ..................

Jawab :

32. Jika dan merupakan akar akar persamaan x2 + bx 2 = 0 dan

=

21

2

maka nilai b = ...............

Jawab :

33. Akar akar persamaan kuadrat x2 x + 2 7 = 0 adalah x1 dan x2 jika 2x1 x2 =

7, maka nilai adalah ..................

Jawab :

34. Persamaan kuadrat x2 2ax + a + 2 = 0 bila akar akarnya tidak sama tandanya

maka penyelesaiannya adalah .................

Jawab :

35. Persamaan (3m 2) x2 (m 2) x + (1 m) = 0 mempunyai akar akar yang

berlawanan, maka nilai m adalah .................

Jawab :


B. Fungsi Kuadrat

1. Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi f pada R yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c

dengan a, b, c R dan a 0.

Langkah langkah membuat grafik fungsi kuadrat :

- Memperhatikan sifat membuka parabola.

Jika a > 0 parabola terbuka keatas

Jika a < 0 parabola terbuka kebawah

- Memotong sumbu x, jika y = 0

D > 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu x didua titik yaitu dititik (x1,

0) dan (x2, 0).

D = 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c memotong sumbu x disatu titik yaitu dititik (x,

0).

D < 0, grafik f(x) = ax2 + bx + c tidak memotong sumbu x .

a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0 (definit

positif)


a < 0 dan D > 0 a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0 (definit

negatif)

- Memotong sumbu y, jika x = 0

- Sumbu simetri : x = 2ab-

- Menentukan titik Ekstrem (2ab- ,

4a-D ) jika a > 0 maka (

2ab- ,

4a-D ) disebut titik

balik minimum a < 0 maka (2ab- ,

4a-D ) disebut titik balik maksimum

Contoh Soal 2.1 :

Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) = x2 2x 3

Jawab :

f(x) = x2 2x 3 berarti a = 1, b = -2, dan c = -3, karena a = 1 > 0

parabola membuka keatas dan mempunyai nilai minimum.

D = b2 4ac = (-2)2 4(1) (-3) = 16 > 0 parabola memotong sumbu x

didua titik yang berbeda.

Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y = 0

x2 2x 3 = 0

(x 3) (x + 1) = 0

x = 3 atau x = -1

jadi, grafik tersebut memotong sumbu x di (-1, 0) dan (3, 0).

Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika x = 0

y = 02 2 (0) 3 = -3

jadi, grafik tersebut memotong simetri sumbu y di (0, -3)

Persamaan sumbu simetri x = ( )122

2ab-= = 1

Titik puncak

4aD,

2ab

( ) ( )( )( ) 414

31424a

ac4b4aD-y

22

=

=

==

Jadi, koordinat titik puncaknya (1, -4)


Contoh Soal 2.2 :

Tentukan f(x) = x2 3x + 4 definit positif atau negatif

Jawab :

f(x) = x2 3x + 4, a = 1 > 0, b = -3, dan c = 4

D = b2 4ac = (-3)2 4(1) (4) = -7 < 0

Jadi, x2 3x + 4 adalah definit positif

Contoh Soal 2.3 :

Tentukan nilai k agar x2 + 4x + 2k definit positif.

Jawab :

Syarat agar definit positif a > 0 dan D < 0

b2 4ac < 0

42 4(1) (2k) < 0

16 8k < 0

-8k < -16

k > 2


Modul 3

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN

KUADRAT

Ringkasan Materi Pokok

A. Sistem Persamaan Linear dan Linear

Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat

Dua variable (peubah)

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2 dengan a1, a2, b1, b2, C1, C2 bilangan riil Tiga variable (peubah)

a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 bilangan

riil

Cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dan Linear

Subtitusi Eliminasi Gabungan eliminasi dan subtitusi

Standar Kompetensi : 3.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel

Kompetensi Dasar : 3.1 Menyelesaikan sistem persamaan linear dan

sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua variabel

3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear

3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya.

3.4 Menyelesaikan pertidaksamaan satu variabel yang melibatkan bentuk pecahan aljabar


Contoh soal :

Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode eliminasi.

2x - 3y = 1

2x + 6y = 10

Jawab :

Dengan menghilangkan variable x maka diperoleh nilai y

2x - 3y = 1

2x + 6y = 10

-9y = -9

Y = 1

Dengan menghilangkan variable y maka diperoleh nilai x

2x - 3y = 1 x 2 4x 6y = 2

2x + 6y = 10 x 1 2x + 6y = 10

6x = 12 , x = 2

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah { (2,1) }

eliminasi x pada persamaan (1) dan (2)

x - y = 2 | x . | . x - . y =

2x + y = 7 | x . | .x + . y =

..y = .

y =

B. Penerapan Persamaan Linear Merumuskan model matematika berbentuk sistem persamaan linear

Contoh soal :

Sebuah bilangan terdiri dari dua angka, penjumlahan empat kali angka puluhan dan

angka satuannya adlah 17, sedangkan selisihnya adalah -2. Tentukanlah bilangan itu.

Jawab :

Misalkan bilangan puluhan = x

Satuan = y

Model matematikanya adalah :

4x + y = 17


x y = -2

Elliminasi y maka di dpat nilai x

4x + y = 17

x y = -2

5x = 15

x = 3

untuk x = 3, substitusikan pada salah satu persamaan , maka :

x y = -2

3 y = -2

y = 5, Jadi bilangan itu adalah 35


Latihan 3.1 :

1. Diketahui sistem persamaan 2x 4y = 4

3x 6y = 6

Hitunglah nilai x + y.

Jawab :

2. Selesaikan sistem persamaan y6

x5+ = 12

y9

x3+ = 9

Jawab :

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 6

1y3

2-x ++ = 2

21-y2

43x+

+ = 1

Jawab :

4. Hitunglah nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2 2x 3y = 128

1

2x + y = 5

Jawab :


5. Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan 3 log x + 2 log y = 7

5 log x + 4 log y =

13

Jawab :

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan : 2x 3y + z = 7

x + 2y z = -3

3x 2y + 2z = 9

Jawab :

7. Tentukan a + b + c + d jika diketahui :

a + 3b + 2d = 6160

6a + 2b = 7680

6c + 3d = 8820

Jawab :

8. Selesaikan sistem persamaan : 2y

3x+ - z = 7

2z

2y3

4x

+ = -6

3z

4y

6x

= 1

Jawab :


9. Selesaikan SPL : x + y = 5

y + z = 7

x + z = 6

Jawab :

10. Seorang tukang kebun akan memagari kebunnya yang berbentuk persegi panjang.

Keliling kebun tersebut 252 m. Jika panjangnya ditambah 18 m dan lebarnya

dikurang 12 m luasnya menjadi menjadi 18 m2 kurangnya dari luas semula.

Tentukan ukuran kebun tersebut.

Jawab :

11. Fungsi permintaan akan suatu barang ditentukan oleh persamaan P = 18 Q.

Sedangkan fungsi penawarannya 3P Q 6 = 0. Tentukan jumlah harga dan jumlah

barang pada titik keseimbangan pasar.

Jawab :

12. Pada hari libur, Ahmad, Ari dan Andi pergi berbelanja ke swalayan, Ahmad

membayar Rp. 59.000,- untuk 3 satuan barang I dan 2 satuan barang II, sedangkan

Ari harus membayar Rp. 82.000,- untuk 2 satuan barang I dan 4 satuan barang II.

Tentukan uang yang harus dibayar oleh Andi jika mengambil 2 satuan barang I dan

2 satuan barang II.

Jawab :


13. Parabola y = ax2 + bx + c melalui titik titik (0, -2), (1, 3) dan (2, 0). Tentukanlah s,

b dan c dan tuliskanlah persamaan parabola itu.

Jawab :

14. Jumlah tiga bilangan 36. Bilangan pertama dikurang 4 sama dengan jumlah bilangan

kedua dan ketiga, sedangkan bilangan kedua dibanding bilangan ketiga sama dengan

1 : 3. Tentukan bilangan bilangan itu.

Jawab :

15. Diketahui sistem persamaan : 4x 2y + 1 = 82x y

3x + y + 1 = 92x y 4

Jawab :

16. Diketahui nilai x dan y memenuhi sistem persamaan : 5x 4y = 6

3x 4y = 2

Maka nilai x + y = ..........

Jawab :


17. Jika x + y merupakan penyelesaian dari sistem persamaan : y1

x2+ = 7

y3

x3 = -3

Maka nilai x 3y adalah .........................

Jawab :

18. Diketahui sistem persamaan linier x + y + 1 = 6 (x y)

yx4y-x

++ = 1

Untuk x 0 dan y 0, nilai yx

1+

= ...............

Jawab :

19. Himpunan penyelesaian sistem persamaan ax + 2y = -b

ax y = 2b

adalah {(-2, -3)}. Nilai a + b = ..................

Jawab :

20. Garis ax y = 3 dan x + 2y = b berpotngan di (2, 1) jika ..................................

Jawab :


21. Garis yang melalui titik titik A (3, 1) dan B (9, 3) dan garis yang melalui titik

titik C (6, 0) dan D (0, 2) akan berpotongan pada titik ..........................

Jawab :

22. Sepuluh tahun yang lalu umur A dua kali umur B, lima tahun kemudiannya umur A

menjadi 211 kali umur B. Sekarang umur A adalah .......................

Jawab :

23. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2 dan penyebutnya ditambah 1 akan

diperoleh hasil bagi sama dengan 53

. Pecahan dimaksud adalah .......................

Jawab :

24. Himpunan penyelesaian sistem persamaan y

14x9 = 10

y2

x6 = 1 adalah {(x0, y0)}

Jawab :


25. Jika 3x - 2y = 811 dan 2x y 16 = 0 maka nilai x + y = .........................

Jawab :

26. Himpunan penyelesaian x + y z = 24

2x y + 2z = 4

x + 2y 3z = 36

adalah {(x, y, z)}. Nilai x : y : z = ....................

Jawab :

27. Jika x0, y0, z0 adalah penyelesaian sistem persamaan : 3x + z = 10

y 3z = -1

x + y = 5

maka nilai x0 + y0 + z0 = ...........................

Jawab :

28. Penyelesaian dari sistem persamaan 3x 2y + z = 2

2y + 3z = 13

2x = 2

Adalah x0, y0 dan z0. Nilai 02zy0x0+ = ..........................

Jawab :


29. Diketahui yx21

+ = 8

zx31

+ = 14

zy21

+ = 11

Nilai x + y + z = ..........................

Jawab :

30. Persamaan parabola yang melalui titik (0, -2), (2, 1) dan (-2, 0) adalah .....................

Jawab :

31. Dalam suatu segitiga, sudut terbesarnya adalah 1200 lebih besar dari pada sudut

terkecilnya dan dua kali dari sudut sisanya. Ukuran sudut terbesar tersebut adalah ....

Jawab :

32. Sebuah bilangan terdiri dari tiga angka. Jumlah dua kali angka ratusan dan tiga kali

angka satuan adalah 12. Selisih empat kali angka ratusan dan tiga kali angka

puluhan adalah 9 dan jumlah lima kali angka puluhan dan empat kali angka satuan

adalah 13. Bilangan itu adalah .......................

Jawab :


33. Dari dua toko serba ada yang masih termasuk dalam satu perusahaan diperoleh data

penjualan daging dan ikan dalam satu minggu seperti tercantum pada tabel berikut :

Daging (kg) Ikan (kg) Hasil Penjualan Total (dalam ribuan rupiah) Toko A 80 20 2960

Toko B 70 40 3040

Maka harga ikan/kg pada kedua toko tersebut adalah ..............................

Jawab :

34. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : log x2 log y = 3

log 32 ylogx1+ = -1

Nilai x, y = ..................

Jawab :

35. Nilai x + z dari sistem persamaan :

2z2

y2

x1

=+

z1

y1

x1

++ = 6

z2

y1

x3

+ = 8

Adalah .........................

Jawab :


C. Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat.

y = ax + b

y = px2 + qx + r

dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan bilangan riil.

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear dan Kuadrat.

Dengan Grafik Menggambar grafik fungsi linear y = ax + b dan fungsi kuadrat y = px2 + qx + r

pada satu sumbu koordinat.

Penyelesaian sistem persamaan merupakan titik potong garis dan kurva.

Substitusi Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) kemudian selesaikan aljabarnya.

Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan ditentukan oleh Diskriminan :

D = (b p)2 4a (c q).

D > 0 ; dua penyelesaian (garis memotong parabola pada dua titik)

D = 0 ; satu penyelesaian (garis menyinggung parabola)

D < 0 ; tidak memiliki penyelesaian

Contoh Soal 3.1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

y = x2 2x + 4

y = 3x 2

Jawab :

Substitusikan persamaan (1) pada persamaan (2)

x2 2x + 4 = 3x - 2

x2 2x + 4 - 3x + 2 = 0

x2 5x + 6 = 0

(x 3) (x 2) = 0

x 3 = 0 atau x 2 = 0

x = 3 atau x = 2

Untuk x = 3, maka y = 3(3) 2 = 7

x = 2, maka y = 3(2) 2 = 4


Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 7), (2, 4)}

D. Sistem Persamaan Kuadrat Dan Kuadrat

Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat

y = ax + b

y = px2 + qx + r dengan a, b, c, p, q dan r R

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Kuadrat.

Dengan grafik Penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah titik potong kedua parabola.

Substitusi Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) kemudian selesaikan aljabarnya.

Banyaknya penyelesaian dari sistem persamaan ditentukan oleh Diskriminan :

D = (b q)2 4 (a p) (c r)

D > 0 ; dua penyelesaian

D = 0 ; satu penyelesaian

D < 0 ; tidak memiliki penyelesaian

Contoh Soal 3.1 :

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan :

y = -8 + 6x x2 dan y = x2 4x

Jawab :

y = -x2 + 6x 8 ....................... (1)

y = x2 4x ....................... (2)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) :

-x2 + 6x 8 = x2 4x

2x2 10x + 8 = 0

x2 5x + 4 = 0

(x 4) (x 1) = 0

x 4 = 0 atau x 1 = 0


x = 4 atau x = 1

Untuk x = 4, maka y = (4)2 4(4) = 0

x = 1, maka y = (1)2 4(1) = -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(4, 0), (1, -3)}

Latihan 3.2 :

1. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan y = 6 + x x2 dan y = x2 3x +

8

Jawab :

2. Selisih dua buah bilangan positif adalah 3 dan jumlah kuadratnya adalah 65.

Tentukan bilangan bilangan itu.

Jawab :

3. Diketahui sistem persamaan y = -x2 + 3x + p

y = x + 2

Tentukan nilai p agar sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian, kemudian

tentukan penyelesaiannya.

Jawab :


4. Keliling sebuah persegi panjang adalah 24 cm. Jika sisi yang satu merupakan

kuadrat dari sisi lainnya, tentukan luas persegi panjangnya.

Jawab :

5. Sebuah persegi panjang memiliki diagonal 892 cm dan keliling 52 cm. Tentukan

panjang dan lebar persegi panjang tersebut.

Jawab :

6. Jumlah buku A sama dengan kuadrat dari jumlah buku B. Jika jumlah buku A

dikurangi dua maka hasilnya sama dengan delapan kali buku B dikurangi 17.

Tentukan jumlah buku masing masing yang dimiliki A dan B.

Jawab :

7. Tentukan penyelesaian sistem persamaan : y = 3x2 x 1

y = 2x2 + 5x 10

Jawab :


8. Diketahui sistem persamaan : y = px2 + 3x 2

y = 3px2 x + 2

Tentukan nilai p agar sistem persamaan mempunyai satu solusi dan tentukan

solusinya.

Jawab :

9. Tentukan batas nilai c agar sistem persamaan berikut mempunyai solusi.

y = 2x2 x - 2c .................. (1)

y = x2 + x + c .................. (2)

Jawab :

10. Kuadrat suatu bilangan adalah 11 kurangnya dari dua kali kuadrat bilangan lainnya.

Jumlah kuadrat bilangan itu adalah 16. Tentukan bilangan bilangan tersebut.

Jawab :

11. Himpunan penyelesaian yang memenuhi x2 + 4y2 = 4 dan x y = 1 adalah ...............

Jawab :


12. Diketahui sistem persamaan y = x2 + 2x 1 dan y = kx 1, jika sistem persamaan

mempunyai satu solusi, maka harga k = ...........

Jawab :

13. Titik potong parabola y = x2 + x 6 dan parabola y = x2 2x 3 adalah .................

Jawab :

14. Syarat agar grafik fungsi linear f(x) = mx 2 menyinggung grafik fungsi kuadrat

g(x) = 4x2 + x 1 adalah ............

Jawab :

15. Nilai p agar sistem persamaan y = px 4

y = x2 px + 5

mempunyai satu solusi adalah ....................

Jawab :

16. Jika absis titik potong parabola y = x2 + mx + 6 dan y = x2 + x 12 adalah 3, nilai m

sama dengan ..................

Jawab :


17. Misal a dan b adalah nilai x dan y yang bulat yang memenuhi : 2x y = -3

3x2 5xy + 2y2 = 10

Dengan demikian a + b = ..................

Jawab :

18. Batasan nilai p agar sistem persamaan y = mx2 + 6x 3 dan y = 2mx m

mempunyai dua solusi yang nyata dan berbeda adalah ..................

Jawab :

19. Saat ini jumlah usia seorang anak dan Ayahnya adalah 78 tahun jika 20 tahun yang

lalu jumlah usia Ayahnya dan kuadrat dari usia anaknya 50 tahun, maka usia

Ayahnya saat ini adalah ................

Jawab :

20. Penyelesaian sistem persamaan y = x2 + 3x 4

y = -x2 + 3x + 4

adalah ......................

Jawab :


21. Jumlah kuadrat dua buah bilangan adalah 52 dan selisih kuadratnya 20 maka kedua

bilangan itu adalah ....................

Jawab :

22. Hipotenusa (sisi miring) dari sebuah segitiga siku siku adalah 41 cm dan luasnya

adalah 180 cm2, maka panjang sisi sisi lainnya adalah ................

Jawab :

23. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan y = 2x2 + 3x + 1

y = x + 1

adalah x1 dan x2 . Nilai x1 dan x2 = ..................

Jawab :

24. Keliling suatu persegi panjang 32 cm. Jika panjang dan lebar masing masing

bertambah 2 cm, maka luasnya akan menjadi 99 cm2, maka ukuran persegi panjang

itu adalah ................

Jawab :

25. Agar sistem persamaan x2 + y2 = 25 dan 3y = p 4x tidak memiliki penyelesaian

maka nilai p adalah ......................

Jawab :


Modul 4

PERTIDAKSAMAAN

Ringkasan Materi Pokok

A. Pengertian Pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan

( atau ) dan mengandung variable.

Bentuk umum Pertidaksamaan Kuadrat :

ax + bx + c > 0

ax + bx + c < 0

ax + bx + c > 0

ax + bx + c < 0

penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis

bilangan.

Menyelesaikan pertidaksamaan Linear

Contoh Soal :

Tentukan himpunan penyelsaian pertidaksamaan berikut jika x R.

2(2x -1) < 4 2x

Standar Kompetensi : 4.1 Memecahkan masalah yang berkaitan

dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel

Kompetensi Dasar : 4.1 Merancang model matematika dari masalah

yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel.

4.2 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan pertidaksamaan satu variabel dan penafsirannya.


Jawab :

2(2x -1) < 4 2x

4x 2 < 4 2x

4x 2 + 2 < 4 2x + 2

4x < 6 2x

4x + 2x < 6 2x + 2x

6x < 6

x < 1

Jadi, Hp = { x | x < 1, x R }

-2 -1 0 1 2

B. Penggunaan Diskriminan Persamaan Kuadrat

Sifat-sifat persamaan kuadrat :

Mempunyai dua akar positif (x1 > 0 dan x2 > 0) Syarat :

D > 0

x1 + x2 > 0

x1 . x2 > 0

Mempunyai dua akar negative (x1 < 0 dan x2 < 0) Syarat :

D > 0

x1 + x2 < 0

x1 . x2 < 0

Mempunyai dua akar berbeda tanda ((x1 > 0 dan x2 < 0) atau (x1 < 0 dan x2 > 0)

Syarat :

D > 0

x1 . x2 < 0


Mempunyai dua akar berlawanan (x2 = -x1) Syarat :

D > 0

x1 + x2 = 0 atau b = 0

Mempunyai dua akar berkebalikan (. x2 = ) Syarat :

D > 0

x1 . x2 = 0 atau c = 0

Contoh soal :

Tentukan nilai m supaya persamaan kuadrat x2 + (m-2)x + 2(m-2) = 0, mempunyai

dua akar.

Jawab :

x2 + (m-2)x + 2(m-2) = 0

Supaya terdapat dua akar haruslah :

D = b2 4ac > 0

(m-2)2 4.1.2(m-2) > 0

M2 4m + 4 8m + 16 > 0

M2 12m + 20 > 0

(m-2) (m-10) > 0

M < 2 atau m > 10


Lembar Kerja

Jawablah pertanyaan-perntanyaan berikut dengan singkat dan benar

1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2x + 4 < x 1

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan -2 < 4x + 1 < 2

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

3. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x 1 < 2x + 2 < 5

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


4. Tentukan penyelesaian dari 2x2 x 6 < 0

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

5. Tentukan penyelesaian dari (x-1)2 > 4x2

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

6. Tentukan penyelesaian dari 8x - x2 < x2 + 6

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

7. Tentukan nilai m supaya akar persamaan kuadrat dibawah ini nyata.

(m-1)x2 2x (3m + 1) = 0

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


8. Misalkan pada suatu hari suhu di Brastagi berkisar antara 100 c sampai 200 c,

tentukan kisaran suhu tersebut dalam skala Fahrenheit jika rumus konversi

Celcius ke Fahrenheit yaitu C = (F 32)

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

9. Pertidaksamaan 6x < 2x 8 dipenuhi oleh .....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

10. Pertidaksamaan 4x 5 < 8x 1 dipenuhi oleh .....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x2 < 16 adalah .....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


12. Daerah yang diarsir pada garis bilangan dibawah ini dapat dinyatakan dengan ...

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

13. Pertidaksamaan 2x < 8 dan 4x > 8 senilai dengan ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

14. Jika -2x + 6 < x + 3 < 2x 6 maka ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

15. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x2 + x 15 > 0 untuk x R adalah ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


16. Jika A = { x | x2 2x < 0, x R} dan B = { x | x2 6x > 0, x R, maka A B =

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3x2 + 2x 1 < 0 dan 2x2 + x 3 < 0

adalah ........

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

18. Agar persamaan kuadrat x2 + (2m + 1) x + 9 = 0 mempunyai dua akar real yang

berbeda, nilai m yang memenuhi adalah ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

19. Bila akar-akar persamaan kuadrat x2 2ax + a + 2 = 0 tidak sama tandanya,

maka .....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

______________________________________________________________


20. Supaya persamaan x2 + ax + a = 0 mempunyai dua akar berlainan, harga a harus

memenuhi ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

21. Nilai terbesar x agar x - > + adalah ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

22. Jika persamaan x2 ax + 4 = 0, akar-akarnya tidak real, maka harga a yang bulat

membentuk himpunan .........

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

23. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2(x-1)2 < (4x 3)x 4 adalah ......

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


24. Agar pertidaksamaan 4x2 + 9x + a2 > 9 dipenuhi oleh semua nilai real x, maka :..

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

25. Jika dalam persamaan cx2 bx - c = 0 diketahui c > 0, maka kedua akar

persamaan ini.

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

26. Agar (3m + 1) x2 4 (m + 1) x + m > -4 untuk setiap x real, maka haruslah .....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

27. Suatu perusahaan memproduksi pensil 2B computer, diperkirakan bahwa untuk

harga pensil tersebut adalah x per batang, rumus biaya setiap hari C dan

pendapatan R, ditentukan dengan rumus : C = 400.000 300x ; R = 1000x - x2

maka keuntungan akan diperoleh jika harga pensil antara ....

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________


28. Himpunan semua nilai x yang memenuhi 2 + x - x2 > 0 dan 3x - x2 < 0 adalah ...

Jawab :

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

C. Pertidaksamaan Pecahan Bentuk Umum Pertidaksamaan Pecahan :

( )( )xgxf 0, g(x) 0 ( )( )xg

xf > 0, g(x) 0

( )( )xgxf 0, g(x) 0 ( )( )xg

xf < 0, g(x) 0

Cara menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :

( )( )xgxf > 0, maka f(x) . g(x) > 0 dengan g(x) 0

( )( )xgxf < 0, maka f(x) . g(x) < 0 dengan g(x) 0

Contoh Soal 4.1 :

1. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 172

+

xx 1 ; x 1

Jawab :

172

+

xx 1

172

+

xx - 1 0

172

+

xx - ( )

11

=

xx 0

1172

++

xxx

0


18

+

xx

0

(x + 8) (x 1) 0

x = -8, x = 1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah -8 x < 1

2. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 78

32 +

xx

x > 0

Jawab :

783

2 +

xxx > 0

( )( )713

xx

x > 0

(x 3) (x 1) (x 7) > 0

x = 3, x = 1, x = 7

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x < 3 atau x > 7

D. Pertidaksamaan Irrasional Pertidaksamaan bentuk akar disebut pertidaksamaan irrasional.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan irrasional.

Setiap bilangan dibawah tanda akar haruslah positif atau sama dengan nol.

Kedua ruas kuadratkan.

Contoh Soal 4.1 :

1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 12 x < 3

Jawab :

12 x < 3 (dikuadratkan)

2x 1 < 9

2x < 10

x < 5

syarat yang harus dipenuhi :

2x 1 0

2x 1


x 21

Maka penyelesaian yang memenuhi adalah irisan dari x < 5 dan x 21

E. Pertidaksamaan Harga Mutlak Harga mutlak dari x ditulis x didefinisikan : Jika x R maka x = x, jika x 0 -x, jika x < 0 Sifat sifat harga mutlak. Untuk x R, a R dan a > 0 berlaku ; x < a maka a < x < a x a maka a x a x > a maka x < -a atau x > a x a maka x -a atau x a

Contoh Soal 4.1 : 1. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x + 2 > 7

Jawab : 5x + 2 > 7 atau 5x + 2 > 7 5x + 2 > -7 5x > 5 5x < -9 x > 1

x < 59

Jadi, Hp = { xx < 59 atau x > 1, x R}


Latihan 4.2 :

1. Tentukan himpunan penyelesaian 7-x

5 > 5x

7+

.

Jawab :

2. Tentukan himpunan penyelesaian 1x2x

1-x2 ++

0

Jawab :

3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 6xx1x2x

2

2

++ 0

Jawab :

4. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1 -x

x 2 < 1 -x2-x3 + 2

Jawab :

5. Tentukan himpunan pertidaksamaan 3-x < 1x2 +

Jawab :


6. Tentukan himpunan pertidaksamaan 2x-x4 < 2x + .

Jawab :

7. Tentukan himpunan pertidaksamaan x3 x 1.

Jawab :

8. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan 2 - x > 4.

Jawab :

9. Tentukan penyelesaian dari 2-x1x + < 1.

Jawab :

10. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan x - 22 < 4 x - 2+ 12.

Jawab :


11. Semua nilai yang memenuhi pertidaksamaan x

1 -2x < adalah .....................

Jawab :

12. Pertidaksamaan 1-x72x + 1 dipenuhi oleh ..................

Jawab :

13. Jika 7 -x

5 > 5x

7+

maka

Jawab :

14. Jika 2-x

1 > 31 maka

Jawab :

15. Himpunan semua nilai x yang memenuhi x

2-3x x adalah .................

Jawab :


16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 5x6x

6-2x2 +

< 0 adalah ................

Jawab :

17. 6-x24x3 -x52x

2

2

++ < 0 berlaku untuk .................

Jawab :

18. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 4-6x

4- 3xx 2 < 0 adalah ................

Jawab :

19. 2x3x

32 +

< 3x4x

52 +

berlaku untuk ...............

Jawab :

20. Pertidaksamaan 13

+

xx < x dipenuhi oleh ..................

Jawab :


21. Nilai x yang memenuhi x73+ > 1 adalah ................

Jawab :

22. Nilai x R yang memenuhi 2x - 5 < 1 adalah .................

Jawab :

23. Nilai nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x - 22 > 4x - 2+ 12 adalah ......

Jawab :

24. Jika 2x - 1


26. Jika 2x < 3 maka ..................

Jawab :

27. Sebuah bilangan positif x memenuhi pertidaksamaan x < 2x jika dan hanya jika ...

Jawab :

28. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x > 6+x , x R adalah ...................

Jawab :

29. Nilai nilai x yang memenuhi x + 2 > 210 x adalah .................

Jawab :

30. Jika 442 + xx - 2x + 3 0, maka ...................

Jawab :


DAFTAR PUSTAKA Collins, William. 2000. Mathematics : Applications and Connections. USA : Mc

Graw Hill. Depdiknas 2003. Kurikulum Berbasis Kompetensi, Mata Pelajaran Matematika SMA/MA. Jakarta : Pusat Kurikulum - Badan Penelitian dan Pengembangan Departemen Pendidikan Nasional. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. 1979. Matematika 7, 8, 9,10,11,12 dan 12A

Untuk SMA. Jakarta : Depdikbud. Depdibud, Soal - Soal Evaluasi Belajar Tahap Akhir Nasional I / UAN Tahun 1994 Sampai Tahun 2003. Depdikbud Dirjen Pendidikan Tinggi, Soal-Soal UMPTN / SPMB Tahun 1987 Sampai dengan Tahun 2003. Kadir,.Abdul. M, Dis. 1984. Matematika Untuk SMA. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan. Nasution. AH, dkk. 1993. Matematika Untuk Sekolah Menengah Umum Kelas 1. Jakarta : Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Spiegel, Murray. R. 1986. Matematika Dasar. Jakarta : Erlangga Simangunsong, Wilson 1997. Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar (Kiat Sukses UMPTN). Jakarta : Gematama. Sembiring, Suwali. 2002. Olimpiade Matematika Untuk SMU. Bandung : Yrama Widya. Wirodikromo, Sartono. 1997. Matematika Untuk SMU Jilid 1 9 Jakarta: Erlangga

Modul MM 1 - 4

Documents

Transcript of Modul MM 1 - 4