Bab IV - Metode Simpleks--oke_3

Diktat Riset Operasi - LP : METODE SIMPLEKS

Fakultas Ekonomi dan Fakultas Teknik Universitas Muhammadiyah Bengkulu Bab IV - 1

Bab IV Metode Simpleks

Dilakukan jika metode grafik tidak bisa dipakai (variabel keputusan ≥ 2) Metode Simpleks : 1. Simpleks Primal 2. Simpleks Dual

Metode ini digunakan untuk mencari nilai optimal dari program linier dan sangat

bermanfaat terutama untuk mencari nilai optimal 2 variabel atau lebih. Adapun kententuan dari penggunaan table simplek ini adalah :

1. Fungsi tujuan harus dalam bentuk implisit 2. Fungsi – fungsi batasan menggunakan notasi ≤ 3. Fungsi Batasan harus diubah dari ≤ ke bentuk “ = “ dengan menambahkan slack

variable yang dimulai X n + 1, X n + 2 ……. X n + m 4. Proses pengulangan dihentikan manakala koefisien – koefisien dari fungsi tujuan

sudah tidak ada yang negative. Adapun bentuk table simpleks adalah :

Slack Variabel Nilai Kanan (NK)

Variabel Dasar (VD)

Z X1 X2 ….

Xn Xn + 1 Xn + 2 ….. Xn+m

Z Xn + 1

Xn + 2

.

.

. Xn+m

1 0 0 0

-C11 -C22 a11 a12 a21 a22 am1 am2

-Cn 0 0 0 an 1 0 ………. 0 a2n 0 1 ………. 0 amn 0 0 ………. 1

0 b1 b2 - - -

bm

Dimana : M = Banyaknya fungsi Batasan N = Banyaknya variable Ouput B1 = Batasan sumber 1 B2 = Batasan sumber 2 Bm = batasan sumber m Bentuk Linear Programming baku (standar) :

* Semua kendala adalah persamaan ( sisi kanan ≥ 0 ) * Semua variabel non-negatif * Fungsi tujuan berupa maksimisasi / minimisasi



• Kendala (Constraints) 1. Kendala jenis ≤ diubah menjadi = dengan menambahkan Variabel Slack di sisi

kiri. Kendala jenis ≥ diubah menjadi = dengan mengurangkan Variabel Surplus di sisi kiri. Contoh : Kendala X1 + X2 ≤ 15 -> X1 + X2 + S1 = 15 dengan S1 ≥ 0 (S1 adalah sumber daya yang berlebih) Kendala 2 X1 + X2 ≥ 15 -> 2 X1 + X2 - S2 = 15 dengan S2 ≥ 0 (S2 adalah sumber daya yang langka)

2. Sisi kanan harus dibuat non-negatif Contoh : -5 X1 + X2 = -25 diubah menjadi 5 X1 - X2 = 25

3. Arah pertidaksamaan dibalik jika kedua sisi dikalikan -1 Contoh : -5 X1 + X2 ≤ -25 diubah menjadi 5 X1 - X2 ≥ 25

• Variabel

Variabel unrestricted (tidak dibatasi) jika bernilai negatif / positif Misal Xj adalah variabel unrestricted, maka Xj = Xj’ - Xj’’ Xj’ , Xj’’ ≥ 0 Hanya satu (Xj’ atau Xj’’) saja yang bernilai positif

• Fungsi Tujuan

Maksimisasi fungsi = Minimisasi ”negatif” fungsi itu. Contoh : Maks. Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 = Min. (-Z) = -5X1 - 2X2 - 3X3

Contoh Soal : Ubah dalam bentuk Standar :

Min. Z = 2X1 + 3X2 Kendala : X1 + X2 = 10 -2 X1 + 3 X2 ≤ -5 7 X1 - 4 X2 ≤ 6

X1 (Unrestricted) X2 ≥ 0

Jawab :



Min. Z = 2 X1’ - 2 X1’’ + 3 X2 + 0 S2 + 0 S3 Kendala : X1’ - X1’’ + X2 = 10 -2 X1’ + 2 X1’’ + 3 X2 + S2 = -5 -> 2 X1’ - 2 X1’’ - 3 X2 - S2 = 5 7 X1’ - 7 X1’’ - 4 X2 + S3 = 6 X1’ , X1’’ , X2 , S2 , S3 ≥ 0 Solusi Dasar • Jika ada model Linear Programmingdengan m persamaan (kendala) dan n

variabel keputusan, maka solusi dasar -> n - m = 0 Sisanya dipecahkan sehingga mendapat solusi layak dan unik.

• n - m variabel yang dibuat nol disebut variabel non-basis n variabel sisanya disebut variabel basis

Contoh : 2X1 + X2 + 4X3 + X4 = 2 X1 + 2 X2 + 2X3 + X4 = 3 m = 2 n = 4 n – m = 2 -> Variabel non-basis Sisa = 2 -> Variabel basis Pilih 2 variabel yang dibuat nol, misal X3 = 0, X4 = 0 Maka 2X1 + X2 = 2 X1 + 2 X2 = 3 Dengan eliminasi dihasilkan X1 = 1/3 dan X2 = 4/3 {hasil non-negatif = layak} Solusi dasar X1 = 1/3 , X2 = 4/3 , X3 = 0 , X4 = 0 X1 dan X2 adalah var. Basis

X3 dan X4 adalah var non-basis.

METODE SIMPLEKS PRIMAL

� Variabel masuk adalah variabel non-basis yang masuk ke himpunan variabel dasar

pada iterasi berikutnya. � Variabel keluar adalah variabel basis yang keluar dari solusi basis pada iterasi

berikutnya. Dua kondisi Simpleks Primal: 1. Kondisi Optimal

: Variabel masuk dalam maksimisasi (minimisasi) adalah variabel non-basis dengan koefisien paling negatif (positif) dalam persamaan fungsi tujuan (Z).



2. Kondisi Layak :

Variabel keluar adalah variabel basis yang mempunyai titik potong terkecil (rasio minmum dengan penyebut positif).

Langkah-langkah iterasi Simpleks Primal : 1. Dengan bentuk standar, tentukan solusi dasar awal yang layak. 2. Pilih variabel masuk diantara variabel non-basis dengan menggunakan kondisi

optimal. 3. pilh variabel keluar dari variabel basis dengan menggunakan kondisi layak. 4. Tentukan nilai variabel basis yang baru dengan membuat variabel masuk tersebut

sebagai variabel basis dan variabel keluar sebagai variabel non-basis. 5. Kembali ke langkah 1. Contoh :

Sebuah perusahaan meubel memproduksi meja dan kursi menggunakan papan, kayu, dan waktu pengerjaan. Setiap meja membutuhkan 5 unit papan, 2 unit kayu, dan 4 jam pengerjaan. Setiap kursi membutuhkan 2 unit papan, 3 unit kayu, dan 2 jam pengerjaan. Perusahaan dapat keuntungan $12 untuk meja dan $8 untuk kursi. Tersedia 150 unit papan, 100 unit Kayu, dan 80 jam pengerjaan. Berapa banyak produk agar keuntungan maksimum? Jawab : - Variabel Keputusan : X1 = meja, dan X2 = kursi - Fungsi Tujuan : Maks. Z = 12 X1 + 8 X2

- Kendala : papan, kayu, dan waktu Formulasi Model :

Maks. Z = 12 X1 + 8 X2 Kendala : 5 X1 + 2 X2 ≤ 150 2 X1 + 3 X2 ≤ 100 4 X1 + 2 X2 ≤ 80

X1 , X2 ≥ 0 Bentuk standard

Maks. Z = 12 X1 + 8 X2 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 Kendala : 5 X1 + 2 X2 + S1 = 150 2 X1 + 3 X2 + S2 = 100 4 X1 + 2 X2 + S3 = 80

X1 , X2 , S1 , S2 , S3 ≥ 0



Tabel Simpleks non basis

Basis (Dasar)

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

Z 1 -12 -8 0 0 0 0 → Pers Z S1 0 5 2 1 0 0 150 → Pers S1 S2 0 2 3 0 1 0 100 → Pers S2 S3 0 4 2 0 0 1 80 → Pers S3

Var msk

Basis (Dasar)

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio

Z 1 -12 -8 0 0 0 0 S1 0 5 2 1 0 0 150 150/5 =

30 S2 0 2 3 0 1 0 100 100/2 =50 S3 0 4 2 0 0 1 80 80/4 = 20

Pers Pivot (Var Keluar) elemen pivot Aturan metode Gauss Jordan :

1. Pers. Pivot Pers. Pivot baru = pers. pivot lama : elemen pivot

2. Pers. Lain Pers. Baru = pers. Lama – ( koef kolom var masuk * pers. Pivot baru )

Maka : S3 X1 = ( 0 4 2 0 0 1 80 ) / 4 = ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 20 ) S2 baru = ( 0 2 3 0 1 0 100 ) - 2 ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 20 ) = ( 0 2 3 0 1 0 100 ) - ( 0 2 1 0 0 ½ 40 ) = ( 0 0 2 0 1 -½ 60 ) S1 baru = ( 0 5 2 1 0 0 150 ) - 5 ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 20 ) = ( 0 5 2 1 0 0 150 ) - ( 0 5 5/2 0 0 5/4 100 ) = ( 0 0 -½ 1 0 -5/4 50 ) Z baru = ( 1 -12 -8 0 0 0 0 ) - (-12) ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 20 ) = ( 1 -12 -8 0 0 0 0 ) - ( 0 -12 6 0 0 -3 -240 ) = ( 1 0 -2 0 0 3 240 )



Var msk

Basis (Dasar)

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi Rasio

Z 1 0 -2 0 0 3 240 S1 0 0 -½ 1 0 -5/4 50 50/(-½) = -

100 S2 0 0 2 0 1 -½ 60 60/2 = 30 X1 0 1 ½ 0 0 ¼ 20 20/(½) = 40

Pers Pivot (Var Keluar) elemen pivot S2 X2 = ( 0 0 2 0 1 -½ 60 ) / 2 = ( 0 0 1 0 ½ -¼ 30 ) X1 baru = ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 200 ) - ½ ( 0 0 1 0 ½ -¼ 30 ) = ( 0 1 ½ 0 0 ¼ 200 ) - ( 0 0 ½ 0 ¼ -1/8 15 ) = ( 0 1 0 0 -¼ 3/8 5 ) S1 baru = ( 0 0 -½ 1 0 -5/4 50 ) - (-½ )( 0 0 1 0 ½ -¼ 30 ) = ( 0 0 -½ 1 0 -5/4 50 ) - ( 0 0 -½ 0 -¼ 1/8 -15 ) = ( 0 0 0 1 ¼ -11/8 65 ) Z baru = ( 1 0 -2 0 0 3 240 ) - (-2 )( 0 0 1 0 ½ -¼ 30 ) = ( 1 0 -2 0 0 3 240 ) - ( 0 0 -2 0 -1 ½ -60 ) = ( 1 0 0 0 1 5/2 300 ) Tabel Akhir

Basis (Dasar)

Z X1 X2 S1 S2 S3 Solusi

Z 1 0 0 0 1 5/2 300 S1 0 0 0 1 ¼ -11/8 65 X2 0 0 1 0 ½ -¼ 30 X1 0 1 0 0 ¼ 3/8 5

Kesimpulan : X1 = 5 ( banyak meja ) X2 = 30 ( banyak kursi ) S1 = 65 ( unit papan / pers. Kendala 1 yg berlebih ) Z = 300 ( keuntungan maks ) Bukti

� Fungsi tujuan Z = 12 X1 + 8 X2

= 12 ( 5 ) + 8 ( 30 )



= 60 + 240 = 300

� Papan 5 X1 + 2 X2 ≤ 150

5 ( 5 ) + 2 ( 30 ) = 25 + 60 = 85 150 - 85 = 65 ( sisa )

� Kayu 2 X1 + 3 X2 ≤ 100

2 ( 5 ) + 3 ( 30 ) = 10 + 90 = 100

� Waktu 4 X1 + 2 X2 ≤ 80

4 ( 5 ) + 2 ( 30 ) = 20 + 60 = 80

METODE SIMPLEKS: Teknik M dan Teknik Dua Fase

1. TEKNIK M ( METODE PENALTY ) Kendala tidak 2. TEKNIK DUA FASE semuanya ≤

A. TEKNIK M Contoh = Min Z = 4 X1 + X2 Kendala 3 X1 + X2 = 3 4 X1 + 3 X2 ≥ 6 X1 + 2 X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0 a. Bentuk standar Min Z = 4 X1 + X2 Kendala 3 X1 + X2 = 3 ......... ( 1 ) 4 X1 + 3 X2 - X3 = 6 ......... ( 2 ) X1 + 2 X2 + X4 = 4 X1 , X2 , X3 , X4 ≥ 0 Karena ( 1 ) dan ( 2 ) tidak memiliki var slack , maka ditambahkan R1 dan R2 sebagai var bantuan ( 1 ) 3 X1 + X2 + R1 = 3 ( 2 ) 4 X1 + 3 X2 - X3 - R2 = 6 � Pada fungsi tujuan berikan koefisien M > 0, untuk R1 dan R2 ; sehingga : Min Z = 4 X1 + X2 + MR1 + MR2 Kendala 3 X1 + X2 + R1 = 3 4 X1 + 3 X2 - X3 - R2 = 6 X1 + 2 X2 + X4 = 4 X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4 ≥ 0



� Subtitusikan R1 dan R2 ke fungsi tujuan : R1 = 3 - 3 X1 - X2

R2 = 6 - 4 X1 - 3 X2 + X3

Maka : Z = 4 X1 + X2 + M(3 - 3 X1 - X2) + M(6 - 4 X1 - 3 X2 + X3) = ( 4 - 7M ) X1 + ( 1 – 4M ) X2 + M X3 + 9M Persamaan Z dalam tabel : Z + ( 7M - 4 ) X1 + ( 4M - 1 ) X2 - M X3 = 9M � Solusi dasar awal ; X1 = 0, X2 = 0, X3 = 0 -> Z = 9M

Sehingga X1 , X2 , X3 var non basis

Tabel Metode Big M Iterasi 0 (awal) X1 (paling + ) R1 Keluar

Basis X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solusi Z (7M – 4) (4M – 1) -M 0 0 0 9M R1 3 1 0 1 0 0 3 3/3 = 1 R2 4 3 -1 0 1 0 6 6/4 X4 1 2 0 0 0 1 4 4/1

( 1 ) X2

masuk R2

keluar

Z 0 (1+5M)/3 -M (4-7M)/3 0 0 4+2M X1 1 1/3 0 1/3 0 0 1 1/(1/3)= 3 R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2 2/(5/3)=

6/5 X4 0 5/3 0 -1/3 0 1 3 8/5

( 2 ) X3

masuk X4

keluar

Z 0 0 1/5 (8/3-M) (-1/5-M) 0 18/3 X1 1 0 1/5

3/5 -1/5 0 3/5 3 X2 0 1 -3/5 -4/5

3/5 0 6/5 X4 0 0 1 1 -1 1 1 1

( 3 ) (optimum)

Z 0 0 0 7/3-M -M -1/5 17/5

X1 1 0 0 2/5 0 -1/5 2/5

X2 0 1 0 -1/5 0 3/5 9/5

X3 0 0 1 1 -1 1 1 B. DUA FASE Bertujuan untuk mengurangi kesalahan perhitungan dari pemberian nilai yg besar untuk konstanta M pada metode TEKNIK M (penalty) Contoh = Min Z = 4 X1 + X2 Kendala 3 X1 + X2 = 3 4 X1 + 3 X2 ≥ 6 X1 + 2 X2 ≤ 4 X1 , X2 ≥ 0 Tahap 1 :



Bentuk dengan var buatan : R1 dan R2 Min r = R1 + R2 Kendala 3 X1 + X2 + R1 = 3 4 X1 + 3 X2 - X3 - R2 = 6 X1 + 2 X2 + X4 = 4 X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4 ≥ 0 Fungsi tujuan r = R1 + R2 = ( 3 – 3 X1 - X2 ) + ( 6 - 4 X1 - 3 X2 + X3 ) = -7 X1 - 4 X2 + X3 + 9

Tabel Awal Basis X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solusi

Z 7 4 -1 0 0 0 9 R1 3 1 0 1 0 0 3 R2 4 3 -1 0 1 0 6 X4 1 2 0 0 0 1 4

Tabel optimum : setelah 2 iterasi ( periksa ! )

Basis X1 X2 X3 R1 R2 X4 Solusi r 0 0 0 -1 -1 0 0

X1 1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5

X2 0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5

X4 0 0 1 1 -1 1 1 Karena minimum solusi r = 0, masalah ini memiliki pemecahan ( solusi ) layak. Lanjutkan ke tahap ( Fase ) kedua.

Tahap 2 � Menyingkirkan variabel buatan ( R1 dan R2 ) � Dari tabel optimum tahap 1 didapatkan :

X1 + 1/5X3 = 3/5

X2 - 3/5X3 = 6/5

X3 + X4 = 1 Masalah semula ditulis : Min Z = 4 X1 + X2

Kendala X1 + 1/5X3 = 3/5 ......... ( 1 )

X2 - 3/5X3 = 6/5 ......... ( 2 )

X3 + X4 = 1 X1 , X2 , X3 , R1 , R2 , X4 ≥ 0

Maka terdapat 3 persamaan dan 4 variabel sehingga solusi dasar layak didapat dg membuat (4 – 3) = 1 variabel dibuat nol

X3 = 0 -> X1 = 3/5 ; X2 = 6/5 ; X4 = 1



� Fungsi tujuan Z = 4 X1 + X2

= 4 ( 3/5 + 1/5 X3 ) + (6/5 + 3/5X3 ) = - 1/5 X3 + 18/5

Tabel Awal Var msk

Tabel optimum

Bandingkan dengan TEKNIK M! Contoh Soal: Suatu perusahaan sepatu ingin membuat dua jenis produk sepatu yaitu sepatu yang terbuat dari sol karet dan sol kulit. Produksi tersebut melalui tahap – tahap produksi sebagai berikut : Machinery I Raw Material Machinery III (fishing Good )

Machinery II Dimana : Sepatu dari sol karet memerlukan waktu : 2 hour in Machinary I 6 hour in machinery III Sepatu Sol kulit membutuhkan : 3 hour in Machinary II 5 hour in machinery III Jika waktu maksimum bekerja :

Basis X1 X2 X3 X4 Solusi Z 0 0 1/5 0 18/5 X1 1 0 1/5 0 3/5 X2 0 1 -3/5 0 6/5 X4 0 0 1 1 1

Basis X1 X2 X3 X4 Solusi Z 0 0 0 -1/5

17/5 X1 1 0 0 -1/5

2/5 X2 0 1 0 3/5

9/5 X3 0 0 1 1 1



- Machinery I 8 Hour - Machinery II 15 Hour - Machinery III 30 Hour

Hitunglah jumlah masing-masing produk agar diperoleh keuntungan maximum. Dimana

- Keuntungan kulit sepatu sol karet : 300 - Keuntungan kulit sepatu sol kulit : 500

Untuk menyelesaikan kasus tersebut maka dibuatlah tabel – tabel sebagai berikut :

Source (Machinery)

Sol Karet (X1) Sol Kulit (X2) Capasity

I 2 0 8 II 0 3 15 III 6 5 30

Profit 300 500 Profit : Diambil satu angka dibelakang koma 3 dan 5 (Ratusan) -Fungsi Tujuan = Z = 3x1 + 5 x2 Z - 3x1 - 5 x2 = 0 Persamaan Linier (Bentuk Grafik) Bentuk Standar S impleks Batasan 1 : 2x1 + 0 ≤ 8 2x1 + X3 = 8 Batasan 2 : 0 + 3x2 ≤ 15 3x2 + X4 = 15 Batasan 3 : 6x1 + 5x2 ≤ 30 6x1 + 5x2 + X5 = 30

Slack Variabel Nilai Kanan (NK) Variabel Dasar (VD) Z X1 X2 X3 X4 X5 Index

Z X3 X4 X5

1 0 0 0

-3 -5 2 0 0 3 6 5

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

0 8

15 30

0 0 5 6

Langkah Selanjutnya :

1. Cari kolom kunci yang nilainya paling kecil (Negatif)



2. Tentukan Indek dari table tersebut :

Nilai Kanan (NK)

Cara menentukan indek : Kolom Kunci (KK)

3. Cari Baris kunci yang paling kecil dari indeks 4. Cari Nilai Elemen Cell adalah Perpotongan antara kolom kunci dan baris kunci 5. Buatlah baris kunci baru

Baris Kunci Baru : Baris Kunci Lama Elemen Cell X2 = 0 3 0 1 0 15 3

Baris Kunci Baru (X2) : 0 1 0 1/3 0 5 -3 -5 0 0 0 0 Baris Z Baru = - 5 ( 0 1 0 1/3 0 5 ) _ = -3 -5 0 0 0 0 0 -5 0 5/3 0 25 - -3 0 0 5/3 0 25 2 0 1 0 0 8 Baris X3 Baru (X3) = 0 ( 0 1 0 1/3 0 5 ) _ = 2 0 1 0 0 8 0 0 0 0 0 0 - 2 0 1 0 0 8 6 5 0 0 1 30 Baris X 5 Baru (X5) = 5(0 1 0 1/3 0 5 = 6 5 0 0 1 30 0 5 0 5/3 0 25- 6 0 0 -5/3 1 5



Tabel 2


Z X3 X2 X5

1 0 0 0

-3 0 2 0 0 1 6 0

0 5/3 0 1 0 0 0 1/3 0 0 -5/3 1

25 8 5 5

- 8 3/4 4 ~

5/6

Baris Kunci Baru = Baris Kunci Lama Elemen Cell = 0 6 0 0 -5/3 1 5 6

Baris Kunci Baru (X1) = 1 0 0 - 5/18 1/6 5/6 -3 0 0 5/3 0 25

Baris Z” Baru = - 3( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _ = -3 0 0 5/3 0 25 3 0 0 15/18 -3/6 -15/6- 0 0 0 5/6 1/2 27 1/2 2 0 1 0 0 8 Baris X3” Baru (X3”) = 2 ( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _ 0 0 1 5/9 1/3 6 1/3 0 1 0 1/3 0 5 Baris X2” Baru (X2”) = 0 ( 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 ) _ 0 1 0 1/3 0 5 Tabel 3


Z X3 X2 X1

1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1 0

0 5/6 1/2 1 5/9 -1/3 0 1/3 0 0 -5/18 1/6

27 1/2 6 1/3

5 5/6



Kasus Maksimisasi dengan Metode Simpleks

Contoh soal 1: Max. 3X1 + 2X2 Kendala

4 X1 + 3X2 <= 12

4X1 + X2 <= 8 Selesaikan dengan Simpleks!

Jawaban:

Tabel Simpleks Awal

Z X1 X2 S1 S2 QUANTITY RASIO

Z 1 -3 -2 0 0 0

S1 0 4 3 1 0 12 12/4 = 3

S2 0 4 1 0 1 8 8/4 = 2

Kolom Kunci ( X1 )

Baris Kunci ( S2 )

Angka Kunci ( 4 ) atau (X1 ---S2)

1. Perubahan angka-angka pada baris kunci

Baris S2 …. angka lama

S2 0 4 1 0 1 8 Dibagi dengan angka kunci 4

S2 0/4 4/4 1/4 0/0 1/4 8/4 angka baru BK (AbBK)

� 0 1 ¼ 0 ¼ 2

Perubahan angka-angka pada baris lain Baris Z ...angka lama:



Z 1 -3 -2 0 0 0 Dibagi angka kunci baris Z, -3 dikalikan AbBK

� 0.(-3) 1.(-3) ¼.(-3) 0.(-3) ¼.(-3) 2.(-3) � 0 -3 ¾ 0 -3/4 -6

Angka baru (Angka lama dikurangi angka baru) � 1-0 -3-(-3) -2-(3/4) 0-(0) 0-(-3/4) 0-(-6) � 1 0 -1.25 0 0.75 6

2. Baris S1...angka lama :

S1 0 4 3 1 0 12 Dibagi angka kunci baris S1 (4) dikalikan AbBK

� 0.(4) 1.(4) ¼.(4) 0.(4) ¼.(4) 2.(4) � 0 4 1 0 1 8

Angka baru (Angka lama dikurangi angka baru) � 0-(0) 4-(4) 3-(1) 1-(0) 0-(1) 12-(8) � 0 0 2 1 -1 4

Angka -angka yang baru diperoleh tadi, kemudian dimasukkan kedalam table iterasi 1,

Tabel Iterasi 1

Z X1 X2 S1 S2 QUANT RASIO

Z 1 0 -1.25 0 0.75 6 belum optimal

S1 0 0 2 1 -1 4 4/2 = 2 ( ada yg negatif )

X1 0 1 0.25 0 0.25 2 2/0.25 = 8

Kolom Kunci ( X2 )

Baris Kunci ( S1 )

Angka Kunci ( 2) atau (X2 ---S1)

Dengan cara yang sama, diperoleh: Perubahan angka pada baris kunci: Baris S1 …. angka lama

0 0 2 1 -1 4 Dibagi dengan angka kunci 2 => 0/2 0/2 2/2 ½ -1/2 4/2



Angka baru S1 menjadi: � 0 0 1 ½ -1/2 2

Perubahan angka -angka pada baris lain

Baris Z ...angka lama : 1 0 -1.25 0 0.75 6

( -1.25) x (AbBK) : 0 0 -1.25 -0.625 0.625 -2.5 -

angka baru BK (AbBK) => 1 0 0 0.625 0.125 8.5

Baris S2 ...angka lama : 0 1 0.25 0 0.25 2

( 0.25) x (AbBK) : 0 0 0.25 0.125 0.125 0.5 -

angka baru BK (AbBK) => 0 1 0 0.125 0.375 1.5 Angka-angka yang baru diperoleh tadi, kemudian dimasukkan kedalam table iterasi 2,

Tabel Iterasi 2 Sudah optimal, X1 dan S2 tidak ada angka negatif

Z X1 X2 S1 S2 QUANT Z 1 0 0 0.625 0.13 8.5

X2 0 0 1 0.5 -0.5 2

X1 0 1 0 -0.125 0.38 1.5

Jadi tingkat keuntungannya :

Z = 3X2+2X1

Z = 3 (1.5) + 2 ( 2)

Z= 8.5 satuan.



Soal Metode SIMPLEKS 2:

Maksimumkan Z = 3x + 9y , dengan kendala:

• x + 4y ≤ 8 • x + 2y ≤ 4 • x , y ≥ 0

Jawab: Bentuk Umum:

Bentuk Baku:

Z = 3x + 9y -----------> Z - 3x - 9y =0 x + 4y ≤ 8 -----------> x + 4y + S1 = 8 x + 2y ≤ 4 -----------> x + 2y + S2 = 4 Tabel Simpleks Tingkat I ( Tabel Simpleks Dasar )

Variabel Das ar Z x y S1 S2 Solusi Z 1 -3 -9 0 0 0

S1 0 1 4 1 0 8 ~>8/2=2* S2 0 1 2 0 1 4 ~>4/2=2*

Nilai baru baris kunci:

S2 0 0.5 1 0 0.5 2 Nb: *Jika hasil pembagian untuk mencari baris kunci sama, bisa dipilih salah satu (Bebas). Nilai baru baris kunci ditentukan dengan cara membagi angka pada baris kunci sehinga angka kunci bernilai 1 (satu). Pada tabel simpleks II, baris kunci digantikan kolom kunci, baris ini diisi nilai baru baris kunci. Untuk angka pada baris lain ditentukan dengan rumus: Baris Baru = Baris Lama - ( Angka pada kolom kunci yang bersesuaian DIKALI dengan nilai baru baris kunci ) Tabel Simpleks Tingkat II ( Tabel Simpleks Optimum )

Variabel Dasar Z x y S1 S2 Solusi Z 1 1.5 0 0 4.5 18

S1 0 -1 0 1 -2 0 y 0 0.5 1 0 0.5 2



Nb: Tabel dikatakan optimum (selesai) jika semua angka-angka pada baris Z ( Baris Tujuan ) sudah bernilai positif atau nol. Nilai variabel dasar diperoleh dari kolom Solusi yang bersesuaian. Jadi nilai maksimum dari Z adalah 18 ,dengan nilai x = 0 dan y = 2 . Ket:

~>Kolom Kunci diperoleh dari angka dari baris tujuan (Baris Z) yang merupakan bilangan negatif terbesar.

~>Baris Kunci diperoleh dari bilangan positif terkecil hasil dari pembagian angka dari kolom solusi (kecuali Baris Z) dibagi dengan angka pada kolom kunci yang bersesuaian.

~>Angka Kunci diperoleh dari perpotongan baris kunci dan kolom kunci.

Contoh soal Grafik dan Simpleks

*) JIHAN ingin merencanakan membuat dua jenis makanan yaitu jenis makanan A dan jenis makanan B . Dia ingin mengetahui berapa banyak kedua jenis bahan makanan tersebut harus dibeli, karena dia ingin keluarganya mendapat makanan yang bergizi. Dia pernah membaca dalam majalah “NIRMALA” bahwa satu orang kebutuhan minimum per harinya adalah 12 unit protein dan 9 unit karbohidrat. Sedangkan kandungan unsur-unsur itu dalam jenis makanan A dan jenis makanan B dapat dilihat pada tabel berikut ini :

Kandungan Jenis Makanan A

(unit) Jenis Makanan B

(unit) Protein 1 3 Karbohidrat 2 1

Di pasar dia melihat harga kedua jenis bahan makanan tersebut adalah satu unit A harganya Rp. 500,- dan satu unit B harganya Rp. 300,- Jawaban :

Kandungan Jenis Makanan A

(unit) Jenis Makanan B

(unit) Jumlah Minimum

Protein 1 3 12



Karbohidrat 2 1 9 Harga 500 300 Variabel keputusan : X1 = banyaknya jenis makanan A yang dibuat. X2 = banyaknya jenis makanan B yang dibuat. Fungsi tujuan : Zmin = 500X1 + 300X2 Kendala : X1 + 3X2 ≥ 12 (protein) 2X1 + X2 ≥ 9 (karbohidrat) X1 dan X2 ≥ 0

Metode Grafik : X1 + 3X2 = 12 � X1 = 0, X2 = 12/3 = 4 � ( 0, 4) X2 = 0, X1 = 12. � (12,0) 2X1 + X2 = 9 � X1 = 0, X2 = 9 � (0,9) X2 = 0, X1 = 4½ � ( 4½, 0)

Titik A : X1 = 0 , X2 = 9, Jadi Z = 300 (9) = 2700 Titik B : X1 + 3X2 = 12 � x 2 � 2X1 + 6X2 = 24 2X1 + X2 = 9 � x 1 � 2X1 + X2 = 9 5X2 = 15 � X2 = 15/5 = 3



X1 + 3 (3) = 12 � X1= 12 – 9 = 3 Jadi Z = 500 (3) + 300 (3) = 1.500 +900 = 2.400 � minimum Titik C : X1 = 12, X2 = 0, jadi Z = 500 (12) = 6.000 Metode simplex : � Merubah formulasi pada fungsi tujuan dan kendala. Fungsi tujuan Z = 500X1 + 300X2 � Z – 500X1 – 300X2 = 0. Kendala : X1 + 3X2 ≥ 12 � X1 + 3X2 + X3 = 12 2X1 + X2 ≥ 9 � 2X1+ X2 + X4 = 9 � Menyusun persamaan2 di dalam tabel

Var. Dasar Z X1 X2 X3 X4 Nk Indeks

Z 1 -500 -300 0 0 0

X3 0 1 3 1 0 12 12/1=12

X4 0 2 1 0 1 9 9/2=4½

� Merubah nilai2 baris kunci dengan nilai baris kunci dibagi dengan angka kunci. 2/2=1 1/2=1/2 0/2=0 1/2 9/2=4½ [ 1 1/2 0 ½, 4½] � nilai baru baris kunci � Merubah nilai2 selain pada baris kunci.

� Baris pertama (Z) : [ -500 -300 0 0, 0 ]

-500 [ 1 1/2 0 ½, 4½ ] 0 -50 0 250 2,250 � Nilai baru

� Baris ke-2 : [ 1 3 1 0, 12 ]

1 [ 1 1/2 0 ½, 4½] 0 2½ 1 -1/2 7½ � Nilai baru



� Merubah nilai2 selain pada baris kunci.

� Nilai baris kunci 0/2½ 2½/2½ 1/2½ -½/2½, 7½/2½

[ 0 1 2/5 -1/5, 3 ] � Baris ke-1 :

[ 0 -50 0 250 2250] -50 [ 0 1 2/5 -1/5 3 ]

0 0 20 240 2400 �Nilai baru

� Baris ke-3 : [ 0 1/2 0 1/2 4½] 1/2 [ 0 1 2/5 -1/5 3 ]

0 0 -2/10 6/10 3 �Nilai baru

Var. Dasar Z X1 X2 X3 X4 Nk Indek

Z 1 -500 -300 0 0 0

X3 0 1 3 1 0 12

X4 0 2 1 0 1 9

Z 1 0 -50 0 250 2250

Var. Dasar Z X1 X2 X3 X4 Nk Indek

Z 1 -500 -300 0 0 0

X3 0 1 3 1 0 12

X4 0 2 1 0 1 9

Z 1 0 -50 0 250 2250

X3 0 0 2½ 1 -1/2 7½ 3

X1 0 1 1/2 0 1/2 4½ 9



X3 0 0 2½ 1 -1/2 7½ 3

X1 0 1 1/2 0 ½ 4½ 9

Z 1 0 0 20 240 2400

X2 0 0 1 2/5 -1/5 3

X1 0 0 0 -2/10 6/10 3

Kesimpulannya : Untuk pembelian dengan biaya minimum, maka jenis makanan A dibeli 3 unit dan jenis makanan B dibeli 3 unit sehingga pengeluaran hanya Rp. 2.400,-. Diperiksa kembali oleh Software POM for Windows 3.0, bandingkanlah dengan:



CONTOH SOAL MINIMASI MENGGUNAKAN METODE M

A. PT ANNISA TOYS merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000. uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukan uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10% sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of return per unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa target rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya. Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yang terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya untuk cabang usaha P ditargetkan paling sedikit jumlah investasinya adalah $3.0000. Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masing-masing usaha dapat diinvestasikan ?(metode grafis dan metode simpleks)

JAWABAN

1. Metode Grafis

Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y

• Fungsi Pembatas : • 50x + 100y ≤ 1.200.000 • 50x ≥ 3.000 • 5x + 4y ≥ 60.000

Grafisnya :

• 50x + 100y ≤ 1.200.000 => 50x + 100y = 1.200.000

Jika x = 0 maka y = 12.000, jadi koordinatnya (0,12.000)

Jika y = 0 maka x = 24.000, jadi koordinatnya (24.000,0)

• 50x ≥ 3.000 => 50x = 3.000 => x = 60 • 5x + 4y ≥ 60.000 => 5x + 4y = 60.000



Jika x = 0 maka y = 15.000, jadi koordinatnya (0,15.000)

Jika y = 0 maka x = 12.000, jadi koordinatnya (12.000,0)

Jadi Solusi yang ditawarkan :

x y Z = 8x + 3y Keterangan 12.000 0 96.000 24.000 0 192.000

4.000 10.000 62.000 * Minimum

2.Metode Simpleks

Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y

Fungsi Pembatas : 50x + 100y ≤ 1.200.000

• 50x ≥ 3.000 • 5x + 4y ≥ 60.000

Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh :



Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2

• 50x + 100y + S1 = 1.200.000 • 50x - S2 + A1 = 3.000 • 5x + 4y – S3 + A2 = 60.000

Table Simpleks Awal

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio Z 55M-

8 4M-3

0 -M

-M

0 0 63.000M

S1 50 100 1 0 0 0 0 1.200.000 1.200.000:50=24.000 A1 50 0 0 -1 0 1 0 3.000 3.000:50 = 60 A2 5 4 0 0 -1 0 1 60.000 60.000 : 5 = 12.000

Iterasi Pertama

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Rasio Z 0 4M-

3 0 0,1M-

0,16 0 -

1,1M+0,16 0 59.700M+480

S1 0 100 1 1 0 -1 0 1.197.000 11.970 X1 1 0 0 -0,02 0 0,02 0 60 A2 0 4 0 0,1 -1 -0,1 1 5700 1.425

Iterasi Kedua

Basis X1 X2 S1 S2 S3 A1 A2 NK Z 0 0 0 -

0,085 M-0,75

-M+0,085

-M+0,75

54.000M+4755

S1 0 0 1 -1,5 25 1,5 -25 1.054.500 X1 1 0 0 -0.02 0 0.02 0 60 X2 0 1 0 0,025 -

0,25 -0,025 0,25 1425

Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan X1= 60, X2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755

B. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun



batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat?

JAWABAN

Pemodelan matematika : Maksimumkan : Z = 3x1 + 2x2 Pembatas : 2x1 + 5x2 = 200 6x1 + 3x2 = 360 Persamaan Tujuan : Z - 3x1 - 2x2 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 2x1 + 5x2 + A1 = 200 Baris 1 6x1 + 3x2 + A2 = 360 Baris 2 Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A1, A2, dan A3 sehingga fungsi tujuannya menjadi :

Z = 3x1 - 2X2 + MA1 + MA2

Basis X1 X2 A1 A2 NK Rasio

Z 8M-3 8M+2 0 0 560M A1 2 5 1 0 200 200/5 = 40 A2 6 3 0 1 360 360/3 = 120

Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x2 terpilih sebagai entry variable karena x2 memiliki nilai koefisien negatif, dan A1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama : ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 1 pada baris 1 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 0 Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x2 berharga 0 pada baris 2 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240 Konversi bentuk standard iterasi pertama : Z = 3,8x1 + [M-0,4]A1 + MA2 - 80 0,4x1 + x2 + 0,2A1 = 40 4,8x1 – 0,6A1 + A2 = 240

Basis X1 X2 A1 A2 NK Rasio

Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80 X2 0,4 1 0,2 0 40 A2 4,8 0 0,6 1 240



Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x1 = 40, x2 = 240 dan z=240M+80.

Soal Latihan 1:

• Selesaikan dengan metode simpleks 1. Maksimumkan Z = 4x1 + 3x2 + 6x3 Kendala : 3x1 + x2 + 3x3 ≤ 30 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 2. Maksimumkan Z = 2x1 - x2 + x3

Kendala : 3x1 + x2 + x3 ≤ 6 3x1 - x2 + 2x3 ≤ 1 3x1 + x2 - 3x3 ≤ 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

3. Maksimumkan Z = -x1 + x2 + 2x3

Kendala : -3x1 + 2x2 - x3 ≤ 20 -2x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60 -2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 50 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0

4. Maksimumkan Z = 2x1 - 2x2 + 3x3

Kendala : -3x1 + 2x2 + x3 ≤ 4 (sumberdaya 1) -2x1 - 4x2 + 2x3 ≤ 2 (sumberdaya 2) -2x1 + 3x2 + 3x3 ≤ 12 (sumberdaya 3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0



PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR

1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)

Contoh : Fungsi kendala: 1) 2X1 ≤ 8 => 2X1 +X3 = 8 2) 3X2 ≤ 15 => 3X2 +X4 = 15 3) 6X1 + 5X2 = 30 => 6X1 + 5X2 + X5 = 30 Fungsi tujuan: Z = 3X1 + 5X2 => Z – 3X1 – 5X2 + MX5 = 0 Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus dikurangi dengan M dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai baris Z sebagai berikut:

[ -3 -5 0 0 M , 0 ] M [ 6 5 0 0 1 , 30]

(-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M Iterasi ke 1:

Var. Dsr

Z X1 X2 X3 X4 X5 NK indek

Z 1 -6M-3 -5M-5 0 0 0 -30M X3 0 2 0 1 0 0 8 4 X4 0 0 3 0 1 0 15 ∞ X5 0 6 5 0 0 1 30 5

Iterasi ke 2:

Var. Dsr


Z 1 0 -5M-5 3MZ+3/2 0 0 -6M+12 X1 0 1 0 1/2 0 0 4 X4 0 0 3 0 1 0 15 5 X5 0 0 5 -3 0 1 6 6/5

Iterasi ke 3:

Var. Dsr


Z 1 0 0 -3/2 0 M+1 18



X1 0 1 0 1/2 0 0 4 8 X4 0 0 0 9/5 1 -3/5 19/3 5/27 X2 0 0 1 -3/5 0 1/5 6/5 -2

Iterasi ke 3:

Var. Dsr


Z 1 0 0 0 5/6 M+12 27 1/2 Maks. X1 0 1 0 0 -5/18 1/6 5/6 X3 0 0 01 1 5/9 -1/3 6 1/3

X2 0 0 0 1/3 0 5 Diperoleh hasil : X1 = 5/6, X2 = 5 dan Zmax = 27 ½

2. Fungsi tujuan : Minimisasi

Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda positif dan negatif pada fungsi tujuan. Contoh: Minimumkan Z = 3X1 + 5X2 Fungsi batasan:

1) 2X1 = 8 2) 3X2 ≤ 15 3) 6X1 + 5X2 ≤ 30

Penyelesaian: Fungsi batasan:

1) 2X1 + X3 = 8 2) 3X2 + X4 = 15 3) 6X1 + 5X2 -X5 + X6 = 30

Fungsi tujuan menjadi: Maksimumkan (-Z) = -3X1 – 5X2 –MX3 – MX6 diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X1 + 5X2 + MX3 + MX6 = 0 Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka:

[ 3 5 M 0 0 M , 0 ] -M [ 2 0 1 0 0 0 , 8 ] -M [ 6 5 0 0 -1 1 , 30 ] (-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 , -38M



Iterasi ke 1:: Var. Dsr

Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 NK Indeks

Z - 1 -8M+3 -5M+5 0 0 0 0 -38M X3 0 2 0 1 0 0 0 8 4 X4 0 0 3 0 1 0 0 15

X6 0 6 -5 0 0 -1 1 30 5 Iterasi ke 2: Var. Dsr


Z -1 3 -5M+5 4M-3/2 0 M 0 -6M-12 X1 0 1 0 1/2 0 0 0 4 X4 00 0 3 0 1 0 0 15 5 X6 0 5 -3 0 -1 1 6 6/5 Var. Dsr


Z -1 0 0 M+3/2 0 1 M+1 -18 Min

X3 0 1 0 1/2 0 0 0 4 X4 0 0 1 9/5 1 3/5 -3/5 5 2/5 X6 0 0 1 -3/5 0 -3/5 1/5 6/6 (karena –Z= -18, maka Z=18) Penyelesaian optimal: X1 = 4, X2 = 6/5 dan Zmin = 18 satuan

Latihan soal 1:

1. Nisa Manufacturing memproduksi 3 buah produk, dimana ketiga produk tersebut

dihasilkan setelah melalui 3 proses pada 3 mesin. Produk 1 membutuhkan waktu proses pada mesin A selama 20 menit, pada mesin B selama 20 menit dan pada mesin C selama 30 menit. Sedangkan produk 2 membutuhkan waktu proses pada mesin A selama 30 menit, pada mesin B selama 50 menit dan pada mesin C selama 20 menit. Dan produk 3 membutuhkan waktu proses pada mesin A selama 10 menit, pada mesin B selama 40 menit dan pada mesin C selama 20 menit. Kapasitas kerja dari mesin tersebut adalah 12000 menit (mesin A), 10000 menit (mesin B) dan 20000 menit (mesin C). Jika diketahui bahwa produk 1 dapat menghasilkan keuntungan Rp.



10.000,- , produk 2 dapat menghasilkan keuntungan Rp. 16.000,- dan produk 3 dapat menghasilkan keuntungan Rp. 12.000,-, maka berapakah produk 1, produk 2 dan produk 3 yang harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimal ? Gunakanlah Metode Simpleks !

2. Sebuah Pabrik Barang Tembikar “Jihan ” memproduksi mangkok dan cangkir. Pabrik

tersebut memerlukan 60 gram tanah liat dan waktu kerja 20 menit untuk menghasilkan mangkok. Sedangkan untuk menghasilkan cangkir diperlukan 40 gram tanah liat dan waktu kerja 10 menit. Diasumsikan permintaan konsumen sesuai dengan jumlah produksi. Tentukan mangkok dan cangkir yang harus diproduksi untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal, bila :

Keuntungan penjualan mangkok : Rp. 3000,- per-mangkok Keuntungan penjualan cangkir : Rp. 2500,- per-cangkir Tanah liat yang tersedia : 90000 gram Waktu kerja yang tersedia : 22000 menit

Gunakanlah Metode Simpleks !

Soal Latihan 2

1. Tulislah Model program linier berikut dalam bentuk standar : Minimumkan : Z = 16x1 + 2x2 – 3x3 dengan kendala : x1 – 6x2 ≥ 4 3x2 + 7x3 ≤ -5 x1 + x2 + x3 = 10 x1 , x2 , x3 ≥ 0 2. Tulislah Model program linier berikut dalam bentuk standar : Maksimumkan : Z = 5x1 + 6x2 + 3x3 dengan kendala : | x1 – x3 | ≤ 10 10x1 + 7x2 + 4x3 ≤ 50 2x1 + 11x3 ≥ 15 x1 , x3 ≥ 0 dan x2 tidak terbatas 3. Tulislah Model program linier berikut dalam bentuk standar : Maksimumkan : Z = -2x1 + x2 dengan kendala : x1 – x2 ≤ 5 x1 ≤ 7 x2 ≤ 6



x1 – x2 ≥ - 4 x1 , x2 ≥ 0 4. Tulislah Model program linier berikut dalam bentuk standar : Minimumkan : Z = x1 - x2 dengan kendala : -2x1 + x2 ≥ - 4 x1 + x2 ≤ 8 -x1 + x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0 5. Selesaikan soal 1 dengan metode Simplex ! 6. Selesaikan soal 2 dengan metode Simplex ! 7. Selesaikan soal 3 dengan metode Simplex ! 8. Selesaikan soal 4 dengan metode Simplex !

Daftar Pustaka :

1. Bambang Yuwono dan Putri Nur Istiani, Bahan Kuliah Riset Operasional, Jurusan

Teknik Informatika Fak. Teknologi Industri UPN “Veteran”, Yogyakarta, 2007. 2. Hamdy A. Taha,Operation Research.: An Introduction, McMillan, 2002. 3. Hilier, Frederich S. and Lieberman, Introduction to Operation Research, McGraw-

Hill, 2003.. 4. Hotniar Siringoringo, Riset Operasional Seri Pemrograman Linear, Graha Ilmu,

Yogyakarta. 2005.. 5. Pangestu Subagyo, dkk., Dasar-dasar Operations Research BPFE, Yogyakarta,

2000. 6. Richard Levin, dkk, Pengambilan Keputusan secara Kuantitatif Rajawali Press,

1999). 7. Sri Mulyono, Riset Operasional, LPFE UI, Jakarta, 2004. 8. Yulian Yamit, Manajemen Kuantitatif untuk Bisnis, BPFE, Yogyakarta, 2003). 9. Z. Hartawan, Panduan Praktikum Riset Operasional dengan POM/QM for

Widows ver 3.0, Fakultas Ekonomi dan FakultasTeknik – UMB, Bengkulu, 2011. 10. http://rudy-demon.blogspot.com/2009/06/soal-tro-teknik-riset-operasional.html.

Diakses tgl 11 Oktober 2011.



*******

Bab IV - Metode Simpleks--oke_3

Documents

Transcript of Bab IV - Metode Simpleks--oke_3