METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN … · dan SMA dalam materi persamaan garis lurus,...

METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL DAN ELASTIK

TESIS

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Magister

Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Disusun Oleh:

Meta Dispini

NIM : 151442013

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

iv

HALAMAN MOTTO

“Mintalah, maka akan diberikan kepadamu; carilah, maka

kamu akan mendapat; ketoklah, maka pintu akan dibukakan

bagimu.”

Matius 7:7


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Tesis ini kupersembahkan untuk

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang senantiasa memberikan

pencerahan ketika sedang bimbang dan menjadi tempat keluh kesah

kapanpun aku butuh.

Bapakku yang selalu mengkhawatirkan aku dan Ibuku yang selalu

mendoakanku dan menjagaku serta mengasihiku melebihi dirinya

sendiri, tentunya mbak-mbakku yang selalu ada ketika aku butuh dan

selalu mendukungku. Terima kasih. Aku sangat menyayangi kalian.


vii

ABSTRAK

Meta Dispini, 2017. Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan

Persamaan Gelombang Air Dangkal dan Elastik. Tesis. Program Studi

Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan

Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan,

Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penulis meneliti tentang persamaan gelombang air dangkal serta

persamaan elastik. Penulis menggunakan Metode Dekomposisi Adomian karena

banyak keuntungan yang didapatkan dari metode tersebut. Salah satu

keuntungannya adalah Metode Dekomposisi Adomian memiliki konvergensi yang

cepat menuju solusi eksak untuk sejumlah permasalahan persamaan diferensial.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari solusi permasalahan

terkait fenomena gelombang air dangkal serta gelombang elastisitas yang

direpresentasikan dengan solusi dari persamaan-persamaan tersebut. Metode

penelitian yang digunakan adalah studi pustaka. Hasil dari penelitian

menunjukkan bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat relevan untuk

menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut. Metode tersebut akurat untuk

menyelesaikan persamaan air dangkal penyederhanaannya untuk nilai waktu yang

kecil dan akurat untuk persamaan elastik untuk nilai waktu yang kecil maupun

besar. Penelitian ini dapat digunakan dalam memotivasi pembelajaran siswa SMP

dan SMA dalam materi persamaan garis lurus, turunan dan integral. Selain itu,

dapat juga untuk memotivasi mahasiswa S1 Pendidikan Matematika dalam

pengantar pemodelan serta persamaan diferensial biasa.

Kata kunci: metode dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal, persamaan

elastik.


viii

ABSTRACT

Meta Dispini, 2017. Adomian Decomposition Method for Solving Shallow

Water Wave and Elastic Wave Equations. Thesis. Study Program of Master

of Mathematics Education, Department of Mathematics and Science

Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma

University, Yogyakarta.

In this thesis, the writer studies about shallow water equations and

elasticity equations. In this research, the writer uses Adomian Decomposition

Method, because there are many advantages, one of them is this method has fast

convergence to the exact solutions for many differential equations.

The goal of this research is to find the solutions of shallow water wave and

elasticity wave problems that are represented by the solutions of the equations.

The research method is literature study. The results show that the method is

relevant for solving those equations. The method is accurate for small time in

solving shallow water equations and accurate in solving elasticity equations for

small and large time and shows the right physical behavior. This study can be

used for motivates student in high school about straight line equations, diferential,

and integral. The method can be used to motivates for bachelor students of

mathematics education on mathematical modeling and ordinary differential

equations.

Keywords: Adomian decomposition method, shallow water wave, elasticity

wave.


x

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi internasional dan

dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

[1] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to

solve the shallow water equations,” AIP Conference Proceedings, Volume

1746, Nomor 1, Artikel 020055, Tahun 2016, (terindeks Scopus), Link

Artikel: http://dx.doi.org/10.1063/1.4953980 .

[2] M. Dispini dan S. Mungkasi, “Adomian decomposition method used to

solve the acoustics equations” diterima dan sedang dalam proses publikasi

dalam Journal of Physics: Conference Series (terindeks Scopus). Link

Jurnal: http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk

dikembangkan menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi

Mungkasi) dan penulis (Meta Dispini).


http://dx.doi.org/10.1063/1.4953980

http://iopscience.iop.org/journal/1742-6596

xi

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena dengan penyertaan-Nya,

serta dengan bantuan, bimbingan dan dukungan dari berbagai pihak baik secara

langsung maupun tidak langsung, penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul

“Metode Dekomposisi Adomian untuk Menyelesaikan Persamaan Gelombang Air

Dangkal dan Elastik”. Tesis ini diajukan sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Magister Pendidikan dari Program Studi Magister Pendidikan

Matematika, Jurusan Pendidikan dan Ilmu Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Oleh karena itu, ijinkan

penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

1. Orangtuaku, Jawi Suratman dan Tutik Susilowati serta mbak-mbakku,

Christiana Atika Sari dan Bernadeta Berta Jatu Andini yang selalu

mendukung dan mendoakan penulis kapanpun.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen

pembimbing yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar

membimbing penulis, sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku dekan FKIP Universitas Sanata Dharma

yang telah mengesahkan penulisan tesis ini.

4. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku penguji dan Ketua

Program Studi Magister Pendidikan Matematika yang telah memberikan

dukungan bagi penulis.

5. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku penguji yang sudah memberikan

banyak masukan kepada penulis untuk perbaikan tesis.


xii

6. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan

selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat

menyelesaikan studi dengan tepat waktu.

7. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal

administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.

8. Sahabat-sahabatku yang selalu mendukungku, Margaretha Septyana,

Calcilea Deny, Adven Desi, Hosea Bivin, Nathalia, A. Saputra, mas Beni

dan mas Julius serta kawan-kawan yang tidak dapat saya sebutkan satu-

persatu.

9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan

Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada

penulis selama studi.

10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah

membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Penulis,

Meta Dispini


xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iii

HALAMAN MOTTO ...................................................................................... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN....................................................................... v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................................... vi

ABSTRAK ....................................................................................................... vii

ABSTRACT ....................................................................................................... viii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH.............. ix

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ................................... x

KATA PENGANTAR ..................................................................................... xi

DAFTAR ISI .................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 1

A. Latar Belakang .................................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................. 3

C. Tujuan Penelitian .............................................................................. 4

D. Manfaat Penelitian ............................................................................ 4

E. Prasarat Materi .................................................................................. 5

F. Tinjauan Pustaka ............................................................................... 6

G. Kebaruan Penelitian .......................................................................... 13

H. Metode Penelitian.............................................................................. 13

I. Sistematika Penelitian ....................................................................... 15


xiv

BAB II LANDASAN TEORI .......................................................................... 16

A. Persamaan Diferensial Parsial .............................................................. 16

B. Penurunan Persamaan Gelombang ....................................................... 17

C. Metode Dekomposisi Adomian............................................................ 19

D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers ................................ 22

E. Persamaan Gelombang Air Dangkal .................................................... 25

F. Persamaan Gelombang Elastik ............................................................. 28

BAB III HASIL PENELITIAN ....................................................................... 31

A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal ......................................... 31

B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik .................................................. 40

C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik ................................................ 49

D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi ................................................... 58

E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik ............................................ 63

F. Kekurangan Penelitian ......................................................................... 69

BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ..................................................................... 71

A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah .................................... 71

B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika ....................... 77

C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika ....................................... 78

BAB V PENUTUP ........................................................................................... 81

A. Kesimpulan .......................................................................................... 81

B. Saran ..................................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 85


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Indonesia merupakan negara dengan wilayah yang sangat luas. Hampir

dua per tiga bagian wilayah Indonesia merupakan wilayah perairan. Oleh karena

itu oseanografi sangat berguna dalam membantu menganalisa potensi-potensi

alam di wilayah Indonesia terutama wilayah perairan. Dalam mempelajarinya

mungkin ilmu-ilmu lain seperti misalnya fisika memang dapat digunakan, namun,

dibutuhkan matematika untuk membantu menganalisa fenomena alam yang ada

agar hasil analisa yang diperoleh dapat lebih akurat dan tepat serta lebih relevan.

Salah satu fenomena alam yang memicu penulis dalam pembuatan tesis ini

adalah terjadinya banjir yang hampir terjadi setiap tahun. Banyak sekali penyebab

banjir, salah satunya adalah kapasitas daerah aliran sungai yang kurang memadai

untuk menampung air hujan yang masuk ke daerah aliran sungai (DAS).

Berangkat dari masalah nyata ini, penulis ingin meneliti tentang gelombang air

dangkal. Gelombang air dangkal untuk dapat dianalisi maka dibentuk persamaan

gelombang air dangkal dimana memiliki dua kasus khusus yaitu persamaan

gelombang kinematik dan persaman gelombang difusi. Masing-masing persamaan

tersebut dapat diaplikasikan dalam masalah-masalah nyata yang ditemukan dalam

kehidupan sehari-hari.

Analisis pada wilayah perairan tidak hanya berhenti pada analisis


2

-fenomena banjir ataupun kejadian-kejadian alam lain. Namun, dibutuhkan juga

analisa tentang bentuk dasar perairan, analisa lokasi makhluk hidup yang ada di

perairan, misalnya di lautan. Analisis tersebut juga membutuhkan bantuan bidang

matematika untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Persamaan gelombang

akustik merupakan salah satu persamaan yang dapat membantu analisa hal

tersebut. Melalui gelombang suara yang dipantulkan oleh radar ke dalam laut,

maka dapat diketahui topografi laut atau perairan serta lokasi ikan-ikan yang ada

di perairan tersebut. Sehingga, dengan alasan ini, peneliti ingin meneliti tentang

gelombang akustik yang direpresentasikan secara matematis dengan persamaan

gelombang akustik. Persamaan gelombang akustik sendiri merupakan bentuk

khusus dari persamaan gelombang elastic, sehingga penting untuk meneliti

tentang persamaan gelombang elastic beserta persamaan gelombang akustik.

Solusi yang dari persamaan gelombang air dangkal dan persamaan

gelombang elastic beserta masing-masing kasus khususnya, merupakan

representasi solusi dari masalah nyata terkait gelombang air dangkal dan

gelombang elastik beserta masing-masing kasus khususnya. Solusi yang

ditampilkan dalam bentuk fungsi dan grafik. Grafik-grafik tersebut dapat

menggambarkan hasil analisa terhadap kasus yang dicari.

Persamaan gelombang air dangkal dan persamaan gelombang elastik yang

dicari adalah persamaan gelombang air dangkal dan elastik dimensi-1. Persamaan

dimensi-1 artinya adalah hanya ada satu variabel ruang yang dicari dalam

persamaan tersebut. Kedua persamaan gelombang tersebut sudah pernah diteliti


3

sebelumnya dengan berbagai metode, misalnya metode volume berhingga, metode

beda hingga, dan lain-lain. Oleh karena itu, penulis ingin menggunakan metode

yang lain untuk menganalisa kedua persamaan gelombang tersebut. Salah satu

metode terbaru yang telah dikembangkan adalah metode dekomposisi Adomian

yang ditemukan oleh George Adomian. Metode Dekomposisi Adomian telah

terbukti dapat dengan mudah digunakan untuk menyelesaikan persamaan

diferensial biasa maupun parsial, linear maupun non-linear, dan persamaan

integral linear maupun non-linear. Selain itu, tidak diperlukan metode linearisasi

ataupun diskretisasi. Solusi yang dihasilkan masih berupa solusi pendekatan.

Solusi yang didapatkan kemudian diilustrasikan dengan grafik menggunakan

komputer sehingga dapat menggambarkan proses yang terjadi pada persamaan

gelombang air dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing

penyederhanaannya (masing-masing kasus khususnya).

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang dijelaskan, maka rumusan

masalah yang terdapat dalam tesis ini adalah sebagai berikut.

1. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang air dangkal beserta kasus

khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang

kinematik) dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian?

2. Bagaimana penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta kasus

khususnya (persamaan gelombang akustik) dengan menggunakan Metode

Dekomposisi Adomian?


4

C. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diberikan, tujuan dari penelitian

ini adalah sebagai berikut.

1. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang air dangkal

beserta kasus khususnya (persamaan gelombang difusi dan persamaan

gelombang kinematik), yang merupakan representasi dari solusi

permasalahan nyata terkait gelombang air dangkal, dengan menggunakan

Metode Dekomposisi Adomian.

2. Untuk mencari solusi penyelesaian persamaan gelombang elastik beserta

kasus khususnya (persamaan gelombang akustik), yang merupakan

representasi dari solusi permasalahan nyata terkait gelombang elastik,

dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

D. Manfaat Penelitian

Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Untuk Ilmu Pengetahuan

Penelitian ini dapat mengisi celah kosong yang terdapat dalam penelitian

sebelumnya, yaitu dapat memperlihatkan relevansi dari penggunaan

Metode Dekomposisi Adomian dalam penyelesaian persamaan aliran air

dangkal. Selain itu, memberikan sumbangan baru terhadap penggunaan

Metode Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta masing-

masing penyederhanaannya.

2. Untuk Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika


5

Memperkenalkan Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan

permasalahan persamaan diferensial biasa maupun parsial linear maupun

non-linear dan persamaan integral linear maupun non-linear.

3. Untuk Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

Dapat memperlihatkan perilaku dalam permasalahan terkait dengan

gelombang air dangkal, gelombang difusi, dan gelombang kinematis serta

gelombang elastik dan gelombang akustik. Misalnya, dalam gelombang

kinematik, dapat diterapkan dalam permasalahan daerah aliran sungai yang

berfungsi untuk menerima, menyimpan dan mengalirkan air hujan

sehingga dapat diprediksi simpanan air yang tersedia dalam DAS (daerah

aliran sungai/ watershed).

E. Prasyarat Materi

Untuk mempermudah pembaca dalam memahami tesis ini, diperlukan

beberapa materi prasyarat sebagai berikut.

1. Kalkulus Diferensial-Integral

Pengetahuan tentang kalkulus diferensial maupun kalkulus integral sangat

diperlukan dalam memahami tesis ini, terutama dalam langkah-langkah

Metode Dekomposisi Adomian. Dalam metode tersebut, banyak sekali

proses untuk menurunkan dan mengintegralkan fungsi sehingga jika

pembaca memenuhi materi prasyarat ini, maka akan lebih mudah

memahami isi tesis ini.

2. Persamaan Diferensial Biasa


6

Persamaan diferensial biasa diperlukan sebagai materi prasyarat dalam

memahami materi tesis ini karena persamaan diferensial biasa menjadi

dasar dalam memahami persamaan diferensial parsial.

3. Persamaan Diferensial Parsial

Materi persamaan diferensial parsial sangat dibutuhkan sebagai materi

prasyarat dalam memahami langkah-langkah Metode Dekomposisi

Adomian karena persamaan-persamaan yang dibahas dalam tesis ini

berbentuk persamaan diferensial parsial.

4. Pemodelan Matematika

Pada tesis ini banyak materi tentang pemodelan matematika. Masalah-

masalah yang diteliti berawal dari masalah nyata yang kemudian

dimodelkan secara matematis dan selanjutnya dianalisa secara matematis

dan fisis.

5. Getaran dan Gelombang

Materi getaran dan gelombang sangat penting sebagai pengantar untuk

memahami materi tesis ini karena materi-materi yang dibahas dalam tesis

ini. Materi-materi tersebut dapat memudahkan pembaca dalam memahami

pengertian-pengertian serta teori-teori yang berhubungan dengan getaran

dan gelombang yang mana merupakan pembahasan utama dalam tesis ini.

F. Tinjauan Pustaka

Pada bagian ini akan dipaparkan dan dijelaskan letak distribusi penelitian

dari penulis. Penelitian-penelitian terkait materi tesis yang pernah dilakukan akan

disertakan sehingga akan terlihat kebaruan dari penelitian penulis. Berikut


7

merupakan pembahasannya, yang diilustrasikan pada Diagram 1 hingga Diagram

4.

Diagram 1. Garis besar penelitian

Pada subbab ini, dipaparkan tinjauan-tinjauan pustaka serta kebaruan

penelitian penulis. Bagian diagram kedua sampai diagram keempat secara

berturut-turut akan disajikan tinjauan-tinjauan pustaka yang berisi penelitian-

penelitian yang pernah dilakukan oleh para peneliti sebelumnya pada materi

Metode Dekomposisi Adomian, gelombang air dangkal dimensi satu dan terakhir

adalah gelombang elastik dimensi satu. Persamaan air dangkal dimensi satu

diturunkan menjadi tiga persamaan yaitu persamaan air dangkal, persamaan

difusi, dan persamaan kinematik. Persamaan elastik dimensi satu diturunkan

menjadi dua persamaan yaitu persamaan elastik dan persamaan akustik. Pada

bagian akhir akan dijelaskan penelitian yang dilakukan oleh penulis dan

dijelaskan letak kebaruan penelitian.

Metode Dekomposisi

Adomian

Gelombang

Air Dangkal

Persamaan Air Dangkal

Persamaan Difusi

Persamaan Kinematik

Gelombang ElastikPersamaan Elastik

Persamaan Akustik


8

Diagram 2. Metode dekomposisi Adomian

George Adomian telah mengenalkan dan mengembangkan metode

dekomposisi Adomian. Pada tahun 1996, Adomian melakukan penelitian tentang

Metode Dekomposisi Adomian untuk digunakan pada persamaan diferensial

parsial nonlinier. Solusi eksplisit telah dihitung dengan Metode Dekomposisi

Metode Dekomposisi

Adomian

Penemu Metode :

George Adomian

"Solution of nonlinear PDE"

oleh Adomian (1998)

Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory

Penulis: Wazwaz (2009)

Beberapa penelitian terkait

“Construction of solutions for the shallow water equations by the

decomposition method”

oleh Al-Khaled dan Allan (2004)

“Adomian decomposition method used to solve the gravity wave

equations”

oleh Mungkasi and Dheno (2016)

Penelitian Penulis

“Adomian decomposition method used to solve the shallow water

equations”

oleh Dispini and Mungkasi (2016)

“Adomian decomposition method used to solve the acoustics

equations”

oleh Dispini and Mungkasi (2016)


9

Adomian untuk persamaan Burgers. Pada penelitian tersebut Adomian

menemukan bahwa efisiensi dari dekomposisi membuat metode tersebut dapat

dijadikan pilihan karena tidak dibutuhkan linearisasi ataupun perturbasi. Menurut

Wazwaz (2009), Metode Dekomposisi Adomian terbukti sangat ampuh, efektif,

dan dapat menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial parsial ataupun

biasa, linear ataupun non-linear, dan persamaan integral linear dan non-linier.

Pada penelitian Wazwaz, metode tersebut sukses menyelesaikan sebagian besar

persamaan diferensial parsial yang muncul pada beberapa model fisis dan aplikasi

sains baik dimensi satu, dimensi dua, maupun dimensi yang lebih tinggi.

Penelitian-penelitian terkait metode dekomposisi Adomian sudah mulai

berkembang sampai saat ini, diantaranya adalah penelitian oleh Al-Khaled dan

Allan (2004) serta Mungkasi dan Dheno (2016). Kedua penelitian tersebut tentang

penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan air

dangkal serta persamaan gelombang gravitasi. Masih banyak lagi penelitian-

penelitian terkait Metode Dekomposisi Adomian yang tidak mungkin penulis

jelaskan satu persatu dalam tesis ini. Penelitian penulis adalah penyelesaian

persamaan gelombang air dangkal dimensi satu, persamaan difusi, persamaan

gelombang kinematik, persamaan gelombang elastik, dan persamaan gelombang

akustik dimensi satu. Penelitian tersebut belum pernah dikerjakan sebelumnya

sehingga termasuk baru. Penjelasannya akan ditulis pada bagian selanjutnya.


10

Diagram 3. Penelitian gelombang air dangkal dimensi satu

Pada Diagram 3, dipaparkan skema penelitian-penelitian yang pernah

dilakukan sebelumnya, baik penelitian tentang persamaang gelombang air

dangkal, persamaan gelombang difusi, maupun persamaan gelombang kinematik

dimensi satu. Acuan utama pada penelitian gelombang air dangkal ini adalah

jurnal yang ditulis oleh Al-Khaled dan Allan (2004). Pada tulisan tersebut,

penelitian tentang konstruksi solusi untuk persamaan air dangkal dengan metode

dekomposisi, terlihat bahwa Metode Dekomposisi Adomian sangat menjanjikan

untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Contoh dalam penelitian

Gelombang Air Dangkal

Dimensi 1

Persamaan

Air Dangkal

“Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition

method”

oleh Al-Khaled dan Allan (2004)

“Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations”

oleh Dispini dan Mungkasi (2016)

Persamaan

Difusi

Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang

Difusi

oleh Penulis

Persamaan

Kinematik

Basic Concepts of Kinematic-Wave Models

Penulis: Miller (1984)

Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan gelombang

Kinematik

oleh Penulis


11

tersebut menunjukkan konvergensi yang cepat pada metode tersebut (Al-Khaled

dan Allan, 2004). Kebaruan yang ada dalam penelitian penulis adalah relevansi

dari Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal. Perlu

digarisbawahi bahwa persamaan air dangkal tidak memiliki solusi eksak secara

umum sehingga, pada penelitian penulis untuk mencaritahu bagaimana relevansi

Metode Dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal.

Miller (1984) telah menjelaskan konsep dasar dari gelombang kinematik.

Model sederhana dari persamaan gelombang kinematik kemudian menjadi bahan

penelitian penulis. Kebaruan dari penelitian ini adalah penulis menyelesaikan

model gelombang kinematik dengan Metode Dekomposisi Adomian. Relevansi

dari penyelesaian persamaan kinematik dan persamaan difusi dimensi satu

menggunakan Metode Dekomposisi Adomian juga belum pernah diteliti

sebelumnya.


12

Diagram 4. Penelitian gelombang elastik dimensi satu

Penelitian-penelitian tentang gelombang elastik telah banyak dilakukan.

Salah satu diantaranya adalah penelitian oleh LeVeque (2002) tentang

penyelesaian persamaan elastik nonlinear pada media heterogen dengan

menggunakan metode volume berhingga, seperti pada diagram 4. Penulis

menggunakan model matematika yang digunakan oleh LeVeque dan kemudian

menyelesaikannya dengan metode dekomposisi Adomian. Sebelumnya, model

tersebut belum pernah diteliti dengan Metode Dekomposisi Adomian sehingga

terlihat jelas kebaruan dari penelitian yang dilakukan oleh penulis. Model akustik

yang diteliti oleh penulis merupakan penyederhanaan dari model elastik yang

diteliti oleh LeVeque (2002) yang belum pernah diteliti sebelumnya dengan

menggunakan Metode Dekomposisi Adomian.

Gelombang Elastik

Dimensi 1

Persamaan

Gel. Elastik

“Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous

media"

oleh LeVeque (2002)

Metode Dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan Persamaan

Gelombang Elastik

Persamaan

Gel. Akustik

“Finite-volume methods for non-linear elasticity in heterogeneous

media"

oleh LeVeque (2002)

“Adomian decomposition method used to solve the acoustics

equations”

oleh Dispini dan Mungkasi (2016)


13

G. Kebaruan Penelitian

Persamaan aliran air dangkal telah diteliti sebelumnya oleh Al-Khaled dan

Allan (2004) namun, relevansi penggunaan Metode Dekomposisi Adomian dalam

menyelesaikan persamaan aliran air dangkal yang belum pernah diteliti

sebelumnya. Metode Dekomposisi Adomian tidak memiliki solusi eksak umum

seperti yang telah dijelaskan pada bagian tinjauan pustaka. Relevansi dari

penggunaan Metode Dekomposisi Adomian. Selain itu, Metode Dekomposisi

Adomian juga belum diteliti dalam penggunaannya untuk penyelesaian

penyerdehanaan dari persamaan aliran air dangkal yaitu persamaan aliran air

dangkal, persamaan difusi, dan persamaan kinematik.

Kebaruan penelitian yang lainnya adalah penggunaan Metode

Dekomposisi Adomian pada persamaan elastik serta persamaan

penyederhanaannya belum pernah diteliti sebelumnya sehingga, penyelesaian

persamaan akustik linear dengan Metode Dekomposisi Adomian pada tesis ini

termasuk penelitian yang terbaru.

H. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan oleh penulis adalah metode studi

pustaka yaitu mempelajari materi dari referensi-referensi yang berkaitan dengan

Metode Dekomposisi Adomian dalam menyelesaikan persamaan gelombang air

dangkal dan persamaan elastik dengan masing-masing penyederhanaannya,

mengumpulkan informasi dan menyusun tulisan ini menjadi suatu bentuk

penulisan yang runtut dan jelas sehingga mempermudah pembaca saat membaca.

Setelah itu, penulis lebih banyak mengkaji dari jurnal-jurnal nasional maupun


14

internasional serta buku-buku terkait. Langkah-langkah yang dilakukan dalam

penulisan ini adalah:

1. Mempelajari teori tentang Metode Dekomposisi Adomian untuk

menyelesaikan persamaan diferensial parsial dari buku-buku maupun

jurnal-jurnal yang terkait.

2. Menyelesaikan soal-soal latihan terkait dengan Metode Dekomposisi

Adomian.

3. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial

parsial dengan persamaan aliran air dangkal beserta penyederhanaannya.

4. Mempelajari informasi-informasi penting terkait persamaan diferensial

parsial dengan persamaan elastik beserta penyederhanaannya.

5. Memberikan penjelasan, bukti-bukti serta langkah-langkah dalam

mendapatkan solusi pendekatan dari metode dekomposisi Adomian secara

runtut dan jelas.

6. Menyusun seluruh materi yang telah dibahas secara runtut dan sistematis

pada langkah sebelumnya agar mempermudah para pembaca dalam

memahami isi penulisan.

7. Mengkonsultasikan isi tulisan dengan dosen pembimbing setiap

mendapatkan hasil penelitian (menemukan solusi-solusi permasalahan

yang dicari) serta setiap menemui kesulitan-kesulitan, kemudian merevisi

yang perlu direvisi.

8. Finalisasi penulisan tesis.


15

I. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam tesis ini adalah sebagai berikut.

1. Bab I : membahas pendahuluan yang meliputi latar belakang masalah,

rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka,

metode penelitian, dan sistematika penulisan.

2. Bab II : membahas landasan teori yang berisi teori-teori yang digunakan

dalam penelitian ini. Teori-teori yang digunakan adalah teori persamaan

diferensial parsial, teori tentang Metode Dekomposisi Adomian,

Dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan air dangkal

dan persamaan gelombang elastik.

3. Bab III : membahas hasil penelitian yang berisi hasil penelitian dari semua

persamaan yang dicari yaitu tentang persamaan air dangkal, persamaan

gelombang elastik, persamaan gelombang akustik, persamaan gelombang

difusi dan persamaan gelombang kinematik.

4. Bab IV : membahas aspek pendidikan yang berisi kaitan-kaitan penelitian

terhadap aspek pendidikan baik di sekolah menengah maupun di tingkat

S1 Pendidikan Matematika.

5. Bab V : membahas kesimpulan dan saran dari penelitian ini.


16

BAB II

LANDASAN TEORI

Isi dari bab ini adalah teori-teori yang melandasi penelitian. Teori-teori yang

digunakan adalah persamaan diferensial parsial, metode dekomposisi Adomian

dan penggunaan dekomposisi Adomian pada persamaan Burgers, persamaan

aliran air dangkal, persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear. Berikut ini

merupakan panjelasannya.

A. Persamaan Diferensial Parsial

Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan yang memuat

variabel terikat (fungsi tidak diketahui) dan derivatif parsial (Wazwaz, 2009).

Persamaan diferensial biasa (PDB) memiliki variabel terikat 𝑢 = 𝑢(𝑥) tergantung

hanya pada sebuah variabel bebas 𝑥. Tidak seperti PDB, variabel terikat dalam

PDP seperti misalnya 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) atau 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑡), tergantung pada lebih dari

satu variabel bebas. PDP juga digunakan dalam bentuk sederhana persamaan

gelombang. Berikut ini adalah bentuk sederhana dari persamaan gelombang

dimensi satu.

PDP : 𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥 , 0 < 𝑥 < 𝐿 , 𝑡 > 0

(2.1) Kondisi Batas : 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0, 𝑡 ≥ 0,

Kondisi Awal : 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 𝑢𝑡(𝑥, 0) = 𝑔(𝑥)

dengan 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah nilai fungsi di titik sembarang dalam rangkaian saat

posisi 𝑥 dan saat waktu 𝑡, dan 𝑐 adalah konstan.


17

B. Penurunan Persamaan Gelombang

Persamaan gelombang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan

momentum (LeVeque, 1992). Misalkan bahwa 𝜌(𝑥, 𝑡) melambangkan massa jenis

fluida di titik 𝑥 dan waktu 𝑡. Massa jenis ini didefinisikan dalam cara bahwa total

massa dari fluida dalam bagian yang diberikan dari 𝑥1 ke 𝑥2, diberikan oleh

integral dari massa jenis:

massa dalam [𝑥1, 𝑥2] pada waktu 𝑡 = ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥. (2.2)

Sekarang diberikan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan fluida pada titik 𝑥 dan waktu 𝑡.

Kemudian, kecepatan aliran, atau fluks dari fluida yang melewati titik ini

diberikan oleh

fluks massa di (𝑥, 𝑡) = 𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡), (2.3)

dari pernyataan tersebut, kecepatan dari perubahan massa di [𝑥1, 𝑥2] diberikan

oleh perbedaan di fluks pada saat 𝑥1 dan 𝑥2:

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌(𝑥, 𝑡)

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥 = 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡) − 𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡). (2.4)

Ini adalah satu bentuk integral dari hukum kekekalan massa. Bentuk lainnya

didapatkan dengan mengintegralkan ini saat waktu 𝑡1 ke 𝑡2:

∫ 𝜌(𝑥, 𝑡2)𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥

= ∫ 𝜌(𝑥, 𝑡1)𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥 + ∫ 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡)𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡

− ∫ 𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡)𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡.

(2.5)


18

Untuk mendapatkan bentuk diferensial dari hukum kekekalan, diasumsikan bahwa

𝜌(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi terdiferensial. Dengan menggunakan:

𝜌(𝑥, 𝑡2) − 𝜌(𝑥, 𝑡1) = ∫𝜕

𝜕𝑥𝜌(𝑥, 𝑡)

𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡, (2.6)

dan

𝜌(𝑥2, 𝑡)𝑢(𝑥2, 𝑡) − 𝜌(𝑥1, 𝑡)𝑢(𝑥1, 𝑡) = ∫𝜕

𝜕𝑥(𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡))

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥, (2.7)

dalam (2.5) memberikan:

∫ ∫ {𝜕

𝜕𝑥𝜌(𝑥, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥(𝜌(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡))}

𝑥2

𝑥1

𝑡2

𝑡1

𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0. (2.8)

Karena ini berlaku untuk setiap bagian [𝑥1, 𝑥2] dan melewati setip interval waktu

[𝑡1, 𝑡2], disimpulkan bahwa sebenarnya integral dalam (2.8) adalah nol, yaitu:

𝜌𝑡 + (𝜌𝑢)𝑥 = 0. (2.9)

Persamaan di atas adalah bentuk diferensial dari hukum kekekalan massa, untuk

hukum kekekalan (2.9) dapat diselesaikan jika kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi

dari 𝜌(𝑥, 𝑡). Jika demikian, kemudian 𝜌𝑢 adalah fungsi dari 𝜌 sendiri, sehingga

𝜌𝑢 = 𝑓(𝜌), dan persamaan kekekalan massa (2.9) menjadi:

𝜌𝑡 + 𝑓(𝜌)𝑥 = 0. (2.10)

Persamaan gelombang yang dibahas dalam tesis ini secara umum

berbentuk hukum kekekalan massa:

𝑊𝑡 + 𝐹(𝑊)𝑥 = 0, (2.11)

jika tidak ada suku sumber. Jika ada suku sumber kuantitas yang mempengaruhi

sistem, persamaannya berbentuk hukum kesetimbangan:


19

𝑊𝑡 + 𝐹(𝑊)𝑥 = 𝑆(𝑊(𝑥, 𝑡), 𝑥, 𝑡), (2.12)

dengan 𝑆(𝑊(𝑥, 𝑡), 𝑥, 𝑡) adalah suku sumber. Di sini 𝑊(𝑥, 𝑡) adalah kuantitas

kekal dan 𝐹(𝑊) adalah fluks kuantitas kekal tersebut.

C. Metode Dekomposisi Adomian

Metode Dekomposisi Adomian (Adomian (1998), Wazwaz (2009))

diperkenalkan dan dikembangkan oleh George Adomian dan terbukti memiliki

keunggulan, efektif, dan dapat mengatasi kasus-kasus linear maupun non-linear,

persamaan diferensial biasa maupun parsial, dan persamaan integral linear

maupun non-linear. Metode ini menyelesaikan permasalahan secara langsung

tanpa menggunakan linearisasi ataupun beberapa asumsi yang mungkin dapat

merubah sifat-sifat fisis dari model yang didiskusikan.

Pada penyelesaian bentuk sederhana gelombang dengan dimensi satu,

Metode Dekomposisi Adomian (Adomian, 1998) mengandung dekomposisi dari

fungsi 𝑢(𝑥, 𝑦) yang tidak diketahui dari beberapa persamaan dalam bentuk jumlah

dari bilangan tak hingga dari komponen terdefinisi dengan deret dekomposisi:

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)

∞

𝑛=0

di mana komponen 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦), 𝑛 ≥ 0 yang ditentukan dalam cara rekursif. Metode

dekomposisi mencari komponen 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, … secara terpisah. Diberikan suatu

bentuk persamaan diferensial linear:

𝐿𝑢 + 𝑅𝑢 = 𝑔, (2.13)

di mana 𝐿 adalah operator turunan tingkat yang lebih rendah yang diasumsikan

memiliki invers, sedangkan 𝑅 adalah operator diferensial linear, dan 𝑔 adalah


20

nilai awal. Aplikasikan operator invers 𝐿−1 pada kedua ruas dan menggunakan

kondisi yang diberikan untuk mendapatkan:

𝑢 = 𝑓 − 𝐿−1(𝑅𝑢), (2.14)

di mana fungsi 𝑓 menunjukkan hasil dari pengintegrasian 𝑔 dan dari penggunaan

kondisi yang diberikan yang diasumsikan untuk ditentukan. Selanjutnya akan

dijelaskan perhitungan dengan Metode Dekomposisi Adomian.

Pada bentuk sederhana persamaan gelombang dalam dimensi satu yang

telah diuraikan, dengan pengaplikasian Metode Dekomposisi Adomian:

𝑢𝑡𝑡 = 𝑐2𝑢𝑥𝑥, 0 < 𝑥 < 𝐿 , 𝑡 > 0, (2.15)

di mana 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang dicari saat posisi 𝑥 dan saat waktu 𝑡, dan

𝑐 adalah konstan. Persamaan (2.15) dapat ditulis menjadi:

𝐿𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡). (2.16)

Operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 didefinisikan dengan:

𝐿𝑡 =𝜕2

𝜕𝑡2, 𝐿𝑥 =

𝜕2

𝜕𝑥2. (2.17)

Asumsikan operator integral 𝐿𝑡−1 dan 𝐿𝑥

−1 ada dan dapat dimaknai sebagai

integral tak tentu dua-lipat yang didefinisikan sebagai

𝐿𝑡−1(. ) = ∫ ∫ (. )𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑡

0

𝑡

0

, (2.18)

dan

𝐿𝑥−1(. ) = ∫ ∫ (. )𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑡

0

𝑡

0

. (2.19)

Ini berarti bahwa

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑡𝑢𝑡(𝑥, 0) − 𝑢(𝑥, 0), (2.20)


21

dan

𝐿𝑥−1𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑥𝑢𝑥(𝑥, 0) − 𝑢(0, 𝑡). (2.21)

Solusi dapat diperoleh dengan menggunakan operator invers 𝐿𝑡−1 atau operator

invers 𝐿𝑥−1. Bagaimanapun juga, penggunaan operator invers 𝐿𝑡

−1 hanya

membutuhkan penggunaan kondisi awal, sedangkan operasi dengan

𝐿𝑥−1menentukan kegunaan dari kondisi awal dan kondisi batas. Untuk alasan ini,

diaplikasikan metode dekomposisi dalam arah 𝑡. Setelah mengaplikasikan 𝐿𝑡−1

untuk kedua ruas dan menggunakan kondisi awal kita mendapatkan:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝑢(𝑥, 𝑡)). (2.22)

Metode Adomian mendekomposisi perubahan fungsi 𝑢(𝑥, 𝑡):

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)

∞

𝑛=0

, (2.23)

sehingga menjadi:

∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)

∞

𝑛=0

= 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1 (𝐿𝑥 (∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑦)

∞

𝑛=0

)), (2.24)

atau dengan menggunakan komponen:

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )). (2.25)

Metode tersebut menunjukkan bahwa komponen nol 𝑢0(𝑥, 𝑡) diidentifikasi

dengan lambang yang tidak termasuk dalam 𝐿𝑡−1 pada (2.25). komponen yang

lain ditentukan dengan menggunakan relasi rekursif dengan

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥) + 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), (2.26)

𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥), (2.27)


22

𝑢𝑘+1(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), 𝑘 ≥ 0. (2.28)

Komponen-komponen 𝑢0(𝑥, 𝑡), 𝑢1(𝑥, 𝑡), 𝑢2(𝑥, 𝑡), … dapat ditentukan secara

terpisah dengan

𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥), (2.29)

𝑢1(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0)) = 𝑐2 (

𝑡2

2!𝑓′′(𝑥) +

𝑡3

3!𝑔′′(𝑥)),

(2.30)

𝑢2(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢1)) = 𝑐2 (

𝑡4

4!𝑓(4)(𝑥) +

𝑡5

5!𝑔(4)(𝑥)),

(2.31)

𝑢3(𝑥, 𝑡) = 𝑐2𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢2)) = 𝑐2 (

𝑡6

6!𝑓(6)(𝑥) +

𝑡7

6!𝑔(6)(𝑥)),

(2.32)

⋮

sehingga diperoleh,

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑐2𝑛

∞

𝑛=0

(𝑡2𝑛

(2𝑛)!𝑓(6)(𝑥) +

𝑡2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!𝑔(2𝑛)(𝑥)). (2.33)

Persamaan (2.33) merupakan solusi dari persamaan (2.15).

D. Dekomposisi Adomian pada Persamaan Burgers

Pada bagian ini akan dibahas penggunaan Metode Dekomposisi Adomian

pada persamaan diferensial parsial. Persamaan gelombang menggunakan

persamaan diferensial parsial sehingga penting untuk memberikan salah satu

ilustrasi bagaimana Metode Dekomposisi Adomian menyelesaikannya. Secara

khusus, persamaan yang akan diselesaikan adalah persamaan Burgers.

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 − 𝑢𝑥𝑥 = 0, (2.34)


23

di mana 𝑢 adalah kuantitas yang diteliti. Notasi 𝑡 adalah variabel untuk waktu dan

𝑥 adalah variabel ruang. Ruang dan waktu adalah variabel-variabel bebas.

Didefinisikan operator turunan 𝐿𝑡 =𝜕

𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥𝑥 =

𝜕2

𝜕𝑥2. Persamaan Burgers dapat

dituliskan menjadi:

𝐿𝑡𝑢 + 𝑢𝑢𝑥 = 𝐿𝑥𝑥𝑢. (2.35)

Didefinisikan operator invers 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )

𝑡

0𝑑𝑡, kemudian aplikasikan 𝐿𝑡

−1 pada

kedua ruas untuk persamaan sebelumnya untuk mendapatkan persamaan

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 = 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑥𝑢 − 𝐿𝑡−1𝑢𝑢𝑥, (2.36)

Atau

𝑢 − 𝑢(0) = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢 − 𝐿𝑡

−1𝑢𝑢𝑥 . (2.37)

Untuk 𝑢𝑢𝑥 nonlinear dapat ditulis dalam polinomial Adomian 𝐴𝑛, dimana 𝑢𝑢𝑥 =

∑ 𝐴𝑛∞𝑛=0 {𝑢𝑢𝑥}, kemudian substitusikan polinomial ke dalam persamaan. Dengan

cara yang sama, substitusikan dekomposisi dari

𝑢 = ∑ 𝑢𝑛∞𝑛=0 pada kedua ruas, dimana 𝑢0 = 𝑢(0), didapatkan

∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑢0 + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥 ∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=0

− 𝐿𝑡−1 ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

. (2.38)

Sekarang, dapat dilihat hasil dari setiap komponen dekomposisi dari 𝑢, yaitu,

𝑢1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢0 − 𝐿𝑡

−1𝐴0, (2.39)


−1𝐴1, (2.40)


−1𝐴2, (2.41)

⋮

𝑢𝑛+1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑥𝑢𝑛 − 𝐿𝑡

−1𝐴𝑛 , 𝑛 ≥ 0. (2.42)


24

Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh :

𝐴0 = 𝑢0𝑢′0, (2.43)

𝐴1 = 𝑢1𝑢′0 + 𝑢0𝑢1, (2.44)

𝐴2 = 𝑢2𝑢′0 + 𝑢1𝑢′

1 + 𝑢0𝑢′2, (2.45)

⋮

𝐴𝑛 = 𝑢𝑛𝑢′0 + 𝑢𝑛−1𝑢′

1 + ⋯ + 𝑢1𝑢′𝑛−1 + 𝑢0𝑢′

𝑛, (2.46)

sehingga, dapat ditentukan 𝑢 menjadi bentuk rangkaian 𝑢 = ∑ 𝑢𝑛∞𝑛=0 seperti yang

diharapkan. Komponen ke−𝑛 pada pendekatan dari 𝑢 diberikan oleh jumlahan

dari 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑛−1, jadi

𝜑𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑚

𝑛−1

𝑚=0

. (2.47)

Dengan cara Adomian untuk menspesifikasi 𝑢 = 𝑥 ketika 𝑡 = 0. Didapatkan

𝑢0 = 𝑢(𝑡 = 0) = 𝑥, (2.48)

𝑢1 = −𝐿𝑡−1𝐴0 = −𝑥𝑡, (2.49)

𝑢2 = −𝐿𝑡−1𝐴1 = 𝐿𝑡

−1(𝑥𝑡) =𝑥𝑡2

2, (2.50)

⋮

Sehingga, 𝑢 = 𝑥 (1 − 𝑡 +𝑡2

2− ⋯ ). Didapatkan 𝑢 =

𝑥

1+𝑡 adalah solusi dari

persamaan Burgers dengan masalah nilai awal 𝑢 = 𝑥 saat 𝑡 = 0. Hasil akhir ini

adalah solusi untuk persamaan (2.34) menggunakan Metode Dekomposisi

Adomian. Jelas bahwa 𝑢 =𝑥

1+𝑡 adalah solusi eksak dari persamaan Burgers

dengan nilai awal yang diberikan. Setelah pengamatan dari permasalahan ini


25

ditemukan bahwa jika solusi eksak teridentifikasi memiliki bentuk tertutup, maka

Metode Dekomposisi Adomian konvergen sangat cepat pada solusi eksak.

E. Persamaan Gelombang Air Dangkal

Gelombang air dangkal adalah gelombang di mana kedalaman airnya atau

amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.

Persamaan air dangkal disebut juga sebagai sistem Saint-Venant di mana hukum

kekekalan massa dan momentum sangat berpengaruh. Persamaan-persamaan

dalam sistem tersebut merupakan penurunan dari hukum kekekalan massa dan

hukum kekekalan momentum. Pada persamaan ini (LeVeque, 1992) diasumsikan

massa jenis 𝜌 konstan, sedangkan, tinggi ℎ(𝑥, 𝑡) berubah-ubah, dan begitu juga

total massa dalam [𝑥1, 𝑥2] saat 𝑡 adalah:

total massa di [𝑥1, 𝑥2] = ∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥. (2.51)

Momentum pada setiap titik adalah 𝜌𝑢(𝑥, 𝑡) dan integralnya memberikan fluks

massa menjadi 𝜌𝑢(𝑥, 𝑡)ℎ(𝑥, 𝑡), sehingga menjadi:

ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0. (2.52)

Persamaan kekekalan momentum memberikan bentuk:

(𝜌ℎ𝑢)𝑡 + (𝜌ℎ𝑢2 + 𝑝)𝑥 = 0. (2.53)

Tekanan 𝑝 pada fluks momentum adalah:

𝑝 =1

2𝜌𝑔ℎ2, (2.54)

Dengan 𝑔 adalah konstan gravitasi. Dengan menggunakan (2.53) dan (2.54)

memberikan:


26

(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2)𝑥 = 0. (2.55)

Persamaan (2.55) dapat disimplifikasi dan dengan mereduksi beberapa suku maka

menjadi:

𝑢𝑡 + (1

2𝑢2 + ℎ)

𝑥= 0. (2.56)

Persamaan (2.52) dan (2.56) merupakan sistem persamaan gelombang air dangkal.

Persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi tiga persamaan,

yaitu persamaan gelombang air dangkal, persamaan difusi dan persamaan

kinematik. Berikut ini adalah masing-masing persamaan yang diteliti dalam

penelitian ini.

1. Persamaan Gelombang Air Dangkal

Persamaan gelombang air dangkal (Al-Khaled dan Allan, 2004) satu

dimensi dapat direpresentasikan sebagai berikut.

𝜕

𝜕𝑡(

ℎ𝑢

) +𝜕

𝜕𝑥(

ℎ𝑢1

2𝑢2 + ℎ

) = (0

−𝑧′) , 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑡 >. (2.57)

Di mana 𝑧(𝑥) adalah topografi tanah, ℎ(𝑥, 𝑡) menunjukkan ketinggian

(kedalaman air) diatas topografi tanah, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air, dan

diasumsikan bahwa akselerasi yang disebabkan oleh gravitasi adalah satu

sedangkan dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 secara berturut-turut adalah jarak

sepanjang arah aliran dan waktu. Dengan nilai kondisi awalnya adalah:

(ℎ(𝑥, 0)

𝑢(𝑥, 0)) = (

𝑔1(𝑥)

𝑔2(𝑥)) , 𝑥 𝜖 ℝ. (2.58)


27

Di sini 𝑔1 dan 𝑔2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan

aliran air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan

dengan:

ℎ𝑡 + 𝑢ℎ𝑥 + ℎ𝑢𝑥 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (2.59)

𝑢𝑡 + ℎ𝑥 + 𝑢𝑢𝑥 = −𝑧′(𝑥), 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥). (2.60)

Pada persamaan gelombang air dangkal tersebut adalah persamaan yang

akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang air

dangkal antara lain, tsunami, banjir, dan masalah bendungan bobol (dam

break). Solusi dari penelitian ini untuk melihat kecepatan gelombang 𝑢 dan

kedalaman gelombang air ℎ pada titik 𝑥 tertentu dan pada waktu 𝑡 tertentu.

2. Persamaan Gelombang Difusi

Difusi adalah penyebaran molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke

konsentrasi yang lebih rendah. Persamaan gelombang difusi yang dibahas

pada penelitian ini adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu. Berikut

ini adalah persamaannya:

𝜕𝑞

𝜕𝑡+

𝜕𝑞

𝜕𝑥= 𝑞

𝜕2𝑞

𝜕𝑥2+ 𝑥, (2.61)

di mana 𝑞 adalah konsentrasi polutan air di laut (misal). Dengan kondisi

awal:

𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1. (2.62)

Kemudian, dapat ditulis kembali menjadi:

𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑥. (2.63)

Persamaan (2.63) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian

ini. Masalah nyata yang terkait dengan gelombang difusi antara lain,


28

penyebaran asap rokok dalam suatu ruangan, penyebaran limbah cair di

sungai, penyebaran limbah gas dari pabrik ke ruangan terbuka, dan masih

banyak lagi. Solusi dari penelitian ini untuk melihat gelombang aliran

konsentrasi 𝑞 suatu larutan pada titik 𝑥 tertentu dan waktu 𝑡 tertentu.

3. Persamaan Gelombang Kinematik

Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) termasuk dalam

persamaan gelombang air dangkal dimensi satu. Persamaan gelombang

kinematik yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan gelombang

kinematik dimensi satu. Berikut ini adalah persamaannya:

ℎ𝑡 + ℎ2

3ℎ𝑥 = 𝑥, (2.64)

dengan kondisi awalnya adalah

ℎ(𝑥, 0) = ℎ0 = 1. (2.65)

Persamaan (2.64) adalah persamaan yang akan diselesaikan pada penelitian

ini. Masalah nyata terkait dengan gelombang kinematik adalah masalah

gelombang aliran pada daerah aliran sungai (DAS). DAS berfungsi untuk

menerima, mengalirkan dan menampung air hujan. Solusi dari penelitian ini

untuk melihat banyaknya simpanan air ℎ pada titik 𝑥 tertentu dan pada

waktu 𝑡 tertentu.

F. Persamaan Gelombang Elastik

Pada persamaan gelombang elastik, terdapat dua jenis persamaan. Pertama

adalah persamaan gelombang elastik secara umum dan kedua adalah persamaan


29

gelombang akustik. Persamaan akustik linear diturunkan dari persamaan

elastisitas non-linear. Berikut ini adalah persamaan gelombang elastisitas dimensi-

1 mengacu pada LeVeque (2002):

{ 𝜀𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = 0 ,

𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝜎(𝜀(𝑥, 𝑡), 𝑥)𝑥 = 0 .

(2.66)

Disini 𝜀(𝑥, 𝑡) adalah regangan (strain), 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, dengan massa

jenis diasumsikan satu dan 𝜎(𝜀, 𝑥) adalah tegangan (stress) dan variabel bebas 𝑥

dan 𝑡 secara berturut-turut merepresentasikan ruang dan waktu. Relasi linear

tekanan-regangan adalah:

𝜎(𝜀, 𝑥) = 𝐾(𝑥)𝜀 (2.67)

di mana 𝐾(𝑥) adalah modulus dari bagian yang dimampatkan. Pada kasus linear

sangat mungkin untuk menuliskan kembali persamaan dengan mengeliminasi 𝜀

dan menggunakan 𝑝 = −𝜎 untuk mendapatkan:

{𝑝𝑡 + 𝐾(𝑥)𝑢𝑥 = 0,𝜌(𝑥)𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0 .

(2.68)

Persamaan tersebut adalah persamaan akustik linear satu dimensi. Kemudian

untuk menyederhanakan persamaan, dengan mengasumsikan 𝐾(𝑥) sama dengan

satu, dan massa jenis 𝜌(𝑥) sama dengan satu, maka didapatkan:

{𝑝𝑡 + 𝑢𝑥 = 0,𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0.

(2.69)

Persamaan elastisitas dan persamaan akustik linear dimensi-1 tersebut yang

kemudian akan diteliti dalam tesis ini. Masalah nyata dari persamaan gelombang

elastik antara lain adalah gempa bumi, penggaris atau benda elastik lain yang


30

diberikan tekanan. Solusi dari penelitian persamaan gelombang elastik ini untuk

melihat gelombang regangan 𝜀 dan kecepatan gelombang 𝑢 pada titik 𝑥 tertentu

dan nilai waktu 𝑡 tertentu. Sedangkan, masalah nyata dari persamaan gelombang

akustik antara lain adalah gelombang suara dari radar yang dipantulkan ke dalam

laut untuk mengetahui topografi dasar laut ataupun untuk mengetahui lokasi ikan

lumba-lumba yang juga memancarkan gelombang suara, dan masih banyak lagi

aplikasi dari gelombang akustik ini. Solusi dari penelitian persamaan gelombang

akustik ini untuk melihat gelombang tekanan 𝑝 dan kecepatan gelombang 𝑢 pada

titik 𝑥 tertentu dan nilai waktu 𝑡 tertentu.


31

BAB III

HASIL PENELITIAN

Bab ini berisi tentang hasil-hasil penelitian yang telah dikerjakan, yaitu

penyelesaian persamaan air dangkal, gelombang akustik, gelombang elastik,

gelombang difusi, dan gelombang kinematik dengan metode dekomposisi

Adomian.

A. Solusi Persamaan Gelombang Air Dangkal

Gelombang air dangkal merupakan gelombang dimana kedalaman air

ataupun amplitudonya sangat kecil dibandingkan dengan panjang gelombangnya.

Referensi utama yang digunakan penulis pada bagian ini adalah Al-Khaled dan

Allan (2004) dan Wazwaz (2009). Persamaan air dangkal biasa disebut sebagai

sistem Saint-Venant. Persamaan ini diturunkan dari hukum kekekalan massa dan

momentum. Sistem dari persamaan air dangkal merupakan persamaan yang saling

simultan yang berasal dari persamaan hukum kekekalan massa dan persamaan

kekekalan momentum. Oleh karena itu, variabel yang paling berpengaruh dalam

persamaan air dangkal adalah variabel ℎ(𝑥, 𝑡) yaitu kedalaman air dan variabel

𝑢(𝑥, 𝑡) yaitu variabel kecepatan air, sedangkan, 𝑥 merupakan arah aliran air dan 𝑡

adalah variabel waktu. Persamaan air dangkal dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan banjir, bendungan bobol dan beberapa permasalahan

lain terkait gelombang air dangkal. Beberapa manfaat dari aplikasi persamaan air

dangkal antara lain dapat memprediksi perilaku fisis (kecepatan air, kedalaman

air, dan letak) terjadinya banjir.


32

Perlu diketahui bahwa persamaan aliran air dangkal tidak memiliki solusi

eksak secara umum sehingga dengan menggunakan metode dekomposisi

Adomian dapat ditemukan solusi pendekatan dari persamaan air dangkal.

Persamaan air dangkal yang dibahas pada penelitian ini adalah persamaan air

dangkal dimensi satu dimana hanya ada satu variabel ruang (𝑥) yang terlibat

dalam persamaan ini. Bagian ini memuat perhitungan serta penyelesaian

persamaan air dangkal dengan metode dekomposisi Adomian.

Penulisan dalam bagian ini sebagai berikut. Pertama dijelaskan bagaimana

Al-Khaled dan Allan (2004) memperluas pendekatan Adomian untuk

menyelesaikan sebuah sistem persamaan diferensial, yang mana adalah persamaan

air dangkal. Pekerjaan dari Al-Khalled dan Allan (2004) kemudian diaplikasikan

untuk menyelesaikan sebuah permasalahan aliran yang tidak tenang dan

mendiskusikan hasil solusi dari persamaan air dangkal apakah memiliki perilaku

fisis yang sesuai atau tidak. Persamaan gelombang air dangkal dimensi-1 pada

aliran fluida direpresentasikan sebagai berikut:

𝜕

𝜕𝑡(

ℎ𝑢

) +𝜕

𝜕𝑥(

ℎ𝑢1

2𝑢2 + ℎ) = (

0−𝑧′

) , 𝑥 𝜖 ℝ, 𝑡 > 0. (3.1)

Disini 𝑧(𝑥) adalah topografi tanah, ℎ(𝑥, 𝑡) menunjukkan ketinggian (kedalaman

air) di atas topografi tanah, 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air, dan untuk

menyederhanakan persamaan maka diasumsikan bahwa akselerasi yang

disebabkan oleh gravitasi adalah satu. Dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 secara berturut-

turut adalah jarak sepanjang arah aliran dan waktu. Kondisi awalnya adalah:


33

(ℎ(𝑥, 0)

𝑢(𝑥, 0)) = (

𝑔1(𝑥)

𝑔2(𝑥)) , 𝑥 𝜖 ℝ. (3.2)

Disini 𝑔1 dan 𝑔2 adalah sebarang fungsi. Dengan kata lain, persamaan gelombang

air dangkal dengan masalah nilai awal dapat direpresentasikan dengan:

ℎ𝑡 + 𝑢ℎ𝑥 + ℎ𝑢𝑥 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.3)

𝑢𝑡 + ℎ𝑥 + 𝑢𝑢𝑥 = −𝑧′(𝑥), 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥). (3.4)

Kedua persamaan tersebut kemudian dituliskan kembali dalam bentuk operator,

lalu didapatkan:

𝐿𝑡ℎ + 𝑢𝐿𝑥ℎ + ℎ𝐿𝑥𝑢 = 0 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.5)

𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑥ℎ + 𝑢𝐿𝑥𝑢 = −𝑧′(𝑥) , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥), (3.6)

dimana 𝐿𝑡 =𝜕

𝜕𝑡, 𝐿𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥 dan operator invers 𝐿𝑡

−1 = ∫ (. )𝑑𝑡𝑡

0. Dengan

mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka didapatkan,

𝐿𝑡−1(𝐿𝑡ℎ) + 𝐿𝑡

−1(𝑢𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1(ℎ𝐿𝑥𝑢) = 𝐿𝑡

−10 , ℎ(𝑥, 0) = 𝑔1(𝑥), (3.7)

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑡

−1(𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1(𝑢𝐿𝑥𝑢) = 𝐿𝑡

−1 − 𝑧′(𝑥) , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑔2(𝑥), (3.8)

atau

ℎ(𝑥, 𝑡) = 𝑔1(𝑥) − 𝐿𝑡−1[∅1(ℎ, 𝑢) + ∅2(ℎ, 𝑢)], (3.9)

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑔2(𝑥) − 𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ + ∅3(𝑢)]). (3.10)

Disini ∅1(ℎ, 𝑢) = 𝑢ℎ𝑥, ∅2(ℎ, 𝑢) = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3(𝑢) = 𝑢𝑢𝑥. Metode dekomposisi

Adomian mengasumsikan sebuah solusi deret tak hingga untuk fungsi yang tidak

diketahui ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dalam bentuk:

ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑ ℎ𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.11)


34

dan operator nonlinier ∅1, ∅2 dan ∅3 dengan deret tak hingga dari polinomial

Adomian dalam bentuk:

∅1(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

, ∅2(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐵𝑛, ∅3(𝑢) = ∑ 𝐶𝑛

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

, (3.12)

𝐴𝑛(ℎ0, ℎ1, … , ℎ𝑛, 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛)

=1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[∅1 (∑ 𝜆𝑘ℎ𝑘

∞

𝑘=0

, ∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 ≥ 0 , (3.13)

𝐵𝑛(ℎ0, ℎ1, … , ℎ𝑛, 𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛)

=1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[∅2 (∑ 𝜆𝑘ℎ𝑘

∞

𝑘=0

, ∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 ≥ 0 , (3.14)

𝐶𝑛(𝑢0, 𝑢1, … , 𝑢𝑛) =1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[∅3 (∑ 𝜆𝑘𝑢𝑘

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 ≥ 0 . (3.15)

Didapatkan:

∅1 = 𝑢ℎ𝑥, ∅2 = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3 = 𝑢𝑢𝑥 , ⋯, (3.16)

dan

𝐴0 = 𝑢0ℎ0𝑥 , (3.17)

𝐴1 = 𝑢1ℎ0𝑥+ 𝑢0ℎ1𝑥

, (3.18)


+ 𝑢0ℎ2𝑥 , (3.19)


+ 𝑢1ℎ2𝑥+ 𝑢0ℎ3𝑥

, (3.20)

⋮

𝐵0 = ℎ0𝑢0𝑥 , (3.21)

𝐵1 = ℎ1𝑢0𝑥+ ℎ0𝑢1𝑥

, (3.22)


+ ℎ0𝑢2𝑥 , (3.23)


35


+ ℎ1𝑢2𝑥+ ℎ0𝑢3𝑥

, (3.24)

⋮

𝐶0 = 𝑢0𝑢0𝑥 , (3.25)

𝐶1 = 𝑢1𝑢0𝑥+ 𝑢0𝑢1𝑥

, (3.26)


+ 𝑢0𝑢2𝑥 , (3.27)


+ 𝑢1𝑢2𝑥+ 𝑢0𝑢3𝑥

, (3.28)

⋮

Dengan menggunakan hasil tersebut, dengan mempertimbangkan penelitian Al-

Khaled dan Allan (2004) serta penelitian yang dilakukan penulis, ditemukan

fungsi iterasi pada metode dekomposisi Adomian untuk persamaan air dangkal

adalah:

ℎ0(𝑥, 𝑡) = 𝑔1(𝑥), ℎ𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1[𝐴𝑛 + 𝐵𝑛], 𝑛 ≥ 0 , (3.29)

𝑢0(𝑥, 𝑡) = 𝑔2(𝑥),

𝑢𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ𝑛 + 𝐶𝑛]), 𝑛 ≥ 0 , (3.30)

dimana solusi eksak dapat ditulis dengan:

lim𝑛→∞

∅𝑛 = ℎ(𝑥, 𝑡), lim𝑛→∞

𝜓𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡) . (3.31)

Pendekatan suku ke-𝑛 dari kedalaman air (ℎ) dan kecepatan (𝑢) adalah

∅𝑛[ℎ] = ∑ ℎ𝑘(𝑥, 𝑡)

𝑛−1

𝑘=0

, 𝜓𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡),

𝑛−1

𝑘=0

𝑛 ≥ 0 . (3.32)

Pada bagian ini, akan dipaparkan hasil penelitian dari metode dekomposisi

Adomian untuk persamaan air dangkal. Diberikan kondisi awal untuk kedalaman

dan kecepatan seperti dibawah ini.


36

ℎ(𝑥, 0) =1

10+

1

4sech(𝑥) +

exp(−𝑥2)

1 + exp(−𝑥2) , (3.33)

dan

𝑢(𝑥, 0) = 0, (3.34)

dengan fungsi topografi tanah:

𝑧(𝑥) = −exp(−𝑥2)

1 + exp(−𝑥2) . (3.35)

Dengan menggunakan kondisi awal dan fungsi topografi tanah, akan didapatkan

setiap suku ke-𝑛 dari kedalaman air (ℎ) dan kecepatan (𝑢) sebagai berikut:

ℎ𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1[𝐴𝑛 + 𝐵𝑛], 𝑛 ≥ 0 , (3.36)

𝑢𝑛+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1(𝑧′(𝑥) + [𝐿𝑥ℎ𝑛 + 𝐶𝑛]), 𝑛 ≥ 0 . (3.37)

Digunakan software MAPLE untuk membantu perhitungan dalam mencari suku-

suku untuk kedalaman air (ℎ) seperti berikut ini.

ℎ0 =1

10+

1

4sech(𝑥) +

exp(−𝑥2)

1 + exp(−𝑥2) , (3.38)

ℎ1 = 0 , (3.39)

ℎ2 =1

160

1

cosh(𝑥)4(1 + 𝑒−𝑥2)2 (𝑡2(22𝑒−2𝑥2

cosh(𝑥)3

+ 40𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑥 cosh(𝑥)2 + 24𝑒−𝑥2

cosh(𝑥)3

+ 10𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2 + 2cosh(𝑥)3

+ 20𝑒−𝑥2cosh(𝑥)2 − 44𝑒−2𝑥2

cosh(𝑥)

+ 10cosh(𝑥)2 − 48𝑒−𝑥2cosh(𝑥) − 15𝑒−2𝑥2

− 4cosh(𝑥) − 30𝑒−𝑥2− 15)) ,

(3.40)


37

ℎ3 =1

20

1

cosh(𝑥)2(1 + 𝑒−𝑥2)4 (𝑒−𝑥2

𝑡2 (44𝑥2𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2

− 80𝑥2𝑒−𝑥2cosh(𝑥)2 + 10𝑥2𝑒−2𝑥2

cosh(𝑥)

+ 22𝑒−2𝑥2cosh(𝑥)2 − 4𝑥2cosh(𝑥)2

− 5𝑒−2𝑥2sinh(𝑥)𝑥 + 24𝑒−𝑥2

cosh(𝑥)2

+ 5𝑒−2𝑥2cosh(𝑥) − 10𝑥2cosh(𝑥)

− 10𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑥 + 2cosh(𝑥)2 + 10𝑒−𝑥2

cosh(𝑥)

− 5sinh(𝑥)𝑥 + 5cosh(𝑥))) .

(3.41)

Suku-suku untuk kecepatan (𝑢) adalah:

𝑢0 = 0, (3.42)

𝑢1 =1

4sech(𝑥) tanh(𝑥) 𝑡, (3.43)

𝑢2 = −2𝑥𝑒−𝑥2𝑡

(1 + 𝑒−𝑥2)2, (3.44)

𝑢3

=1

240

1

cosh(𝑥)5(1 + 𝑒−𝑥2)3 (𝑡(−40𝑒−2𝑥2

sinh(𝑥)𝑡2𝑥2cosh(𝑥)3

+ 40𝑒−2𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)4 + 11𝑒−3𝑥2

sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3

+ 40𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2𝑥2cosh(𝑥)3 − 480𝑒−2𝑥2

𝑥 cosh(𝑥)5

+ 40𝑒−𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)4 + 3𝑒−2𝑥2


+ 15𝑒−3𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2 − 480𝑥𝑒−𝑥2

cosh(𝑥)5

− 7𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3 + 45𝑒−2𝑥2


− 80𝑒−2𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)2 − 66𝑒−3𝑥2

sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)

+ sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)3 + 45𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2

− 80𝑒−𝑥2𝑡2𝑥 cosh(𝑥)2 − 138𝑒−2𝑥2

sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)

− 40𝑒−3𝑥2sinh(𝑥)𝑡2 + 15sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥)2

− 78𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥) − 120𝑒−2𝑥2

sinh(𝑥)𝑡2

− 6sinh(𝑥)𝑡2cosh(𝑥) − 120𝑒−𝑥2sinh(𝑥)𝑡2 − 40sinh(𝑥)𝑡2)).

(3.45)

Perlu diingat bahwa ℎ = ∑ ℎ𝑛∞𝑛=0 dan 𝑢 = ∑ 𝑢𝑛

∞𝑛=0 sehingga ditemukan

solusi pendekatan untuk kedalaman 𝐻[ℎ] = ℎ0 + ℎ1 + ℎ2 + ℎ3 dan solusi

pendekatan untuk kecepatan 𝑈[𝑢] = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3. Pada tesis ini,


38

perhitungan ini tidak dilanjutkan pada suku selanjutnya karena hasilnya lebih

rumit dan memerlukan waktu yang panjang untuk mendapatkan dan menuliskan

pada tesis ini.

Gambar 1.1. Solusi berdasarkan metode dekomposisi Adomian untuk (kiri) kedalaman

ℎ(𝑥, 𝑡) dan (kanan) kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡).

Gambar 1.1 merupakan grafik solusi pendekatan untuk kedalaman air dan

kecepatan air dari persamaan air dangkal dengan menggunakan metode

dekomposisi Adomian ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 2.3. Di bawah ini akan

diberikan grafik solusi pendekatan dari kedalaman dan kecepatan pada skala

waktu tertentu.

Gambar 1.2. Hasil untuk kedalaman ℎ(𝑥, 𝑡) dari metode dekomposisi Adomian pada saat

waktu 𝑡 = 0 (kiri) dan 𝑡 = 2.3 (kanan).


39

Gambar 1.3. Hasil untuk kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) dari metode dekomposisi Adomian pada saat

waktu 𝑡 = 0 (kiri) dan 𝑡 = 2.3 (kanan).

Hasil dari 𝐻[ℎ] dan 𝑈[𝑢] telah di-plot di Gambar 1.1, Gambar 1.2, dan

Gambar 1.3. Pada kondisi awal, permukaan air membentuk gundukan dan

kecepatannya nol di manapun. Semakin waktu bertambah, permukaan air mulai

berubah bentuk, yang mana secara fisis sesuai dengan gravitasi. Bagaimanapun

juga, jika nilai waktu terlalu besar, solusinya menjadi tidak sesuai dengan keadaan

fisis di alam, yang mana, permukaan air di pusat dari gundukan sebelumnya

meningkat terlalu tinggi. Permukaan air di sisi kiri dan kanan dari gundukan

menurun dan mencapai topografi tanah saat 𝑡 = 2.3. Ini berarti bahwa jika

diinginkan solusi yang akurat untuk waktu yang besar, dibutuhkan suku yang

lebih besar juga (𝑛 lebih banyak) di pendekatan 𝐻[ℎ] dan 𝑈[𝑢] untuk solusi

eksak.

Pada penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi Adomian

relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu yang

besar untuk permasalahan aliran yang tidak tenang. Diharapkan penelitian

selanjutnya yang berhubungan dengan metode dekomposisi Adomian adalah


40

untuk menemukan error atau kesalahan dari solusi metode dekomposisi Adomian

untuk persamaan air dangkal.

B. Solusi Persamaan Gelombang Elastik

Gelombang elastik merupakan gelombang yang menyebabkan deformasi

elastik tanpa menyebabkan perubahan struktur. Persamaan gelombang elastik erat

kaitannya dengan teori elastisitas gelombang. Dalam elastisitas gelombang,

dikenal sifat elastisitas benda, yaitu sifat suatu benda untuk mempertahankan

bentuknya pada keadaan semula. Contoh fenomena yang ada pada kehidupan

sehari-hari adalah ketika menekan senar gitar maka akan terjadi regangan yang

diakibatkan oleh tekanan dan regangan tersebut lama-kelamaan akan berhenti.

Persamaan elastik yang diteliti dalam tesis ini adalah persamaan elastik dimensi

satu. Oleh karena itu, variabel yang paling dominan dalam persamaan elastik

dimensi satu adalah tegangan, regangan, dan kecepatan. Tegangan adalah gaya per

satuan luas, sedangkan regangan adalah perbandingan antara perubahan bentuk

dan ukuran benda setelah dikenai gaya dari keadaan semula. Berdasarkan hukum

Hook, regangan yang dihasilkan berbanding lurus dengan tegangannya (berlaku

untuk tegangan yang tidak terlalu besar). Persamaan elastik non-linear diberikan

sebagai berikut.

𝜀𝑡(𝑥, 𝑡) − 𝑢𝑥(𝑥, 𝑡) = 0, (3.46)

(𝜌(𝑥)𝑢(𝑥, 𝑡))𝑡 − 𝜎(𝜀(𝑥, 𝑡), 𝑥)𝑥 = 0. (3.47)

𝜀(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) secara berturut-turut adalah regangan dan kecepatan. 𝑚 = 𝜌𝑢

adalah momentum dengan 𝜌 adalah massa jenis, sedangkan 𝜎(𝜀, 𝑥) = 𝐾(𝑥)𝜀


41

adalah tegangan. Asumsikan 𝜌 = 1 dan 𝐾(𝑥) = 1 untuk mendapatkan persamaan

elastik non-linier paling sederhana, maka didapatkan:

𝜀𝑡 − 𝑢𝑥 = 0, (3.48)

𝑢𝑡 − (𝜀 + 𝜀2)𝑥 = 0. (3.49)

Untuk mempermudah perhitungan, diberikan contoh kondisi awal:

𝑢(𝑥, 0) = 0, (3.50)

𝜀(𝑥, 0) = −0.1 𝑠𝑒𝑐ℎ2(0.2𝑥). (3.51)

Persamaan (3.48) dan (3.49) dapat ditulis kembali menjadi:

𝜀𝑡 − 𝑢𝑥 = 0, (3.52)

𝑢𝑡 − 𝜀𝑥 − 2𝜀𝜀𝑥 = 0 (3.53)

Dengan mendefinisikan operator derivatif 𝐿𝑡 =𝜕

𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥 dan kemudian

mengaplikasikannya maka persamaan (3.52) dan (3.53) akan menjadi:

𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.54)

𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑥𝜀 − 2𝜀 𝐿𝑥𝜀 = 0. (3.55)

Didefinisikan operator invers 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )

𝑡

0𝑑𝑡, dan dengan mengaplikasikan 𝐿𝑡

−1

kedua ruas dari persamaan-persamaan sebelumnya untuk mendapatkan:

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.56)

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑡

−1(𝐿𝑥𝜀 + 2𝜀 𝐿𝑥𝜀) = 0. (3.57)

Persamaan diatas dapat ditulis kembali menjadi

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝜀 − 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.58)

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 − 𝐿𝑡

−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)) = 0, (3.59)

dimana ∅(𝜀) = 𝜀𝜀𝑥. Maka akan didapatkan 𝜀(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) seperti dibawah

ini.


42

𝜀(𝑥, 𝑡) − 𝜀(𝑥, 0) = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.60)

𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑢(𝑥, 0) = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)), (3.61)

atau

𝜀(𝑥, 𝑡) = 𝜀(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.62)

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀 + 2∅(𝜀)). (3.63)

Metode dekomposisi Adomian mengasumsikan sebuah deret tak hingga dalam:

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.64)

𝜀(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.65)

∅(𝜀) = ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

. (3.66)

Jadi, didapatkan persamaan-persamaan dibawah ini:

∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

= 𝜀0 + 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.67)

∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

= 𝑢0 + 𝐿𝑡−1 (𝐿𝑥 ∑ 𝜀𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

+ 2 ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

), (3.68)

dimana

𝐴𝑛(𝜀0, 𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀𝑛) =1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[∅ (∑ 𝜆𝑛𝜀𝑛

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 ≥ 0. (3.69)

Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh:

𝐴0 = 𝜀0𝜀0𝑥 , (3.71)

𝐴1 = 𝜀1𝜀0𝑥+ 𝜀0𝜀1𝑥

, (3.72)


43

𝐴2 = 𝜀2𝜀0𝑥+ 𝜀1𝜀1𝑥

+ 𝜀0𝜀2𝑥 , (3.73)

⋮

𝐴𝑛 = 𝜀𝑛𝜀0𝑥+ 𝜀𝑛−1𝜀1𝑥

+ ⋯ + 𝜀0𝜀𝑛𝑥. (3.74)

Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi adalah:

𝜀0 + 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ = 𝜀0 + 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ )), (3.75)

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯

= 𝑢0

+ 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝜀0 + 𝜀1 + 𝜀2 + ⋯ ) + 2(𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ )),

(3.76)

yang berarti bahwa untuk suku 𝜀 ke-𝑛 adalah

𝜀0 = −0.1 𝑠𝑒𝑐ℎ2(0.2𝑥), (3.77)

𝜀1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢0, (3.78)

𝜀2 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢1, (3.79)

𝜀3 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢2, (3.80)

⋮

Sedangkan untuk suku 𝑢 ke-𝑛 adalah

𝑢0 = 0, (3.81)

𝑢1 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀0 + 2𝐴0), (3.82)

𝑢2 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀1 + 2𝐴1), (3.83)

𝑢3 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀2 + 2𝐴2), (3.84)

⋮

Jadi kita dapatkan suku 𝜀𝑛+1 dan 𝑢𝑛+1 untuk 𝑛 ≥ 0 adalah


44

𝜀𝑛+1 = 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢𝑛 , 𝑛 ≥ 0, (3.85)

𝑢𝑛+1 = 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥𝜀𝑛 + 2𝐴𝑛) , 𝑛 ≥ 0. (3.86)

Di sini solusi eksaknya diberikan oleh

lim𝑛→∞

𝐸𝑛 = 𝜀(𝑥, 𝑡), (3.87)

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡). (3.88)

Pendekatan suku ke −𝑛 dari tekanan 𝜀 dan kecepatan 𝑢 adalah

𝐸 = 𝐸𝑛[𝜀] = ∑ 𝜀𝑘(𝑥, 𝑡) ,

𝑛−1

𝑘=0

𝑛 ≥ 0, (3.89)

𝑈 = 𝑈𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡) ,

𝑛−1

𝑘=0

𝑛 ≥ 0. (3.90)

Dengan menggunakan software MAPLE, hasil dari suku-sukunya dihitung sampai

iterasi keempat.

𝜀1 = 0, (3.91)

𝜀2 = −1

1250

𝑡2 (10 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4− 19 𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

2+ 5)

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

6 , (3.92)

𝜀3 = 0 , (3.93)

𝜀4

= −1

468750

𝑡4 (50 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

8− 495𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

6)

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

10

−1

468750

𝑡4 (+921 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4− 542 𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

2+ 90)

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

10 .

(3.94)

Suku-suku untuk tekanan 𝑢 berdasarkan perhitungan dengan MAPLE adalah


45

𝑢1 =1

125

𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ (1

5𝑥) (5𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

2− 1)

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

5 , (3.95)

𝑢2 = 0 , (3.96)

𝑢3 =2𝑡3𝑠𝑖𝑛ℎ (

1

5𝑥) (25 𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

6− 105 𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

4)

46875 × 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

9

+2𝑡3𝑠𝑖𝑛ℎ (

1

5𝑥) (+66 𝑐𝑜𝑠ℎ (

1

5𝑥)

2− 10)

46875 × 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

9 ,

(3.97)

𝑢4 = 0. (3.98)

Oleh karena itu, didapatkan:

𝐸 = −1

468750

1

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

10 (50 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

8

− 3750 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

8

− 495 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

6

+ 46875 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

8

− 7125 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

6

+ 921 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4

+ 1875 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4

− 542 𝑡4𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

2

+ 90 𝑡4),

(3.99)


46

𝑈 =1

46875

𝑡 𝑠𝑖𝑛ℎ (1

5𝑥)

𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

9 (50 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

6

+ 1875 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

6

− 210 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4

− 375 𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

4

+ 132 𝑡2𝑐𝑜𝑠ℎ (1

5𝑥)

2

− 20 𝑡2).

(3.100)

Berikut ini adalah grafik-grafik solusi pendekatan dari persamaan elastik dimensi

satu dengan menggunakan Metode Dekomposisi Adomian. Penulis menggunakan

MAPLE dan MATLAB untuk mempermudah pekerjaan.

Gambar 2.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada persamaan elastik

menggunakan metode dekomposisi Adomian


47

Gambar 2.2. Grafik solusi pendekatan dari regangan 𝜀(𝑥, 𝑡) pada persamaan elastik

menggunakan metode dekomposisi Adomian

Dengan menggunakan MATLAB, maka didapatkan hasil simulasi seperti

tampak dalam Gambar 2.1 hingga gambar 2.4.

Gambar 2.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan elastik menggunakan

metode dekomposisi Adomian


48

Gambar 2.4. Grafik solusi pendekatan dari regangan pada persamaan elastik menggunakan

metode dekomposisi Adomian

Dari grafik-grafik tersebut, dapat dilihat bahwa nilai regangan tertinggi adalah

ketika 𝑡 = 0 dan pada posisi awal 𝑥 = 0. Semakin waktu bertambah, maka

regangan dari titik asal merambat ke arah kiri dan ke arah kanan. Pada 𝑡 = 0

sampai 𝑡 = 0.4. Kecepatan berhubungan dengan perambatan regangan. Ketika

kecepatannya negatif, perambatan gelombang regangan ke kanan dan positif

ketika ke kiri. Pada grafik kecepatan, kecepatan cenderung menuju 0 (nol) untuk 𝑥

tak hingga dan 𝑡 tak hingga, hal ini juga berlaku pada grafik regangan. Hal ini

relevan dengan sifat elastisitas suatu benda untuk mempertahankan bentuk seperti

keadaan semula. Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa untuk nilai 𝑡 yang kecil

maka MDA akurat dalam menyelesaikan persamaan elastik dimensi satu, namun

kurang akurat untuk 𝑡 yang besar. Untuk menambah keakuratan pada nilai 𝑡 yang

besar maka dibutuhkan iterasi yang lebih banyak lagi.


49

C. Solusi Persamaan Gelombang Akustik

Penelitian ini bertujuan untuk meneliti penggunaan metode dekomposisi

Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik dimensi satu. Persamaaan

akustik dapat diturunkan dari persamaan elastik nonlinier, seperti yang

dideskripsikan oleh LeVeque (2002). Penelitian ini adalah pengaplikasian pertama

kali dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan persamaan akustik.

Susunan dalam bagian ini adalah sebagai berikut. Pertama, akan

dideskripsikan permasalahan yang akan diteliti. Kemudian, akan dijelaskan sedikit

tentang metode dekomposisi Adomian. Setelah itu, akan dipaparkan hasil-hasil

komputasional beserta pembahasannya. Terakhir, akan ditulis kesimpulan dari

bagian ini.

Pada bagian ini, dideskripsikan permasalahan (model matematika) yang

akan diselesaikan. Dimulai dari model umum, simplifikasi dari model menjadi

bentuk paling sederhana dari persamaan akustik. Bentuk umum dari persamaan

akustik adalah (Supriyadi dan Mungkasi (2016), Mungkasi dan Ningrum (2016)):

𝑝𝑡 + 𝐾(𝑥)𝑢𝑥 = 0, (3.101)

𝜌(𝑥)𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0. (3.102)

Di sini 𝑝(𝑥, 𝑡) menunjukkan tekanan, 𝑢(𝑥, 𝑡) menunjukkan kecepatan, 𝑥 adalah

variabel ruang dimensi satu, dan 𝑡 adalah variabel waktu. Sebagai tambahan,

𝐾(𝑥) adalah bagian terpenting dari modulus yang dapat dimampatkan, dan 𝜌(𝑥)

adalah massa jenis. Digunakan operator turunan 𝑝𝑡 =𝜕𝑝

𝜕𝑡, 𝑝𝑥 =

𝜕𝑝

𝜕𝑥, 𝑢𝑡 =

𝜕𝑢

𝜕𝑡 , dan

𝑢𝑥 =𝜕𝑢

𝜕𝑥 . Dengan mengambil 𝐾(𝑥) = 1 dan 𝜌(𝑥) = 1, didapatkan persamaan

akustik dalam bentuk paling sederhana.


50

𝑝𝑡 + 𝑢𝑥 = 0, (3.103)

𝑢𝑡 + 𝑝𝑥 = 0. (3.104)

Tujuan dari penelitian di bagian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan

(3.103) dan (3.104) dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bagaimana metode dekomposisi Adomian

menyelesaikan persamaan akustik. Diawali dengan menotasikan operator derivatif

𝐿𝑡 =𝜕

𝜕𝑡 dan 𝐿𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥, sehingga persamaan (3.103) dan (3.104) menjadi:

𝐿𝑡𝑝 + 𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.105)

𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑥𝑝 = 0. (3.106)

Invers dari operator derivatif untuk 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 adalah 𝐿𝑡−1 = ∫ (. )𝑑𝑡

𝑡

0 dan 𝐿𝑥

−1 =

∫ (. )𝑑𝑥𝑡

0. Dalam tesis ini, hanya akan diambil invers terhadap variabel waktu 𝑡.

Dengan mengaplikasikan operator 𝐿𝑡−1 pada kedua ruas dari persamaan (3.105)

dan (3.106), didapatkan:

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑝 + 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑢 = 0, (3.107)

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑢 + 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑝 = 0, (3.108)

atau

𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑢, (3.109)

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑝. (3.110)

Variabel 𝑝(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) dapat ditulis dalam deret:

𝑝(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑝𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.111)

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

. (3.112)


51

Dengan mengaplikasikan polinomial Adomian pada kedua ruas, dimana 𝑝0 =

𝑝(𝑥, 0) dan 𝑢0 = 𝑢(𝑥, 0), kita dapatkan:

∑ 𝑝𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=0

, (3.113)

∑ 𝑢𝑛

∞

𝑛=0

= 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑝𝑛

∞

𝑛=0

, (3.114)

atau

𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ = 𝑝(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ )), (3.115)

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + ⋯ = 𝑢(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1(𝐿𝑥(𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + ⋯ )). (3.116)

Hasil dari masing-masing komponen dari dekomposisi 𝑝 dan 𝑢 adalah

𝑝0(𝑥, t) = 𝑝(𝑥, 0), (3.117)

𝑝1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢0(𝑥)), (3.118)

𝑝2(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢1(𝑥)), (3.119)

𝑝3(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑢2(𝑥)), (3.120)

⋮

𝑢0(𝑥, t) = 𝑢(𝑥, 0), (3.121)

𝑢1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝0(𝑥)), (3.122)

𝑢2(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝1(𝑥)), (3.123)

𝑢3(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥(𝑝2(𝑥)), (3.124)

⋮

Untuk perhitungan komputasional pada bagian selanjutnya, diberikan kondisi nilai

awal:


52

𝑝(𝑥, 0) = 0.1 sech2(0.2𝑥), (3.125)

𝑢(𝑥, 0) = 0. (3.126)

Didefinisikan untuk persamaan akustik (3.103) dan (3.104). Dipilih fungsi secan

hiperbolik karena fungsinya halus, sehingga memiliki derivatif yang kontinu.

Amplitudo dan fase diambil konstan, yaitu 0.1 dan 0.2, secara berturut-turut.

Metode dekomposisi Adomian membutuhkan beberapa iterasi berulang

untuk mendapatkan pendekatan solusi eksak. Catatan bahwa semakin banyak

iterasi yang digunakan, maka semakin akurat pula solusi dengan metode ini jika

deret yang dihasilnya belum konvergen kepada solusi eksak. Dengan

menggunakan kondisi nilai awal (3.126) dan (3.125), metode dekomposisi

Adomian menggunakan formula deret seperti berikut:

𝑝𝑘+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑢𝑘

∞

𝑘=0

, 𝑘 ≥ 0, (3.127)

𝑢𝑘+1(𝑥, 𝑡) = −𝐿𝑡−1𝐿𝑥 ∑ 𝑝𝑘

∞

𝑘=0

, 𝑘 ≥ 0, (3.128)

dimana solusi eksak diberikan dengan

lim𝑛→∞

𝑃𝑛 = 𝑝(𝑥, 𝑡), (3.129)

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = 𝑢(𝑥, 𝑡) . (3.130)

Pendekatan suku ke-𝑛 dari tekanan 𝑝 dan kecepatan 𝑢 adalah

𝑃𝑛[ℎ] = ∑ 𝑝𝑘(𝑥, 𝑡)

𝑛−1

𝑘=0

, (3.131)

𝑈𝑛[𝑢] = ∑ 𝑢𝑘(𝑥, 𝑡),

𝑛−1

𝑘=0

𝑛 ≥ 0 . (3.132)


53

Dengan menggunakan software MAPLE, didapatkan hasil dari iterasi

(sampai 𝑝4) untuk solusi tekanan untuk permasalahan yang ada dalam penelitian

ini, dituliskan seperti berikut:

𝑢0 = 0, (3.133)

𝑢1 =1

25(sech (

1

5𝑥)

2

) tanh (1

5𝑥) 𝑡, (3.134)

𝑢2 = 0, (3.135)

𝑢3 =2

1875(sech (

1

5𝑥)

2

) (tanh (1

5𝑥)

3

) 𝑡3

−4

375(sech (

1

5𝑥)

2

) (tanh (1

5𝑥)) 𝑡3 (

1

5

−1

5(tanh (

1

5𝑥)

2

)),

(3.136)

𝑢4 = 0, (3.137)

⋮

𝑝0 =1

10sech (

1

5𝑥)

2

, (3.138)

𝑝1 = 0, (3.139)

𝑝2 =1

125(sech (

1

5𝑥)

2

) (tanh (1

5𝑥)

2

) 𝑡2

−1

50(sech (

1

5𝑥)

2

) (1

5−

1

5(tanh (

1

5𝑥)

2

)) 𝑡2,

(3.140)

𝑝3 = 0, (3.141)


54

𝑝4 =1

9375(sech (

1

5𝑥)

2

) (tanh (1

5𝑥)

4

) 𝑡4

−11

3750(sech (

1

5𝑥)

2

) (tanh (1

5𝑥)

2

) 𝑡4 (1

5

−1

5(tanh (

1

5𝑥)

2

))

+1

375(sech (

1

5𝑥)

2

) (1

5−

1

5(tanh (

1

5𝑥)

2

))

2

𝑡4,

(3.142)

⋮

Lebih jauh lagi, didapatkan hasil dari iterasi untuk solusi dari kecepatan

pada permasalahan dalam penelitian ini, dituliskan sebagai berikut ini:

𝑈 =1

1875

(2𝑡2 (cosh (1

5𝑥)

2) + 75 (cosh (

1

5𝑥)

2) − 6𝑡2) 𝑡 (sinh (

1

5𝑥))

(cosh (1

5𝑥)

5)

, (3.143)

𝑃 =1

18750

1

(cosh (1

5𝑥)

6)

(2𝑡4 (cosh (1

5𝑥)

4

) + 150𝑡2 (cosh (1

5𝑥)

4

)

− 15𝑡4 (cosh (1

5𝑥)

2

) + 1875 (cosh (1

5𝑥)

4

)

− 225𝑡2 (cosh (1

5𝑥)

2

) + 15𝑡4).

(3.144)

Dilanjutkan dengan perhitungan 𝑃[𝑝] = 𝑝0 + 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑝3 + 𝑝4 dan

𝑈[𝑢] = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 dengan menggunakan hasil di atas sehingga,

didapatkan pendekatan dari kecepatan dan tekanan sampai pada suku keempat

adalah:


55

Gambar 3.1. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan

metode dekomposisi Adomian.

dan

Gambar 3.2. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode

dekomposisi Adomian.

Secara berturut-turut. Selain itu, digunakan pula program MATLAB untuk

melihat grafik dalam 2 dimensi.


56

Gambar 3.3. Grafik solusi pendekatan dari kecepatan pada persamaan akustik menggunakan


Gambar 3.4. Grafik solusi pendekatan dari tekanan pada persamaan akustik menggunakan metode


Hasil dari tekanan 𝑃 dan kecepatan 𝑈 diplot dalam Gambar 3.1 dan

Gambar 3.3 serta Gambar 3.2 dan Gambar 3.4, berturut-turut. Dari gambar-

gambar tersebut, bersamaan dengan pertambahan waktu, tekanan dari titik awal

merambat kearah kiri dan ke kanan. Kecepatannya sesuai dengan perambatan


57

gelombang tekanan karena kecepatannya negatif ketika gelombang tekanannya

merambat ke kiri dan positif ketika ke kanan. Hal ini sesuai dengan perilaku yang

sudah diduga sebelumnya. Pada Gambar 3.2, kecepatannya cenderung menuju nol

untuk nilai 𝑥 dan 𝑡 yang besar.

Persamaan akustik telah diselesaikan dengan metode dekomposisi

Adomian. Solusi dari dekomposisi Adomian mendekati solusi eksak untuk

sebarang titik ruang dan waktu (Wazwaz, 2009). Metode dekomposisi Adomian

dapat ddiimplementasikan pada software komputer dengan komputasi yang tidak

mahal. Metode ini dapat menyelesaikan persoalan-persoalan multi-dimensi dari

persamaan akustik.

D. Solusi Persamaan Gelombang Difusi

Difusi adalah perpindahan molekul dari konsentrasi tinggi menuju ke

konsentrasi rendah. Peristiwa difusi akan berlangsung sampai partikel menyebar

secara merata. Peristiwa difusi terjadi dalam kehidupan sehari-hari, misalnya

penyebaran parfum yang disemprotkan, pelarutan gula, penyebaran limbah cairan

dalam sungai. Penelitian pada persamaan gelombang difusi disini merupakan

penelitian tentang gelombang difusi itu sendiri atau bisa disebut dengan

gelombang penyebaran, sehingga yang diteliti merupakan gelombang yang

menyebabkan penyebaran pada fluida, misalnya gelombang penyebaran

konsentrasi larutan. Persamaan gelombang difusi diberikan oleh:

𝜕𝑞

𝜕𝑡+

𝜕𝑞

𝜕𝑥= 𝑞

𝜕2𝑞

𝜕𝑥2+ 𝑥, (3.146)


58

dimana 𝑞(𝑥, 𝑡) merupakan konsentrasi larutan, sedangkan 𝑥 dan 𝑡 berturut-turut

adalah variabel ruang (posisi) dan waktu. Dengan kondisi nilai awal:

𝑞(𝑥, 0) = 𝑞0 = 1. (3.146)

Persamaan (3.145) dapat ditulis kembali menjadi

𝑞𝑡 + 𝑞𝑥 = 𝑞𝑞𝑥𝑥 + 𝑥. (3.147)

Metode dekomposisi Adomian menggunakan operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 dalam

proses perhitungan. Persamaan (3.147) dapat ditulis menjadi:

𝐿𝑡𝑞 + 𝐿𝑥𝑞 = 𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞 + 𝑥, (3.148)

dimana operator diferensial 𝐿𝑡 dan 𝐿𝑥 serta 𝐿𝑥𝑥 didefinisikan sebagai

𝐿𝑡 =𝜕

𝜕𝑡 , 𝐿𝑥 =

𝜕

𝜕𝑥, 𝐿𝑥𝑥 =

𝜕2

𝜕𝑥2, (3.149)

menggunakan operator integral

𝐿𝑡−1(. ) = ∫ (. )𝑑𝑡

𝑡

0

. (3.150)

Dengan mengaplikasikan operator invers pada kedua ruas maka persamaan

(3.148) menjadi:

𝐿𝑡−1𝐿𝑡𝑞 + 𝐿𝑡

−1𝐿𝑥𝑞 = 𝐿𝑡−1(𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞) + 𝐿𝑡

−1𝑥. (3.151)

Persamaan (3.151) akan menghasilkan persamaan (3.152) seperti di bawah ini.

𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1𝐿𝑥𝑞 + 𝐿𝑡

−1(𝑞𝐿𝑥𝑥𝑞) + 𝐿𝑡−1𝑥. (3.152)

Asumsikan bahwa ∅(𝑞) = 𝑞𝑞𝑥𝑥 untuk menyederhanakan perhitungan:

𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥 + 𝐿𝑡

−1 ((∅(𝑞)) − 𝐿𝑥𝑞). (3.153)

Metode dekomposisi menggunakan jumlahan dari komponen-komponennya,

didefinisikan dengan:


59

𝑞(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

, (3.154)

∅(𝑞) = ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

. (3.155)

Dengan mengaplikasikan (3.154) dan (3.155) kepada persamaan (3.153) maka

akan terbentuk persamaan:

∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

= 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥 + 𝐿𝑡

−1 (∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

− 𝐿𝑥 ∑ 𝑞𝑛(𝑥, 𝑡)

∞

𝑛=0

), (3.156)

dimana 𝐴𝑛 adalah

𝐴𝑛(𝜀0, 𝜀1, 𝜀2, … , 𝜀𝑛) =1

𝑛!

𝑑𝑛

𝑑𝜆𝑛[∅ (∑ 𝜆𝑛𝜀𝑛

∞

𝑘=0

)]

𝜆=0

, 𝑛 ≥ 0. (3.157)

Polinomial Adomian 𝐴𝑛 untuk kasus ini diberikan oleh:

𝐴0 = 𝑞0𝑞0𝑥𝑥 , (3.158)

𝐴1 = 𝑞1𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞0𝑞1𝑥𝑥

, (3.159)

𝐴2 = 𝑞2𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞1𝑞1𝑥𝑥

+ 𝑞0𝑞2𝑥𝑥 , (3.160)

⋮

𝐴𝑛 = 𝑞𝑛𝑞0𝑥𝑥+ 𝑞𝑛−1𝑞1𝑥𝑥

+ ⋯ + 𝑞0𝑞𝑛𝑥𝑥. (3.161)

Hasil dari setiap komponen dari dekomposisi adalah

𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯

= 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥

+ 𝐿𝑡−1((𝐴0 + 𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ ) − 𝐿𝑥(𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯ )),

(3.162)

𝑞0 = 𝑞(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1𝑥, (3.163)


60

𝑞1 = 𝐿𝑡−1((𝐴0) − 𝐿𝑥(𝑞0)), (3.164)

𝑞2 = 𝐿𝑡−1((𝐴1) − 𝐿𝑥(𝑞1)), (3.165)

𝑞3 = 𝐿𝑡−1((𝐴2) − 𝐿𝑥(𝑞2)), (3.166)

⋮

𝑞𝑛+1 = 𝐿𝑡−1((𝐴𝑛) − 𝐿𝑥(𝑞𝑛)), 𝑛 ≥ 0. (3.167)

Solusi eksak diberikan oleh:

lim𝑛→∞

𝑞𝑛 = 𝑞(𝑥, 𝑡). (3.168)

Suku ke−𝑛 dari pendekatan dari konsentrasi 𝑞 adalah

𝑅𝑛[𝑞] = ∑ 𝑞𝑘(𝑥, 𝑡)

𝑛−1

𝑘=0

, (3.169)

dengan menggunakan program MAPLE maka didapatkan suku-suku dari debit

𝑞𝑛(𝑥, 𝑡) sebagai berikut.

𝑞0 = 𝑥𝑡 + 1, (3.170)

𝑞1 = −1

2𝑡2, (3.171)

𝑞2 = 0, (3.172)

𝑞3 = 0, (3.173)

𝑞4 = 0. (3.174)

Setelah dilakukan penelitian dan perhitungan dengan menggunakan bantuan

MAPLE, maka didapatkan solusi eksak dari konsentrasi 𝑞 yaitu:

𝑅 = 1 + 𝑥𝑡 −1

2𝑡2. (3.175)


61

Solusi tersebut digambar grafiknya untuk melihat perilaku fisis dari konsentrasi 𝑞

pada persamaan gelombang difusi. Berikut merupakan grafik dari konsentrasi 𝑞,

seperti tampak pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Grafik solusi pendekatan dari konsentrasi pada persamaan difusi menggunakan


Selain menggunakan MAPLE untuk menggambar grafik konsentrasi, digunakan

pula program MATLAB untuk mengetahui perilaku dari konsentrasi 𝑞, seperti

tampak pada Gambar 4.2 dan Gambar 4.3.




62


metode dekomposisi Adomian (versi zoom)

Gradien dari garis-garis pada persamaan difusi (Gambar 4.2 dan Gambar

4.3) merupakan perubahan 𝑞 terhadap perubahan 𝑥 dilambangkan 𝑚 =𝜕𝑅

𝜕𝑥= 𝑡.

Dengan 𝑅 adalah jumlahan hasil dari setiap komponen 𝑞. Grafik membentuk

suatu garis lurus, sehingga semakin 𝑡 bertambah maka gradien dari 𝑞 akan

semakin besar, dimana gradien dari 𝑞 sebesar 𝑡 (waktu). Semakin 𝑡 membesar

maka perubahan konsentrasi (𝑞) terhadap perubahan ruang akan semakin cepat.

Jika ditinjau dari titik posisi atau titik ruang sama, di titik awal 𝑥 = 0, semakin 𝑡

bertambah maka konsentrasi akan semakin berkurang karena pada posisi awal,

konsentrasi akan mulai menyebar dan pada posisi akhir, semakin bertambahnya

waktu maka konsentrasi akan meningkat karena telah tersebarnya konsentrasi dari

posisi awal ke posisi akhir. Peristiwa penyebaran konsentrasi pada persamaan

difusi ini relevan dengan keadaan fisis dalam kehidupan nyata.


63

E. Solusi Persamaan Gelombang Kinematik

Persamaan gelombang kinematik (Miller, 1983) adalah penyederhanaan

dari persamaan gelombang air dangkal. Gelombang kinematik mendeskripsikan

fenomena dari limpasan air pertanian kecil dan DAS (Daerah Aliran Sungai)

perkotaan. DAS adalah suatu daerah sebagai tempat berkumpulnya air hujan yang

dibatasi titik-titik tinggi. Ketika menerapkan teori gelombang kinematik untuk

aliran di atas permukaan tanah, aliran lateral harus diperhatikan. Aliran di atas

permukaan tanah adalah air hujan yang meninggalkan daerah aliran sungai (DAS)

setelah terjadi hujan. Aliran di atas permukaan tanah terjadi ketika hujan yang

jatuh melebihi tingkat infiltrasi sehingga membentuk suatu aliran di atas

permukaan tanah.

Gambar. 5.1. Daerah Aliran Sungai (gambar diambil dari

http://dassolo.litbang.menlhk.go.id/berita/baca/170/mengenal-daerah-aliran-sungai-das-dan-

pengelolaannya )

Persamaan gelombang kinematik berasal dari penggabungan persamaan Manning:

𝑄 =∝ ℎ𝑚, (3.176)

dengan persamaan kontinuitas:


http://dassolo.litbang.menlhk.go.id/berita/baca/170/mengenal-daerah-aliran-sungai-das-dan-pengelolaannya

http://dassolo.litbang.menlhk.go.id/berita/baca/170/mengenal-daerah-aliran-sungai-das-dan-pengelolaannya

64

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 0.

(3.177)

Di sini ∝ dan 𝑚 adalah koefisien yang terdefinisi pada setiap penampang kanal

atau saluran. Persamaan (3.176) dan (3.177) disebut sebagai persamaan

gelombang kinematik. Ketika mengaplikasikan teori gelombang kinematik untuk

aliran di atas tanah, digunakan kedua persamaan tersebut sehingga menjadi:

𝜕ℎ

𝜕𝑡+

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝑞(𝑥, 𝑡).

(3.178)

Dimana 𝑞 adalah aliran masuk (inflow) lateral dalam bentuk aliran di atas

permukaan tanah menuju saluran penerima. Berdasarkan persamaan aliran,

dengan 𝑄 =∝ ℎ𝑚. Kemudian, 𝜕𝑄

𝜕𝑡 dapat dideterminasi dari persamaan (3.176):

𝜕𝑄

𝜕𝑡=∝ 𝑚ℎ𝑚−1

𝜕ℎ

𝜕𝑥,

(3.179)

sehingga didapatkan persamaan dasar untuk gelombang kinematik adalah

𝜕ℎ

𝜕𝑡+∝ 𝑚ℎ𝑚−1

𝜕ℎ

𝜕𝑥= 𝑞(𝑥, 𝑡).

(3.180)

Di sini ℎ adalah simpanan air setiap unit luas, 𝑡 adalah waktu, 𝑥 adalah koordinat

ruang, 𝑞(𝑥, 𝑡) merepresentasikan laju perpindahan aliran masuk, ∝ dan 𝑚 secara

berturut-turut adalah parameter kemiringan dan kekasaran permukanan tanah dan

alirannya berlapis berdasarkan persamaan Manning. Parameter-parameter tersebut

terhitung sebagai berikut:

∝=𝑆0.5

𝑛, (3.181)


65

𝑚 =5

3, (3.182)

dimana 𝑛 adalah nilai kekasaran Manning dan 𝑆 adalah kemiringan bidang. Dalam

kasus ini, diambil ∝=3

5 sebagai penyederhanaan serta fungsi 𝑞(𝑥, 𝑡) = 𝑥,

sehingga didapatkan persamaan paling sederhana dari gelombang kinematik.

ℎ𝑡 + ℎ2

3ℎ𝑥 = 𝑥. (3.183)

Dengan mengambil kondisi nilai awal:

ℎ(𝑥, 0) = ℎ0 = 1, (3.184)

maka akan dicari solusi dari persamaan gelombang kinematik. Seperti yang telah

dilakukan sebelumnya, dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian,

pertama akan digunakan notasi derivatif :

𝐿𝑥 =𝜕

𝜕𝑥 dan 𝐿𝑡 =

𝜕

𝜕𝑡. (3.185)

Dengan mengaplikasikan derivatif kepada kedua ruas maka akan didapatkan:

𝐿𝑡ℎ + ℎ2

3𝐿𝑥ℎ = 𝑥. (3.186)

Setelah itu, inverskan kedua ruas, sehingga didapat:

𝐿𝑡−1𝐿𝑡ℎ + 𝐿𝑡

−1 (ℎ2

3𝐿𝑥ℎ) = 𝐿𝑡−1𝑥,

(3.187)

ℎ(𝑥, 𝑡) − ℎ(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1 (ℎ

2

3𝐿𝑥ℎ) = 𝐿𝑡−1𝑥,

(3.188)

ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ(𝑥, 0) − 𝐿𝑡−1 (ℎ

2

3𝐿𝑥ℎ) + 𝐿𝑡−1𝑥.

(3.189)


66

Polinomial dari metode dekomposisi:

ℎ(𝑥, 𝑡) = ∑ ℎ𝑛

∞

𝑛=0

, (3.190)

∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

= ℎ2

3ℎ𝑥, (3.191)

sehingga didapatkan:

∑ ℎ𝑛

∞

𝑛=0

= ℎ(𝑥, 0) + 𝐿𝑡−1 (∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

) + 𝐿𝑡−1𝑥.

(3.192)

Dengan menggunakan MAPLE maka didapatkan komponen-komponen dari suku-

suku hasil adalah sebagai berikut.

ℎ0 = ℎ(𝑥, 0), (3.193)

ℎ1 = 𝐿𝑡−1(𝐴0) + 𝐿𝑡

−1𝑥, (3.194)

ℎ2 = 𝐿𝑡−1(𝐴1) + 𝐿𝑡

−1𝑥, (3.195)

⋮

ℎ𝑛+1 = 𝐿𝑡−1(𝐴𝑛) + 𝐿𝑡

−1𝑥, (3.196)

dimana :

𝐴0 = ℎ0

2

3ℎ0𝑥, (3.197)

𝐴1 = ℎ1

2

3ℎ0𝑥+ ℎ0

2

3ℎ1𝑥, (3.198)

𝐴2 = ℎ2

2

3ℎ0𝑥+ ℎ1

2

3ℎ1𝑥+ ℎ0

2

3 ℎ2𝑥, (3.199)

𝐴3 = ℎ3

2

3ℎ0𝑥+ ℎ2

2

3ℎ1𝑥+ ℎ1

2

3ℎ2𝑥+ ℎ0

2

3ℎ3𝑥, (3.200)

⋮


67

Berdasarkan perhitungan persamaan (3.196) dan dengan mengacu pada nilai awal,

maka dapat digambar grafik solusi pendekatan dari ℎ pada persamaan kinematik

dengan menggunakan MDA.

Gambar 5.2. Grafik solusi pendekatan dari ℎ(𝑥, 𝑡) menggunakan metode dekomposisi Adomian

ketika 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 0.4




68



Berdasarkan grafik di atas diketahui bahwa pada saat 𝑡 = 0 maka

simpanan air ℎ tidak mengalami pergerakan di 𝑥 manapun. Pada posisi awal,

simpanan air ℎ mengalami penurunan untuk sementara waktu, kemudian semakin

waktu bertambah, maka simpanan air ℎ semakin bertambah dan terus bertambah.

Kecepatan peningkatan simpanan air ℎ akan semakin bertambah seiring dengan

pertambahan waktu. Untuk nilai waktu yang kecil, seperti terlihat pada Gambar

5.2, Gambar 5.3 dan Gambar 5.4, hasil ini sesuai dengan keadaan fisis DAS

seperti Gambar 5.1 DAS, awalnya hujan turun dan air terkumpul pada posisi awal

DAS kemudian air mengalir melewati saluran DAS. Namun, semakin waktu

bertambah sampai tak hingga, maka simpanan air ℎ akan semakin membesar

menuju tak hingga. Dalam penelitian ini ditemukan bahwa metode dekomposisi

Adomian relevan untuk nilai waktu yang kecil dan tidak relevan untuk nilai waktu

yang besar.


69

F. Kekurangan Penelitian

Hasil dari penelitian ini masih jauh dari sempurna. Berikut ini merupakan

kekurangan-kekurangan yang ada dalam penelitian.

1. Solusi yang ditemukan dalam persamaan gelombang air dangkal,

persamaan gelombang kinematik, persamaan gelombang elastic dan

persamaan gelombang akustik masih berupa solusi pendekatan karena

persamaan-persamaan tersebut juga tidak memiliki solusi eksak secara

umum. Oleh karena itu, masih dibutuhkan penelitian tentang konvergensi

dari metode dekomposisi Adomian untuk menyelesaikan permasalahan-

permasalahan persamaan diferensial parsial agar diketahui error dari solusi

perhitungan dengan metode dekomposisi Adomian.

2. Solusi yang diperoleh dari hasil analisis menunjukkan bahwa solusi-solusi

tersebut hanya relevan untuk nilai waktu yang kecil (kurang dari 1). Hal

ini dikarenakan iterasi yang dilakukan hanya sedikit (sampai iterasi

keempat) sehingga untuk meningkatkan keakuratan dan relevansinya,

diperlukan iterasi yang lebih besar lagi. Untuk seberapa besar iterasi yang

dibutuhkan, penulis belum meneliti tentang hal ini.

3. Persamaan gelombang elastik dan akustik yang diteliti merupakan

persamaaan yang disederhanakan sehingga terbentuk persamaan yang

paling sederhana seperti pada penelitian ini. Untuk permasalahan-

permasalahan nyata yang lebih kompleks tentu masih ada variabel-variabel

lain yang juga mempengaruhi. Oleh karena itu persamaan ini harus


70

disesuaikan lagi dengan kasus-kasus yang mungkin akan diteliti lagi lebih

lanjut sesuai dengan keadaan nyata.

4. Persamaan gelombang air dangkal yang dibahas dalam tesis ini merupakan

kasus yang umum. Untuk kasus-kasus khusus terkait gelombang air

dangkal seperti misalnya bendungan bobol (dam break) memiliki variabel

lain yang butuh dipertimbangkan dalam persamaan, misalnya gravitasi.

Kasus-kasus lain terkait dengan gelombang air dangkal juga pasti

memiliki variabel-variabel lain yang perlu dipertimbangkan juga.


71

BAB IV

ASPEK PENDIDIKAN

A. Implikasi Pembelajaran di Sekolah Menengah

Pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Atas atau SMA terkadang

menjadi pembelajaran rumus. Pembelajaran rumus yang dimaksud adalah siswa

mengingat rumus-rumus yang ada dalam materi namun kurang dapat memaknai

arti dari rumus tersebut. Pembelajaran yang seperti ini yang membuat siswa

kurang dapat menganalisis permasalahan nyata yang berhubungan dengan materi

yang disampaikan. Materi dalam tesis ini diharapkan dapat membantu siswa untuk

lebih mudah memahami materi matematika terutama materi diferensial (turunan).

Pada bab ini akan digunakan salah satu persamaan gelombang yaitu persamaan

gelombang difusi sebagai contoh agar lebih mudah dipahami.

Solusi dari persamaan gelombang difusi dimensi satu telah dibahas pada

Bab III. Berikut ini merupakan grafik solusi persamaan gelombang difusi yang

telah diperoleh dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian.


72

Gambar 6.1. Pendekatan dari konsentrasi menggunakan metode dekomposisi Adomian (versi

zoom)

Gambar 6.1 merupakan grafik solusi persamaan gelombang difusi pada

beberapa keadaan waktu yang berbeda-beda. Sumbu vertikal pada grafik tersebut

merupakan variabel konsentrasi (𝑞) sedangkan, sumbu horizontal pada grafik

tersebut menunjukkan variabel posisi (𝑥).

Pada materi SMA, untuk mencari gradient garis, salah satu caranya dapat

dilihat dengan turunan dari persamaan garis yang dicari. Pada pembahasan aspek

pendidikan pada bab ini, akan diasumsikan persamaan tersebut hanya memiliki

satu variabel bebas 𝑥 dan satu variabel terikat 𝑞. Hal tersebut dilakukan untuk

mempermudah siswa dalam memahaminya.

Gradien garis-garis pada persamaan difusi tersebut merupakan perubahan 𝑞

terhadap perubahan 𝑥 yang kemudian dilambangkan dengan 𝑚 =𝑑𝑞

𝑑𝑥. Pertama,

dicari dahulu persamaan-persamaan garis diatas. Materi persamaan garis lurus

juga telah diajarkan di SMP. Berikut adalah penjelasannya.


73

1. Persamaan garis pertama (ketika 𝑡 = 0) garis melewati titik (0, 1)

dan titik (0, 1) sehingga persamaan garisnya: 𝑞1 = 1.

2. Persamaan garis kedua (ketika 𝑡 = 0.1) garis melewati titik (0.05 ,

1) dan titik (0, 0.995) sehingga persamaan garisnya: 𝑞2 = 0.1𝑥 +

0.995.

3. Persamaan garis ketiga (ketika 𝑡 = 0.2) garis melewati titik (0.1 ,

1) dan titik (0, 0.98) sehingga persamaan garisnya: 𝑞3 = 0.2𝑥 +

0.98.

4. Persamaan garis keempat (ketika 𝑡 = 0.3) garis melewati titik

(0.15, 1) dan titik (0, 0.955) sehingga persamaan garisnya: 𝑞4 =

0.3𝑥 + 0.955.

5. Persamaan garis kelima (ketika 𝑡 = 0.4) garis melewati titik

(0.2, 1) dan titik (0, 0.92) sehingga persamaan garisnya: 𝑞5 =

0.4𝑥 + 0.92.

Persamaan garis tersebut dicari dengan cara:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

(𝑥 − 𝑥1)

dimana gradien 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1.

Dari kelima garis tersebut, gradien 𝑚𝑞1=

𝑑𝑞1

𝑑𝑥= 0, 𝑚𝑞2

=𝑑𝑞2

𝑑𝑥= 0.1,

𝑚𝑞3=

𝑑𝑞3

𝑑𝑥= 0.2, 𝑚𝑞4

=𝑑𝑞4

𝑑𝑥= 0.3, dan 𝑚𝑞5

=𝑑𝑞5

𝑑𝑥= 0.4. Gradien dari masing-

masing besarnya sama dengan 𝑡 masing-masing. Ini berarti bahwa gradien garis

𝑚𝑞𝑛=

𝑑𝑞𝑛

𝑑𝑥= 𝑡𝑛. Dalam grafik terlihat membentuk garis-garis lurus maka 𝑚𝑞𝑛

=


74

𝑑𝑞𝑛

𝑑𝑥=

△𝑞𝑛

△𝑥. Secara fisis, semakin 𝑡 bertambah maka gradien dari 𝑞 akan semakin

besar. Gradien dari 𝑞 sebesar 𝑡 (waktu). Sehingga semakin 𝑡 membesar maka

perubahan konsentrasi (𝑞) terhadap perubahan ruang/posisi akan semakin cepat.

Secara matematis, berarti bahwa, ketika gradien membesar maka kemiringan dari

garis lurus tersebut akan semakin curam. Contoh dalam kehidupan nyata adalah

penyebaran limbah. Dari grafik terlihat jelas bahwa jika dilihat dari titik 𝑥 yang

sama, semakin 𝑡 meningkat maka 𝑞 akan semakin menurun, artinya, semakin

berlalunya waktu, konsentrasi dari limbah sungai pada suatu tempat 𝑥 akan

semakin berkurang karena telah terjadi penyebaran.

Implikasi lainnya adalah mengajarkan gelombang kepada siswa SMP

dengan bekal pengetahuan yang mereka miliki. Disini peneliti menyusun panduan

untuk bereksperimen sebagai media untuk mengenalkan gelombang kepada siswa

SMP. Tujuan dari penelitian ini adalah siswa dapat mengukur berapa kedalaman

gelombang air pada waktu 𝑡 tertentu di titik 𝑥 tertentu. Berikut merupakan

panduannya.

PANDUAN PENELITIAN

SISWA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

MATERI : GELOMBANG

Bahan-bahan yang perlu disiapkan:

1. Alat tulis: penggaris, spidol, pulpen, dan buku. (disiapkan oleh masing-

masing siswa)

2. Stopwatch (disiapkan oleh guru)


75

3. Akuarium berisi air (disiapkan oleh guru)

Langkah-langkah kerja:

1. Guru mempersiapkan bahan-bahan yang diperlukan.

2. Guru membagi siswa dalam kelompok-kelompok kecil (1 kelompok terdiri

dari 4 orang).

3. Guru melakukan demonstrasi di depan kelas. Demonstrasi tersebut adalah

pada air yang tenang dalam akuarium kemudian diberikan gangguan

dengan menggunakan bantuan penggaris.

Gambar 4.1. Akuarium berisi air yang mula-mula tenang

a. Kemudian pada air yang tenang tersebut diberikan gangguan dengan

bantuan penggaris. Penggaris diletakkan pada tepi salah satu akuarium

(pada gambar ini pada tepi kanan akuarium) sampai menempel.

b. Tunggu sesaat agar guncangan air yang di dalam akuarium karena

proses memasukkan penggaris menjadi hilang (airnya tenang kembali).

Penggaris yang

separuh bagian

dimasukkan ke air dan

separuhnya lagi tidak


76

Gambar 4.2. Akuarium berisi air kemudian dimasukkan penggaris

c. Setelah air tenang kembali, penggaris digerakkan kearah kiri sejauh 10

cm. Pada titik 10 cm, penggaris diangkat dari akuarium.

Gambar 4.3. Penggaris kemudian digeser ke kiri sejauh 10 cm

4. Guru meminta siswa mengamati apa yang terjadi. Kemudian setelah siswa

mengamati, diberikan pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:

a. Saat penggaris digeser ke kiri, apa yang terjadi?

b. Setelah 1 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan

akuarium), berapa kedalaman airnya?

c. Setelah 1.5 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan


d. Setelah 20 detik, pada titik 10 cm (diukur dari dari ujung kanan


e. Setelah 1 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?

f. Setelah 1.5 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?

g. Setelah 20 detik, pada ujung kiri akuarium, berapa kedalaman airnya?

10 cm


77

h. Berapa lama waktu yang dibutuhkan (dimulai dari saat penggeseran

penggaris) agar air menjadi tenang kembali?

i. Berapa kedalaman air ketika air sedang dalam keadaan tenang?

5. Guru meminta siswa melakukan percobaan sebanyak mungkin kemudian

meminta siswa menyimpulkan hasil penelitiannya.

B. Implikasi Pembelajaran di S1 Pendidikan Matematika

Dalam salah satu langkah dekomposisi Adomian terdapat langkah

pengubahan variabel dalam bentuk deret tak hingga dari polinomial Adomian.

Misalnya dalam persamaan-persamaan pada Bab III, subbab dekomposisi

Adomian untuk persamaan gelombang air dangkal,

∅1(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐴𝑛

∞

𝑛=0

, ∅2(ℎ, 𝑢) = ∑ 𝐵𝑛, ∅3(𝑢) = ∑ 𝐶𝑛

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

, (4.1)

∅1 = 𝑢ℎ𝑥, ∅2 = ℎ𝑢𝑥 dan ∅3 = 𝑢𝑢𝑥 , ⋯, (4.2)

𝐴0 = 𝑢0ℎ0𝑥 , (4.3)


, (4.4)


+ 𝑢0ℎ2𝑥 , (4.5)


+ 𝑢1ℎ2𝑥+ 𝑢0ℎ3𝑥

, (4.6)

⋮

𝐵0 = ℎ0𝑢0𝑥 , (4.7)


, (4.8)


+ ℎ0𝑢2𝑥 , (4.9)


+ ℎ1𝑢2𝑥+ ℎ0𝑢3𝑥

, (4.10)

⋮

𝐶0 = 𝑢0𝑢0𝑥 , (4.11)


78


, (4.12)


+ 𝑢0𝑢2𝑥 , (4.13)


+ 𝑢1𝑢2𝑥+ 𝑢0𝑢3𝑥

, (4.14)

⋮

Persamaan-persamaan tersebut termasuk persamaan diferensial biasa, dimana

hanya terdapat satu variabel bebas, yaitu 𝑥. Dengan latihan yang berulang-ulang

maka kemampuan menyelesaikan permasalahan persamaan diferensial biasa akan

semakin cepat. Begitu pula sebaliknya. Materi persamaan diferensial biasa

merupakan materi yang sangat mendukung dalam metode dekomposisi Adomian.

Implementasi dari penulisan tesis ini terhadap mahasiswa S1 Pendidikan

Matematika misalnya, mahasiswa dapat dimotivasi dengan menyelesaikan

langkah dalam metode dekomposisi Adomian seperti yang telah dijelaskan, dapat

melatih kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan berbagai jenis

permasalahan persamaan diferensial biasa. Hal lainnya adalah bahwa banyak

sekali persamaaan yang sulit diselesaikan, dapat diselesaikan dengan metode


C. Refleksi Pengalaman Penelitian Matematika

Pengalaman penelitian matematika bagi penulis merupakan tantangan

yang cukup membuat penasaran. Banyak sekali hal-hal baru yang penulis

temukan dalam penelitian ini, baik materi maupun pengalaman. Namun, karena

penelitian ini pula banyak hal yang dapat penulis petik, seperti misalnya kekuatan

untuk melawan diri sendiri, melawan malas, melawan rasa ingin menyerah dan

masih banyak lagi. Berikut ini merupakan penjelasannya.

Penelitian Pertama


79

Penelitian matematika menjadi hal baru yang penulis teliti. Hal-hal baru

yang penulis temukan bukan hanya tentang penelitian di bidang matematika,

namun juga materi yang diteliti. Metode dekomposisi Adomian belum pernah

penulis jumpai sebelumnya baik di sekolah maupun di jenjang kuliah S1.

Awalnya mempelajari metode dekomposisi Adomian menjadi sangat sulit bagi

penulis dan banyak sekali tantangannya. Penulis sudah bertanya kepada beberapa

dosen namun belum pernah ada yang menjumpai metode tersebut. Namun

demikian, dosen pembimbing sangat membantu penulis dalam memahami metode

dekomposisi Adomian. Meskipun jadwal dosen pembimbing sangat sibuk, selalu

menyempatkan waktu untuk membimbing penulis.

Bukan hanya itu, penelitian pertama yang berawal sekitar bulan November

2015 tentang persamaan gelombang air dangkal juga merupakan hal yang sangat

baru bagi penulis. Penulis sebelumnya belum mengerti apa itu gelombang air

dangkal, apa itu metode dekomposisi adomian, dan bagaimana caranya. Saat itu

motivasi penulis adalah karena ingin mengikuti seminar internasional dengan

mendaftarkan paper tentang materi tersebut. Seminar tersebut diadakan pada

bulan Januari 2016 sehingga penulis benar-benar berpikir keras selama liburan

untuk memahami kedua materi tersebut. Awalnya sangat sulit memang, namun

bimbingan yang rutin yang diberikan oleh dosen pembimbing menjadi alasan

utama paper tersebut bisa selesai.

International Conference Pertama

Saat itu adalah seminar kedua penulis sejak penulis kuliah dari S1 sampai

S2 dan merupakan seminar internasional pertama yang pernah penulis ikuti


80

sebagai pemakalah. Penulis tentunya merasa rendah diri karena kemampuan

bahasa Inggris penulis masih sangat kurang. Begitu pula dengan materi yang

disajikan. Penulis merasa takut ketika hari H pelaksanaan seminar berlangsung

terutama ketika sudah memasuki ruangan parallel session. Ketika giliran penulis

mempresentasikan makalah, penulis berusaha tetap tenang meskipun sudah

berkeringat dingin, meskipun ruangannya ber-AC. Masih banyak kata yang

kadang-kadang memakai bahasa Indonesia.

Presentasi selesai dan akhirnya sesi tanya jawab. Peserta dalam ruangan

tersebut lebih banyak dosen baik dari matematika maupun fisika, daripada

mahasiswa. Penulis sudah ketakutan karena pada peserta sebelumnya terjadi

diskusi yang cukup pelik diantara pemakalah dan peserta ketika sesi tanya jawab.

Namun demikian, ketakutan tersebut akhirnya tidak menjadi kenyataan. Peserta

yang sempat bertanya pada urutan sebelumnya tidak memberikan pertanyaan yang

berat kepada penulis dan lebih banyak memberikan saran daripada pertanyaan.

Beliau terlihat senang karena penulis adalah mahasiswa tetapi sudah berani ikut

seminar tersebut. Pengalaman pertama mengikuti seminar internasional

merupakan pengalaman yang menantang bagi penulis karena dari sana penulis

menang dalam pertempuran melawan diri sendiri. Tentunya banyak motivasi yang

diberikan oleh dosen pembimbing juga sehingga penulis berani untuk maju.

Pengalaman Lainnya

Setelah langkah pertama tersebut, langkah berikutnya menjadi lebih

mudah namun bukan berarti akan mulus. Setelah penelitian tentang persamaan air

dangkal, penulis dan pembimbing melakukan penelitian tentang empat persamaan


81

lainnya, yaitu, persamaan difusi, persamaan gelombang kinematik, persamaan

gelombang elastik, dan persamaan gelombang akustik. Salah satu persamaan dari

keempat persamaan tersebut kemudian diseminarkan lagi dalam seminar

internasional yang diadakan oleh LIPI di Banten, Jakarta. Kedua paper tersebut

akhirnya terpilih untuk terbit dalam jurnal internasional terindeks Scopus. Setelah

pengalaman-pengalaman tersebut, penulis baru menyadari bahwa ternyata penulis

mampu untuk melaksanakannya meskipun tertatih ketika di awal.


82

BAB V

PENUTUP

Bab ini berisi kesimpulan dari seluruh pembahasan pada tesis serta saran

yang dapat penulis berikan kepada pembaca. Berikut merupakan uraiannya.

A. Kesimpulan

Kesimpulan berisi jawaban dari rumusan masalah yang telah dibuat.

Kesimpulan dari penelitian tesis ini adalah sebagai berikut.

1. Penyelesaian persamaan air dangkal dengan menggunakan metode


Metode dekomposisi Adomian mampu menyelesaikan persamaan

gelombang air dangkal beserta penyederhanaannya, yaitu persamaan air

dangkal, persamaan gelombang difusi dan persamaan gelombang

kinematik. Dalam penelitian ini ditemukan solusi pendekatan dari

persamaan air dangkal dan persamaan kinematik nonlinear dimensi satu

serta ditemukan solusi eksak dari persamaan difusi nonlinear dimensi satu.

Solusi dari ketiga persamaan tersebut yang diselesaikan dengan metode

dekomposisi Adomian, sangat relevan dengan keadaan fisis dalam

kehidupan nyata. Namun, metode ini kurang relevan untuk nilai waktu (𝑡)

yang besar.

2. Penyelesaian persamaan elastisitas menggunakan metode dekomposisi

Adomian.


83

Metode dekomposisi Adomian mampu menyelesaikan persamaan

gelombang elastik beserta penyederhanaannya, yaitu persamaan elastik

dan persamaan akustik dimensi satu. Ditemukan solusi pendekatan dari

kedua persamaan tersebut. Solusi dari kedua persamaan tersebut yang

diselesaikan dengan metode dekomposisi Adomian, sangat relevan dengan

keadaan fisis dalam kehidupan nyata baik untuk waktu (𝑡) yang kecil

maupun waktu (𝑡) yang besar. Untuk menambah keakuratan dari solusi

pendekatan kedua persamaan tersebut, dibutuhkan iterasi yang lebih

banyak lagi dalam proses perhitungan menggunakan metode dekomposisi

Adomian.

3. Aspek Pendidikan dari penelitian yang telah dilakukan.

Penelitian tentang gelombang air dangkal serta gelombang elastik

maupun tentang metode dekomposisi Adomian sangat jarang dibahas

dalam perkuliahan S1 Jurusan Pendidikan Matematika serta bagi siswa

SMP maupun SMA. Namun, ada beberapa aspek pendidikan yang

berhubungan dengan materi di sekolah maupun dalam perkuliahan S1

Pendidikan Matematika. Untuk siswa SMP, penelitian ini dapat

memberikan wawasan tentang makna gradien dari garis lurus untuk

aplikasinya. Selain itu, terdapat materi turunan dan integral di SMA juga

sangat berhubungan dalam penelitian ini. Untuk perkuliahan S1

Pendidikan Matematika, materi dalam penelitian ini sangat erat kaitannya

dengan materi Persamaan Diferensial Biasa dan materi Pengantar

Pemodelan Matematika.


84

B. Saran

Saran yang dapat penulis berikan dari penulisan penelitian ini adalah sebagai

berikut.

1. Untuk mahasiswa S2 Pendidikan Matematika

Penulis berharap agar mahasiswa S2 Pendidikan Matematika lebih banyak

lagi mempelajari aplikasi-aplikasi dari teori maupun teorema matematika

yang pernah dipelajari sehingga menambah pengetahuan akan kegunaan

dan keindahan matematika bukan hanya berhenti pada teknik

perhitungannya.

2. Untuk mahasiswa penggelut matematika terapan

Supaya penelitian tentang gelombang dengan metode dekomposisi

Adomian dapat lebih dikembangkan untuk permasalahan yang lebih

kompleks dan untuk waktu yang besar. Selain itu, diperlukan juga

penelitian yang dapat menemukan solusi eksak dari persamaan-persamaan

gelombang yang belum ditemukan solusi eksak umumnya. Selain itu,

perlu penelitian lanjutan tentang konvergensi metode dekomposisi

Adomian agar ditemukan keakuratan dari metode tersebut.

3. Untuk guru-guru matematika

Penulis berharap para guru matematika baik di SMP maupun SMA dapat

memberikan wawasan tentang aplikasi matematika di bidang sains

sehingga dapat menjadi motivasi bagi siswa untuk mempelajari

matematika.


85

DAFTAR PUSTAKA

Adomian, G. (1998). “Solutions of nonlinear P.D.E.” Applied Mathematics

Letters,11: 121–123.

Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). “Construction of solutions for the shallow

water equations by the decomposition method.” Mathematics and

Computers in Simulation,66: 479–486.

Dispini, M. dan Mungkasi, S. (2016).“Adomian decomposition method used to

solve the shallow water equations.”AIP Conference

Proceedings,1746:020055.

Dispini, M. dan Mungkasi, S. (2017). “Adomian decomposition method used to

solve the acoustics equations.”Journal of Physics: Conference Series.

(akan terbit).

LeVeque, R. J. (2002).“Finite-volume methods for non-linear elasticity in

heterogeneous media.”International Journal for Numerical Methods in

Fluids,40: 93-104.

LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws (Second

edition). Springer Basel AG.


86

Miller, J. E. (1984). Basic Concepts of Kinematic-Wave Models. United States:

Geological Survey.

Mungkasi, S. dan Dheno, M. F. S. (2016).“Adomian decomposition method used

to solve the gravity wave equations.”AIP Conference Proceedings,1788:

030103.

Mungkasi, S. dan Ningrum, G. I. J. (2016). “Numerical solution to the linear

acoustics equations.”AIP Conference Proceedings,1746:020056.

Supriyadi, B. dan Mungkasi, S. (2016). “Finite volume numerical solvers for non-

linear elasticity in heterogeneous media.”International Journal for

Multiscale Computational Engineering,14: 479-488.

Wazwaz, A. M. (2009).Partial Differential Equations and Solitary Waves Theory.

Berlin: Springer.


METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN … · dan SMA dalam materi persamaan garis lurus,...

Documents

Transcript of METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN UNTUK MENYELESAIKAN … · dan SMA dalam materi persamaan garis lurus,...