Metode Big m Dua Fase Dan Dual Simpleks

METODE BIG MSering kita menemukan bahwa fungsi kendala tidak hanya dibentuk oleh pertidaksamaan tapi juga oleh pertidakasamaan dan/atau persamaan (=). Fungsi kendala dengan pertidaksamaan mempunyai Surplus variable tidak bisa surplus variable, tidak ada slack variables.

menjadi variabel basis awal. Dengan demikian harus ditambahkan satu variabel baru yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal. Variabel yang dapat berfungsi sebagai variabel basis awal hanya slack variables dan artificial variables (variabel buatan). 1. Jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan maka variabel basis awal semuanya adalah slack variables. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan cara yang sudah diperkenalkan sebelumnya. 2. Jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan dan/atau maka variabel basis awal adalah slack variables dan/atau variabel buatan. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini dilakukan dengan memilih antara metode Big M, Dua Fase atau Dual Simpleks. 3. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan persamaan maka variabel buatan akan ditemukan pada variabel basis awal. Penyelesaian solusi optimal untuk kasus seperti ini hanya dapat dilakukan dengan memilih antara metode Big M atau Dua Fase. Kita akan bahas metode Big M dalam sub bab ini. Perbedaan metode Big M dengan primal simpleks biasa (teknik penyelesaian yang sudah dipelajari sebelumnya), terletak pada pembentukan tabel awal. Jika fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan , perubahan dari

Metode Simpleks, oleh Hotniar Siringoringo, 1

bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu variabel surplus. Variabel surplus tidak dapat berfungsi sebagai variabel basis awal, karena koefisiennya bertanda negatif. Sebagai variabel basis pada solusi awal, Variabel buatan pada solusi harus ditambahkan satu variabel buatan.

optimal harus bernilai 0, karena variabel ini memang tidak ada. Teknik yang digunakan untuk memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimal adalah dengan cara berikut: Penambahan variabel buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki variabel slack, menuntut penambahan variabel buatan pada fungsi tujuan. Jika fungsi tujuan adalah maksimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M; jika fungsi tujuan adalah minimisasi, maka variabel buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien -M. Karena koefisien variabel basis pada tabel simpleks harus bernilai 0, maka variabel buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variabel buatan tersebut. Perhatikan contoh di bawah ini. Bentuk Umum Min. z = 4 x1 + x2 Terhadap: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 6 x1 + 2x2 4 x1, x2 0 Bentuk Baku: Min. z = 4 x1 + x2 Terhadap: 3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 - s1 = 6


Kendala 1 dan 2 tidak mempunyai slack variables, sehingga tidak ada variabel basis awal. Untuk berfungsi sebagai variabel basis awal, pada kendala 1 dan 2 ditambahkan masing-masing satu variabel buatan (artificial variable). Maka bentuk baku Big M-nya adalah: Min. z = 4 x1 + x2 + MA1 + MA2 Terhadap: 3x1 + x2 + A1 = 3 4x1 + 3x2 - s1 + A2 = 6 x1, x2, s1, s2 0

1. Nilai A1 digantikan dari fungsi kendala pertama. A1 = 3 - 3x1 - x2 MA1 berubah menjadi M(3 - 3x1 - x2) A2 = 6 - 4x1 - 3x2 + s1 MA2 berubah menjadi M(6 - 4x1 - 3x2 + s1) 6M- 4Mx1 - 3Mx2 + Ms1 3. Fungsi tujuan berubah menjadi Min z = 4x1 + x2 + 3M-3Mx1-Mx2 +6M-4Mx1-3Mx2+Ms1 = (4 -7M)x1+(1 - 4M)x2 + Ms1 +9M 3M-3Mx1-Mx2 2. Nilai A2 digantikan dari fungsi kendala ketiga.

+ +9M A 1 22 9

M

1

x1 + 2x2 + s2 = 4 x1, x2, s1, s2 0

x1 + 2x2 + s2 = 4

1

S2

1

2

0

0

0

1

4

5. Perhitungan iterasinya sama dengan simpleks sebelumnya. Iterasi-0 VB z A1 A2 S2 X1 -4 +7M 3 4 1 Iterasi-1 VB z X1 A2 S2 X1 0 1 0 0 Iterasi-2 VB z X1 X2 S2 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0 S1 1/5 1/5 -3/5 1 A1 8/5 M 3/5 -4/5 1 optimal X2 0 S1 0 A1 7/5-M A2 -M S2 -1/5 Solusi 17/5 A2 -1/5 M -1/5 3/5 -1 S2 0 0 0 1 Solusi 18/5 3/5 6/5 1 Rasio 25/3 1 X2 (1 +5M)/3 1/3 5/3 5/3 S1 -M 0 -1 0 A1 (4-7M)/3 1/3 -4/3 -1/3 A2 0 0 1 0 S2 0 0 0 1 Solusi 4+2M 1 2 3 Rasio 3 6/5 9/5 X2 -1 +4M 1 3 2 S1 -M 0 -1 0 A1 0 1 0 0 A2 0 0 1 0 S2 0 0 0 1 Solusi 9M 3 6 4 Rasio 1 3/2 2

Iterasi-3 VB z X1 0


11

X1 X2

1 0

0 1

0 0

2/5 -1/5

0 0

-1/5 3/5

2/5 9/5

1 0

Dari kendala-3 diperoleh: A2 = 27 - 0.09x1 - 0.6x2 + s2 Maka fungsi tujuan tahap-1 menjadi: Min A = (90 - x1 - x2) + (27 - 0.09x1 - 0.6x2 + s2) =117 - 1.09x1 - 1.6x2 + s2 Solusi awal VB X1 A A1 S1 A2 S3 Iterasi1 VB X1 A A1 S1 X2 S3 Iterasi2 VB X1 A X1 S1 X2 S3 0 1 0 0 0 X2 0 0 0 1 0 0.85 0.85 0.0007 0.15 0.011 X2 0 0 0 1 0 S1 0 0 1 0 0 S2 -11/3 10/6 1/300 -10/6 0.1 S3 0 0 0 0 1 A1 0 1 0 0 0 A2 -8/3 -10/6 -1/300 10/6 -0.1 NK 45 45 45 Rasio 52.94 300 1.09 1 0.09 0.02 X2 1.6 1 0.6 0.06 S1 0 0 1 0 0 S2 -1 0 0 -1 0 S3 0 0 0 0 1 A1 0 1 0 0 0 A2 0 0 0 1 0 NK 117 90 0.9 27 4.5 Rasio 90 450 45 75

0.001 0.002

0.81 1157.14 1.8 163.634

optimal S1 0 0 0 0 S2 -4.8708 17/12 -1.7542 0.09358 S3 0 0 0 A1 -1 20/17 -3/17 A2 -1.4625 -17/12 1.7542 NK 0 52.94 37.059

1 0.0023417

0 0.0008

-0.0023 0.772942

1 0.01294 -0.084417 1.21766


Tahap 2 Min z = 2 x1 + 5.5 x2 Terhadap: tabel optimal tahap pertama Dari tabel optimal tahap 1 diperoleh: X1 = 52.94 17/12s2 X2 = 37.059 + 1.7542s2 Maka fungsi tujuan adalah: Min z = 2(52.94 17/12s2) + 5.5 (37.059 + 1.7542s2) = -17/6s2 + 9.6481s2 + 309.7045 = 6.814767s2 + 309.7045 Solusi awal VB z X1 S1 X2 S3 X1 0 1 0 0 0 X2 0 0 0 1 0 optimal. S1 0 0 1 0 0 S2 -6.814767 17/12 0.0023417 -1.7542 0.09358 S3 0 0 0 0 1 NK 309.7045 52.94 0.772942 37.059 1.21766

Tabel di atas sudah optimal. Solusi optimalnya adalah: X1 = 52.94; x2 = 37.059; dan z = 309.7045

METODE DUAL SIMPLEKSMetode dual simpleks digunakan jika tabel optimal tidak layak. Jika fungsi kendala ada yang menggunakan pertidaksamaan dan tidak ada = dalam bentuk umum PL, maka metode dual simpleks dapat digunakan. Kita selesaikan contoh di bawah ini. Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 Terhadap 90x1 + 20x2 + 40x3 200 30x1 + 80x2 + 60x3 180


10x1 + 20x2 + 60x3 150 x1, x2, x3 0 semua kendala menggunakan pertidaksamaan . Kendala dengan pertidaksamaan dapat diubah ke pertidaksamaan dengan mengalikan pertidaksamaan dengan -1. Bentuk umum PL di atas berubah menjadi: Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 Terhadap -90x1 - 20x2 - 40x3 -200 -30x1 - 80x2 - 60x3 -180 -10x1 - 20x2 - 60x3 -150 x1, x2, x3 0 Semua fungsi kendala sudah dalam bentuk pertidaksamaan , maka kita kita hanya perlu menambahkan variabel slack untuk mengubah bentuk umum ke bentuk baku/standar. variabel basis awal. Bentuk Baku/standar: Min z = 21x1 + 18x2 + 15x3 + 0s1 + 0s2 + 0s3 Terhadap -90x1 - 20x2 - 40x3 + s1 = -200 -30x1 - 80x2 - 60x3 + s2 = -180 -10x1 - 20x2 - 60x3 + s3 = -150 x1, x2, x3, s1, s2, s3 0 VB X1 X2 X3 S1 S2 X3 S3 NK Variabel slack akan berfungsi sebagai

33S S3 S3

Tabel di atas optimal tapi tidak layak (ingat, untuk fungsi tujuan minimisasi, tabel sudah optimal jika semua koefisien baris tujuan sudah negatif atau 0). Untuk membuat tabel tersebut layak, kita harus gunakan metode dual simpleks. Langkah-langkah penyelesaian simpleks menggunakan metode dual adalah: 1. Tentukan baris pivot. sembarang. 2. Tentukan kolom pi Baris pivot adalah baris dengan nilai kanan negatif terbesar. Jika negatif terbesar lebih dari satu, pilih salah satu

S3 Rasio VB Z X1 S2 S3 Rasio

-10 21/90 Iterasi-1: X1 0 1 0 0 Iterasi-2

-20 18/20 X2 -40/9 2/9 -220/3 -160/9 0.0485

-60 15/40 X3 -9 4/9 -140/3 -500/9

0 0 S1 -7/30 -1/90 -1/3 -1/9

0 0 S2 0 0 1 0 -

1 0 S3 0 0 0 1 -

-150 NK 140/3 20/9 -340/3 -1150/9

0.19286 0.7

VB Z X1 X2 S3 Rasio

X1 0 0 0 0 -

X2 0 0 1 0 -

X3 -611/99 10/33 7/11 -44.2424 0.139498

S1 -0.213131 0.0303 1/220 -0.0303 7.0340

S2 -2/33 1/330 -3/220 2.500

S3 0 0 0 0

NK 53.535 1.8788 17/11 -100.3030 -

-0.02424 1

Iterasi-3 VB Z X1 X2 X3 X1 0 1 0 0 X2 0 0 1 0

optimal X3 0 0 0 1 S1 S2 S3 NK -0.208934 -0.0572 0.00000014 0.00286 0.00068 0.00055 -0.13948 67.52628 0.006848 1.19173 -0.0226 2.267

0.0041127 -0.013986 0.01438 0.102818

KASUS KHUSUS DALAM SIMPLEKSAda beberapa kasus khusus dalam simpleks. atau syarat kelayakan tidak pernah dapat dipenuhi. Kadang kala kita Adakalanya juga akan menemukan bahwa iterasi tidak berhenti, karena syarat optimalitas


solusi yang dihasilkan antara satu iterasi dengan iterasi berkutnya tidak berbeda. Kasus khusus ini terdiri dari solusi optimal lebih dari satu, Dua terakhir degeneracy, solusi tidak terbatas dan solusi tidak layak. dalam pembentukan model atau formulasi permasalahan. Solusi Optimal Lebih dari satu Ketika fungsi objektif paralel terhadap pembatas yang dipenuhi dalam arti persamaan oleh solusi optimal, fungsi objektif akan mengasumsikan nilai optimal sama pada lebih dari satu titik solusi. Kondisi seperti ini kita kenal dengan solusi optimal lebih dari satu (alternative optima). Perhatikan kasus berikut: Maks z = 2x1 + 4x2 Terhadap x1 + 2x2 5 x1 + x2 4 x1, x2 0 Tabel awal VB Z S1 S2 X1 -2 1 1 X2 -4 2 1 S1 0 1 0 S2 0 0 1 Solusi 0 5 4 Rasio 5/2 2

dapat terjadi karena kesalahan baik dalam perhitungan iteratif ataupun

Iterasi 1 VB Z X2 X1 0 1/2 X2 0 1 S1 2 1/2 S2 0 0 Solusi 10 5/2 Rasio


S2

0

-1/2

1

3/2

Perhatikan nilai baris z untuk variabel x1 juga menjadi nol saat x2 berubah menjadi variabel masuk. iterasi kedua berikut: Iterasi-2 VB Z X2 X1 X1 0 0 1 X2 0 1 0 S1 2 1 -1 S2 0 -12 2 Solusi 10 5/221 3/2 21 2 Rasio Jika iterasi tersebut kita lanjutkan dengan memilih x1 sebagai variabel masuk, maka akan didapatkan tabel hasil

Maks z = 3x1 + 9x2 Terhadap x1 + 4x2 8 x1 + 2x2 4 x1, x2 0 Penyelesaian simpleks kasus di atas adalah: VB X1 X2

1

XXX X2

X2 X1

0 1

1 0

0 1

-1/2 2

2 0

Melihat pembatas yang redundan sangat mudah menggunakan solusi grafik. Garis dari fungsi pembatas yang redundan melewati hanya salah satu titik pada daerah penyelesaian yaitu solusi optimal, dan hal ini sebenarnya tidak berarti dalam penentuan solusi optimal. Karena tanpa garis fungsi pembatas itupun, solusi optimal sudah dapat diidentifikasi menggunakan fungsi pembatas yang lain. Dari sudut pandang teoritis, degeneracy mempunyai implikasi dua. Pertama, berhubungan dengan fenomena pengulangan. Iterasi 1 dan 2 di atas hanya merupakan pengulangan yang memberikan nilai tujuan sama, yaitu 18. memperbaiki solusi. Secara umum dapat diterima, pada kasus ini prosedur simpleks akan terus berulang tanpa ada akhir tapi tidak Kedua, meskipun variabel basis dan non basis berbeda pada setiap iterasi, tetapi nilai semua variabel dalam iterasi adalah sama, yaitu x1 = 0, x2 = 2, s1 = 0, s2 = 0 dan z = 18. Solusi Tidak Terbatas Ada kalanya kita menemukan nilai variabel meningkat tak terbatas tanpa melanggar pembatas, artinya ruang solusi tidak terbatas paling tidak untuk satu arah. Sebagai akibatnya, nilai tujuan akan meningkat (untuk kasus maksimisasi) atau menurun (untuk kasus minimisasi) tanpa ada batas. Dalam kasus kita sebut ruang solusi dan nilai tujuan optimum tidak terbatas. Solusi tidak terbatas hanya mengindikasikan satu hal, yaitu model myang dibangun salah. Mendapatkan keuntungan yang tidak Salah satu yang paling terbatas misalnya tentunya tidak masuk akal.

umum yang menyebabkan solusi tidak terbatas adalah tidak memasukan


pembatas yang bukan redundan pada model atau parameter (konstanta) beberapa pembatas tidak dihitung dengan benar. berikut: Maks z = 2x1 + x2 Terhadap x1 - x2 10 2x1 40 x1, x2 0 iterasi-0 VB Z S1 S2 Iterasi-1 VB Z S1 X1 X1 0 0 1 X2 -1 -1 0 S1 0 1 0 S2 1 -1/2 Solusi 40 -10 20 Nilai z akan Rasio X1 -2 1 2 X2 -1 -1 0 S1 0 1 0 S2 0 0 1 Solusi 0 10 40 10 20 Rasio Perhatikan kasus

Jika iterasi itu diteruskan, tidak akan pernah berhenti. meningkat terus.

Pada tabel awal sebenarnya kita sudah dapat

mengidentikasi bahwa nilai tujuan akan meningkat terus tanpa ada batas dengan memperhatikan koefisien pembatas kolom x2 yang bernilai -1 dan 0. Nilai koefisien pembatas ini menunjukkan bahwa x2 dapat dinaikkan tanpa ada batas, sehingga nilai z juga akan meningkat tanpa ada batas. Solusi Tidak Layak Jika pembatas tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, maka kita berhadapan dengan solusi tidak layak. Solusi tidak layak tidak akan


pernah terjadi jika semua fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan (asumsikan nilai kanan adalah positif), karena variabel slack selalu memberikan solusi layak. Solusi optimal dapat terjadi jika fungsi pembatas ada yang menggunakan pertidaksamaan , kita menggunakan variabel buatan sebagai variabel basis awal, dimana variabel buatan berdasarkan desainnay tidak memberikan solusi layak bagi model awal. Meskipun dalam prosedur iterasinya kita memaksa variabel buatan bernilai 0 pada solusi optimum, hal ini hanya akan terjadi jika model mempunyai ruang solusi layak. variabel buatan bernilai positif Sering juga terjadi, minimum satu pada solusi optimum. Hal ini

mengindikasikan bahwa permasalahan tidak mempunyai solusi layak. Dari sudut pandang praktikal, solusi tidak layak terjadi karena model tidak diformulasikan dengan benar, dimana beberapa pembatas saling bertentangan. Hal lain yang menyebabkan solusi tidak layak adalah bahwa pembatas tidak dimaksudkan untuk dipenuhi secara bersamaan. Perhatikan kasus berikut: Maks z = 3x1 + 2x2 Terhadap 2x1 + x2 2 3x1 + 4x2 12 x1, x2 0 Solusi awal dengan metode M besar VB Z S1 A1 Iterasi-1 VB Z X1 1+5M X2 0 S1 M S2 2+4M A1 0 Solusi 4-4M Rasio X1 -3-3M 2 3 X2 -2-4M 1 4 S1 M 1 0 S2 0 0 -1 A1 0 0 1 Solusi -12M 2 12 2 3 Rasio


X2 A1

2 -5

1 0

1 -1

0 -4

0 1

2 4

Metode Big m Dua Fase Dan Dual Simpleks

Documents

Transcript of Metode Big m Dua Fase Dan Dual Simpleks