SIMPLEKS BIG-M

Metode Simpleks Vs. Simpleks Metode Simpleks Vs. Simpleks Big-MBig-M

Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah Perbedaan metode simpleks dengan metode simpleks Big-M adalah munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode munculnya variabel artificial (variabel buatan), sedangkan metode atau langkah-langkahnya sama.atau langkah-langkahnya sama.

Saat membuat bentuk standar :Saat membuat bentuk standar : Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel Jika kendala bertanda “=“, tambahkan ruas kiri satu variabel

tambahan berupa variabel artifisial (var. dummy => meaningless)tambahan berupa variabel artifisial (var. dummy => meaningless) Jika kendala bertanda “Jika kendala bertanda “>>”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus ”, kurangkan ruas kiri dgn variabel surplus

dan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel dummydan tambahkan juga ruas kiri dgn variabel dummy

Contoh Contoh Min CostMin Cost Z = 5XZ = 5X11 + 6X + 6X22

Subject to (s/t)Subject to (s/t) XX11 + X + X22 = 1000= 1000

XX11 << 300 300

XX22 >> 150 150

XX11 ; X ; X22 >> 0 0

Min CostMin Cost Z = 5XZ = 5X11 + 6X + 6X2 2 + + 0S0S11 + 0S + 0S22 + + MAMA11 + MA + MA22

Subject to (s/t)Subject to (s/t) XX11 + X + X22 + A + A11 = 1000= 1000

XX11 + S + S11 << 300 300

XX22 – S – S22 + A + A22 >> 150 150

XX11 ; X ; X22 ; A ; A11 ; A ; A22 : S : S11 ; S ; S22 >> 0 0

Teori DualitasTeori DualitasPersoalan Primal dan DualPersoalan Primal dan Dual

• Persoalan Primal (asli)• Persoalan Dual (kebalikan dari primal)

PRIMAL DUALA. Fungsi Tujuan A. Fungsi Tujuan

1. Maksimisasi Laba 1. Minimisasi Biaya PL gunakan Metode PL gunakan Metode Simpleks (variabel Simpleks Big-M (var. Slek atau +S) buatan atau +A)

PRIMAL

F/t Max : Z = 2X1 + 3X2

F/k : 5X1 + 7X2 < 35

8X1 + 4X2 < 40

F/s : X1 ; X2 > 0

F/t Max : Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 +

0S2

F/k : 5X1 + 7X2 + S1 < 35

8X1 + 4X2 + S2 < 40

F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 > 0

DUAL

F/t Min : Z* = 35X1 + 40X2

F/k : 5X1 + 8X2 > 2

7X1 + 4X2 > 3

F/s : X1 ; X2 > 0

PRIMAL

2. Minimisasi Biaya :

PL gunakan Simpleks Big-M (var.surplus –S dan var. buatan +A)

F/t Min : Z = 2X1 + 5X2

F/k : 3X1 + 4X2 > 24

5X1 + 6X2 > 30

F/s : X1 ; X2 > 0

DUAL

2. Maksimisasi Laba :

PL gunakan Simpleks

(variabel slek +S)

F/t Max : Z = 24X1 + 30X2

F/k : 3X1 + 5X2 < 2

4X1 + 6X2 < 5

F/s : X1 ; X2 > 0

Contoh SoalContoh SoalSebuah perusahaan agroindustri kedelai hendak memproduksi 2 buah Sebuah perusahaan agroindustri kedelai hendak memproduksi 2 buah produk, yaitu produk susu kedelai bubuk dan susu kedelai cair, yang produk, yaitu produk susu kedelai bubuk dan susu kedelai cair, yang masing-masing memerlukan biaya produksi per unitnya sebesar masing-masing memerlukan biaya produksi per unitnya sebesar Rp.12.000,00 dan Rp.24.000,00. Kedua produk tersebut harus diproses Rp.12.000,00 dan Rp.24.000,00. Kedua produk tersebut harus diproses melalui dua buah mesin, yaitu mesin penggiling kedelai dengan melalui dua buah mesin, yaitu mesin penggiling kedelai dengan kapasitas sebesar minimal 4 jam orang (kapasitas sebesar minimal 4 jam orang (man hoursman hours) dan mesin ) dan mesin pengolah susu kedelai dengan kapasitas paling sedikit 5 jam orang pengolah susu kedelai dengan kapasitas paling sedikit 5 jam orang ((man hoursman hours).).Setiap unit produk susu kedelai cair mula-mula diproses pada mesin Setiap unit produk susu kedelai cair mula-mula diproses pada mesin penggiling selama 1 jam orang, lalu pada mesin pengolah susu penggiling selama 1 jam orang, lalu pada mesin pengolah susu kedelai selama 4 jam orang. Sedangkan setiap unit produk susu kedelai selama 4 jam orang. Sedangkan setiap unit produk susu kedelai bubuk diproses pada mesin penggiling dan mesin pengolah kedelai bubuk diproses pada mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai masing-masing 3 jam orang.susu kedelai masing-masing 3 jam orang.Buatlah formulasi primal dan dual dari persoalan diatas dan hitunglah Buatlah formulasi primal dan dual dari persoalan diatas dan hitunglah berapa lama kombinasi penggunaan mesin penggiling dan mesin berapa lama kombinasi penggunaan mesin penggiling dan mesin pengolah susu kedelai untuk memproduksi produk susu kedelai cair pengolah susu kedelai untuk memproduksi produk susu kedelai cair dan susu kedelai bubuk yang optimal sehingga biaya produksi yang dan susu kedelai bubuk yang optimal sehingga biaya produksi yang dikeluarkan perusahaan menjadi minimal ?dikeluarkan perusahaan menjadi minimal ?

Langkah Penyelesaian Langkah Penyelesaian Metode Simpleks Big - MMetode Simpleks Big - M

1. Ubahlah tanda pertidaksamaan “1. Ubahlah tanda pertidaksamaan “>>” yang ada pada fungsi kendala menjadi ” yang ada pada fungsi kendala menjadi tanda “=“, yaitu dengan memasukkan variabel surplus yang bernilai negatif tanda “=“, yaitu dengan memasukkan variabel surplus yang bernilai negatif dan variabel artifisial yang bernilai positif (-S dan +A)dan variabel artifisial yang bernilai positif (-S dan +A)

2. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke dalam 2. Masukkan / tambahkan pula variabel-variabel surplus dan artifisial ke dalam fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. fungsi tujuan, dimana koefisien untuk var. surplus = 0 dan koefisien var. artifiasial = Martifiasial = M

( M a/d konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga, ( M a/d konstanta yang nilainya sangat besar sekali, tapi berhingga, misalnya ribuan, puluhan ribu,dst)misalnya ribuan, puluhan ribu,dst)

3. Semua variabel tidak boleh negatif3. Semua variabel tidak boleh negatif

4. Hasil langkah 1 s.d 3, masukkan ke dalam tabel M-Besar4. Hasil langkah 1 s.d 3, masukkan ke dalam tabel M-Besar

5. Tentukanlah variabel-variabel dasarnya5. Tentukanlah variabel-variabel dasarnya

(pada contoh soal A1 dan A2 merupakan variabel dasar dengan koefisien (pada contoh soal A1 dan A2 merupakan variabel dasar dengan koefisien M)M)

6. Hitunglah nilai-nilai pada baris Z dengan menggunakan perkalian matriks6. Hitunglah nilai-nilai pada baris Z dengan menggunakan perkalian matriks

7. Hitung pula nilai c-z7. Hitung pula nilai c-z

8. Tentukan variabel masuk (8. Tentukan variabel masuk (entering variabelentering variabel), yaitu dengan memilih nilai c-z ), yaitu dengan memilih nilai c-z yang terkecil (bila pada fungsi tujuan a/d untuk minimisasi biaya)yang terkecil (bila pada fungsi tujuan a/d untuk minimisasi biaya)

Langkah 9 s.d 18 sama dengan penyelesaian metode simpleks yang Langkah 9 s.d 18 sama dengan penyelesaian metode simpleks yang sebelumnyasebelumnya

9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan variabel 9. Tentukanlah kolom kunci, yaitu kolom-kolom yang sejajar dengan variabel masukmasuk

10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus :10. Hitunglah nilai rasio masing-masing, dengan rumus : Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )Rasio = ( nilai kanan / kolom kunci )

11. Tentukan varibel keluar (11. Tentukan varibel keluar (leaving variabelleaving variabel), yaitu dengan), yaitu dengan cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif.cara memilih nilai rasio yang terkecil dan positif.

12. Tentukan baris kunci12. Tentukan baris kunci

13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci13. Angka yang terdapat pada perpotongan kolom kunci dan baris kunci disebut angka kunci.dan baris kunci disebut angka kunci.

14. Hitunglah nilai-nilai pada baris A14. Hitunglah nilai-nilai pada baris A22 pada iterasi ke-2 ( baris A pada iterasi ke-2 ( baris A22 baru ) baru ) dengan cara : dengan cara :

Baris ABaris A22 lama lama : 4: 4 3 3 0 0 -1-1 00 11 55Baris PivotBaris Pivot : 3(1/3: 3(1/3 1 1 -1/3 -1/3 00 1/31/3 00 4/3) 4/3) - -

Baris ABaris A22 baru baru : 3: 3 0 0 1 1 -1-1 -1-1 11 11

15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru15. Hitung kembali nilai-nilai Z yang baru

16. Hitung pula nilai C-Z yang baru16. Hitung pula nilai C-Z yang baru

17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada 17. Periksalah apakah semua nilai C-Z yang baru sudah tidak ada nilainilai negatif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena negatif lagi. Bila iya, maka proses pehitungan dihentikan karena solusisolusi sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18.sudah optimal. Tetapi jika tidak, maka dilanjutkan ke langlah 18.

18. Ulangilah langkah sejak langkah 818. Ulangilah langkah sejak langkah 8

Formulasi Persoalan Primal :Formulasi Persoalan Primal : Formulasi Persoalan Dual :Formulasi Persoalan Dual :

F/t Min BiayaF/t Min Biaya : Z = 12X: Z = 12X11 + 24X + 24X22 F/t Max. LabaF/t Max. Laba : Z* = 4X: Z* = 4X11 + 5X + 5X22

F/kF/k : X: X11 + 3X + 3X22 >> 4 4 F/kF/k : X: X11 + 4X + 4X22 << 12 12

4X4X11 + 3X + 3X22 >> 5 5 3X 3X11 + 3X + 3X22 << 24 24

F/sF/s : X: X11 ; X ; X22 >> 0 0 F/sF/s : X: X11 ; X ; X22 >> 0 0

F/t Min BiayaF/t Min Biaya : Z = 12X: Z = 12X11 + 24X + 24X22 + 0S + 0S11 + 0S + 0S2 2 + MA+ MA11 + MA + MA22

F/kF/k : X: X11 + 3X + 3X22 - S - S11 + A + A11 >> 4 4

4X4X11 + 3X + 3X22 - S - S22 + A + A22 >> 5 5

F/sF/s : X: X11 ; X ; X22 ; S; S11 ; S ; S22 ; A ; A1 1 ; A; A22 >> 0 0

ANALISIS ANALISIS SENSITIVITASSENSITIVITAS

TujuanTujuan

Untuk mengetahui batas-batas Untuk mengetahui batas-batas perubahan yang diperbolehkan dan perubahan yang diperbolehkan dan bagaimana dampak perubahan itu bagaimana dampak perubahan itu terhadap solusi optimum semulaterhadap solusi optimum semula

Analisis Ini Meliputi :Analisis Ini Meliputi :

1. Menentukan status dari sumberdaya (bahan baku)1. Menentukan status dari sumberdaya (bahan baku)

2. Menentukan nilai sumberdaya (2. Menentukan nilai sumberdaya (dual pricedual price atau atau shadow priceshadow price))

3. Menentukan perubahan ruas kanan kendala (3. Menentukan perubahan ruas kanan kendala (constraintconstraint) bahan ) bahan bakubaku3.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan3.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan bahan bakubahan baku3.2 Jika bahan baku berubah bagaimana pengaruhnya3.2 Jika bahan baku berubah bagaimana pengaruhnya

4. Menentukan perubahan koefisien fungsi tujuan (laba)4. Menentukan perubahan koefisien fungsi tujuan (laba)4.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan laba produk4.1 Berapa besarnya kisaran atau rentang perubahan laba produk4.2 Jika laba bersih produk berubah bagaimana pengaruhnya4.2 Jika laba bersih produk berubah bagaimana pengaruhnya

Contoh SoalContoh Soal

Maksimum LabaMaksimum Laba = 9X= 9X11 + 7X+ 7X22

KendalaKendala 2X2X11 + X + X22 << 40 40

XX11 + 3X + 3X22 << 30 30

StatusStatus X X11 ; X ; X22 >> 0 0

Tabel Optimum (Contoh)Tabel Optimum (Contoh)

CjCj Solution Solution MixMix

99

X1X1

77

X2X2

00

S1S1

00

S2S2

QuantityQuantity

99 X1X1 11 00 3/53/5 -1/5-1/5 1818

77 X2X2 00 11 -1/5-1/5 2/52/5 44

ZjZj 99 77 44 11 $ 190$ 190

Cj - ZjCj - Zj 00 00 -4-4 -1-1

Status SumberdayaStatus Sumberdaya

1. Terbatas (1. Terbatas (scarescare / / bindingbinding))

Artinya, semua SD habis terpakaiArtinya, semua SD habis terpakai2. Berlebih (2. Berlebih (abundantabundant / / non-bindingnon-binding))

Artinya, tidak semua SD habis terpakai dan masih ada Artinya, tidak semua SD habis terpakai dan masih ada sisa)sisa)

Berdasarkan Tabel OptimumBerdasarkan Tabel Optimum

Sumber DayaSumber Daya Slack VariabelSlack Variabel StatusStatus

11 S1 = 0 S1 = 0 terbatas terbatas 22 S2 = 0 S2 = 0 terbatas terbatas

Dual PriceDual Price / / Shadow PriceShadow PriceSumbangan yang diberikan oleh setiap perubahan unit Sumbangan yang diberikan oleh setiap perubahan unit sumberdaya terhadap keuntungansumberdaya terhadap keuntungan

dalam tabel optimum lihat – (c-z)dalam tabel optimum lihat – (c-z)

Sumber Daya Dual PriceSumber Daya Dual Price Artinya Artinya

11 y1 = 4 y1 = 4 setiap perubahan 1 unit SD-I akansetiap perubahan 1 unit SD-I akan

meningkatkan laba sebesar $ 4meningkatkan laba sebesar $ 4

22 y2 = 1 y2 = 1 setiap perubahan 1 unit SD-2 akansetiap perubahan 1 unit SD-2 akan

meningkatkan laba sebesar $ 1meningkatkan laba sebesar $ 1

Besaran Kisaran (Rentang) Perubahan Besaran Kisaran (Rentang) Perubahan Bahan BakuBahan Baku

MisalnyaMisalnya : :

Berapa besarnya kisaran / rentang perubahan bahan baku A Berapa besarnya kisaran / rentang perubahan bahan baku A (sumber daya I) ?(sumber daya I) ?

JawabJawab : :

QuantityQuantity S1S1 Ratio Ratio

1 ( = 18)1 ( = 18) 3/53/5 (18/ 3/5) = 30 (18/ 3/5) = 30

2 ( = 4 )2 ( = 4 ) -1/5-1/5 ( 4/ -1/5) = -20 ( 4/ -1/5) = -20

Nilai rasio dengan nilai positf terkecil menunjukkan pengurangan Nilai rasio dengan nilai positf terkecil menunjukkan pengurangan bahan bakubahan baku

Nilai rasio dengan nilai negatif terkecil menunjukkan penambahan Nilai rasio dengan nilai negatif terkecil menunjukkan penambahan bahan bakubahan baku

Interpretasi Besaran / Kisaran Interpretasi Besaran / Kisaran Perubahan Bahan BakuPerubahan Bahan Baku

Bahan Baku A (sumber daya 1) saat posisi awal tersedia 40 unit, Bahan Baku A (sumber daya 1) saat posisi awal tersedia 40 unit, sehingga bila dilakukan perubahan bahan baku A (tanpa sehingga bila dilakukan perubahan bahan baku A (tanpa menggangu jalannya operasi perusahaan dan hasil tetap menggangu jalannya operasi perusahaan dan hasil tetap optimum, maka :optimum, maka :

Bila dilakukan pengurangan bahan baku A maka maksimum Bila dilakukan pengurangan bahan baku A maka maksimum perubahan pengurangan bahan baku A a/d sebanyak 30 unitperubahan pengurangan bahan baku A a/d sebanyak 30 unit

Pengurangan : 40 – 30 = 10 unitPengurangan : 40 – 30 = 10 unit

Bila dilakukan penambahan bahan baku A maka maksimum Bila dilakukan penambahan bahan baku A maka maksimum

perubahan penambahan bahan baku A a/d sebanyak 20 unit.perubahan penambahan bahan baku A a/d sebanyak 20 unit.

Penambahan : 40 + 20 = 60 unitPenambahan : 40 + 20 = 60 unit

Interpretasi HasilInterpretasi Hasil

Jika bahan baku A (sumber daya 1) dinaikkan menjadi 50 unit dan Jika bahan baku A (sumber daya 1) dinaikkan menjadi 50 unit dan bahan baku B (sumber daya 2) tetap tidak berubah. Bagaimana bahan baku B (sumber daya 2) tetap tidak berubah. Bagaimana pengaruhnya ?pengaruhnya ?

Kolom Kolom = INVERS = INVERS Perubahan Perubahan

Solution MixSolution Mix Bahan Baku Bahan Baku

* Invers = matrikx yang terletak di bawah variabel basis awal* Invers = matrikx yang terletak di bawah variabel basis awal

Interpretasi Hasil (contoh soal)Interpretasi Hasil (contoh soal)

X1 X1 = = 3/5 3/5 -1/5 -1/5 50 =50 = 24 24

X2X2 -1/5 -1/5 2/5 2/5 3030 2 2

Sehingga,Sehingga,

Z = 9X1 + 7X2Z = 9X1 + 7X2 = 216 + 14 = 230= 216 + 14 = 230

Perubahan hasil optimum sebelum dan setelah adanya perubahan Perubahan hasil optimum sebelum dan setelah adanya perubahan jumlah bahan baku :jumlah bahan baku :

= (hasil setelah perubahan) – (hasil sebelum perubahan)= (hasil setelah perubahan) – (hasil sebelum perubahan)

= 230 – 190 = = 230 – 190 = (Buktikan !!)(Buktikan !!)40

THE END