Metode NumerikPenyelesaian SPL

MenggunakanMetode Eliminasi Gauss Jordan

& Iterasi Gauss-Seidel

Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode ini merupakan pengembangan metodeeliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal

Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatasadalah nilai d1,d2,d3,…,dn.Teknik yang digunakan dalam metode eliminasiGauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasiGauss yaitu menggunakan OBE (Operasi BarisElementer). Perhitungan penyelesaian secara langsungdiperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiapbaris.

contoh

Selesaikan persamaan linier simultan:

JawabAugmented matrik daripersamaan linier simultantersebut adalah:

Lakukan operasi bariselementer sebagai berikut:

Penyelesaian persamaanlinier simultan tersebutadalah:

AlgoritmaMetode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode Iterasi Gauss-Seidel

adalah metode yang menggunakan proses iterasihingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.Bila diketahui persamaan linier simultan:

Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan di atasdituliskan menjadi:

Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secaraterus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/dn) sudah sama dengan nilai xi pada iterasisebelumnya maka diperoleh penyelesaian daripersamaan linier simultan tersebut. Atau dengankata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilaixi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasisebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan.

contoh

Selesaikan sistem persamaan linier:

Jawab

Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0Susun persamaan menjadi:

Iterasi 1 :

Iterasi 2 :

Iterasi 3 :

Iterasi 4 :

Iterasi 5 :

Iterasi 6 :

Iterasi 7 :

Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel

Contoh kasusDiketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitupada sisi luar. Bila ditentukan bahwaaliran panas bergerak secara laminar dan panaspada sebuah titik adalah rata-rata panansdari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitungpanas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:

Persamaan panas pada titik T1 danT2 dapat dihitung dengan:

Sistem persamaan linier daripermasalahan di atas adalah:

Penyelesaian dengan menggunakan iterasiGauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukannilaipendekatan awal T1=0 dan T2=0 danfungsi pengubahnya adalah :

Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransierror 0.0001 sebagai berikut:

Jadi temperatur pada T1=23,3333 dan T2= 43,3333

TUGAS

Tugas dikumpulkan hari Kamis, 16 Oktober 2008pada saat kuliah…..