DIFERENSIASI NUMERIK

Diferensiasi Numerik

A. Formula Diferensiasi dengan Akurasi Tinggi

Rumusan untuk formula diferensiasi terbagi hingga dengan akurasi yang tinggi dapat diperoleh dengan menyertakan suku yang lebih banyak dan Deret Taylor. Sebagai contoh, ekspansi maju Deret Taylor dapat dituliskan:

7.1

Yang dapat diselesaikan menjadi:

Dalam bab pertama suku f” dan yang lebih tinggi diabaikan, sehingga persamaan 7.2 menjadi:

7.2

Dari persamaan 1.39

7.3

Substitusikan persamaan 7.4 ke persamaan 7.2 untuk memperoleh:

7.5

Atau bila disederhanakan:

7.6

Bandingkan persamaan 7.3 dengan 7.6. Nampaknya dengan menyertakan turunan kedua mampu memperbaiki akurasi diferensiasi dari 0(h) menjadi 0(h2). Dengan cara yang sama maka dapat diturunkan aproksimasi diferensiasi terbagi hingga untuk orde yang lebih tinggi, selanjutnya formula diferensiasi terbagi hingga maju, mundur dan tengah ditabelkan dalam tabel berikut ini:

Teknik Komputer 1

Teknik Komputer 2

Contoh:

Perkirakan turunan darif(x) = -0,1.x4 - 0,15.x3 - 0,5x2 - 0,25.x + 1,2, pada x= 0,5, dengan diferensiasi terbagi hingga (ukuran langkah h= 0,25)

B. Ekstrapolasi Richardson

Untuk memperbaiki akurasi diferensiasi numerik dapat ditempuh dcngan cara mengurangi ukuran langkah dan menggunakan formula di ferensiasi akurasi tinggi yang melibatkan lebih banyak titik data (Tabel 7.1, 7.2 dan 7.3). Usaha yang ketiga adalah dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson.

Ektrapolasi Richardson dirumuskan sebagai:

Untuk dua buah nilai aproksimasi diferensiasi tengah dengan 0(1,2) dapat dikombinasikan dengan ekstrapolasi Richardson untuk memberikan estimasi dengan error 0(h4).

Contoh:

Dengan fungsi yang sama seperti pada contoh sebelumnya, perkirakan turunan pertama pada x= 0,5, dengan ukuran langkah hi= 0,5 dan h, = 0,25. Lalu gunakan ekstrapolasi Richardson untuk meningkatkan akurasinya (Nilai eksak = - 0,9125).

Turunan pertama dapat diperoleh dengan diferensiasi tengah:

Dengan ekstrapolasi Richardson:

Teknik Komputer 3

Yang memberikan solusi eksak.

Persamaan Diferensial Biasa Suatu persamaan yang mengandung turunan fungsi terbagi atas:

Persamaan differensial biasa : Mengandung hanya 1 variabel bebas

Persamaan differensial parsial: Mengandung lebih dari satu variabel bebas

Derajat (order) dari persamaan differensial ditentukan oleh derajat tertinggi dari turunannya.

Contoh:

(Persamaan differensial biasa order satu)

(Persamaan differensial biasa order dua)

(Persamaan differensial parsial order dua)

Penyelesaian persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan differensial dan memenuhi kondisi awal yang diberikan pada persamaan tersebut.

Penyelesaian secara analitis:

Dicari penyelesaian secara umum yang mengandung konstanta sembarang kemudian mengevaluasi konstanta tersebut sehingga hasilnya sesuai dengan kondisi awal.

Misal:

Penyelesaian umum: y = Cex

Kondisi awal: x = 0, y(x=0) = 1

Jadi, 1 = Ce0 → C =1

Penyelesaian khusnya: y = ex

Penyelesaian secara numerik

Berupa tabel nilai-nilai numerik dari fungsi untuk berbagai variabel bebas.

Dilakukan pada titik-titik yang ditentukan secara berurutan.

Untuk mendapatkan hasil yang lebih teliti maka interval antara titik-titik yang berurutan tersebut dibuat semakin kecil.

Metode-Metode Penyelesaian

1. Metode Euler

Metode yang paling sederhana dan kurang teliti.

Diturunkan dari deret Taylor:

Teknik Komputer 4

Apabila Δx kecil, maka suku yang mengndumg pangkat lebih tinggi atau sama dengan 2 addalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga:

Nilai yi+1 diprediksi dengan menggunakan kemiringan (sama dengan turunan pertama dititik asli x) untuk diekstrapolasi pada pias Δx secara linier.

Contoh

Selesaikan persamaan:

dengan y(0) = 1

dari x = 0 sampai x = 4, dengan interval 0,5 dan 0,25

· Penyelesaian numerik

Nilai eksak: y = -0,5x4 + 4x3 -10x2 8,5x + 1

Pada titik x = 0,5

y = -0,5(0,5)4 + 4(0,5)3 -10(0,5)2 8,5(0,5) + 1

= 3,21875

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

· Pada langkah berikutnya, i = 1 → x = 0,5 y(0,5) = 5,25y2 = yi + f(xi,yi).0,5

y(1,0) = y(0,5) + f(0,5;5,25).0,5

= 5,25 + [-2(0,5)3 + 12(0,5)2 – 20(0,5) + 8,5].0,5

= 5,875

Nilai eksak: x = 1,0 : y = -0,5 (1)4 + 4(1)2 – 10 (1)2 + 8,5.1 + 1

= 3,0

Teknik Komputer 5

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

· Penyelesaian numerikΔx = 0,25

Titik awal x = 0 → y(0) = 1

i = 0

y(0,25) = y(0) + f(0,1) Δx

= 1 + 8,5 . 0,25 = 3,125

Nilai eksak:

y = -0,5(0,25)4 + 4(0,25)3 -10(0,25)2 8,5(0,25) + 1

= 2,561

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

· Pada langkah berikutnya, i = 1 → x = 0,25 y(0,25) = 3,125y(0,5) = y(0,25) + f(0,25;3,125).0,25

= 3,125 + [-2(0,25)3 + 12(0,25)2 – 20(0,25) + 8,5].0,25

= 4,180

Nilai eksak: y(0,5) = 3,21875

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

· Pada i = 2 → x = 0,5 y(0,5) = 4,180y(0,75) = y(0,5) + f(0,5;4,180).0,25

= 4,180 + [-2(0,5)3 + 12(0,5)2 – 20(0,5) + 8,5].0,25

= 4,493

Nilai eksak: y(0,75) = -0,5(0,75)4 + 4(0,75)3 – 10(0,75)2 + 8,5.0,75+1

= 3,279

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

· Pada i = 3 → x = 0,75 y(0,75) = 4,493y(1) = y(0,75) + f(0,75;4,493).0,25

= 4,493 + [-2(0,75)3 + 12(0,75)2 – 20(0,75) + 8,5].0,25

= 4,343

Nilai eksak: y(1) = 3,0

Teknik Komputer 6

Dari kesalahan dengan menggunakan metode Euler:

Dari contoh di atas dengan nilai Δx berbeda, penggunaan Δx yang lebih kecil akan memberikan hasil yang lebih teliti dengan waktu perhitungan lebih lama.

2. Metode Heun

Merupakan modifikasi dari metode Euler, dalam memperkirakan kemiringan.

Memperkirakan dua turunan pada interval, yaitu pada ujung awal dan akhir, kemudian diratakan sehingga dapat perkiraan kemiringan yang lebih baik.

Dari metode Euler, kemiringan pada ujung awal dari interval: yi’ = f(xi,yi), digunakan untuk ekstrapolasi linier ke nilai yi+1: y0

i+1 = yi + f(xi,yi).Δx. Nilai yi+1

digunakan untuk memperkirakan kemiringan pada ujung akhir.

y’i+1 = f(xi+1, y0i+1)

Kedua kemiringan di atas digabung untuk memperoleh kemiringan rerata pada

interval

Kemiringan rerata digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi+1

Contoh:

Selesaikan persamaan

y(0) = 1 Δx = 0,25

dengan metode Heun

Penyelesaian:

Teknik Komputer 7

· Pada langkah berikutnya

3. Metode Euler yang dimodifikasi

Metode Euler digunakan untuk memprediksi kemiringan nilai y pada titik tengah

interval, untuk itu perlu dihitung

Teknik Komputer 8

Kemudian digunakan untuk mengestimasi kemiringan pada titik tengah interval

Persamaan di atas digunakan untuk ekstrapolasi linier dari yi ke yi+1

Contoh

Selesaikan persamaan :

Dengan metode Euler yang dimodifikasi.

Penyelesaian:

· Pada titik awal i = 0 → x0 = 0, y0 = 1

Nilai y pada titik tengah interval,

Kemiringan pada titik tengah interval

Sehingga

Nilai eksak

· Pada langkah i = 1 → x1 = 0,25, y1 = 2,5459

Teknik Komputer 9

Kemiringan

Sehingga

Nilai eksak

4. Metode Runge-Kutta

Bentuk umum metode Runge-Kuttayi+1 = yi + Ф (xi, yi, Δx)Δx

dengan Ф (xi, yi, Δx) adalah fungsi pertambahan yang merupakan kemiringan rerata pada interval dengan bentuk umum.Ф = a1k1 + a2k2 + …………. + ankn

Dengan a = konstanta dan k adalah:k1 = f (xi, yi)k2 = f (xi + p1Δx, yi + g11k1Δx)k3 = f (xi + p2Δx, yi + g21k1Δx + g22k2Δx…………….kn = f (xi + pn-1Δx, yi + gn-1,1k1Δx + gn-1,2k2Δx + ……+ gn-1,n-1kn-1Δx)

a. Metode Runge-Kutta order dua

n = 2, sehingga mempunyai bentukyi+1 = yi + (a1k1 + a2k2)Δxdengan k1 = f(xi,yi)

k2 = f(xi+p1Δx, yi+g11k1Δx)

nilai a1, a2, p1, dan g11 dievaluasi dengan menyamakan persamaan diatas dengan deret Taylor order 2. sehingga akan didapat hubungan:a1 = 1-a2

Teknik Komputer 10

p1 = g11 = 1/2a2

dengan memilih a2 = 2/3, a1 = 1/3 p1 = g11 = ¾

Bentuk umum:yi+1 = yi + (1/3k1 + 2/3k2)Δxdengan: k1 = f(xi, yi)

k2 = f(xi, 3/4Δx, yi+3/4k1Δx)

Teknik Komputer 11

Teknik Komputer 12