8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

1/10

MODUL II

KALKULUS

DERIVATIV TINGKAT TINGGI

2.1 Derivativ Tingkat Tinggi

Misalnya y = f (x), fungsi x yang dapat di diferensiasikan dan turunnnya disebut

turunan pertama, jika hasil turunan ini diturunkan lagi sampai ketingkat yang lebih

tinggi, maka disebut diferensiasi tingkat tinggi.

Turunan dari suatu orde disuatu titik hanya mungkin ada jika fungsi dari semua

turunan lebih rendah dapat didiferensiasikan di titik tersebut.

Misal y = f(x)

Turunan pertamanya : y’ = dy dx = f ’(x)

Turunan keduanya : y! = d"y dx" = f !(x)

Turunan ketiganya : y ’’’ = d#y dx# = f ’’’(x)

Turunan ke$n : y

n

 = d

n

y dx

n

 = f

n

(x)%%..dst.

&ontoh$'ontoh :

. &arilah turunan ke nya fungsi y = *x + x#  #x" + "x

-aab : y’ = "/x# + "x"  0x + "

  y! = 0/x" + "x 0

  y’’’ = "/x + "

  y  = "/

". &arilah Turunan kedua dari fungsi xy "x + y = /

-aab : d dx (xy) d dx ("x) + d dx (y) = d dx (/ )

y xy’ " + y’ = / atau x y’ + y’ = $ " + y

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB  Drs. Achmad Khodar, MT.  KALKULUS

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

2/10

( x + ) y’ = $ ( " y ) y’ =)(

)"(

−

+−

 x

 y

dari y xy’ " + y’ = / kita turunkan lagi

d dx ( y ) d dx ( x y’ ) d dx ( " ) + d dx ( y’) = d dx ( / )

y’ y’ xy! + y! = /

" y’ ( x + ) y ! = /

( x + ) y 1 = $ " y 2

( x + ) y! = $ " ()(

)"(

−

+−

 x

 y

 )

( x + ) y 1 =)(

"−

−

 x

 y

y! = ")(

"

−

−

 x

 y

". 3itung y 2 dan y! pada x = dan y = $ untuk fungsi x # y x y #  = "

-aab :

  ddx ( x# y) d dx ( x y# ) = d dx ( " )

  #x"y x#y’ y#  # x y " y’ = /

  x#y’ # x y " y’ = $ ( # x " y y # )

  ( x #  # x y " ) y’ = $ ( #x " y y # )

  y’ =)#(

)#("#

"   #

 xy x

 y y x

+

+−

 untuk x = dan y = $ kita masukan harga tersebut ke y’ maka diperoleh y’ =

untuk y! dari #x"y x#y’ y#  # x y " y’ = / kita turunkan lagi

ddx (#x"y) ddx (x#y’) ddx (y#) ddx (#xy"y’) = /

0xy # x " y’ # x " y’ x#y! # y " y’ # y " y’ 0 x y y’y’ # x y " y! = /

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB  Drs. Achmad Khodar, MT.  KALKULUS "

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

3/10

x#y! #x y " y! = $ 0 x y $ 0 x " y’ $ 0 y " y’ $ 0 x y y’ "

( x#  # x y " ) y! = $ ( 0 x y 0 x " y ’ 0 y " y’ 0 x y y’" )

y 1 = "#

"""

#

)440400(

 xy x

 xyy y y y x xy

+

+++−

 

untuk x = , y = $ dan y’ = , didapat y! = /

2.2 Nilai Extrem.

5uatu nilai ekstrem fungsi akan memuat titik$ titik kritis, fungsi naik dan fungsi

turun serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Menentukan titik kritis 6

-ika f(x) dapat diturunkan dalam selang a ≤ x ≤ b dimana f (x) memiliki nilai relatif 

maka f’(x) = / adalah kritis

5elesaikan f’(x/) = / untuk harga$harga kritis. 7uat garis bilangan y’ untuk harga$

harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y’.

2.. !"ng#i Naik $ !"ng#i T"r"n

• 5uatu fungsi dikatakan naik pada x = x/. bila turunannya positif, f’(x/) > /.

• 5uatu fungsi dikatakan turun pada x = x/, bila turunannya negatif, f’(x/)

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

4/10

a r b s ' t u

Gam(ar 1.1 ) Ke'"'"kan *"ng#i

• 8ungsi naik dalam inter9al a

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

5/10

>0

$ "

$/#

ntuk x = $ didapat y = >0 jadi titik kritisnya ( , >0 )

  Y ‘ + -- +

  -1 2

 b. 8ungsi

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

6/10

#"

$# "

@

. ;iberikan f(x) = #x#  "x" + 0x @

Tentukan : a. Titik kritis

 b. Anter9al dimana y naik dan y turun

'.

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

7/10

 b. B’

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $

$# "

8ungsi naik pada inter9al x  ".

ntuk fungsi naik, diketahui turunan pertamanya f’(x) > /, (tanda )

8ungsi turun pada inter9al +#

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

8/10

  maka =

Eolume keru'ut , E =

3arga kritis yang bersangkutan adalah y = 0/

Tinggi keru'ut = y "/ = @/6 jari + jari dasar x = 'm

Nilai Extrem.

5uatu nilai ekstrem fungsi akan memuat titik$ titik kritis, fungsi naik dan fungsi

turun serta nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Menentukan titik kritis 6

-ika f(x) dapat diturunkan dalam selang a ≤ x ≤ b dimana f (x) memiliki nilai relatif 

maka f’(x) = / adalah kritis

5elesaikan f’(x/) = / untuk harga$harga kritis. 7uat garis bilangan y’ untuk harga$

harga kritis tentukan tanda setiap ruas dari y’.

;iketahui fungsi y = # x# + "x" + "x

Tentukan : a. Titik kritis

 b. 8ungsi naik dan turun

'.

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

9/10

>0

$ "

$/#

  x  = " dan x" = $ . harga kritis

ntuk x = " didapat y = $ /# jadi titik kritisnya ( ", $/# )

ntuk x = $ didapat y = >0 jadi titik kritisnya ( , >0 )

  Y ‘ + -- +

  -1 2

 b. 8ungsi

8/17/2019 Modul 02 Kalkulus I

10/10

Gam(ar 1.2 ) Ke'"'"kan *"ng#i

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Drs. Achmad Khodar, MT. KALKULUS /