Program Linier Dengan Metode Simpleks

Pendahuluan

• Metode Simpleks digunakan jika variabel keputusan 3

• Variabel keputusan yang tidak terlalu banyak dapat diselesaikan dengan Metode Simpleks Tabel

Langkah-langkah Metode Simpleks Tabel

• Langkah 1 : Mengubah Fungsi Tujuan dan Kendala - Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit

Misal : Z = 3x1 + 5x2 Z – 3x1 – 5x2 = 0

- Semua fungsi kendala merupakan pertidaksamaan diubah menjadi

persamaan dengan cara penambahan variabel slack (s1 , s2 , s3)

Misal : 2x1 8 2x1 + s1 = 8

3x2 15 3x2 + s2 = 15

6x1 + 5x2 30 6x1 + 5x2 + s3 = 30

- Rumuskan fungsi tujuan dan kendala di atas sebagai berikut

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z – 3x1 – 5x2 = 0

Fungsi Kendala : 2x1 + s1 = 8

3x2 + s2 = 15

6x1 + 5x2 + s3 = 30

• Langkah 2 : Menyusun Persamaan Dalam Tabel

Tabel 1. Tabel Simpleks dalam Bentuk SimbolVariabel

DasarZ X1 X2 ……… Xn s1 s2 ……………. sn NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-C1 -C2 …….. –Cn 0 0 ……………… 0

a11 a12 ……… a1n 1 0 ……………… 0

a21 a22 ………. a2n 0 1 ……………… 0

am1 am2 ……… amn 0 0 ……………… 1

0

b1

b2

bm

NK = nilai kanan persamaan

Variabel Dasar = variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan persamaan

Tabel 2. Data Tabel Simpleks

Variabel Dasar

Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

• Langkah 3 : Memilih Kolom Kunci - Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel awal - Pilih kolom yang mempunyai nilai fungsi tujuan negatif terbesar - Beri tanda kolom yang mempunyai nilai negatif terbesar - Kalau kolom fungsi tujuan tidak negatif lagi berarti sudah optimal

Variabel Dasar

Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

15/3 = 5#

30/5 = 6

Tabel 3. Pemilihan Kolom KunciTabel 3. Pemilihan Kolom Kunci

• Langkah 4 : Memilih Baris Kunci - Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel

awal - Untuk menentukan baris kunci tentukan terlebih dahulu Indeks tiap-tiap

baris

Nilai Kolom NK

Indeks = Nilai Kolom Kunci

- Pilih baris kunci yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil (Tabel 3)

- Beri tanda yang terpilih sebagai baris kunci - Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan baris kunci disebut Angka Kunci

Tabel 4. Cara Mengubah Nilai Baris Kunci

Variabel Dasar Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

Z

s1

X2

s3

1

0

0

0

0 1 0 1/3 0 5

• Langkah 5 : Mengubah Nilai-nilai Baris Kunci

- Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci - Gantilah variabel dasar pada baris kunci dengan variabel dalam kolom kunci - Perubahan tersebut dapat dilihat pada Tabel 4

• Langkah 6 : Mengubah Nilai-nilai Selain pada Baris Kunci

Baris Baru = Baris Lama – (koefisien pada kolom kunci) x Nilai Baru Baris Kunci

Baris ke-1 (Z)

[-3 -5 0 0 0 0] (-5) [ 0 1 0 1/3 0 5] (-)

Nilai Baru [-3 0 0 5/3 0 25]

Baris ke-2 (s1)

[2 0 1 0 0 8] (0) [0 1 0 1/3 0 5] (-)

Nilai Baru [2 0 1 0 0 8]

Baris ke-4 (s3)

[6 5 0 0 1 30] (5) [0 1 0 1/3 0 5] (-)

Nilai Baru [6 0 0 -5/3 1 5]

Tabel 5. Nilai Lama dan Nilai Baru

Variabel Dasar Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

Z

s1

X2

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

• Langkah 7 : Melanjutkan Perbaikan/Perubahan

- Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah 6

- Perubahan baru selesai setelah baris ke-1 fungsi tujuan tidak ada yang

bernilai negatif dan nilai fungsi tujuan maksimal

Variabel Dasar

Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

8/2=4

5/6#

Z

s1

X2

X1

1

0

0

0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6

Tabel 6. Tabel Nilai Lama dan Nilai Baru

Baris Baru = Baris Lama – (koefisien pada kolom kunci) x Nilai Baru Baris Kunci

Baris ke-1 (Z)

[-3 0 0 5/3 0 25] (-3) [ 1 0 0 -5/18 1/6 5/6] (-)

Nilai Baru [ 0 0 0 5/6 1/2 27 1/2]

Baris ke-2 (s1)

[ 2 0 1 0 0 8] (2) [ 1 0 0 -5/18 1/6 5/6] (-)

Nilai Baru [ 0 0 1 5/9 -1/3 6 1/3]

Nilai pada Baris ke-3 tidak berubah, karena nilai pada kolom kunci adalah 0

Tabel 7. Hasil Perubahan/Perbaikan

Variabel Dasar

Z X1 X2 s1 s2 s3 NK

Z

s1

X2

X1

1

0

0

0

0 0 0 5/6 1/2

0 0 1 5/9 -1/3

0 1 0 1/3 0

1 0 0 -5/18 1/6

27 1/2

6 1/3

5

5/6

Hasil Akhir Maksimal

• X1 = 5/6 jadi barang X1 dihasilkan 5/6 lusin perhari

• X2 = 5 jadi barang X2 dihasilkan 5 lusin perhari

• Z maksimum = 27 ½ atau laba maksimum yang dihasilkan

adalah Rp. 275.000,- perhari

Kerjakan di Kelas pakai Simpleks

Misalkan x = jumlah meja yang dibuat y = jumlah kursi yang dibuat

Z = jumlah kontribusi laba (meja + kursi)

Fungsi Tujuan : Maksimumkan laba

Z = 8x1 + 6x2

Fungsi Kendala :4x1 + 2x2 ≤ 60 (fungsi kendala perakitan)

2x1 + 4x2 ≤ 48 (fungsi kendala pemolesan)

x1 dan x2 ≥ 0 (non negatif)

Perlu Diperhatikan dalam Penyelesaian Masalah

• Terdapat lebih dari satu kolom bernilai negatif dengan angka terbesar- Kalau dalam fungsi tujuan terdapat lebih dari satu kolom yang

mempunyai nilai negatif yang angkanya terbesar adalah sama maka pilih salah kolom saja sebagai kolom kunci

• Dua baris atau lebih mempunyai indeks positif terkecil - Kalau indeks positifnya bernilai sama pilih salah satu saja sebagai baris kunci

• Kenaikan nilai Z tidak terbatas - Nilai Z dapat bertambah terus bila ada salah satu kegiatan tidak ada batasan - Dalam program linier kondisi Z tersebut tidak perlu diteruskan cukup disebut bahwa kenaikan nilai Z dapat tidak terbatas - Bila perlu cek lagi permasalahannya mungkin ada kesalahan

• Solusi optimal yang banyak - Terdapat paling tidak ada dua alternatif optimal yang mempunyai

nilai Z yang sama - Untuk mengetahui permasalahan bersifat solusi optimal banyak atau tidak lihat fungsi tujuan pada tabel akhir (optimal) - Solusi optimal yang banyak apabila didalam kolom itu terdapat salah satu variabel dasar bernilai nol

Penyimpangan dari Bentuk Standar

• Kendala dengan tanda sama dengan (=) - Kalau salah satu fungsi kendala menggunakan sama dengan misalnya funsi sebagai berikut : 6X1 + 5X2 = 30 - Maka fungsi kendala tersebut harus ditambahkan variabel buatan misalnya s4 dalam soal terdahulu

- Persamaan menjadi : 6X1 + 5X2 + s4 = 30

- Karena ada variabel buatan (s4), maka fungsi tujuan harus disesuaikan dengan menambah bilangan M yang bernilai sangat besar dan persamaan Z menjadi : Z = 3X1 + 5X2 – Ms4

- Nilai Z maksimum bila diperoleh nilai s4 = 0 menjadi :

Z – 2X1 – 5X2 + Ms4 = 0

- Kondisi ini tidak memungkinkan menggunakan Metode Simpleks Tabel, karena nilai setiap variabel dasar pada persamaan harus sebesar nol padahal s4 merupakan variabel dasar pada Tabel permulaan - Untuk menanggulangi hal tersebut perlu diubah dengan cara menguranginya dengan M dikalikan dengan baris kendala yang bersangkutan

Baris ke-1 (Z)

[-3 -5 0 0 M 0] (M) [ 6 5 0 0 1 5] (-)

Nilai Baru [(-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M]

• Minimisasi - Fungsi tujuan yang bersifat minimisasi harus diubah menjadi

maksimasi agar sesuai dengan bentuk standar yaitu maksimasi - Caranya dengan mengganti tanda positif dan negatif pada

fungsi tujuan sebagai berikut :

Minimumkan :

menjadi

Maksimumkan :

Contoh :

Minimumkan : Z = 3X1 + 5X2 diubah menjadi :

Maksimumkan : (-Z) = -3X1 – 5X2

j

n

jjXCZ

1

j

n

jj XCZ

1

• Fungsi Pembatas Bertanda

- Jika fungsi pembatas bertanda maka harus diubah menjadi

- Jika sudah bertanda kemudian jadikan dalam bentuk = dengan

menambahkan atau mengurangkan variabel slack (s1)

- Jika semua negatif maka tambahkan variabel slack (s1)

Misalnya :

6x1 + 5x2 30 dikalikan (-1) menjadi

-6x1 - 5x2 - 30 kemudian tambahkan variabel slack s1 menjadi

-6x1 - 5x2 + s1 = -30

• Bagian Kanan Persamaan Bertanda Negatif

- Bagian kanan persamaan bertanda negatif diubah menjadi tanda

positif dengan mengalikan dengan (-1) - Kemudian tambahkan dengan variabel buatan (artificial variable) s1

Misalkan :

-6x1 - 5x2 + s1 = -30 dikalikan (-1)

6x1 + 5x2 – s1 = 30

- Persamaan di atas variabel slack bertanda (-) dan tidak memungkinkan

menggunakan metode simpleks dan oleh karena itu tambahkan variabel

buatan (artificial variable) s2 dan merupakan tabel awal simpleks

- Biasanya variabel buatan dilambangkan dengan (M) pada fungsi tujuan

6x1 + 5x2 – s1 + Ms2 = 30

• Prosedur yang Lebih Mudah

6x1 + 5x2 30

6x1 + 5x2 - s1 = 30

6x1 + 5x2 - s1 + s2 = 30

Contoh Soal :

Fungsi Tujuan :

Minimumkan Z = 3x1 + 5x2

Fungsi Kendala : 2x1 = 8

x2 15

6x1 + 5x2 30

Penyelesaian :

Fungsi Tujuan :

Maksimumkan (-Z) = -3x1 – 5x2

Fungsi Kendala (1) Tambahkan variabel buatan

2x1 + s1 = 8

Jadi Fungsi Tujuan menjadi Maksimumkan (-Z) = -3x1 – 5x2

(-Z) = -3x1 – 5x2 – Ms1

Fungsi Kendala (2) Tambahkan variabel buatan

3x2 + s2 = 15

Fungsi Kendala (3) Tambahkan variabel buatan

6x1 + 5x2 30

6x1 + 5x2 – s3 = 30

6x1 + 5x2 – s3 + s4 = 30

Dari fungsi tujuan pada fungsi kendala (1) diubah menjadi

Maksimumkan : (-Z) = -3x1 – 5x2 – Ms1 – Ms4

-Z + 3x1 + 5x2 + Ms1 + Ms4 = 0

Untuk mengubah s1 dan s4 pada fungsi kendala menjadi nol, maka dilakukan

pengurangan sebagai berikut :

[3 5 M 0 0 M 0]

(-M) [2 0 1 0 0 0 8] baris s1

(-M) [6 5 0 0 -1 1 30] baris s4

Nilai Baru [(-8M+3) (-5M+5) 0 0 M -38M]

Tabel 8. Hasil Eksekusi

Variabel Dasar Z X1 X2 s1 s2 s3 s4 NK

Z

s1

s2

s4

-1

0

0

0

(- 8M+3) (-5M+5) 0 0 0 0

2 0 1 0 0 0

0 3 0 1 0 0

6 5 0 0 -1 1

-38M

8

15

30

Variabel Dasar Z X1 X2 s1 s2 s3 s4 NK

Z

x1

s2

s3

-1

0

0

0

3 (-5M+5) (4M-3/2) 0 M 0

1 0 1/2 0 0 0

0 3 0 1 0 0

0 5 -3 0 -1 1

(-6M-12)

4

15

6

Variabel Dasar Z X1 X2 s1 s2 s3 s4 NK

Z

x1

s2

x2

-1

0

0

0

0 0 (M +3/2) 0 1 (M+1)

1 0 1/2 0 0 0

0 1 9/5 1 3/5 -3/5

0 1 -3/5 0 -1/5 1/5

-18

4

5 7/5

6/5

Dari Tabel 8 dapat disimpulkan sebagai berikut :

Nilai Z minimum adalah 18

Nilai x1 sebesar 4

Nilai x2 sebesar 6/5

• Bila Minimum Nilai xj Boleh Negatif - Pada bentuk standar, nilai xj harus selalu positif (xj 0)

- Kadang-kadang nilai xj memungkinkan negatif

Contoh :

xj -10

- Untuk kondisi di atas maka tambahkan variabel baru x1’

- Persamaan menjadi x1’ = x1 + 10 atau x1 = x1’ – 10

Contoh :

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3x1 + 5x2

Fungsi Kendala : 2x1 8

3x2 15

6x1 + 5x2 30

x1 -10, x2 0

- Persamaan Baru menjadi :

Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 3(x1’ – 10) + 5x2

Fungsi Kendala : 2(x1’ – 10) 8 3x2 15

6(x1’ – 10) + 5x2 30

(x1’ – 10) 10, x2 0

Persamaan Akhir :

Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 3x1’ + 5x2 - 30

Fungsi Kendala : 2x1’ 28

3x2 15

6x1’ + 5x2 90

x1’ 10, x2 0

• Bila Nilai xj Boleh Positif atau Negatif

- Jika memungkinkan nilai xj dapat positif mupun negatif dan nilai negatif

tersebut tidak ada batas tertentu maka nilai xj dapat diubah menjadi

xj’ – xj

’’ dengan ketentuan : xj’ = mewakili nilai positif dari xj dan

xj’’ mewakili nilai negatif dari xj

Contoh :

Fungsi Tujuan : Maksimumkan Z = 3x1 + 5x2

Fungsi Kendala : 2x1 8

3x2 15

6x1 + 5x2 30

x2 0 (hanya x2 saja)

Dengan mengganti x1 = x1’ – x1

’’ maka persamaan menjadi :

Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 3(x1’ – x1’’) + 5x2

Fungsi Kendala : 2(x1’ – x1’’) 8

3x2 15

6(x1’ – x1’’ ) + 5x2 30

x1’ 0, x1’’ 0, x2 0

Persamaan Akhir :

Fungsi Tujuan Maksimumkan Z = 3x1’ - 3x1’’ + 5x2

Fungsi Kendala : 2x1’ – 2x1’’ 8

3x2 15

6x1’ – 6x1’’

+ 5x2 30

x1’ 0, x1’’ 0, x2 0