Simpleks minimasi

PENDAHULUANKODE MK / STEKPI / BAB 3

3.29 55

LINEAR PROGRAMMING : METODE SIMPLEKS

PERMASALAHAN MINIMISASI

3 BAB

PENDAHULUAN

ingga saat ini yang telah kita pelajari adalah penyelesaian permasalahan

linear programming dengan tanda pertidaksamaan ≤ yang biasanya kita jumpai dalam

permasalahan dengan fungsi tujuan maksimisasi. Prosedur dalam penyelesaian

permasalahan maksimisasi dapat juga kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan

minimisasi yang biasanya mempunyai tanda ≥ dan atau = pada fungsi kendalanya. Pada bab 3 ini akan kita bahas penyelesaian permasalahan LP dengan fungsi

tujuan minimisasi. Pembahasan akan dimulai dengan memformulasikan permasalahan

sesuai dengan standard simpleks, kemudian dilanjutkan dengan melakukan iterasi atau

perbaikan tabel hingga optimal dan bagian terakhir pada bab ini akan dikemukakan

beberapa issue teknis yang sering kita jumpai dalam metode simpleks

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:

1. Memformulasikan permasalahan sesuai standard simpleks untuk fungsi kendala

dengan tanda ≥ dan atau = .

2. Menyelesaikan permasalahan linear programming dengan iterasi simpleks

untuk fungsi tujuan minimisasi.

3. Menginterpretasikan tabel optimal simpleks

4. Memahami adanya kasus khusus di dalam metode simpleks.

KODE MK / STEKPI / BAB 3

3.29 56

Formulasi Permasalahan LP sesuai dengan Standard

Simpleks :Kasus Minimisasi

TOPIK 1

A. FORMULASI PERMASALAHAN MENURUT METODE SIMPLEKS UNTUK

TANDA PERTIDAKSAMAAN ≥ DAN ═

Pada topik ini akan kita bahas mengenai penyelesaian permasalahan LP dengan

fungsi tujuan minimisasi. Pada permasalahan minimisasi, biasanya kita jumpai tanda ≥

pada fungsi kendala. Kendati demikian tidak menutup kemungkinan fungsi kendala

mempunyai tanda ═ .

Dalam menyelesaikan permasalahan LP dengan metode simpleks, langkah

pertama yang harus kita lakukan adalah menyesuaikan formulasi permasalahan dengan

standard simpleks. Dengan kata lain kita harus merubah tanda pertidaksamaan menjadi

persamaan.

Pada fungsi kendala dengan tanda ≤ kita harus menambahkan slack variabel yang

menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau yang tersisa pada departemen tersebut.

Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semuanya digunakan

dalam proses produksi. Pada permasalahan minimisasi kita jumpai fungsi kendala

dengan tanda ≥ , artinya bahwa kita dapat menggunakan sumberdaya lebih dari yang

tersedia. Pertanyaan yang muncul adalah berapa besarnya kelebihan sumberdaya yang

telah kita gunakan dari yang tersedia ?. Untuk menyatakan kelebihan sumberdaya yang

digunakan dari yang tersedia ini, maka kita harus mengurangi kendala tersebut dengan

surplus variabel. Surplus variabel ini sering juga disebut sebagai slack variabel yang

negatif.

Karena nilai solusi pada permasalahan LP harus non-negatif maka untuk

mengatasi masalah ini kita harus menambahkan artificial variabel (A). Artificial


3.29 57

variabel ini secara phisik tidak mempunyai arti, dan hanya digunakan untuk kepentingan

perhitungan saja.

Untuk lebih memahami permasalahan ini marilah kita lihat permasalahan Galuh

Chemical Company. Galuh Chemical Company harus membuat 1000 unit campuran

phospate dan postassium. Biaya per unit phospate adalah $5, sedangkan biaya per unit

postassium $6. Jumlah phospate yang dapat digunakan tidak lebih dari 300 unit

sedangkan postassium harus digunakan minimal 150 unit. Berapa masing-masing

jumlah phospate dan postassium yang harus digunakan agar biaya total minimum ?

Permasalahan Galuh Chemical Company dapat kita formulasikan ke dalam

bentuk LP sebagai berikut :

Fungsi Tujuan :

Minimisasikan Cost Z = 5X1 + 6X2

Fungsi kendala :

X1 + X2 = 1000

X1 ≤ 300

X2 ≥ 150

X1, X2 ≥ 0

Dimana X1 = jumlah phospate dalam unit

X2 = jumlah postassium dalam unit

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut dengan metode simpleks kita harus

memformulasikan kembali permasalahan tersebut sesuai dengan standard simpleks.

Formulasi sesuai standard simpleks artinya kita harus merubah tanda pertidaksamaan (≤

maupun ≥ ) menjadi persamaan. Untuk kendala dengan tanda = kita hanya

menambahkan artificial variabel saja. Sehingga kendala yang pertama akan menjadi :

X1 + X2 + A1 = 1000

Kendala kedua, X1 ≤ 300 , kita tambahkan slack variabel sehingga menjadi :

X1 + S1 = 300

Sedangkan kendala ketiga, X2 ≥ 150, harus dikurangi dengan surplus variabel dan

ditambah dengan artificial variabel, sehingga menjadi :

X2 – S2 + A2 = 150

Terakhir kita harus menuliskan fungsi tujuan. Karena dalam fungsi kendala ada artificial

variabel, maka kita harus memberikan koefisien +M untuk artificial variable tersebut di


3.29 58

fungsi tujuan. Koefisien +M ini menunjukkan angka yang sangat besar nilainya,

sehingga dalam kasus ini dapat diinterpretasikan biaya yang sangat tinggi. Fungsi tujuan

dalam permasalahan Galuh Chemical Company akan menjadi :

Minimisasikan biaya Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Formulasi sesuai standard simpleks dari permasalahan Galuh Chemical Company secara

lengkap adalah :

Fungsi Tujuan :

Minimisasikan biaya Z = 5X1 + 6X2 + 0S1 + 0S2 + MA1 + MA2

Fungsi kendala :

X1 + X2 + A1 = 1000

X1 + S1 = 300

X2 – S2 + A2 = 150

X1, X2, S1, S2, A1, A2 ≥ 0

Apabila pada fungsi kendala terdapat artificial variabel, sedangkan fungsi

tujuannya maksimisasi, maka koefisien artificial variabel pada fungsi tujuan adalah –M.

B. MEMBUAT TABEL AWAL SIMPLEKS

Seperti halnya yang telah kita pelajari pada bab 2 , langkah selanjutnya untuk

menyelsesaikan permasalahan LP dengan metode simpleks adalah membuat tabel awal.

Pada dasarnya untuk membuat tabel awal pada permasalahan minimisasi sama dengan

permasalahan maksimisasi yang telah kita bahas pada bab 2. Hanya saja karena pada

permasalahan Galuh Chemical Company kita mengenal variabel lain selain slack

variabel yaitu surplus variabel dan artificial variabel, maka variabel yang boleh masuk

ke kolom product mix pada tabel awal ini hanyalah slack variabel dan artificial variabel.

Tabel awal permasalahan Galuh Chemical Company dapat dilihat pada Tabel 3.1.


3.29 59

Tabel 3.1. Tabel Awal kasus Galuh Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M

Product Mix X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q

A1 +M 1 1 0 0 1 0 1000

S1 0 1 0 1 0 0 0 300

A2 +M 0 1 0 -1 0 1 150

Zj +M 2M 0 -M +M +M 1050M

Cj-Zj 5-M 6-2M 0 M 0 0

Angka pada baris Cj (5, 6, 0, 0, +M, +M) tersebut adalah koefisien pada fungsi

tujuan. Sedangkan angka (1, 1, 0, 0, 1, 0) pada baris A1 serta angka (1, 0, 1, 0 0, 0)

pada baris S1 dan angka (0, 1, 0, -1, 0, 1) pada baris A2 adalah koefisien pada kendala

1, 2 dan 3. Angka pada baris Zj (+M, 2M, 0, -M , +M, +M ) diperoleh dari

penjumlahan hasil kali kolom Cj dengan kolom yang bersesuaian. Sebagai contoh kita

akan menentukan nilai Zj kolom X1 = (M x 1) + (0 x 1) + (M x 0) = M. Dengan cara

yang sama kita peroleh nilai Zj pada kolom yang lain. Angka pada baris Cj – Zj

diperoleh dari angka pada baris Cj dikurangi dengan angka pada baris Zj. Sebagai

contoh kita akan menghitung nilai Cj – Zj pada kolom X1 = 5 (yaitu angka pada baris

Cj) – M (angka pada baris Zj) = 5 - M . Demikian juga untuk menghitung nilai Cj – Zj

untuk kolom-kolom yang lain digunakan cara yang sama.

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda

mengerjakan latihan berikut ini !

1. Apakah yang dimaksud dengan surplus variabel ?

2. Bagimanakah formulasi yang sesuai dengan standard simpleks untuk fungsi

kendala dengan tanda ≥.

3. Variabel apa sajakah yang boleh masuk ke dalam kolom product mix pada

tabel awal simpleks?

4. Jika pada fun gsi kendala terdapat artificial variable, bagaimanakah

dampaknya pada fungsi tujuan minimisasi?


3.29 60

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang

disediakan!

RANGKUMAN

Dalam formulasi permasalahan LP sesuai standard simpleks untuk

fungsi kendala dengan tanda ≥ harus dikurangi dengan surplus variable dan

ditambah dengan artificial variable. Sedangkan untuk fungsi kendala dengan

tanda = hanya ditambah ariticial variable.

Karena pada fungsi kendala terdapat artificial variable, maka pada

fungsi tujuan harus ditambahkan koefisien -M untuk permasalahan

maksimisasi serta koefisien +M untuk permasalahan minimisasi.

TES FORMATIF 1

1. Misal diketahui kendala suatu masalah program linier adalah :

4x + 2y ≥ 10

2x + y = 12

Maka bila kendala itu diubah menjadi bentuk simplex yaitu

A. 4x + 2y – SL = 10 , 2x + y = 12

B. 4x + 2y + A1 = 10, 2x + y – A2 = 12

C. 4x + 2y + SP = 10, 2x + y + SL = 12

D. 4x + 2y – SL + A1 = 10, 2x + y + A2 = 12 *

Keterangan :SL = slack variabel

SP = surplus variabel

A1 = artificial variabel untuk kendala 1

A2 = artificial variabel untuk kendala 2


3.29 61

2). Dalam table awal simpleks dengan fungsi tujuan minimisasi, variable yang masuk ke

dalam kolom product mix adalah:

A. hanya slack variable saja

B. slack dan surplus variable

C. surplus dan artificial variable

D. slack dan / atau artificial variable *

3) Untuk masalah minimisasi, koefisien dari fungsi tujuan untuk artificial variable

adalah:

A. nol

B. +M *

C. –M

D. 1

Suatu permasalahan linear programming yang sudah diformulasikan adalah

sebagai berikut :

Fungsi Tujuan Min Z = 3x + 2y

Fungsi Kendala x + y ≥ 600

3x + y = 1500

x + 3y ≤ 1500

x,y ≥ 0

Siapkan table awal simpleks kemudian jawablah pertanyaan berikut ini.

4) Apabila permasalahan tersebut di atas diselesaikan dengan metode simplex maka jumlah artificial variablenya adalah :

A. 0

B. 1

C. 2 *

D. 3


3.29 62

5) Jumlah slack variable nya adalah : A. 0

B. 1 *

C. 2

D. 3

6) Jumlah surplus variable nya adalah :

A. 0

B. 1 *

C. 2

D. 3

7) Variable yang masuk dalam kolom kolom product mix adalah :

A. 1 artificial variable dan 2 surplus variable

B. 1 artificial variable dan 2 slack variable

C. 2 artifial variable dan 1 slack variable *

D 3 slack variable

8) Nilai Zj pada kolom x adalah : A. 0 B. M C. 3M D. 4M *

9) Nilai Cj – Zj kolom y adalah : A. 2 B. 2 – M C. 2 – 2M * D. 2 – 4M

10) Nilai Zj pada kolom kuantitas adalah : A. 0 B. 600M C. 1500 M D. 2100 M *


3.29 63

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat

di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian

gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda dalam materi

Kegiatan Belajar 1.

Rumus

%10010

xbenaryangAndajawabanjumlahpenguasaanTingkat =

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 % - 100 % = baik sekali

80 % - 89 % = baik

70 % - 79 % = sedang

< 70 % = baik sekali

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan

dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi kalau nilai Anda di bawah 80 %, Anda harus

mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama yang belum Anda kuasai.


3.29 64

Penyelesaian Permasalahan LP dengan Metode

Simpleks: Kasus Minimisasi

A. MENENTUKAN PIVOT COLUMN DAN PIVOT ROW

Untuk melakukan perbaikan tabel kita harus menentukan pivot column dan pivot

row seperti yang telah kita bahas pada kasus maksimisasi. Hanya saja penentuan pivot

column pada kasus minimisasi berbeda dengan kasus maksimisasi. Pada kasus

minimisasi, pivot column ditentukan dengan cara memilih angka pada baris CJ – Zj

yang mempunyai tanda negatif serta angkanya paling besar.

Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam perbaikan tabel adalah sebagai-

berikut :

TOPIK 2

1. Menentukan pivot column (variabel yang akan masuk ke dalam kolom

Product Mix), yaitu dengan memilih variable yang mempunyai nilai Cj –

Zj negatif serta angkanya paling besar. Pivot column ini disebut juga

optimal column atau kolom kunci.

2. menentukan pivot row (variable yang akan keluar dari kolom Product

Mix), yaitu dengan membagi kolom quantitas dengan optimal column atau

pivot column kemudian pilih hasil bagi non-negatif terkecil.

Untuk lebih memahami bagaimana kita menentukan pivot column dan pivot

row, marilah kita lihat kembali tabel awal Galuh Chemical Company.


3.29 65

Tabel 3.2. Menentukan Pivot Column dan Pivot Row Kasus Galuh

Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M


A1 +M 1 1 0 0 1 0 1000

S1 0 1 0 1 0 0 0 300

A2 +M 0 1 0 -1 0 1 150 Pivot row

Zj +M 2M 0 -M +M +M 1050M

Cj-Zj 5-M 6-2M 0 M 0 0

Pivot column

Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa variable yang mempunyai nilai Cj – Zj

negatif dan angkanya paling besar adalah variabel X2, karena M menyatakan bilangan

yang sangat besar nilainya. Dengan demikian variabel X2 disebut sebagai Pivot

Column. Untuk menentukan pivot row, kita akan membagi angka pada kolom kuantitas

dengan pivot column (kolom X2), kemudian kita pilih hasil bagi non-negatif terkecil.

Pada kasus Galuh Chemical Company, variabel yang merupakan pivot row (baris kunci)

adalah variabel A2. Oleh karena itu pada tabel berikutnya (Tabel 2), variabel A2 akan

keluar dan digantikan oleh variabel X2.

B. MELAKUKAN ITERASI (PERBAIKAN TABEL)

Dalam baris Cj – Zj tabel 3.1, dapat kita lihat terdapat 2 variabel yang

mempunyai nilai negatif yaitu X1 dan X2. Dalam aturan permasalahan minimisasi,

apabila pada baris Cj-Zj masih terdapat nilai negtif maka tabel tersebut belum optimal,

oleh karena itu kita perlu melakukan iterasi.

Dalam melakukan iterasi langkah yang kita lakukan sama seperti pada

permasalahan maksimisasi, yaitu menentukan pivot column dan pivot row terlebih

dahulu. Penentuan pivot column dan pivot row ini sudah kita lakukan pada bagian A

topik ini. Yang merupakan pivot column adalah variabel X2 sedangkan pivot row

adalah variabel A2. Setelah pivot column dan pivot row ditentukan maka kita akan


3.29 66

menghitung baris X2 untuk tabel 2 ini yaitu dengan cara baris A2 tabel awal dibagi

pivot number (angka kunci), yaitu 1.

Perhitungan nilai pada baris X2 adalah sebagai berikut :

X1 0 ÷ 1 = 0X2 1 ÷ 1 = 1S1 0 ÷ 1 = 0S2 -1 ÷ 1 = -1A1 0 ÷ 1 = 0A2 1 ÷ 1 = 1

KUANTITAS 150 ÷ 1 = 150

Angka-angka pada baris X2 secara lengkap dapat dilihat pada tabel berikut:

PRODUCT MIX Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q X2 6 0 1 0 -1 0 1 150

Langkah selanjutnya adalah mengisi baris yang lain yang bukan merupakan

pivot row, yaitu angka pada baris lama tabel sebelumnya dikurangi dengan hasil

perkalian antara angka pada pivot column baris bersangkutan, dengan angka pada baris

baris yang menggantikan. Dalam kasus Galuh Chemical Company ada 2 variabel yang

akan dihitung nilai pada baris yang baru yaitu baris A1 dan S1.

Perhitungan angka pada baris A1 tabel 2 adalah sebagai berikut :

Angka Baris

A1 yang

Baru

═ Angka Baris A1

yang Lama

─ Angka pada Pivot

Column baris A1

× Angka yang bersesuaian

pada Baris X2

1 ═ 1 ─ 1 × 0

0 ═ 1 ─ 1 × 1

0 ═ 0 ─ 1 × 0

1 ═ 0 ─ 1 × -1

1 ═ 1 ─ 1 × 0

-1 ═ 0 ─ 1 × 1

850 ═ 1000 ─ 1 × 150


3.29 67

Baris S2 yang baru pada tabel 2 akan terlihat sebagai berikut :

PRODUCT MIX Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q A1 +M 1 0 0 1 1 -1 850

Perhitungan angka pada baris S1 tabel 2 adalah sebagai berikut :

Angka Baris

S1 yang Baru

═ Angka Baris S1

yang Lama


Column baris S1


pada Baris S2

1 ═ 1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 1

1 ═ 1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × -1

0 ═ 0 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 1

300 ═ 300 ─ 0 × 150

Baris S1yang baru pada tabel 2 akan terlihat sebagai berikut :

PRODUCT MIX Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q S1 0 1 0 1 0 0 0 300

Tabel 2 dari kasus Galuh Chemical Company secara lengkap adalah sebagai

berikut :

Tabel 3.3. Tabel 2 Kasus Galuh Chemical Company Cj 5 6 0 0 +M +M


A1 +M 1 0 0 1 1 -1 850S1 0 1 0 1 0 0 0 300X2 6 0 1 0 -1 0 1 150

Zj +M 6 0 M-6 +M 6-M 900+850M

Cj-Zj 5-M 0 0 6-M 0 -6+2M

Perbaikan tabel ini akan kita lakukan hingga kita memperoleh tabel optimal,

yaitu apabila baris Cj – Zj sudah positif atau nol. Karena pada tabel 2 ini masih kita

jumpai angka yang bertanda negatif pada baris Cj-Zj yaitu angka pada kolom X1 (5-M)


3.29 68

dan kolom S2 (6-M), maka kita akan melakukan perbaikan tabel dengan membuat tabel

3 dan seterusnya hingga memperoleh tabel optimal. Langkah-langkah yang harus

dilakukan untuk membuat tabel perbaikkan sama dengan langkah-langkah yang telah

kita lakukan pada saat membuat tabel 2 yaitu: tentukan pivot column, pivot row, pivot

number, kemudian hitung angka pada baris yang menggantikan serta angka pada baris

yang lainnya.

Pivot column pada tabel 2 di atas adalah kolom X1 (karena mempunyai angka

negatif terbesar yaitu 5-M), dan pivot row adalah baris S1 (karena merupakan hasil bagi

non-negatif terkecil). Untuk lebih jelasnya perhatikan perhitungan untuk menentukan

pivot row berikut ini :

Untuk baris A1 : 850/1 = 850

Untuk baris S1 : 300/1 = 300 rasio non-negatif terkecil pivot row

Untuk baris X2: 150/0 abaikan rasio seperti ini

Seperti halnya pada saat kita membuat tabel 2, untuk membuat tabel 3 ini setelah

kita menentukan pivot column dan pivot row maka kita akan menentukan pivot number

dan kemudian akan mengisi angka pada baris yang menggantikan yaitu baris X1. Pivot

number pada tabel 2 adalah 1, yaitu angka pada perpotongan kolom X1 dan baris S1.

Angka-angka pivot column, pivot row serta pivot number pada tabel 2 dapat dilihat

pada tabel berikut ini:

Untuk mengisi angka-angka pada baris X1 tabel 3 kita akan membagi angka-

angka pada baris S1 tabel 2 dengan pivot number. Perhitungan selengkapnya adalah

sebagai berikut :

Kolom X1 1 ÷ 1 = 1

Kolom X2 0 ÷ 1 = 0

Kolom S1 1 ÷ 1 = 1

Kolom S2 0 ÷ 1 = 0

Kolom A1 0 ÷ 1 = 0

Kolom A2 0 ÷ 1 = 0

Kolom Kuantitas 300 ÷ 1 = 300


3.29 69

Sehingga baris X1 pada tabel 3 akan terlihat seperti berikut ini

Product Mix Cj X1 X2 S1 S1 A1 A2 Q

X1 5 1 0 1 0 0 0 300

Setelah mengisi angka-angka pada baris X1 maka untuk melengkapi tabel 3 kita

harus mengisi angka-angka pada baris A1 dan X2. Cara untuk mengisi angka-angka

pada baris A1 dan X2 sama dengan cara untuk mengisi baris lainnya pada tabel 2 di

atas. Perhitungan secara lengkap dapat dilihat pada tabel berikut ini :

Mengisi angka pada baris A1

Angka Baris

A1yang Baru

═ Angka Baris A1

yang Lama


Column baris A1


pada Baris S1

0 ═ 1 ─ 1 × 1

0 ═ 1 ─ 1 × 0

-1 ═ 0 ─ 1 × 1

1 ═ 1 ─ 1 × 0

1 ═ 1 ─ 1 × 0

-1 ═ -1 ─ 1 × 0

550 ═ 850 ─ 1 × 300

Baris A1 yang baru pada tabel 3 akan terlihat sebagai berikut :


A1 M 0 0 -1 1 1 -1 550


3.29 70

Menghitung angka pada baris X2 tabel 3.

Angka Baris

X2 yang

Baru

═ Angka Baris X2

yang Lama


Column baris X2


pada Baris S1

0 ═ 0 ─ 0 × 1

1 ═ 1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 1

-1 ═ -1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 0

1 ═ 1 ─ 0 × 0

150 ═ 150 ─ 0 × 300

Sehingga angka Baris A1 pada tabel 3 akan terlihat sebagai berikut :


X2 6 0 1 0 -1 0 1 150

Tabel 3 secara lengkap dapat dilihat seperti tabel di bawah ini :

Tabel 3.4 Tabel 3 Galuh Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M

Product Mix

X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q

A1 +M 0 0 -1 1 1 -1 550 X1 5 1 0 1 0 0 0 300 X2 6 0 1 0 -1 0 1 150 Pivot

row Zj 5 6 5-M -6+M +M -6-

5M 2400+550M

Cj-Zj 0 0 5+M 6-M 0 6M-6

Pivot

column

Dari tabel 3.4 ternyata belum optimal karena pada baris Cj-Zj masih kita jumpai

angka negatif yaitu pada kolom S2. Oleh karena itu kita akan membuat tabel yang ke 4.

pivot column pada tabel 3 adalah kolom S2 sedangkan pivot row adalah baris A1.

Perhatikan hasil perhitungan berikut ini.

Baris A1: 550/1 = 550 pivot row


3.29 71

Baris X1 = 300/0 = 0 abaikan

Baris X2 = 150/ -1 = -150 abaikan

Dari informasi di atas berarti variabel yang akan masuk ke tabel 4 adalah

variabel S2 sedangkan variabel yang akan keluar adalah variabel A1. untuk membuat

tabel 4 kita akan mengisi angka pada baris S2 terlebih dahulu baru kemudian angka

pada baris X1 dan X2.

X1 0 : 1 = 0X2 0 : 1 = 0S1 -1 : 1 = -1S2 1 : 1 = 1A1 1 : 1 = 1

A2 -1 : 1 = -1Q 550 : 1 = 550

Angka pada baris S2 secara lengkap sebagai berikut

Product Mix

Cj X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q

S2 0 0 0 -1 1 1 -1 550

Perhitungan angka baris X1

Angka Baris X1

yang Baru

═ Angka Baris X1

yang Lama

─ Angka pada Pivot Column

baris X1


pada Baris X2

1 ═ 1 ─ 0 × 0

0 ═ 0 ─ 0 × 1 1 ═ 1 ─ 0 × 0 0 ═ 0 ─ 0 × -1 0 ═ 0 ─ 0 × 0 0 ═ 0 ─ 0 × 1

300 ═ 300 ─ 0 × 150


3.29 72

Angka pada baris X1 secara lengkap adalah sebagai berikut:

Product Mix


X1 5 1 0 1 0 0 0 300

Perhitungan angka pada baris X2 tabael 4

Angka Baris A1

yang Baru

═ Angka Baris A1 yang

Lama

─ Angka pada Pivot Column

baris A1


pada Baris X2

0 ═ 0 ─ -1 × 0

1 ═ 1 ─ -1 × 0 -1 ═ 0 ─ -1 × -1 0 ═ -1 ─ -1 × 1 1 ═ 0 ─ -1 × 1 0 ═ 1 ─ -1 × -1

700 ═ 150 ─ -1 × 550

Angka pada baris X2 secara lengkap adalah sebagai berikut

Product Mix


X2 6 0 1 -1 0 1 0 700

Tabel 4 secara lengkap dapat dilihat pada tabel 3.5.

Tabel 3.5. Tabel Optimal Kasus Galuh Chemical Company

Cj 5 6 0 0 +M +M Product

Mix X1 X2 S1 S2 A1 A2 Q

S2 0 0 0 -1 1 1 -1 550 X1 5 1 0 1 0 0 0 300 X2 6 0 1 -1 0 1 0 700

Zj 5 6 -1 0 6 0 5700

Cj-Zj 0 0 1 0 M-6 M

Karena pada baris Cj – Zj pada tabel 4 tersebut sudah positif dan nol maka tabel 4

merupakan tabel optimal. Dari tabel 4 dapat kita simpulkan bahwa jumlah X1 yang

diproduksi 300 unit, X2 700 unit dengan biaya total $ 5.700. S2 sebesar 550


3.29 73

menunjukkan bahwa jumlah postassium yang dipakai lebih dari yang tersedia. Besarnya

kelebihan tersebut adalah 550.

C. ISU TEKNIS PADA METODE SIMPLEKS

Pada bab 1 sudah dijelaskan isu teknis permasalahan LP jika penyelesaian

dilakukan secara grafik. Pada bab ini akan dijelaskan kembali isu teknis dalam LP tetapi

dalam kaitannya dengan penyelesaian secara simpleks. Isu teknis yang akan dibahas

adalah infeasibility, unboundedness solution, degeneracy, serta alternative optima.

Infeasibility adalah suatu situasi dimana tidak ada solusi yang memenuhi

semua kendala. Jika kita menyelesaikan secara simpleks, infeasibility ini akan terlihat

jika semua angka pada baris Cj –Zj sudah menunjukkan solusi yang optimal, namun

artificial variable masih berada pada kolom product mix.

FT Mks Z = 3 X1 + 2 X 2

FK 2X1 + X 2 ≤ 2

3 X1 + 4 X 2 ≥ 12

X1 , X 2 ≥ 0

Cj 3 2 0 0 -M Product

Mix X1 X2 S1 S2 A2 Q

S1 0 2 1 1 0 0 2 A2 - M 3 4 0 -1 1 12 Zj -3M -4M 0 +M -M -12 M Cj-Zj 3+3M 2+4M 0 -M 0

Pivot column

Cj 3 2 0 0 -M

Product Mix

X1 X2 S1 S2 A2 Q

S1 2 2 1 1 0 0 2 A2 - M -5 0 -4 -1 1 4 Zj 4+5M -4M 0 +M -M 4-4 M Cj-Zj -1-5M 0 -2-4M -M 0


3.29 74

Solusi optimal tetapi artificial variable tetap menjadi variable keputusan.

Unboundedness solution adalah situasi yang menggambarkan bahwa

permasalahan LP tidak mempunyai batasan solusi. Hal ini terjadi pada kasus

maksimisasi. Dalam metode simpleks, situasi unboundedness akan terlihat apabila saat

kita akan menentukan pivot row, tidak ada angka yang memenuhi syarat, yaitu: tidak

ada hasil bagi yang non-negatif.

Fungsi tujuan: Maks Z = 15 X1 + 10 X2

Subject to 5 X2 ≤ 25

2X1 + X2 ≥ 4

Tabel

Cj 15 10 - M 0 0 Product Mix

X1 X2 A1 S1 S2 Q

S1 0 0 5 0 1 0 25 25/0 A2 - M 2 1 1 0 -1 4 4/2 =2 Zj -2M -M -M 0 +M -4 M Cj-Zj 15+2M 10+M 0 0 -M Pivot

column

Cj 15 10 - M 0 0 Product Mix

X1 X2 A1 S1 S2 Q

S1 0 0 5 0 1 0 25 X1 15 1 0.5 0.5 0 -0.5 2 Zj 15 15/2 15/2 0 -15/2 30 Cj-Zj 0 5/2 -M-15/2 0 15/2

unboundedness

Degeneracy adalah situasi dimana ada satu variabel solusi (product mix)

bernilai nol. Hal ini diindikasikan adanya hasil bagi yang mempunyai nilai terkecil

sama, saat kita menentukan pivot row.

Kasus

Max 5X1 + 8 X2


3.29 75

Subject to

4X1 + 6X2 < 24

2X1 + X2 < 18

3X1 + 9X2 < 36

X1, X2 >= 0

Cj 5 8 0 0 0 Product

mix Q X1 X2 S1 S2 S3

0 S1 24 4 6 1 0 0 4 Minimal Row 0 S2 18 2 1 0 1 0 18 0 S3 36 3 9 0 0 1 4 Minimal Row Zj 0 0 0 0 0 0 Cj-Zj 5 8 0 0 0 * Optimal column

Pada table berikut Q pada S1 bernilai 0, kendati menjadi salah satu variabel pada

solusi. Kalau terjadi bahwa variabel pada solusi bernilai 0, variabel dan solusi tersebut

disebut degenerasi.

Cj 5 8 0 0 0 Product mix Q X1 X2 S1 S2 S3 0 S1 0 2 0 1 0 -0.7 #DIV/0! Degenerasi 0 S2 14 1.67 0 0 1 -0.1 0.12 8 X2 4 0.33 1 0 0 0.11 0.08 Zj 32 2.67 8 0 0 0.89 Cj-Zj 2.33 0 0 0 -0.89 * Optimal Solution

Alternative optima adalah situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi

optimal. Hal ini terjadi jika nilai pada baris Cj – Zj sama dengan nol untuk variabel

yang tidak berada pada kolom Product Mix.

FT Mks Z = 2 X1 + 4 X2

FK X1 + 2 X2 ≤ 5

X1 + X2 ≤ 4


3.29 76

X1 , X2 ≥ 0

Cj 2 4 0 0 Product

Mix X1 X2 S1 S2 Q

S1 0 1 2 1 0 5 5/2 S2 0 1 1 0 1 4 4/1 Zj 0 0 0 0 0 Cj-Zj 2 4 0 0

Pivot column

Cj 2 4 0 0 Product

Mix X1 X2 S1 S2 Q

X2 4 1/2 1 1/2 0 5/2 S2 0 1/2 0 -1/2 1 3/2 Zj 2 4 2 0 10 Cj-Zj 0 0 -2 0

non basic variable

= 0

LATIHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda

mengerjakan latihan berikut ini !

1. Bagaimana cara menentukan pivot column untuk fungsi tujuan minimisasi?

2. Bagaimana cara menentukan pivot row untuk fungsi tujuan minimisasi?

3. Apa syarat tabel simpleks untuk fungsi tujuan minimisasi ini optimal ?

4. Sebutkan langkah-langkah dalam penyelesaian permasalahan LP dengan

fungsi tujuan minimum dengan menggunakan metode simpleks.

5. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi infeasibility dalam simpleks.

6. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi unboundedness dalam simpleks.


3.29 77

7. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi degeneracy dalam simpleks.

8. Jelaskan suatu situasi dimana terjadi alternative optima dalam simpleks.

Pilih salah satu jawaban yang paling tepat dari beberapa alternatif jawaban yang

disediakan !

RANGKUMAN

Penyelesaian permasalahan simpleks untuk kasus minimisasi pada

dasarnya sama dengan penyelesaian permasalahan maksimisasi. Perbedaannya

hanyalah pada saat menentukan pivot column yaitu kita pilih angka pada baris

Cj – Zj yang merupakan tanda negatif dan angkanya paling besar. Tabel

disebut optimal jika angka pada baris Cj – Zj sudah positif atau nol.

Pada metode simpleks seringkali dijumpai beberapa kasus yaitu

infeasibility, unboundedness solution, degeneracy, serta alternative optima.

TES FORMATIF 2

1) Manakah dari hal berikut ini yang mengindikasikan bahwa table simpleks dengan fungsi tujuan minimisasi sudah optimal ? A. Semua nilai baris Cj-Zj sudah positif atau nol * B. Semua nilai baris Cj-Zj sudah negative atau nol C. Tidak ada slack variable yang berada pada kolom product mix D. Semua angka yang berada pada pivot colum bernilai nol atau negative

2) Dalam menentukan pivot column untuk permasalahan LP dengan fungsi tujuan minimisasi adalah dengan memilih angka pada : A. baris Zj positif terbesar B. baris Zj negative terbesar C. baris Cj – Zj positif terbesar D. baris Cj – Zj negative terbesar *


3.29 78

3). Dalam menentukan pivot row untuk fungsi tujuan minimisasi adalah dengan

memilih hasil bagi kolom kuantitas dengan pivot column :

A. positif terbesar B. negative terbesar C. negative terkecil D. non-negatif terkecil *

4) Isue teknis infeasibility diindikasikan oleh : A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah

optimal*

5) Isue teknis unboundedness diindikasikan oleh : A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif * D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah optimal

6) Isue teknis degeneracy diindikasikan oleh : A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil * C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah optimal

7) Isue teknis alternative optima diindikasikan oleh : A. Pada table optimal nilai Cj-Zj = nol untuk non-basic variable * B. Pada saat menentukan pivot row terdapat lebih dari satu hasil bagi terkecil C. Pada saat menentukan pivot row tidak ada hasil bagi yang non-negatif D. Artificial variable berada pada kolom product mix meskipun table sudah optimal

Berikut adalah table simpleks yang tidak lengkap dengan fungsi tujuan

maksimisasi :

Cj 3 2 0 0 -M Product Mix X Y SL SP A KuantitasY 2 2 1 1 0 0 2 A -M -5 0 -4 -1 1 4 Zj Cj-Zj


3.29 79

Keterangan :

X = produk X

Y = produk Y

SL = slack variable

SP = surplus variable

A = artificial variable

Selesauikan table di atas kemudian jawablah pertanyaan berikut ini

8) Nilai Zj kolom kuantitas adalah : A. 4 B. 6 C. – 6M D. 4 – 4M *

9) Yang merupakan pivot kolom adalah : A. kolom X B. kolom Y C. kolom SL D. tidak ada karena table sudah optimal *

10). Jika table di atas diselesaikan sampai dengan optimal maka kita jumpai adanya

issue teknis yaitu :

A. infeasibility *

B. unboundedness

C. alternative optima

D. degeneracy

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat

di bagian akhir modul ini, dan hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar. Kemudian

gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda dalam materi

Kegiatan Belajar 2.


3.29 80

Rumus

%10010

xbenaryangAndajawabanjumlahpenguasaanTingkat =

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

90 % - 100 % = baik sekali

80 % - 89 % = baik

70 % - 79 % = sedang

< 70 % = baik sekali

Kalau Anda mencapai tingkat penguasaan 80 % ke atas, anda dapat meneruskan

dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Tetapi kalau nilai Anda di bawah 80 %, Anda harus

mengulangi Kegiatan Belajar 2, terutama yang belum Anda kuasai.


3.29 81

Kunci Jawaban Tes Formatif

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

Tes Formatif 1

1) D

2) D 3) B 4) C 5) B 6) B 7) C 8) D 9) C 10) D

Tes Formatif 2

1)

2) D

A

3) D

4) D 5) C 6) B 7) A 8) D

D 9)

10) A


3.29 82

A

alternative optima, 17

angka negatif, 11

artificial variable, 3, 4

D

degeneracy, 16

F

fungsi tujuan, 4

I

infeasibility, 15

M

metode simpleks, 2, 3

minimisasi, 1, 9

N

non-negatif terkecil, 11

P

pivot column, 8, 9, 10

pivot row, 8, 9, 10

U

unboundedness, 15

INDEX

INDEX


3.29 2

D EPUSTAKAAN

Daftar Kepustakaan

Levin, Richard I., David S. Rubin, Joel P. Stinson, dan Everette S. Gardner, Jr. (1992).

Quantitative Approaches to Management, eighth edition, New York, McGraw-

dan Jay Heizer. (1997). Principles of Operations Management, second

Render, Barry, Ralph M. Stair Jr., dan Michael E. Hanna. (2003). Quantitative Analysis

Management, eighth edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice

Hall, Inc.

Taha, Hamdy A. (199 Operations Research, an Introduction, sixth edition, Upper

dle River, New Jersey, Prentice Ha

Hill.

Render, Barry

edition, Upper Saddle River, New Jersey, Prentice Hall, Inc.

for

7).

Sad ll, Inc.

AFTAR K

Simpleks minimasi

Documents

Transcript of Simpleks minimasi