Meode Simpleks dalam Program Linear

Metode Simpleks adalah metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan manajerial yang telah diformulasikan terlebih dahulu ke dalam persamaan matematika program linear yang mempunyai Variabel Keputusan mulai dari lebih besar atau sama dengan 2 (dua) sampai multivariabel.Apabila suatu masalah program linear hanya mengandung 2 (dua) kegiatan (atau variable variable keputusan) saja,maka akan dapa diselesaikan dengan metode grafik.Tetapi bila lebih dari dua kegiatan maka digunakan Metode Simplex.Bila variable keputusan yang dikandung tidak terlalu banyak masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut Metode Simplex table.langkah langkah metode simplex table adalah sebagai berikut :

langkah 1 : Merubah fungsi tujuan dan batasanfungsi tujuan dirubah menjadi fungsi implisit, artinya semua CjXij kita geser kekiri.Misalnya fungsi tujuan pada contoh didepan Z = 3X1 + 5X2 dirubah menjadiZ 3X1 -5X2 = 0.Pada bentuk standar , semua batasan mempunyai tanda . Ketidaksamaan ini harus dirubah menjadi kesamaan, dengan cara menambah slack variable. Slack variable ini adalah xn+1 , xn+2 , . . . ,xn+m. Karena tingkat atau hasil kegiatan-kegiatan yang ada diwakili oleh x1 dan x2, maka variabel slack dimulai dari x3 , x4 dan seterusnya sebagai berikut :(1) 2x1 8 menjadi 2x1+ x3 = 8(2) 3x2 15 menjadi 3x2+ x4 = 15(3) 6x1 + 5x2 30 menjadi 6x1+ 5x2+ x5 = 30Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan diatas dapat disusun formulasi yang dirubah yaitu sebagai berikut :Fungsi tujuan : maksimumkanz 3x1 5x2Batasan-batasan : (1) 2x1+ x3= 8 (2) 3x2+ x4= 15 (3) 6x1+ 5x2+ x5= 30

Langkah 2 : menyusun persamaan-persamaan dalam tabel.setelah formulasi dirubah kemudian disusun kedalam tabel,dalam bentuk simbol seprti tampak pada tabel 3.1sedang untuk contoh di depan akan terlihat pada tabel 3.2.

Variabel dasarZX1 X2.Xn Xn+1 Xn+2Xn+mNK

ZXn+1Xn+2 . . .Xn+m100...0-C1 -C2.-Cn 0 00 a11 a12.a1n 1 00a21 a22.a2n 0 10. . . . . .. . . . . .. . . . . .am1 am2.amn 0 010b1b2

bm

NK adalah nilai kanan persamaan,yaitu nilai dibelakang tanda sama dengan (=). Untuk batasan 1 sebesar 8, batasan 2 sebesar 15, dan batasan 3 sebesar 30.Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X1 + X3 = 8,kalau belum ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X1 = 0, dan semua kapasitas masih mengangggur,maka pengangguran ada 8 satuan,atau nilai X3 = 8.Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X3,X4,X5) pada fungsi tujuan pada tabel ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif.

Variabel dasarZ X1 X2 X3 X4 X5 NK

ZX3X4X51000 -3 -5 0 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 1 0 6 5 0 0 1 0 8 15 30

Langkah 3 : memlih kolom kunciKolom kunci adalah kolom yang menjadi dasar untuk merubah tabel. Pilihan kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

Langkah 4 : memilih baris kunciBaris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap baris dengan cara membagi nilai nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris dengan kolom kunci.index

Langkah 5 : Merubah nilai-nilai baris kunciNilai baris kunci dirubah dengan cara membaginya dengan angka kunci.

Langkah 6 : merubah nilai nilai selain pada baris kunciNilai-nilai baris yang lain ,selain pada baris kunci dapat dirubah dengan rumus sebagai berikut :Baris baru = baris lama (koefisien pada kolom kunci) x nilai baru baris kunci.

Langkah 7 : melanjutkan perbaikan-perbaikan atau perubahan-perubahanUlangilah langkah-langkah 3 sampai dengan langkah 6 untuk mempebaiki tabel-tabel yang telah dirubah/ diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif.

ESENSI METODE SIMPLEKSMetode simpleks adalah suatu prosedur aljabar, tetapi konsep yang mendasarinya adalah geometris. Pemahaman atas konsep geometris akan memberikan penjelesan mengenai bagaimana metode simpleks beroperasi dan apa yang membuat metode ini sangat efisien.

Penyelesaian Contoh MasalahBerikut ini adalah garis besar proses metode simpleks (dari sudut pandang geometris) dalam menyelesaikan permasalahan Wyndor Glass Co. Pada setiap langkah, kesimpulan dinyatakan terlebih dahulu dan kemudian alas an disampaikan dalam tanda kurung.Inisialisasi: Pilih (0,0) sebagai solusi CPF awal yang akan di uji.( Hal ini merupakan kesepakatan dalam memilih karena memang tidak diperlukan perhitungan untuk mengidentifikasisolusi CPF ini)Uji Optimalitas: Kesimpulan yang diambil adalah (0,0) bukan solusi yang optimal.(solusi CPF yang berseberangan merupakan solusi yang lebih baik).Itersi 1: Bergerak ke solusi CPF berseberangan yang lebih baik, yaitu (0,6), dengan mengikuti tiga langkah berikut:1. Perhatikan dua tepi dari daerah solusi layak yang berasal dari titk (0,0), pilih untuk bergerak di sepanjang tepi yang menyebabkan nilai pada sumbu x2 semakin membesar. (Dengan fungsi tujuan = 3x1 + 5x2 , menaikkan nilai x2 akan meningkatkan nilai Z dengan lebih cepat bila dibandingkan dengan menaikkan nilai x1.2. Berhenti pada kendala batas baru yang pertama: 2x1 = 12 [bergerak lebih jauh sesuai dengan arah yang telah dipilih pada langkah pertama akan meninggalkan daerah solusi yang layak; misalnya bergerak ke kendala batas baru yang kedua akan melampaui batas solusi dan mencapai titik (0,9), yang merupakan solusi tak layak titik sudut.]3. Selesaikan pada perpotongan batas kendala yang baru: (0,6). (Persamaan untuk batasan kendala ini, x1 = 0 dan 2x2 = 12, akan segera menghasilkan solusinya)Uji Optimalisasi: Kesimpulan yang diambil adalah (0,6) bukan merupakan solusi yang optimal.(Solusi CPFyang berseberangan adalah lebih baik.)Iterasi 2: Bergerak ke solusi yang lebih baik, yaitu ke solusi CPF yang berseberangan. Penyelesaian tersebut adalah (2,6), dengan mengikuti tiga langkah berikut.

1. Dengan mempertimbangkan dua sisi dari daerah solusi layak berasal dari titik (0,6), pilih untuk bergerak di sepanjang sisi yang bergerak kea rah kanan. (Bergerak di sepanjang garis sisi ini akan meningkatkan nilai Z, sedangkan bila mundur akan bergerak turun sepanjang sumbu x2 menurunkan nilai Z.)2. Berhenti pada batasan kendala pertama yang ditemui selama bergerak di sepanjang sisi tersebu, 3x1 + 2x2 = 12 (bergerak lebih jauh ke arah yang dipilih pada langkah 1 akan meninggalkan daerah solusi yang layak).3. Selesaikan pada perpotongan batasan kendala yang baru: (2,6). (Persamaan untuk batasan kendala ini, 3x1 + 2x2 = 18 dan 2x2 = 12.)

Uji Optimalitas: Kesimpulan yang diambil adalah (2,6) merupakan solusi yang optimal sehingga proses bias dihentikan.( Tidak ada solusi CPF berseberangan yang lebih baik.)Urutan pengujian solusi CPF di tunjukkan pada Gambar 4.2. Setiap angka yang diberi lingkaran menunjukkan nomor iterasi.Sekarang, mari kita amati konsep enam solusi kunci pada metode simpleks yang menjadi dasar pemikiran langkah-langkah diatas.

Konsep Solusi Utama

Konsep solusi pertama didasarkan pada relasi antara solusi yang optimal dan solusi CPF.

Kosep solusi 1: Metode simpleks terfokus semata-mat pada solusi CPF. Untuk setiap persoalan yang sedikitnya memiliki satu solusi yang optimal, penyelesaiannya hanya memerlukan solusi CPF yang terbaik.Oleh karena jumlah solusi layak pada umumnya tidak terbatas, pengurangan jumlah solusi yang harus diuji menjadi jumlah yang terbatas (hanya tiga solusi dalam Gambar 4.2) merupakan bentuk penyederhanaan yang luar biasa.Konsep solusi 2: Metode simpleks merupakan sebuah algoritma iterative (sebuah prosedur solusi sistematis yang melakukan perulangan pada serangkaian langkah-langkah, disebut iterasi, sampai hasil yang diinginkan diperoleh) dengan struktur sebagai berikut.

Inisialisasi:Tahap persiapan untuk memulai iterasi, termasuk menemukan nilai awal solusi CPF. Pengujian Optimalisasi: apakah solusi CPF saat ini optimal?

Jika tidak jika yaselesai Melakukan iterasi untuk menemukan solusi CPF yang lebih baikIterasi:

Konsep solusi 3: Bila memungkinkan, inisialisasi dalam metode simpleks menggunakan asal (origin) (semua variable keputusan sama dengan nol) sebagai solusi CPF awal. Memilih titik mula pada umumnya dimungkinkan ketika semua variable keputusan memiliki batasan nonnegative, karena perpotongan pada kendala-kendala ini menghasilkan titik mula sebagai solusi titik sudut. Solusi (titik ini) selanjutnya disebut solusi CPF,.Konsep solusi 4: Dengan adanya sebuah solusi CPF, perhitungan untuk mengmpulkan informasi tentang solusi CPF yang berseberangan akan lebih cepat dilakukan bila dibandingkan jika harus mencari informasi tentang solusi CPF yang lain. Dengan demikian, setiap kali metode simpleks melakukan iterasi untuk bergerak dari solusi CPF saat ini ke solusi CPF yang lebih baik.Kosep solusi 5: Setelah solusi CPF saat ini diidentifikasi, metode simpleks menguji setiap sisi daerah solusi layak yang berasal dari solusi CPF saat ini. Konsep solusi 6: Konsep solusi 5 menguraikan bagaimana metode simpleks menguji setiap sisi daerah solusi layak yang berasal dari solusi CPF saat ini. Pengujian sisi ini mempercepat identifikasi laju perbaikan terhadap Z yang akan diperoleh jika pergerakan dilakukan sepanjang sisi menuju titik solusi CPF yang berseberangan pada ujung lain dari sisi ini. Laju perbaikan yang positif terhadap nilai Z menunjukkan bahwa solusi CPF yang berseberangan memilki penyelesaian yang lebih baik daripada solusi CPF saat ini. Adapun laju perbaikan yang negative terhadap nilai Z menunjukkan bahwa solusi CPF yang berseberangan lebih buruk daripada solusi CPF saat ini. Dengan demikan, uji optimalitas terdiri dari pengujian sederhana terhadap sisi yang memberikan laju perbaikan terhadap nilai Z yang positif. Jika tidak ditemukan maka solusi CPF saat ini merupakan solusi yang optimal.

4.2 SIFAT-SIFAT ALJABAR METODE SIMPLEKSInisialisasiPemilihan x1 dan x2 sebagai variable nonbasis (variable diberi nilai nol) untuk solusi BF awal didasarkan pada konsep solusi 3 di bagian 4.1. Pilihan ini menghilangkan pekerjaan yang diperlukan untuk menyelesaikan variabel-variabel basis (x1,x2,x3) dari sistem persamaan berikut ini.Interpretasi geometris dan aljabar dari proses metode simpleks menyelesaikan persoalan Wyndor Glass CoUrutanInterpretasi GeometrisInterpretasi secara aljabar

InisialisasiPilih (0,0) sebagai solusi CPF awalPilih x1 dan x2 sbg variable nonobasis (=0)Untuk solusi BF awal: (0, 4, 12, 18)

Uji optimalitas Belum optimal, karena bergerak sepanjang salah satu dari dua sisi yang dibentuk dari (0,0) dapat meningkatkan ZBelum optimal, karena meningkatkan salah satu dari dua variable nonbasis (x1 dan x2) akan meningkatkan Z

Iterasi 1

Langkah 1Bergerak ke atas searah dengan sumbu x2 Meningkatkan x2 dgn mengatur nilai variable yg lain untuk memenuhi sistem persamaan

Langkah 2Berhenti ketika menemui batas kendala baru yg pertama (2x2 = 12) dicapaiBerhenti ketika variable basis yg pertama (x3, x4 atau x5) mencapai nilai nol (x4)

Langkah 3Temukan titik perpotongan antara pasangan batas kendala yg baru: (0,6) merupakan solusi CPF yg baruDengan x4 sbg variable basis saat ini dan x4 sbg variable nonbasis, selesaikan sistem persamaan yg ada: (0, 6, 4, 0, 6) merupakan solusi BF yg baru

Pengujian optimalitasBelum optimal, karena bergerak sepanjang sisi dari (0,6) ke kanan akan meningkatkan ZBelum optimal, karena meningkatkan satu variable nonbasis (x1) akan meningkatkan Z

Iterasi 2

Langkah 1Bergerak di sepanjang sisi ini ke kananMeningkatkan x1, dgn mengatur nilai variable yg lain untuk memenuhi sistem persamaan

Langkah 2Berhenti ketika batasan kendala baru yg pertama (3x1 + 2x2 = 18) dicapaiBerhenti ketika variable basis yg pertama (x2, x3, atau x5) mencapai titik nol (x5)

Langkah 3Temukan titik perpotongan pasangan batasan kendala yg baru: (2,6) merupakan solusi CPF yg baruDengan x1 sekarang sbg variable basis dan x5 sbg variable nonbasis, selesaikan sisitem persamaan: (2, 6, 2, 0, 0) merupakan solusi BF yg baru

Uji optimalitas (2,6) merupakan jawaban yg optimal, karena bergerak ke sisi yg berasal dari titik (2,6) akan menurunkan nilai Z(2, 6, 0, 0) merupakan penyelesaian yg optimal karena dengan menaikkan salah satu dari variable nonbasis (x4 atau x5) akan menurunkan nilai Z

(1) + = 4x1 = 0 dan x2 sehingga (2) + = 12x3 = 4(3) + + = 18x4 = 12X5 = 18Jadi, solusi BF awal adalah (0, 0, 4, 12, 18).

Uji Optimalitas

Fungsi tujuan adalah: = + Sehingga Z = 0 untuk solusi BF awal. Oleh karena tidak satu pun dari variable basis (x3, x4, x5) mempunyai suatu koefisien bukan nol (nonzero) di dalam fungsi tujuan ini, koefisien pada setiap variable nonbasis (x1, x2) menunjukkan laju perbaikan pada nilai Z jika variable tersebut ditingkatkan nilainya dari nol (sementara nilai variable basis disesuaikan agar terus memenuhi sistem persamaan). Laju perbaikan ini (3 dan 5) adalah positif. Oleh karena itu, berdasarkan pada konsep solusi 6, disimpulkan bahwa (0, 0, 4, 12, 18) tidak optimal.Untuk masing-masing solusi BF yang di uji setelah masing-masing iterasi, setidaknya satu variable basis memiliki koefisien bukan nol dalam fungsi tujuan. Oleh karena itu, uji optimalitas kemudian menggunakan Pers. (0) untuk menuliskan kembali fungsi tujuan dalam bentuk variable nonbasisnya saja seperti yang akan dibahas berikut.

Menentukan Arah Pergerakan (Langkah 1 Iterasi)

Penambahan satu variable nonbasis dari nol sama saja dengan mengeluarkan tepi dari solusi CPF saat ini. Berdasarkan kosep solusi 4 dan 5 di bagian 4.1, pilihan atas variable nonbasis yang akan diaugmentasi adalah seperti berikut:Z = 3x1 + 5x2Menambah x1? Laju perubahan Z = 3

Menambah x2 ?Laju perbaikan Z = 55 > 3 sehingga x2 adalah variable yang akan ditambahkan.Seperti di tunjukkan, kita menyebut x2 sebagai variable basis yang masuk untuk iterasi 1.

Menentukan Saat Berhenti (Langkah 2 Iterasi)

Peningkatan x2 juga meningkatkan nilai Z sehingga kita perlu melangkah sejauh mungkin tanpa meninggalkan daerah layk. Syarat untuk memenuhi kendala fungsional dalam bentuk tambahan di bawah ini memilki ari bahwa peningkatan x2 (dengan tetap mempertahankan nilai variable nonbasis x1 = 0) akan mengubah nilai beberapa variable basis seperti diperlihatkan di sebelah kanan.

= 0 sehingga(1) + = 4 = 4(2) + = 12 = 12 2(3) + + = 18 = 18 2

METODE SIMPLEKS DALAM BENTUK TABULARBentuk tabular metode simpleks hanya mencatat informasi penting, yaitu :1. Koefisien variabel2. Konstanta pada ruas kanan persamaan3. Variabel basis yang muncul di setiap persamaan.Kita tak perlu lagi menulis symbol-simbol untuk variable-variabel dalam masing-masing persamaan. Akan tetapi, yang lebih penting lagi adalah kenyataan bahwa kita bisa menyorot angka-angka yang terlibat dalam perhitungan aritmetika dan mencatatnya secara ringkas.Pada table 4.3 membandingkan system persamaan awal untuk permasalahan Wyndor Glass co. dalam bentuk aljabar (di sebelah kiri) dan dalam bentuk tabular (di sebelah kanan), sementara table di sebelah kanan disebut tableau simpleks. Variabel basis untuk masing-masing persamaan ditunjukkan dengan huruf yang ditebalkan di sebelah kiri dan juga di kolom pertama tableau simpleks sebelah kanan. [Walaupun hanya variable-variabel xj yang berifat basis atau nonbasis, Z turut berperan sebagai variabel basis untuk persamaan (0).] Semua variabel yang tidak dicantumkan dalam kolom variabel basis (x1,x2) secara otomatis merupakan variabel nonbasis. Setelah kita tetapkan x1= 0, x2= 0, kolom ruas kanan menyediakan solusi yang dihasilkan untuk variabel-variabel basis, sehingga solusi BF awal adalah (x1,x2,x3,x4,x5) = (0, 0, 4, 12, 18) yang menghasilkan Z=0.Bentuk tabular metode simpleks menggunakan tableau simpleks untuk menampilkan secara padat system persamaan yang menghasilkan solusi BF saat ini. Untuk solusi, masing-masing variabel dalam kolom paling kiri menyamakan angka yang sesuai dalam kolom paling kanan (dan variabel yang tidak dicantumkan dianggap bernilai nol). Saat uji optimalitas atau sebuah iterasi dilakukan, angka-angka yang relevan adalah angka-angka yang tertera pada ruas kolom kanan Z. istilah baris merujuk pada barisan angka yang terletak di sebelah kanan kolom Z (meliputi angka-angka pada ruas kanan), di mana baris I sama dengan persamaan i.Table 4.3 Sistem persamaan awal untuk permasalahan Wyndor Glass Co.

Ringkasan untuk Metode Simpleks (dan Iterasi 1 untuk Masalah Contoh)Inisialisasi. Masukkan variabel slack. Pilih variabel keputusan yang akan dijadikan variable-variabel nonbasis awal (samakan dengan nol) dan pilih variabel slack yang akan dijadikan variabel basis awal.Untuk contoh masalah: Pemiihan tersebut akan menghasilkan table simpleks awal yang ditunjukkan pada kolom (b) Tabel 4.3, sehingga solusi BF awal adalah (0,0,4,12,18).Uji Optimals. Solusi BF saat ini akan optimal jika dan hanya jika setiap koefisien dalam baris nol adalah nonnegative (0). Jika memang demikian, berhenti: jika tidak, lakukan iterasi untuk mendapatkan solusi BF berikutnya, yang melibatkan perubahan satu variabel nonbasis menjadi satu variabel basis (langkah 1) dan sebaliknya langkah 2 dan kemudian menyelesaikannya untuk mendapatkan solusi baru (langkah 3).Iterasi. Langkah 1: Tentukan variabel basis yang masuk dengan memilih variabel (secara otomatis variabel nonbasis) dengan koefisien negative yang memiliki nilai absolute terbesar (yaitu koefisien yang paling negatif) dalam persamaan (0). Letakkan sebuah kotak di sekeliling kolom di bawah koefisien ini. Kolom itu disebut kolom sumbu (pivot coloumn).Untuk Contoh Masalah: Koefisien yang paling negatif adalah -5 untuk x2 (5 > 3) sehingga x2 berubah menjadi variabel basis. (Perubahan ini ditunjukkan dalam Tabel 4.4 dalam kotak yang mengelilingi kolom x2 di bawah -5).Langkah 2: Tentukan variabel basis yang keluar dengan menerapkan uji rasio minimum.TABEL 4.4 Penerapan uji rasio minimum untuk menentukan variabel bebas yang keluar pertama kali untuk permasalahan Wyndor Glass Co.

Langkah 3: Selesaikan dan carilah BF baru dengan menggunakan operasi baris dasar (mengalikan atau membagi sebuah baris dengan konstanta bukan nol; menambahkan atau mengurangkan hasil perkalian sebuah baris terhadap baris lainnya) untuk membentuk tabel simpleks yang baru dalam bentuk yang tepat dari eliminasi Gaussian di bawah yang saat ini. Kemudian ke uji optimals. Operasi baris dasar khusus yang perlu dilakukan dicantumkan di bawah ini. Iterasi 2 Untuk Contoh Masalah dan Solusi Optimal yang DihasilkanIterasi kedua dimulai dari tabel kedua Tabel 4.6 untuk menemukan solusi BF berikutnya. Dengan mengikuti petunjuk untuk langkah 1 dan 2, kita dapati bahwa x5 merupakan variabel basis yang keluar, seperti diperlihatkan pada Tabel 4.7.Untuk langkah 3, kita mulai dengan membagi baris sumbu (baris 3) dalam Tabel 4.7 dengan angka sumbu (3). Selanjutnya kita tambahkan pada baris 0 hasil perkalian baris 3 yang baru dengan 3. Kemudian, kita kurangkan baris 1 dengan baris 3 yang baru.Dengan begitu, sekarang kita memiliki serangkaian tableau seperti diperlihatkan pada Tabel 4.8. oleh karena itu, solusi BF yang baru adalah (2,6,2,0,0) dengan Z = 36. Beranjak ke uji optimalitas, kita dapati bahwa solusi ini optimal karena tak satu pun koefisien dalam baris 0 yang bernilai negatif, sehingga algoritma ini selesai. Akibatnya, solusi optimal untuk Wyndor Glass Co. (sebelum variabel slack dikenali) adalah x1 = 2, x2 = 6.TABEL 4.5 Tableau simpleks untuk masalah Wyndor Glass Co., setelah baris sumbu pertama dibagi dengan angka sumbu pertama.TABEL 4.6 Kedua tableau simpleks pertama untuk masalah Wyndor Glass Co.

TABEL 4.7 Langkah 1 dan 2 Iterasi 2 untuk masalah Wyndor Glass Co.

TABEL 4.8 Rangkaian utuh tableau simpleks untuk masalah Wyndor Glass Co.

PEMUTUSAN PERTALIAN DALAM METODE SIMPLEKSPertalian pada variabel basis yang MasukLangkah 1 pada masing-masing iterasi menjadikan variabel nonbasis yang memiliki koefisien negatif dengan nilai absolut terbesar dalam persamaan (0)0 sebagai variabel basis yang masuk. Maka sekarang anggaplah terdapat dua atau lebih variabel nonbasis yang terkait karena memiliki koefisien negative terbesar (dalam artian absolut). Contohnya, hal ini akan terjadi dalam iterasi pertama untuk permasalahn Wyndor Glass Co. jika fungsi tujuannya diubah menjadi Z = 3x1 + 3x2 sehingga persamaan (0) awal menjadi Z - 3x1 - 3x2 = 0. Kemudian muncul pertanyaan bagaimana seharusnya memutuskan pertalian tersebut ?Jawabannya adalah memilih salah satu yang mungkin dilakukan secara sembarang (arbiter).

4.6 Kendala PersamaanKendala persamaan apa pun

sebenarnya ekuivalen dengan sepasang kendala pertidaksamaan:

Contoh:Maksimumkan .Penyelesaian: Fungsi tujuan diubah menjadi . Fungsi kendala diubah menjadi variabel slack. Variabel slack adalah variabel tambahan yang mewakili atau kapasitas yang merupakan batas. Sistem persamaan untuk bentuk tambahan permasalahan menjadi(i) 2 menjadi 2 + = 8(ii) 3menjadi 3+ = 15(iii) 6 menjadi6+ = 30

Fungsi tujuan: maksimumkan Z = 3+5 Fungsi kendala: (iv) 2(v) 3(vi) 6

Untuk (i) 2

jadi

Untuk (ii) 3

jadi

Untuk (iii)6misalkan

jadi koordinat (5,0)

misalkan

jadi koordinat (6,0)

Persamaan

3

6(5,0)(6,0)

(0,0)

(0,0)

Ruas Kanan NegatifUntuk menyelesaikan kendala persamaan dengan ruas kanan negatif, (yaitu mengalikan kedua sisi dengan -1) juga bisa digunakan untuk sembarang kendala pertidaksamaan dengan ruas kanan negatif. Perkalian kedua sisi sebuah pertidaksamaan dengan -1 juga membalikkan arah pertidaksamaan; yaitu, berubah menjadi , atau sebaliknya.Kendala Fungsional dalam Bentuk Akan ditunjukkan bagaimana metode simpleks menyelesaikan masalah ini dengan cara menyelesaikan masalah artifisial yang ada secara langsung. Namun, pertama-tama kita harus mendeskripsikan bagaimana cara menangani kendala ketiga.Pendekatan kita memerlukan adanya variabel surplus (didefinisikan ) dan sebuah variabel artifisial , seperti diperlihatkan di bawah ini.6 6( 6(Di sini disebut variabel surplus karena ia mengurangkan ruas kanan pada ruas kiri untuk mengubah kendala pertidaksamaan menjadi kendala persamaan yang ekuivalen.

MinimalisasiSebuah cara tepat untuk meminimalkan Z dengan metode simpleks adalah dengan menukar peran koefisien positif dan negatif dalam baris nol untuk uji optimalis maupun lanhgkah 1 iterasi.Meminimalkan ekuivalen denganmemaksimalkan sehingga, kedua perumusan tersebut menghasilkan solusi optimal yang sama.Kedua rumusan tersebut ekuivalen karena semakin kecil nilai Z maka semakin besar nilai Z. akan dilakukan perubahan berikut dalam perumusan:Minimalkan maksimalkan -