Ir. H. Maulana Yusuf, MS., MTIr. H. Maulana Yusuf, MS., MTDosen Jurusan Teknik PertambanganDosen Jurusan Teknik Pertambangan

Fakultas Teknik UnsriFakultas Teknik Unsri

IkhtisarIkhtisar PendahuluanPendahuluan Pemecahan Program Linier dengan Metode Pemecahan Program Linier dengan Metode

GrafikGrafik Beberapa Masalah Teknis Dalam Program Beberapa Masalah Teknis Dalam Program

LinierLinier Pemecahan Program Linier dengan Metode Pemecahan Program Linier dengan Metode

SimpleksSimpleks Dualitas dan Analisis SensitivitasDualitas dan Analisis Sensitivitas

Perusahaan harus mengalokasikan faktor-faktor Perusahaan harus mengalokasikan faktor-faktor produksi/sumber (SDM, Peralatan, Bahan Baku) produksi/sumber (SDM, Peralatan, Bahan Baku) yang terbatasyang terbatas

Manajemen harus terus menerus Manajemen harus terus menerus mengalokasikan faktor-faktor produksimengalokasikan faktor-faktor produksi

Perusahaan ingin keuntungan yang besar dan Perusahaan ingin keuntungan yang besar dan biaya produksi yang kecilbiaya produksi yang kecil

Program Linier merupakan model matematik Program Linier merupakan model matematik untuk mendapatkan alternatif penggunaan untuk mendapatkan alternatif penggunaan terbaik atas faktor-faktor produksi tsbterbaik atas faktor-faktor produksi tsb

Sifat linier untuk menunjukkan fungsi Sifat linier untuk menunjukkan fungsi matematik dalam bentuk liniermatematik dalam bentuk linier

Program menyatakan penggunaan teknik Program menyatakan penggunaan teknik matematik tertentumatematik tertentu

ProgramProgram linier adalah suatu teknik linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang perencanaan yang bersifat analitis yang analisisnya menggunakan model matematisanalisisnya menggunakan model matematis

Bentuk Umum Model Program LinierBentuk Umum Model Program Linier

Fungsi Tujuan :Fungsi Tujuan :

Fungsi Kendala :Fungsi Kendala :

j

n

jjxcZ

1

njuntukx j .....,,.........3,2,1,0

miuntukbxa jj

n

jij ..,,.........3,2,1,

1

Keterangan :

Z = fungsi tujuan (maksimal dan minimal) Cj = Kenaikan nilai Z thd pertambahan xj

n = macam kegiatan yang menggunakan sumber m = macam batasan sumber xj = tingkat kegiatan ke-j aij = banyaknya sumber i untuk setiap kegiatan j bi = kapasitas sumber i

Terminologi Program LinierTerminologi Program Linier

Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut fungsi Fungsi yang akan dicari nilai optimalnya (Z) disebut fungsi tujuantujuanFungsi Batasan/kendala dikelompokkan menjadi 2 (dua) macamFungsi Batasan/kendala dikelompokkan menjadi 2 (dua) macam adalahadalah : :

- Fungsi kendala fungsional yaitu fungsi kendala - Fungsi kendala fungsional yaitu fungsi kendala sebanyak msebanyak m - Fungsi kendala non-negatif yaitu variabel- Fungsi kendala non-negatif yaitu variabel

Variabel xVariabel xjj disebut variabel keputusan disebut variabel keputusan

Parameter model yaitu masukan konstan aParameter model yaitu masukan konstan aijij, b, bii, dan c, dan cjj

Asumsi Program LinierAsumsi Program Linier

ProportionalityProportionality Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber yang tersedia Naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber yang tersedia

akan berubah sebanding dengan perubahan tingkat kegiatanakan berubah sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan

Contoh :Contoh : Z = cZ = c11xx11 + c + c22xx22 + c + c33xx33 + …………… + c + …………… + cnnxxnn

Setiap perubahan 1 unit xSetiap perubahan 1 unit x11 akan menaikkan x sebesar c akan menaikkan x sebesar c11 dsbnya dsbnya

aa1111xx11 + a + a1212xx22 + a + a1313xx33 + ………….. + a + ………….. + a1n1nxxnn

Setiap pertambahan 1 unit xSetiap pertambahan 1 unit x11 akan menaikkan penggunaan akan menaikkan penggunaan sumber ke 1 sebesar asumber ke 1 sebesar a1111

AdditivityAdditivityNilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi Nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi (kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa (kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain.lain.

Contoh :Contoh :Z = 4xZ = 4x11 + 7x + 7x22

dimana xdimana x11 = 30 ; x = 30 ; x22 = 20, maka Z = 120 + 140 = 260 = 20, maka Z = 120 + 140 = 260

Andai xAndai x11 bertambah 1 unit maka nilai Z = 260 + 4 = 264 bertambah 1 unit maka nilai Z = 260 + 4 = 264

Tidak ada korelasi antara xTidak ada korelasi antara x11 dan x dan x22

DivisibilityDivisibilityKeluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa Keluaran yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahanbilangan pecahan

Contoh :Contoh :Z = 17,5 ; xZ = 17,5 ; x11 = 6,1 = 6,1

DeterministicDeterministicSemua parameter (aSemua parameter (aijij , b , bj j , c, cjj) yang terdapat pada program linier ) yang terdapat pada program linier dapat diperkirakan dengan pasti walaupun pada kenyataannya dapat diperkirakan dengan pasti walaupun pada kenyataannya tidak sama persistidak sama persis

Program Linier Dengan Metode GrafikProgram Linier Dengan Metode Grafik

Langkah-langkah Program Linier dengan Langkah-langkah Program Linier dengan Metode GrafikMetode GrafikGambarkan sebuah bidang dengan koordinat dengan kedua Gambarkan sebuah bidang dengan koordinat dengan kedua variabel sebagai sumbu-sumbu koordinatvariabel sebagai sumbu-sumbu koordinatGambarkan garis-garis fungsi kendala dengan menganggap Gambarkan garis-garis fungsi kendala dengan menganggap batasannya sebagai persamaanbatasannya sebagai persamaanTentukan daerah dalam bidang koordinat yang memenuhi Tentukan daerah dalam bidang koordinat yang memenuhi semua kendala dan daerah ini disebut sebagai Daerah Layak semua kendala dan daerah ini disebut sebagai Daerah Layak (DL)(DL)Tentukan koordinat titik sudut (titik ekstrim)Tentukan koordinat titik sudut (titik ekstrim)Hitung harga fungsi tujuan untuk semua titik sudut Hitung harga fungsi tujuan untuk semua titik sudut kemudian pilih harga yang optimal sebagai pemecahan kemudian pilih harga yang optimal sebagai pemecahan persoalanpersoalan

Contoh Soal Metode GrafikContoh Soal Metode Grafik CV. Berkiat Mulya Konsultan adalah sebuah CV. Berkiat Mulya Konsultan adalah sebuah

perusahaan furnitur produsen perusahaan furnitur produsen mejameja dan dan kursikursi yang yang harus diproses melalui harus diproses melalui perakitanperakitan dan dan pemolesanpemolesan. . Fungsi proses perakitan memiliki 60 jam kerja dan Fungsi proses perakitan memiliki 60 jam kerja dan fungsi proses pemolesan memiliki 48 jam kerja. Untuk fungsi proses pemolesan memiliki 48 jam kerja. Untuk menghasilkan satu meja dibutuhkan masing-masing 4 menghasilkan satu meja dibutuhkan masing-masing 4 jam dan 2 jam untuk perakitan dan pemolesan, jam dan 2 jam untuk perakitan dan pemolesan, sedangkan satu kursi membutuhkan masing-masing 2 sedangkan satu kursi membutuhkan masing-masing 2 jam dan 4 jam untuk perakitan dan pemolesan. Laba jam dan 4 jam untuk perakitan dan pemolesan. Laba untuk tiap meja $8 dan tiap kursi $6. Sekarang kita untuk tiap meja $8 dan tiap kursi $6. Sekarang kita harus menentukan harus menentukan kombinasi terbaik dari jumlah meja kombinasi terbaik dari jumlah meja dan kursidan kursi yang harus diproduksi agar menghasilkan yang harus diproduksi agar menghasilkan laba maksimallaba maksimal

PenyelesaianPenyelesaian

Tabel 1 ProduksiTabel 1 Produksi

Proses Waktu yang Dibutuhkan untuk Satu Unit Produk (jam)

Total Jam Tersedia(jam)

Meja Kursi

Perakitan 4 2 60

Pemolesan 2 4 48

Laba/Unit $8 $6 -

Formulasi MasalahFormulasi MasalahMisalkan Misalkan x = jumlah meja yang dibuatx = jumlah meja yang dibuat

y = jumlah kursi yang dibuaty = jumlah kursi yang dibuatZ = jumlah kontribusi laba (meja + kursi)Z = jumlah kontribusi laba (meja + kursi)

Fungsi Tujuan : Maksimumkan labaFungsi Tujuan : Maksimumkan laba

Z = 8x + 6yZ = 8x + 6y

Fungsi Kendala :Fungsi Kendala :4x + 2y 60 (fungsi kendala perakitan)4x + 2y 60 (fungsi kendala perakitan)2x + 4y 48 (fungsi kendala pemolesan)2x + 4y 48 (fungsi kendala pemolesan)

x dan y 0 (non negatif)x dan y 0 (non negatif)

Metode GrafikMetode Grafik

Grafik PenyelesaianGrafik Penyelesaian

y

x

Fungsi perakitan (4x + 2y = 60)

Fungsi pemolesan (2x + 4y = 48)

DL

B (24,0)C(15,0)

F (0,30)

E (0,12)

A (0,0)

D (12,6)

Mencari Koordinat titik DMencari Koordinat titik D

4x + 2y = 60 kalikan dengan (2) 8x + 4y = 1204x + 2y = 60 kalikan dengan (2) 8x + 4y = 120

2x + 4y = 48 2x + 4y = 482x + 4y = 48 2x + 4y = 48

6x = 726x = 72

x = 12x = 12

2x + 4y = 482x + 4y = 48

2 (12) + 4y = 482 (12) + 4y = 48

4y = 244y = 24

y = 6y = 6

Koordinat titik D (12,6)Koordinat titik D (12,6)

Kombinasi meja dan kursi untuk laba maksimumKombinasi meja dan kursi untuk laba maksimum

Titik A (0,0)Titik A (0,0) : Z = 8(0) + 6(0) = 0: Z = 8(0) + 6(0) = 0Titik E (0,12)Titik E (0,12) : Z = 8(0) + 6(12) = 72: Z = 8(0) + 6(12) = 72Titik C (15,0)Titik C (15,0) : Z = 8(15) + 6(0) = 120: Z = 8(15) + 6(0) = 120Titik D (12,6)Titik D (12,6) : Z = 8: Z = 8(12)(12) + 6 + 6(6) (6) = = 132132

Jadi laba maksimal $132 dengan kombinasi meja Jadi laba maksimal $132 dengan kombinasi meja dibuat sebanyak 12 buah dan kursi dibuat sebanyak dibuat sebanyak 12 buah dan kursi dibuat sebanyak 6 buah6 buah

Beberapa Masalah Teknis Dalam Program LinierBeberapa Masalah Teknis Dalam Program Linier

Masalah MinimisasiMasalah MinimisasiBiasanya tujuan yang dicari adalah maksimasi untuk mendapatkan laba Biasanya tujuan yang dicari adalah maksimasi untuk mendapatkan laba yang besar. Bila fungsi tujuan adalah minimasi maka alternatif yang yang besar. Bila fungsi tujuan adalah minimasi maka alternatif yang optimal adalah alternatif yang dapat meminimumkan nilai Zoptimal adalah alternatif yang dapat meminimumkan nilai Z

Fungsi Kendala Bertanda Lebih Besar atau Sama Fungsi Kendala Bertanda Lebih Besar atau Sama DenganDengan ( ) ( )Apabila fungsi kendala bertanda maka Daerah Layak (DL) akan Apabila fungsi kendala bertanda maka Daerah Layak (DL) akan berada di sebelah kanan atas garis kendalaberada di sebelah kanan atas garis kendala

Fungsi Kendala Bertanda Sama Dengan (=)Fungsi Kendala Bertanda Sama Dengan (=)Apabila fungsi kendala bertanda =, maka Daerah Layak (DL) akan Apabila fungsi kendala bertanda =, maka Daerah Layak (DL) akan terletak pada garis yang memiliki tanda sama denganterletak pada garis yang memiliki tanda sama dengan tersebut tersebut

RedudancyRedudancyKendala yang tidak mempengaruhi daerah yang memungkinkan Kendala yang tidak mempengaruhi daerah yang memungkinkan disebut disebut Redudancy KendalaRedudancy Kendala

Perusahaan menugaskan manajer tidak mungkin menjual lebih dari Perusahaan menugaskan manajer tidak mungkin menjual lebih dari 20 kursi20 kursi

Jumlah kursi maksimum yang diproduksi di Daerah Layak (DL) Jumlah kursi maksimum yang diproduksi di Daerah Layak (DL) berjumlah 12 buah (titik E) maka batasan baru merupakan kelebihanberjumlah 12 buah (titik E) maka batasan baru merupakan kelebihan

Batasan pemasara dapat dihilangkan untuk menghemat waktu Batasan pemasara dapat dihilangkan untuk menghemat waktu perhitunganperhitungan

Kelebihan kendala tidak dihilangkan karena belum diketahui sebagai Kelebihan kendala tidak dihilangkan karena belum diketahui sebagai kelebihan sampai persoalan dapat dipecahkankelebihan sampai persoalan dapat dipecahkan

RedudancyRedudancyTabel 2 Kendala Pemasaran y 20Tabel 2 Kendala Pemasaran y 20

y

x

Fungsi pemolesan (2x + 4y = 48)

DL

(24,0)C(15,0)

(0,30)

E (0,12)

A (0,0)

D (12,6)

Fungsi perakitan (4x + 2y = 60)

Kendala Pemasaran y 20y 20

(0,20)