METNUM

KA A T PENGAN TAR

Segala puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah m elim pahan nikm atN k ya, sehingga penulisanbuku ajar yang berjudulPenga ntar Met ode Numeri k dapat diselesai deng anbaik. kan Buku ajar in i disu su n untuk m em e i kebutuhan m ah asis di da lam nuh wa mengikuti m ata kuliah M etode Num erik,yang isinya disusunsecarasiste m atisdan d ileng kapi de n - gan contoh-co ntoh soal beserta penyelesain nya yang bertujuan untuk m e m rmudah m ahasis a dalam m em pe w pelajari m ateri-m ateri kuliah yang telah diberikan. Pada setiap akhir bagian atausub-sub diberikan latihan-latiansoal yang dimak- sudkan untuk m em perdalam dan m em perluas pem aham anm ahasis a, w sehingga hasil yang dicapaim enjadioptimal. M udahmudaha n dengan a danya buku ajar ini dapat m emberikan m anfaat kepada pembaca, khusus nya m aha sis yang m enga bil m ata kuliah Metode wa m Num erik, dan sekaligus dapat m emberikan kontribusi terhadap penge mbangan kurikulum Jurusan Matemati Fakultas Sains dan TeknologiUIN SUSKA Riau. ka, Penulis m enyadari bahwa dalam penulisan buku ajar ini m asih terdapat kekuran-gan. Untuk itu, penulis berharapadanya m asu kan, saran dan kritik yang membangun dalam rang penyem purnaan ka penulisan buku selanjut ya. n Terakhir, ucapan terima kasih kepada pihak-pihakyang telah m emberikan ma - sukan, kriti an dan saran , sem og am enjad i am al kebai an di sisi Allah k nya k SWT.

Pekanbaru, S e p te be r 2 0 0 8 m

Penulis i

ii

DAF TAR ISI

KA A PENGAN TAR T DAF TAR ISI DAF TAR GAM BAR DAF TAR TABEL 1 KONSEP DASAR

i iii vii ix 1 1 12 14 19 19 22 28 32 35 39 39 42 48 53 59

1 .1 Pengantar Kalkulus D a sa r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Evaluasi Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 .3 R epresetasi Bilang anKo m pu ter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 2 ANALISIS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 GAL AT

Denisidan Pengertian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sumber Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sumber Galat Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O rde H am piran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Perambatan Galat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISTEM LINEAR

3 PENYELESAIAN 3.2 3.4

3 .1 ko n se pD a sa r Sistem Persamaan Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elem ninasiGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M etode Iterasiuntuk Sistem Linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PERSAMAAN NONLINEAR iii 3 .3 FaktorisasiMatriks LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 AKAR-AKAR

4.1 4.2

M etode Bagidua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M etode Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60 67 79 83 83 86 86 91 94

4.3 M etode Seca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nt 5 INTERPOLASI 5 .1 Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Interpolasi Polinom Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Interpolasi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Interpolasi Kuadratik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Interpolasi Derajat Tinggi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 5.4 5.5 5.6

Selisih Terbagi Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1 . Galat Interpolasi Polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 7 Polinom Newton-Gregory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 5.5.1 Polinom Newton-G regory Maju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8 Interpolasi Splin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 NUMERIK 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 INTEGRASI 6.1 6.2

Pengertian dan Konsep

Metode Dasar Pias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 6 .2 .1 Kaidah Titik Tengah (Midpoint Rule) . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 6 .2 .2 Kaidah Trapesium(Trapesium Rule) . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.3

. M etode New ton-Cotes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1 6.3.1 6.3.2 6.3.3 6.3.4 Kaidah Trapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 2 Kaedah Simpson 1/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 Kaedah Simpson 3/8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 7 Kaedah Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 9 Ekstra polasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.4

Peng gunaan Ekstra polasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 2 6.4.1 Richardson Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 5 6.4.2 Ekstra polasi

6.5 6.6

Integrasi Num erikG auss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 6 IntegralTak Wajar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 3 PERSAMAAN DIFERENSIAL iv BIASA SECARA

7 PENYELESAIAN

NUMERIK

161

7 .1 Pe rsam aan Diferensial Orde Satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 1 7 .1 .1 Persamaan D enganVariabel Terpisah . . . . . . . . . . . . . . . 161 7 .1 .2 Persamaan H o m o g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 3 . 7.2 M etode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 7.2.1 Tafsiran Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5 7.2.2 Analisis Galat M etode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 6 7.3 M etode Heun (Perbaikan Metode Euler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 3 7.4 7.6 Metode Taylor Orde Ting gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 8 Metode Banyak Langkah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 8 . 7.6.1 7.6.2 M etode Adam-Bashford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 9 M etode Adam-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0 195 7 .5 M etode Runge-Kutta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 3

DAF TAR PUS TAKA

v

vi

DAF TAR GAM BAR

1 .1 Pende katan polinomialTaylor orde ke -1 ,3 dan 5 terhadapfungsif (x) = . . . terhadapfungsi 1 .2 ex disekitarx0 = 0 . . . .Taylor orde ke. -1 ,.3 .dan 5 . . . . . . . . . . .f . Pende katan polinomial . . . . . . . . . (x)disekitarx0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ex = 1 .3 Pende katan polinomialTaylor orde ke -1 ,2 dan 3 terhadapfungsif (x) = di sekitarx0 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ln(x) 1 .4 Pende katan polinomialTaylor orde ke -3 dan 5 terhadapfungsif (x) = ln(x + 1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .1 Skem atik m et ode Bagiduapada kurva y = f (x) yang m e m oton g sumbu x di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .2 Kurva y = f (x) yang m em pu nyai akar berjum lahganjil. . . . . . . . . . 4.3 Polinom yang m em pu nyai akar ganda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 .4 Interval [a, b] yan g m emuat titik singular kur y = f (x) . . . . . . . . . va 4 .5 Skem atikm et ode N ew ton-Raphson padakurva y = f (x) yang memotong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sumbu x di 4.6 Konvergensi yang terjadipada m et ode New ton . . . . . . . . . . . . . . x i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d 5 .1 Interpolasi (garistebal)dan ekstra polasi (garistipis) terhadaptitik-titik yang diberikan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .2 Interpolasi linear y = P1 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 .3 Interpolasi kuadratik = P2 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y 5 .4 Interpolasi polinom ialkuadratiky = P2 (x) terhadapfungsif = 1/x . . vii 4 .7 Skem atikm et ode Seca pada kurva y = f (x) yang m em otong nt sumbu

5

6 8 9

61 64 65 65 68 71 79

87 87 91 95

5 .5 Interpolasi kubik y = P3 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

5 .6 y = l(x), inte rpo la si lin e a r se se n g g a l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 pe 5 .7 y = P6 (x), interpolasi linear derajat enam . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7 5 .8 y = q(x), interpolasi kuadratik . . . . . . . . . . . . . . . . 117 sese penggal 6.1 Luasandaerahyang dibatasoleh kurva y = f (x) di dalam interval [a, b]. 123 6.2 Luasandaerahyang dibatasoleh kurva y = f (x) di dalam interval [a, b] dengankaidah Titik Tengah dengansatu sub-i terval . . . . . . . . . . 125 n 6.3 Luasandaerahyang dibatasoleh kurva y = f (x) di [a, b] d e n g a nkaidah Titik Tengah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 6 6.4 Luasan daerah yang dibatas oleh kurva y = f (x) pada interval [a, b] dengankaidah Trapesium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7 6.5 Luasan daerah yang dibatas oleh kurva y = f (x) pada interval [a, b] dengann sub-i terval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 n 6 .6 Pend e katan Polinom P1 (x) terhadapLuasan daerahyang dibatas oleh kurva y = f (x) di dalam interval [ 0, h] denganKaidah Trapesiu m . . . . 132 6 .7 Pend e katan Polinom P2 (x) terhadapLuasan daerahyang dibatas oleh kurva y = f (x) di dalam interval [ 0, h] dengankaedahSim pson1/3 . . . 135 6 .8 Inte g ra l f (x) pada interval [1, 1 ] yang dide kati dengankuadraturG auss 147 6 .9 Kurva y = f (x) singularpada sisi kiri x = a. . . . . . . . . . . . . . . . 1 53 6 .1 0 Tranform asi bentuk fungsiy = f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 6 7 .1 Kurva persam aanx + 4 = C denganC = 1 dan C = 2 . . . . . . . . . 1 6 2 92

y2

viii

DAF TAR TABEL

2 .1 Nilai-nilai pe rs a m a a n .2 )m e n g g u n a n e n a m a n g (2 ka ka 2 .2 Nilai-nilai pe rs a m a a n .5 )m e n g g u n a n e n a m a n g (2 ka ka

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 25 31 55 57

2 .3 Nilai-nilai pe rsa m a a n .6 )m e n g g u n a n tiga digit aritm etik . . . . . . (2 ka 3 .1 Konvergensi Iterasijacobiuntuk sistem linear (5.4) . . . . . . . . . . . . 3 .2 Konvergensi IterasiGaus s-Seidel untuk sistem linear (3.28) . . . . . . .

4.1 Hasil ham piranm et ode bagiduauntuk f (x) = ex 5x2 den gantoleransi = 0, 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 .2 Hasil ham piranm etode bagiduauntuk f (x) = x6 x 1 = 0 dengan toleransi = 0, 0 0 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4 .4 Perhitungan akar persam aan (x) = ex 5x2 dengannilai awal x0 = 1 . 7 3 f 4 .5 PerbadingankecepatankonvergensiN ew ton-R aphson baku dan modikasi pada kasus f (x) = x3 5x2 + 7x 3 dengannilai awal x0 = 0 . . 7 6 4 .6 PerbadingankecepatankonvergensiN ew ton-R aphson baku dan modikasi pada kasus f (x) = x3 + 4x2 10 dengannilai awal x0 = 1, 5 . 77 4 .7 PerbadingankecepatankonvergensiN ew ton-R aphson baku dan modikasi pada kasus f (x) = x3 5x2 + 7x 3 dengannilai awal x0 = 0 . . 8 1 5.1 H asil perhitungan enamsuku pertam apolinom ialTaylor terhadapfungsi x 84 f (x) = e disekitarx = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 H asil perhitungan enamsuku pertam apolinom ialTaylor terhadapfungsi f (x) = 1/x disekitarx0 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Perkiraannnilai-nilai dari fungsi ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Nilai-nilai dari f (x) = e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixx

63

4 .3 Perhitungan akar persam aan (x) = x6 x 1 d e n g a nnilai awal x0 = 1, 5 f

. .

85 90 97

5.5 5.7 5.8 5.9

SelisihterbagiN ew ton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 4 Tabel Selisih Terbagi Newtonorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 6 4 Tabel Selisih Terbagi Newtonorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 4 Selisih Terbagi Pusat Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5 .6 Nilai-nilai f (x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

5.1 0 Tabel Selisih Terbagi Newtonorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 5.1 1 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 .1 Nilai-nilai f (xi ) untuk f (x) = ex denganlebar sub-i terval 0, . . . . . 1 3 0 n 6.2 Nilai-nilai dari kaedahTrapesium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 4 2 6.3 Hasil pende katan kuadraturGauss-Legendre untuk n = 2, 3, 4, 5 d a n n = 61 5 0 6 .4 Nilai ham piranG(x) denganh = 0, 2 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 7 .1 M etode Euler denganh = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 9 7 .2 . etode Euler denganh = 0, M 7 .4 . etode Euler denganh = 0, M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7 .3 0 5 M etode Euler denganh = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 0 7 .5 0 5 M etode H eun denganh = 0, 1 untu k solusiy = 2xy . . . . . . . . . . . 1 7 6 7 .6 M etode H eun denganh = 0, 05 untuk solusiy = 2xy . . . . . . . . . . 1 7 7 7 .7 . etode H eun denganh = 0, 1 untu k solusiy = (x + y 1)2 . . . . . . 1 7 7 M 7 .8 . etode H eun denganh = 0, 05 untuk solusiy = (x + y . . . . . . 1 7 8 M 12 7 .9 M)etode Runge-Kuttadenganh = 0, 1 untu k solusiy = 2xy . . . . . . 1 8 6 . 7 .1 0 Perbandingan etode Euler, Heun dan Runge-Kuttauntuk solusiy = m 2xy den ga nh = 0, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8 7 7 .1 1 Perbandingan et de Adam -B ash for lan g h dan Adam -M oulton3 m o 4 ka langkah untuk solusiy = y t2 + 1 denganh = 0, 2 . . . . . . . . . . . 1 9 2

x

BAB 1 KONSEP DASAR

1.1

Penga ntar Kalkulus

Dasar

Pen g e mbangan m e t d e num erik tida k terlepas d ari peran serta beberapa o denisi dan te orem a dalam kalku lus yang berken aanden ganfu ng si-fungsi polinom ial f (x). Oleh karena itu, beberapa defenisi dan teorem a akan dibahas kembali sebagai berikut. Teorema 1.1 Nilai TengahJika f (x) adalahfungsikontinu pada interval [a, b] dan didefenisi m = kan infaxb

f (x)

p dan M = sup f (x) m aka sebarang pada interval [m, M ], se h in g g a a lin g sedikit satu titik di dalam interval [a, b] akan dipenuhi f () = .

axb

Teorema 1.2 Nilai Rata-rataJika f (x) adalah fungsi kontinu padasatu titik[a, dalam (a, b) yan g m em e pada kan interval (a.b), m aka paling sedikit ada interval b] dan terdeferensial nuhi f (b) f (a) = f ()(b a).

Teorema 1.3 Integral Nilai Rata-rataJika w(x) adalahfungsitak negatifdan terintegral an pada interval [a, b] d a n misalkan k f (x) kontinu pada [a, b], makab

w(x)f (x)dx = f ()

b a

w(x)dx

.

untuk semua [a, b]

a

2

Bab 1 Konsep Dasar Pada persolaanm atem ati terdapat beberapa fungsi f (x) yang ka, bentuknya

kom pleksehingga tidak dapat ditentukan nilai eksak nya dengancara yang lebih se d e rhana. M isal ya f (x) = ex , d a n kita akan m engalamkesulitanuntuk m enghitung n i nilai f (x) tanpa bantuan kom puteratau kalkulator. Untuk itu, fungsi f (x) akan didekati denganpolinom ham piran, karenapolinom adalahfungsiyang paling mudah dipahami kelakuan . nya Misalkan f kontinu dan terdeferensia untuk f , f , f bel dapat diperluas, f (x) = f (x0 ) +(x x0 )f (x ) + (x x0 ) f (x ) + (x x0 )f (x ) + 0 0 0 1! 2! 3! (x x0 )f (n) (x ) + (1.1) 0 + n! Oleh karena deret Taylor tak terhingga banyaknya, m aka untuk ham piran orde ke-n, disebutderet Taylor terpotong yang ditulis, f (x) = f (x0 ) +(x x0 )f (x ) + (x x0 ) f (x ) + (x x0 )f (x ) + 0 0 0 1! 2! 3! (x x0 )f n (x ) + R (x) (1 .2 ) 0 (n) + n! d engan Rn (x) = ( x x0 )n+1 (n+1) (3)

, pada se lan g

[a, b] . Jika diberikan x0 [a, b], m aka untuk nilai-nilai x di sekitar x0 , m aka f (x)

((x)), x0 < < x

f (n + 1)! disebutgalat atau sisa orde ke-n. D engandem ikianderetTaylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat ditulis kembali dalam bentuk, f (x) = Pn (x) + Rn (x) de ngan , Pn (x) =n k=1

(x x0 )k (k) f (x0 ) k!

Dalam hal ini, Pn (x) disebutPolinomial Taylor ke-n untuk f di sekitar x0 dan Rn (x) disebutsuku sisa (galat pemotongan) yang berhubugandenganPn (x). Deret tak hingga Taylor diperoleh denganm enga mbil limit Pn (x) untuk n yang disebut deret Taylor untuk f di sekitarx0 . Untuk kasus k husus,jika fungsi f (x) diperluasdi

1.1 Pengantar Kalkulus Dasar sekitarx0 = 0 , m aka de re nya d ise bu tderet MacLauri n, se h in g g a rsa m a an t pe (1 .2 ) menjadi, f (x) = f (0 ) + x x x x f + f (0 ) + f (0) + + f (n) (0) 1 ! (0 ) 2 ! 3! n! +Rn (x)

3

(1 .3 ) Teorema 1.4 Teorema Taylor Jika f (x) m em pu nyai n + 1 turunankontinu pada interval [a, b] untuk beberapan 0 dan bila x, x0 [a, b] , maka f (x) Pn (x) + Rn+1 (x) dengann 2 Pn (x) = f (x0 ) + (x x0 )f (x0 ) (x x0 ) f (x0 ) + + (x x0 ) f (n) (x0 ) 2! n! +

(1 .4 )

(1 .5 )

da n

Rn+1 (x) = 1 x (x t)n f(n+1) (t)dt n x0 (x x0 )n+1 f (n+1) ((x)) = (n + 1)!

(1 .6 )

Deret Taylor tersebutm enjadikonsepdasar m et ode num erik. B eberapa pen dekatan num erikdihasil kan dari pem enggalan deretTaylor.

Co ntoh 1.1 Dekati fungsi f (x) = ex

de nganpolinom ialorde ke -1 ,3 dan 5 dise kitarx0 = 0. Penyelesaian: f (x) = ex , f (x) = ex , f (x) = ex , , f (5) (x) = ex . Be rd asar kan persam aan (1 .2 ),

4 pende katan d eretTaylor orde ke-1 , e x = e0 +2 (x 0) ( x 0) e + 1! 2! 1 = 1 + x + x2 e 2 P1 R1

Bab 1 Konsep Dasar

dan pende katan polinomialTaylornya adalah, ex 1 + x Pendekatan deret Taylor orde ke-3 , e x = e0 +0

( x 0) ( x 0)2 ( x 0)3 ( x 0)4 e +0 e +0 e + e 1! 2! 3! 4! 1 1 x4 + = 1+x+ + 24 3 e x2 x 2 6P3 R3

dan pende katan polinomialTaylornya adalah, ex 1 + x + 1 2 x 2 Pendekatan polinomialTaylor orde ke -5 , ex = e0 +0

( x 0) ( x 0)2 ( x 0)3 ( x 0)4 e +0 e +0 e + e 1! 2! 3! 4! (x 0 )5 e0 + (x 0)6 e + 5! 6! 1 1 4 1 5 x5 1 e = 1+x+ + + x + x + 24 120 720 3 x2 x 2 6P5 R5

0

dan pende katan polinom ial nya adalah, 1 5 ex 1 + x + 1 2 1 3 1 4 x x + x + x + 2 6 24 120 G amba r 1 .1 enu n ju k n se ca rag eo m e tri a rip a d apen d e m ka d kata n po lin o m ia l Taylor o rd e ke -1 ,3 , da n 5 te rh a da pfu n g sif (x) = ex .

1.1 Pengantar Kalkulus DasarY 12 9 P5 x 6 3 P3 x P1 x X -2 -1 0 1 2 f (x) = ex

5

katan polinomialTaylor o rd e ke -1 ,3 d a n 5 te rh a d a pfungsi Ga mbar 1 .1 Pen de f (x) = ex disekitarx0 = 0.

Co ntoh 1.2 Dekati fungsi

f (x) = ex

de nganpolinom ialorde ke -1 ,2 dan 5 dise kitarx0 = 1. Penyelesaian: f (x) = ex , f (x) = ex , f (x) = ex , , f (4) (x) = ex . Be rd asar kan persam aan (1 .2 ),pendekatan polinomialTaylor orde ke -1 disekitarx0 = 1 (x 1 ) ( ) f x0 P1 (x) = f (x0 ) + 1! = e1 + (x 1)e1 = xe Pendekatan polinomialTaylor orde ke -2 P2 (x) = f (x0 ) + (x 1 ) ( ) (x 1 )2 ( ) f x0 + f x0 1! 2! = e + (x 1)e + (x 1 )2 e = e(1 + x 1 + x2 2x 1) = e(1 x + x2 ) Pendekatan polinomialTaylor orde ke -5 ,5 P5 (x) = f (x0 ) +(x x0 ) f (x ) + (x x0 )2f (x ) + +( x x0 )f (5) (x0 ) 0 0 1! 2! 5!

6 = e1 +

Bab 1 Konsep Dasar ( x 1) ( x 1)2 ( x 1)3 ( x 1)4 ( x 1)5 1 e +1 e +1 e +1 e + e 1! 2! 3! 4! 5! 2 1 1 2x + 1) + 3 3x + 3x 1) = e 1 + (x 1 ) + 6 (x x2 ( 2 + = e1

1 1 4 (x + 4x3 + 6x2 + 4x + 1) + (x5 5x4 + 1 0x3 1 0x2 + 5x1 ) 24 120 17 4 + x + 1x 2 + 5 x3 + 1 x5 30 24 6 12 120

G amb ar 1 .2 m enunju k kan secarage om e tri aripad ape nd e d katan polinom ialTaylor orde ke 1 , 3 , d a n 5 te rh a d a pfu n g sif (x) = ex di sekitarx0 = 1.P5 x Y 12 9 6 3 X -2 -1 0 1 2 f (x) = ex P2 x P1 x

katan polinomialTaylor o rd e ke -1 ,3 d a n 5 terhadap Ga mbar 1 .2 Pe nd e fungsi x disekitar f (x) = e x0 = 1.

Co ntoh 1.3 Diketahui fungsi f (x) = ln(x), tentukan polinom ial Taylor o rd e ke -1 dan 2 untuk m ende kati fungsitersebutpada titik x0 = 1 dan kemudian hitung pada x = 2. Penyelesaian: Dari soal diketahui f (x) = ln(x), m aka f (x) = x1 , f (x) = x2 dan f (x) = 2x3 . Ole karenaitu, polinomialTaylor orde ke -1 , ln(x) P1 (x) = ln(1) + (x 1)(1)= 0 + (x 1)

1.1 Pengantar Kalkulus Dasar = x1 dan polinomialTaylor o rd e ke -3 ,adalah (x 1 )2 ln(x) P3 (x) = ln(1) + (x 1 )(1 )+ (x 1 )2 (1 ) + (2 ) 2! 3! 1 1 = (x 1 ) (x 1 )2 + (x 1 )3 3 2 1 3 3 2 11 = x x + 3x 3 2 6 Dari uraian di atas,m aka nilai ln(2)dapatditentukan dengan enggunkan m a pende katan polinomialTaylor untuk o rd e ke -1 di atas, ln(2) P1 (2 ) = (2 1 ) = 1 da n

7

1 ln(2) P3 (2) = (2 1 )

1 (2 2 + (2 1 )3 3 2 1)

1 1 = 1 (1 ) + 2 3 (1 ) = 2 3

G amb ar 1 .3 m enunju k kan secarage om e tri aripad ape nd e d katan polinom ialTaylor orde ke -1 ,2 , d an 3 te rh a d a pfu n g sif (x) = ln(x) di sekitarx0 = 0.

Co ntoh 1.4 Dekati fungsi

f (x) = ln(x + 1)

de nganpolinom ialorde -3d an 5 di sekitarx0 = 0. Penyelesaian: Dari soal, f (x) = ln(x + 1), maka, f (x) = (x + 1)1 , f (x) = (x + 1)2 , f (x) = 2(x + 1)3 , , f (5) (x) = 2 4 ( + 1)5 . x

8Y 8 6 4 2 -1 0 0 1 2 3 4 5 P3 (x) P1 (x) f (x) = ln(x + 1) X

Bab 1 Konsep Dasar

-2 -4 P2 (x)

Ga mbar 1 .3 Pen de katan polinomialTaylor o rd e ke -1 ,2 d a n 3 te rh a d a pfungsi f (x) = ln(x) di sekitarx0 = 0.

D enganm engguna rumusan polinomialTaylor, diperoleh, kan (x 0) (x 0)2 ln(x + 1) = ln 0 + 1+ (0 + 1 ) + ((0 + 1) 2) 1! 2! (x 0 )3 (2 (0 + 1)3 ) + (x 0 )3 (24( + 1)6 ) + 3! 3! 1 1 3 4 = 1 + x(1 ) + x(1 ) + x (2 ) +1 4x (6( + 1)) 2 6 24 1 1 1 4 4 x ( + 1) = 1 + x + 4 2 3 x x 2 3P3 R3

sehingga nd e pe katan P3 (x) terhadapf (x) diberikan oleh, ln(x + 1) P3 (x) = 1 + x x2 Deret Taylor orde ke-5 untuk x0 = 0 adalah (x 0 ) (x 0)2 ln(x + 1) = ln 0 + 1+ ((0 + 1)2 ) + (0 + 1 ) + 2! 1! (x 0 )5 (2 4 (0+ 1 )5 ) + (x 0 )6 (120( + 1)6 ) + 6! 5! x 2 x3 x 4 x5 x 6 = 1+x + ( + 1)6 + 2 3 4 5 6P5 R5

1

+

13

2

x 3

sehingga nd e pe katan P5 (x) terhadapf (x) diberikan oleh, x2 n(x + 1) P5 (x) = 1 + x 2 + x x +x 3 4 53 4 5

1.1 Pengantar Kalkulus Dasar G amb ar 1 .4 m enunju k kan secarage om e tri aripad ape nd e d katan polinom ialTaylor orde ke 1 , 3 , da n 5 te rh a da pfu n g sif (x) = ex . Galat Deret TaylorY 8 P5 (x)

9

4

P3 (x) f (x) = ln(x + 1) X

-1

0

0

1

2

-4

Ga mbar 1 .4 Pen de katan polinomialTaylor o rd e ke -3 dan 5 te rh a d a pfungsi f (x) = ln(x + 1).

Teorema 1.5 (Teorema Taylor)Asum si terdapatx (x) [a, emuntuk polinomialTaylor P (x) pad a persam aan kan n v Misalkan bahwa f 0 m b], pu yai n + 1 d eri atif pada interval [a, b]. n (1.2),maka Rn (x) = f (x) Pn (x) yang m ela mbang kan sisa pende katan polinom ialPn (x) terhadapf (x), ditulis Rn (x) = (x x0 )n+1f (n+1) () (n + 1)! d en gan adalahtitik tak diketahui diantara x0 dan x

Misalkan f (x) = ex dan x0 = 0, maka polinomialTaylornya adalah Pn (x) = 1 + x + x2 1 1 + + x n = n!n j=0

1 xj j!

(1 .7 )

2!

10

Bab 1 Konsep Dasar

dan dari teorem adi atas,galat pende katan yang diberikan adalah ex Pn (x) = xn+1 , e (n + 1)! n0 (1 .8 )

d engan di antara 0 d an x. Pada kasus terte ntu, ambil x = 1 , m aka dari pe rsam aan (5 .1 7 ), e Pn (1 ) = 1 + 1 + dan dari persam aan (1.8)diperoleh, e Pn (1 ) = Rn (1 ) = e , 0< < 1 (n + 1)! 1 1 1 + + + 2 ! 3! n!

D ari defenisiyang diberikan pada kalkulus,m aka denganmudah diperolehbatas,e < 3 . Hal ini m engakibat batasRn (1 ) adalah kan 1 e 3 Rn (1 ) < (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! D enganm engguna ketaksam aan kan diperolehe0 e < e1 . Jika dim isal kan galat yang ditimbulkan oleh pende katan Pn (1) terhadapfungsie adalah Rn (1 ) 1 09 , m aka batasorde m inim al nya agar tingkat kesalahan em e m nuhi persam aan atas,maka di 3 1 09 (n + 1)! 3 1 2 3 (n 2 )(n 1 )(n)(n + 1) 1 09

n 12 Jadi P12 (1) adalahcukup akuratuntuk pedekatan terhadape dengangalat 109 .

1.1 Pengantar Kalkulus Dasar

11

Latihan1.1 1. D enganm enggunaan deretM aclaurin,banding k kan nilai-nilailog(x) untuk orde2 , 3 , dan 4 pada interval2 3 3 , 2

2. D ekati fu ng si-fun gsi rikut d engan en gg una deretTaylor lineardan be m kan kuadratik. a f (x) = x, a = 1 b f (x) = sin x, a = /4 c f (x) = ecos (x) , a =0 3. Guna kan deret Taylor o rd e di x0 = 0 untuk m end e ati fungsi-fungsi -n k berikut. a . f (x) = 1/(1 x) b. f (x) = sin(x) c . f (x) = 1 + x 4. Guna kan deret Taylor orde 3 dan 4 untuk m ende kati f (x) = (1/x)(log(1 + x) 5. Guna kan polinomialTaylor untuk m engham piri s 42 di sekitarx0 = /4 co de n ganakurasi1 06 6. Tentukan polinomialTaylor kedua P2 (x) untuk fungsiex co s(x) yang diekspan di sekitarx0 = 0. a. G una kan P2 (0, 5 ) untuk m ende kati f (0, 5 ), dan tentuka batas atas galat |f (0, 5) P2 (0, 5 )| denganm enggunaan rumus galat polinom ialTaylor dan k banding kan hasil ya dengannilai sebernar ya . n n b. Dekati1 0

P2 (x)dx

7. M isal an f (x) = (1 x)1 dan x0 = 0. Tentukan polinomial Pn (x) = f (x) k yang diekspanddisekitarx0 . Tentukan nilai n untuk Pn (x) m ende kati f (x) de n gangalat m aksi um 106 pada interval [ 0 ;0, 5 ] m

12

Bab 1 Konsep Dasar 8. M isal an f (x) = ex dan x0 = 0. Tentukan polinomial Pn (x) = f (x) yang k diekspaddisekitarx0 . Tentukan nilai n untuk Pn (x) m ende kati f (x) dengan6 galat m aksi-mum 10 pada interval [ 0 ;0, 5 ]

9. Tentukan polinomial Taylor ke-em patuntuk m ende kati fungsi f (x) = xe x yang diekspaddisekitarx0 = 0. a. Tentukan batasm aksi mum |f (x) P4 (x)| pada interval [ 0 ;0, 4 ] b. 0,4 f (x)dx dengan 0,4 P4 (x)dx Dekati m eng guna kan0 0

2

10. Polinomial P2 (x) = 1 2 1 x2 diguna kan untuk m ende kati f (x) = cos(x) pada 1 1 interval , . Tentukan batasgalat m aksi mum tersebut. 2 2 11. M isal an f (x) = 2x co s( x) (x 2)2 dan x0 = 0. k 2 a. b. c. d. Tentukan polinomialTaylor ke -2 ,P2 (x), untu m engham piri (0, 4 ) f D e ng anm en gg una P2 (x), tentukan batasatas untuk galat|f (0, 4)P2 (x)| kan Tentukan polinomialTaylor ke-5, untuk m engham piri (0, 4 ) f Guna kan polinomialTaylor P5 (x) untuk m ene ntukan batasatas galat|f (0, 4 ) P5 (x)|

1.2

Evaluasi PolinomialM e n ge alu asi polin om ialkadangkadan gmu nculpad akasus- asuste rte . v k ntu

S ekarang pertimbang kanm suatu polinom ialberikut. p(x) = 3 4x + 5x2 6x3 + 7x4 8x5 D a ri pe rspe k tif se o ra n g p ro g ra m e r,c a ra yan g p a lin g se d e rh a n aa d a lah d en g a n m e n g eal- uasisetiap suku secaraterpisah. M enge v valuasi dengancara seperti ini akan banyak m embutuh kan perhitungan. M isal an suku axk m embutuh k kan k perkalian, m aka jumlah perkalian yang akan dilaku kan pada kasus di atas adalah 1 + 2 + 3 + 4 + = 15 5 perkalian

1.2 Evaluasi Polinomial dalam m eng valuasipolinom ialp(x). Cara kedua yang dapat dilaku kan adalah dengan

13

m enyederhanaan bentuk pangkat. Cara ini lebih efesiendibanding k kan d en gan cara pertam a.Jadi bentuk x3 = x(x2 ), x4 = x(x3 ), x5 = x(x4 )

Jadi setiapsuku axk m embutuh kan duaperkalian untuk k > 1 , se h in g g a lu a si eva p(x) menggunakan 1+2+2+2+ =9 2 perkalian Cara ketiga biasa disebutperkalian bersarang.Bentuk polinom di atas dapat ditulis kembali dalam bentuk, p(x) = 3 + x(4 + x(5 + x(6 + x(7 8x)))) Jum lah perkalian yang dibutuh kan hanya 5, dan ini m embukti an bahwa cara k ketiga lebih m enghem at dibandingan cara kedua. k Perkalian bersaran g dapatdikemb ang ini kan terha dap polino mden ga n rd e o yang lebih tinggi. Pertimbang kan polinom be ro rd en, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + + an xn , a0 = 0 Jika kita m engguna cara kedu a, m aka kita akan m embutuh kan kan 2n 1 perkalian, sedan g an jika m engguna perkalian bersarang, aka kita tulis kembali dalam k kan m ben tuk, p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + + x(xn1 + an x) . . .) (1 .1 0 ) D engancara ini, kita hanya m engguna n perkalian dan ini m e n g h e m asa m p a i kan t 50% lebih dibandingan denganm et k ode kedua. (1.9)

Co ntoh 1.5 EvaluasipolinomialTaylor p5 (x) untuk log(x) disekitarx0 = 1 Penyelesaian: Secaraumum , bentuk polinom ialTaylor o rd e ke-5 da ri log(x) adalah, log(x) = p5 (x) = (x 1 ) 1 4 (x 1 )2 + 1 (x 1 )3 1 (x 1) + 1 (x 1)5 2 4 3 5 (1 .1 1 )

14 Misalkan z = (x 1), maka p5 (x) = z z

Bab 1 Konsep Dasar

1 22

1

1

1

5

+ 3 z 4 z + z 3 4 5 1 + 2 1 1 1 +z = z 3 4 5

= z 1+ z z

1.3

Represe ntasi Bilangan KomputerPerhitungan yang dilaku kan oleh kalkulatoratau kom puter akan sangat

berbe da denganperhitungan yang dilaku kan oleh kita pada m aterikalkulus atau aljabar. Kita akan mud ah m en gh itun g + 2 = 4, 42 = 1 6 dan 3)2 = 3 . Hal ini akan berbe da 2 ( jika dihitung denganm engguna perhitungankom puter.Untuk kan 3 )2 , m enghitung ( kom puterakan m enghitung terlebih dahulu bentuk 3 selanjut nya m engkuadrat nya. Pada perhitungan kankom puter, 3 m enghasil nilai desim al kan yang tidak terhing ga, se hing ga nilai tersebutm erupa an nilai pende k katan. Hal ini dapat dipaham i karena 3 = 1, 7 3 2 0 5 0 8. .. . Oleh karenaketerbatasan desim alpada kom puter, aka dalam m emberikan m nilai pende katan ini, kom puterm elaku kan pem otongan (choppin g) atau pembulatan (Roundin g) se hing ga emun cul m kan kesalah an yang se caraumu m d ike nal de n gan nama kesalahan p emotongan ing error ). Untu k m em prese kan b ilanganreal,kom puter en gg una sistem ntasi m kan bilangan titik kambang (floating point number) de n ganb asisbilang an2 (bin e r),basisb ilanga n 8 (octal) dan basisbilangan16 (heksadecim al), denganformat x = (d1 d2 dt ) e (1 .1 2 ) (chopping error) dan kesalahan pemotongan (round-

14 d engan a1 = 0 da n 0 ai , a1 disebuttitik radik

Bab 1 Konsep Dasar

adalahtanda dengannilai = + 1 atau = 1 dan adalahbasis e adalahbilanganbulat denganL eU dim anaL, U m asing -m asinnila i g terke cil dan terbe sa r. (d1 d2 dt ) adalahmantisa Penggunaan ilang ande ng anb asis-basis , 8 dan 16 cukup sulit, ole h kare naitu b 2 bilan-

1.3 Representasi Bilangan Komputer gan m esindinorm al ke dalam bentuk bilangantitik kambang desim alyang kan ditulis x = .d1 d2 dk 1 0n , 1 d1 9, 0 di 9, untuk setiapi = 2, 3, . . . , k Untuk semba ra ngbilan ganre al positif y dapat dinorm alisasi dalam bentuk, ke y = 0, d1 d2 . . . dk dk+1 dk+2 . . . 1 0n

15

(1 .1 3 )

Jika kita akan m elaku kan pem otongan terhadapy d en ganpem otongan k+1 dk+2 . . d ., m aka diperoleh, A = 0, d1 d2 . . . dk . . . 1 0n Cara ini disebut pem otongan bilangan. Pada m et ode ini, jika nilai dk+1 5, kita dapat m ena mbahkan nilai satu pada dk , d a n jika dk+1 5 kita m enghilang kannya kecuali k bilanganpertam a.Cara ini disebutpembulatanbilangan.

Definisi 1.1 Galat M utlak dan Relatif |p p | Jika p adalahaproksim asi terhadapp, galat mutlak |p p | dan galat relatif |p| d eng anp = 0

Co ntoh 1.6 Pe rsam aan kuadratikm enyatakan bahwa akar-akar persam aan 2 + bx + c = 0, a ax = 0 adalah x1 = b + b2 4ac 2a dan x2 = b b2 4ac 2a

Selanjut nya, hitunglah 2 + 6 2, 1 0x + 1 = 0. x Penyelesaian: Pe rsam aan atas m em pu di nyai akar-akar persam aan sejati, x1 = 0, 01610723 dan x2 = 6 2, 0 8 3 9 0 Pada pe rsam aa n i, nilai b2 sang atbesard ib anding n d en gan in ka 4ac, oleh karen aitu pem - bilang pada perhitungan untuk x1 m elibat kan operasi penjum lahan dari dua bilangan

16

Bab 1 Konsep Dasar

yang ham pirsam anilai ya. M isal an kita akan m enghitung 1 dengan n k x m en gg una kan em patdigit pem otongan,terlebih dahulu kita hitung, b2 4ac = (6 2, 10)2 4, 0 0 0= 6 2, 0 6 3 8 5 6 4, 0 0 0= 3 8 5 2=

da n

b2 4ac A(x1 ) = 2a 6 2, 1 0 + 6 2, 0 6 = 2, 0 0 0 0, 0 4 0 0 0 = = = 0, 0 2 0 0 0 2, 000 b +

Jika nilai x1 sejatiadalahx1 = 0, 0 1 6 1 1 m aka g a la t re la tif , nya cu ku p besar, | 0, 0 1 6 1 1 0, 0 2 0 0 |0 2, 4 1 + 10 | 0, 0 1 6 1 |1 Selanjut nya, untuk m ene ntukan x2 , kita akan m elibat kan pengurangan dua bilangan yang ham pirsam a,yaitu b dan b2 4ac, b + b2 4ac A (x 2 ) = 2a 6 2, 1 0 6 2, 0 6 = 2, 0 0 0 1 2 4 2 6 2, 1 0 , = = 2, 0 0 0 Jika nilai sejatix2 = 6 2, 08, m aka galat relatif adalah | 6 2, 0 8 + 6 2, 1 0| 3, 2 4 10 | 6 2, 0 8| Untuk m em peroleh akurasipende katan lebih dari em pat digit untuk x1 , m aka kita akan m engubah bentuk rumusan akar kuadratik dengan m erasional kan pembilang (bukan dalam bentuk akar), yaitu: b + b2 4ac b b2 4ac 2 x1 = 2a b b 4ac b 2 (b 2 4ac) = 2a(b b2 4ac) 2c = b + b2 4ac

(1 .1 4 )

1.3 Representasi Bilangan Komputer D e ng anm e n ggu na (1 .1 4 ), kan maka A(x1 ) = d engangalat relatif, | 0, 0 1 6 1 1 (0, 0 1 6 1 0| ) 6, 2 4 10 | 0, 0 1 6 1 |1 Teknik m erasional pembilang juga diterap kan kan untuk m ene ntukan x2 , yaitu 2c x2 = b b2 4ac 2, 000 2, 0 0 0 = 1 2 4 2 = 0, 01610 , 6 2, 1 0 + 6 2, 0 6

17

(1 .1 5 )

Tetapi, bentu k (1 .1 5 ) m emu ncul kan galat re latif yang be sar. Hal ini disebab kan karena pada penyebut terdapat operasi pengurangan (karena b bernilai positi ), f sehingga nilai penyebut m enjadikecil, A(x2 ) = degangalat relatif 2, 0 0 0 6 2, 1 0 6 2, 0 6 = 2, 000 = 5 0, 0 0 0 0, 0 4 0 0 0

| 6 2, 0 8 5 0, 0 0 0 | 1, 9 1 01 | 6 2, 0 8|

18

Bab 1 Konsep Dasar

BAB 2 ANALISIS GAL AT

S ebag ia nbesar nu m erik digu na an untuk m enyelesaian pe rsoalank persoalan yang berkaitan denganperhitungankom puter. O leh karena pada sub-babsebelum nya telah dije- laskan bahwa perhitungandenganm engguna kom puterm emberikan kan atau memu - ncul an galat yang disebut galat pem otongan k dan galat pembulatan. Selain itu, galat juga muncu l yang diseb aban oleh suatu m et de atau kaeda hyang k o m em ang memberikan sumber kesalahan.

2.1

Definisi dan PengertianGalat dalam pengertian umum disenisikan, galat = nilai s e ja ti- nilai pendekatan

sedang kan galat relatif adalah ukuran galat yang berhubungandengan size nilai sejati yang ditulis, galat relatif= galat nilai sejati

Misalkan x pende katan dari nilai sejatix, m aka galat ditulis, =x x Bentuk ungkapan di atas seringjuga disebutgalat mutlak. Ukuran galat yang dipe roleh tidak m enunjuk kan seberapabesar g alat jika dibandingandengannilai sejati x. S e b a g a c ontoh , jika se o ra n g e m ro le hg a la t sebe sa r1 cm te rh a d a ppe n gk u ru a n i m pe meja d a n pe n sil ya n g m a sin g -m a s inp a n ja nnya 1 0 0 cm d a n 1 0 cm . G a la t s ebe sa r1 cm g g yang diperolehdari pengukuran pensil lebih berarti daripadagalat yang diperolehdari pe n -

gukuranm eja.Untuk m engatasi intepretasiini, m aka galat dinorm al terhadap kan nilai

20

Bab 2 Analisis Galat

sejati nya. Galat yang diperoleh dengancara seperti ini disebutgalat relati f, ditulis x x r = x Jika galat dinormal kan terhadapnilai hampiranx, m aka galatini disebutgalat relatif ham piran, ditulis, rh = x x x

Sebagai ilustrasi,perhati kan contoh berikut.

Co ntoh 2.1 Misalkan x = 1 0/3 , dan x = 3, 3 3 3 3 Penyelesaian: Galat (), = x x 1 0 3, 3 3 3 3 = 3 1 1 0.0 0 0 0 9 9 9 9 9 = = 30000 30000 30000 = 0, 0 0 0 0 3 3 33 Galat relatif (r ), r x x = x x 3 = 1/3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 = 1 0/3 = 0, 0 0 0 0 1 =

Galat relatif hampiran(rh ), rh = x x x = x 1/3 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 0 = = / 0, 3 3 3 3 3 3 3 3 1 0 0 0 0 1 = 99999

2.1 Definisi dan Pengertian Co ntoh 2.2 Tentukan galat, galat relatif, dan galat relatif hampiranjika diberikan y = 1.0 0 0 0 0dan y = 9 9 9 9 6 . .0 .9 Penyelesaian: Galat, = y y = 1.0 0 0 0 0 9 9 9 9 6 .0 .9 = 4 dan galat relatif, r y y = y y 4 = 1.0 0 0 0 0 .0 = 0, 0 0 0 0 0 4 =

21

galat relatif ham piran,

rh

= =

y y y =y 4

999 96 .9 1 = 24999

Latihan2.1 1. Hitung galat mutlak dan galat relatif dari ham piranp terhadap p : a . p = , p = 2 2/7 414 1 4 1 6b. p = e, p = 2, 7 1 8 c. p = e10 , p = 2 2 0 0 0 d. p = 8!, p = 3 9 9 0 0 e. p = p = 3, , f. p = 2, p = 1, g . p = 1 0 , p = 1 4 0 0 h. p = 9!, p = 1 8(9/e)9

2. Tentukan perhitungan secara (i) eksa k, (ii) m eng guna n tiga digit ka aritmetika pem otongan(iii) tiga digit aritm etik pembulatan,dan (iv) galat , relatif dari (ii) dan (iii).

22 a. 4 + 1 5 3 c. 1 3 + 3 3 11 20 b. 4 1 5 3 d. 1 3 3 3 11 20


3. G u na kan tiga digit aritm etik pembulatan,pada perhitunganberikut. Dengan m ene ntukan nilai sejati (m inim allima digit), hitunglah galat relatif dan galat absolut ya. n a . 1 3 3+ 0, 9 2 1 c . (1 2 1 0, 3 2 7 ) 1 1 9 1 3/1 4 6/7 e. 2e 5, 4 2 9 g. 9 7 b. 1 3 3 0, 4 9 9 d. (1 2 1 1 1 9 ) 0, 3 2 73 f. 10 + 6e 62

h.

2 2/7 1/1 7

2.2

Su mber GalatM isal kan kita akan m enyele sai kan seb uah persoalan m ate m ati yang ka

melibat an prose skom pu te risasi, aka galat b iasa k m nya akan mun cul pada prose sini, bahkan kadan g -kadang beberapa jenis galat muncul. Berikut ini beberapa su ber m galat yang mungkin muncul pada penyelesainpersoalan atem ati m ka. 1 . Pe rsam aanm ate m ati digu na an untu k m ereprese kan su atu penom ena ka k ntasi sika , dan p ro se sm e n g u b a h dari bentuk penom ena ka ke bentuk rumusan si matem- atika disebut pemodelan m atem ati ka. Pemodelan seperti ini m emuncul an galat terhadappersoalan k yang akan diselesaikan. Pertimbang kan persam aan pertumbuhan populasi berikut, N (t) = N0 ekt (2 .1 )

denganN (t) adalah populasi pada waktu t, N0 adalah populasi awal, dan k adalah suatu konsta nta positif. Untuk bebe rapa kasu s, selam a t m asih terbatas,maka model tersebutm asih dapat diguna kan, namun untuk kasus t atau t yang sangatbesar se kali, m aka model m enjadioverestim ate. 2 . Pada pengukuran data-data penom ena sika, m aka data-data tersebut m engan- dung galat. Sebagaicontoh adalah kecepatancahaya pada keadaan ruangham pa,

2.2 Sumber Galat yait u c = (2, 9 9 7 9 2 5 ) 1 010 cm/sec, | | 0, 0 0 0 0 0 3 +

23

O le h karena data yang diguna an m en gadunggalat, m aka perhitungank perhitungan yang m elibat kan data-datasika juga akan m emuncul an galat. k Numerik tidak dapat m enghilanggalat dari data tersebut, bahkan akibat adanya galat padadata tersebut,dapat m eni bulkan pengulangan/aku m mulasi galat padap ro se sperhitun- gan. Num erik hanya dapat m em inim al galat kan yang ditimbulkan. 3 . Galat yang ditimbulkan oleh m esin itu sendiri akibat keterbatasandigit yang terse dia. Ini biasa nya akan berkaitan dengan galat pem otongan dan galat pem - bulatan. 4 . Galat yang ditimbulkan oleh ham piran oleh suatu bentuk formulasi atau rumu - san m atem ati ka. Bentukbentuk ungkapan m atem ati yang cukup ka sulit atau kom pleksbiasa nya diguna kan suatu pende katan denganpolinom ial atau metode terte ntu. Akibat ya, galat aka muncul. n Pertimbang kan evaluasi integral dari fungsi berikut, I=1 0

ex dx2

Fungsi ini tidak m em pu nyai deri atif, jadi se ca rae k sp lisitfu n g siin i tid a k d a p at v di- integral kan. O leh karena itu, lang kah yang dapat diambil adalah d e ng a m elaku kan pende katan, sala satu nya adalahpende katan denganm engguna kan deretTaylor, 2! 3! 4! 2 x2 1 + x + 4 + 6 + 8 e x x x se h ingg a 2! 3! 4! 4 + 6 + x8 x x 0 dan bentuk di atas dapat denganm eudahdievaluasi. Galat pada persam aan I1

1 + x2 +

diatas disebutgalat pende katan matem ati . ka

Kehilangan

Ang ka Penting Galat

Untuk m em ahampengertian i kehilangan bilangangalat,perhati an persoalan k berikut. Diberikan suatu fungsi, f (x) = x x +1 x (2 .2 )

24


untu k sembarangbilanganx. Jika kita ambil beberapanilai x yang terusm embesar dan m e ng gunkan enam (6 ) angka pentin g, m aka hasil dari perhitungankom puter a dipe rlihatkan pada Tabel Dari tabel diperoleh bahwa, galat sem akinbesar seiring membeTabel 2.1 N ilai-nilai persam aan (2.2)m engguna enam kan angka

x 1 10 100 1000 10000 100000

f (x) komputasi 0 ,4 1 4 2 1 0 1 ,5 4 3 4 0 4 ,9 9 0 0 0 1 5 ,8 0 0 0 5 0 ,0 0 0 0 1 0 0 ,0 0 0

f (x) sejati 0 ,4 1 4 1 1 4 1 ,5 4 3 4 7 4 ,9 8 7 5 6 1 5 ,8 0 7 4 4 9 ,9 9 8 8 1 5 8 ,1 1 3

sarnya nilai x. Hal ini terjadikarenaterjadikehilangan ang penting pada ka perhitungan persam aan tersebut.M isal an kita ambil x = 1 0 0 ,maka k x= 1 0 1 1 0 0 = 0, 0 4 9 9 0 0 0

x +1

(2 .3 )

Perhitungan ad a persam a an .3 )keh ilang an gka penting gala t. Tiga angka p (2 an akurasi dari + 1 = 1 0 1 hilang karena adanya operasi pengurangan oleh sqrtx = 100. Kehilanganakurasiini disebab kan oleh bentuk fungsif (x) dan keterbatasan aritmetik pada komputer/ alkulator. k Untuk Misalkan yang paling umum dilaku kah kan adalahdenganm dengan be n -tuk f (x).itu, lang f (x), di m anapenyebut dan pembilangdikalikanengubah x + 1 + x, dan kita peroleh, + 1+ x f (x) = x x + 1+ x

= x

24 1

x + 1+ x

1 + 1+ x x = x + 1+ x


(2 .4 )

2.2 Sumber Galat

25

Bentuk f (x) terakhir tidak kehilanganangka penting galat jika dievaluasi. Jika kita ambil x = 1 0 0 ,maka f (100) = 100 = 100 1 0 0+ 1 0 0 2 0, 0 4 9 9 = 4, 9 8 7 5 6

Untuk m enghindari kehilangan angka penting pada galat, m aka ungkapanungkapan m atem atik di ubah sedemkan rupa sehingga tidak a da operasi i pengurang an diantara dua bilangan yang ham pir sam a nilai ya. n jelas nya, perhati an kembali contoh berikut ini. k Untuk lebih

Co ntoh 2.3 D iberikan sebuahfungsi berikut. 1 co s(x) x2

f (x) =

(2 .5 )

untuk nilai x m e n de ati 0 . k Penyelesaian: Fungsi f (x) p ad a persam aandi atas akan kehilangan angka penting apabila nilai x m enjadikecil. Perbandingan nilai eksak dan hasil perhitungankom puter (karenake te r-batasan digit) diperlihat an pada Tabel (2 .5 ). ada k P m en ge aluasi fungsi v Tabel 2.2 N ilai-nilai persam aan (2.5)m engguna enamangka kan saat kita

x 0 .1 0 .0 1 0 .0 0 1 0 .0 0 0 1 0 .0 0 0 0 1

f (x) komputasi

f (x) sejati

0 ,4 9 9 5 8 3 4 8 0 0 ,4 9 9 5 8 3 4 7 2 2 0 0 ,4 9 9 9 9 5 0 0 0 0 ,4 9 9 9 9 5 8 3 3 3 0 0 ,5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ,4 9 9 9 9 9 9 5 8 3 0 0 ,5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,4 9 9 9 9 9 9 9 9 6 0 0 ,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

f (0, 01), m akak kom puterakan menghitung, c o s( , 0 1 )= 0, 9 9 9 9 5 0 0 0 0 5 0

26 dengansembilan angka penting akurasi nya, selanjutnya


1 c o s( , 0 1 ) = 1, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00, 9 9 9 9 5 0 0 0 0 5 0 = = 0, 0 0 0 0 4 9 9 9 9 5 Hasil operasi pengurangankedua bilangan hanya m enghasil kan lim a (5) angka penting, dan kehilanganem pat (4) angka penting. Pembagian den ga nx2 = 0, 0 0 0 1diberikan pada tabel 2.2). Untuk m enghindarikehilangan angka penting, dapat dilaku kan dengan m engubah (x) ke dalam betuk rumusan yang lain, dengantujuan m enghindari f pengurangan dua buah bilanganyang ham pirsam anilainya. Salah satu alternatif yang dapat diguna kan adalah deret Taylor. Jika kita ambil pen de tan de re tTaylor sam p aiorde ke-6 untuk co s( ), ka x co s(x) = 1 da n6 x2 x4 + x + R6 (x) 2! 4! 6!

R6 (x) =

x8 co s( ) 8!

d engan adalahbilangantak diketahui terletakdiantara 0 dan x. O leh karenaitu, f (x) = x 2 x 4 x6 + R6 (x) 1 1 1 + x2 2! 4! 6! 2 4 6 1 x x = x co s ) ( + 2! 4! 6! 8!

Selanjut akan kita evaluasifungsif (x), nya untuk x = 0 , maka f (0 ) = untuk |x| 0, 1 , maka f (x) d engan keakurasian 106 x6 co s( ) = 2, 5 1 011 8! 8! Ini adalahcara yang cukup baik untuk m enge valuasifungsipada persam aan (2.5). 1 x2 x 4 + 2! 4! 6! 1 2

2.2 Sumber Galat Co ntoh 2.4 Tentukan rumusan yang tepatagar tidak kehilangan ang penting untuk fungsi ka berikut untuk tiga angka penting. x2 + 8 0x + 1 = 0 Penyelesaian: D enganm engguna rumus kuadratikdiperoleh, kan b2 4ac b x 1 , x2 = 2a 0, 8 0 0 1 02 0, 6 4 0 104 0, 4 0 0 1 01 = 0, 2 0 0 1 01 0, 8 0 0 1 02 0, 6 4 0 104 0, 0 0 1 04 = 0, 2 0 0 1 01 0, 8 0 0 1 02 102 0, 6 4 0 = 0, 2 0 0 1 01 2 0, 8 0 0 1 0 102 0, 8 0 0 = 0, 2 0 0 1 01

27

Dari perhitungan atas diperoleh, di 0, 8 0 0 102 102 0, 8 0 0 0, 8 0 0 1 02 = x1 = 0, 2 0 0 1 01 da n x2 = 0, 8 0 0 102 + 102 0, 800 0, 2 0 0 1 01 = 0, 0 0 0 1 09

Dari hasil yang diperoleh,terlihat bahwa x2 sang atbe sar,se hing ga kita perlu m encariformulasi untuk m ene ntukan akar-akar persam aan kuadratik tersebut. untuk x1 , kita guna kan rumusan x1 = b b2 4ac , 2a

dan untuk x2 kita guna kan rumusan

c x2 = ax 1 D enganm engguna bentuk ungkapan yang terakhirdiperoleh, kan x2 = c ax1

28 1 0, 8 0 0 1 02 = 0, 1 2 5 1 01 =


Untuk m embukti an bahwa x1 dan x2 yang diperoleh adalah akar-akar k pe rsam aan kuadratik,akan kita uji, (x x1 )(x x2 ) = (x (0, 8 0 0 1 02 ))(x (0, 1 2 5 1 01 )) = x2 + 8 0x + 1 Dari contoh soal di perolehb ahwa nilai b = 80 dan 4ac = 4 se h in g g a lisih se b2 d engan b2 4ac m emberikan nilai digit signi kan (tidak ada kehilangan digit).

Co ntoh 2.5 D iberikan suatu fungsi berikut, dengan operasi sa m a ! Penyelesaian: Untuk m enghindari terjadi nya pengurangan antara dua bilangan yang nilai ya di n ham- pir sam aadalah dengan m engali penyebut dan pembilang dengan(x + ) kan2/3

f (x) = (x + )2/3 x2/3

0, 0 0 1 . Ubah sedem ikianrupa fungsi f (x) se hin ggatidak terjadi

pengurang dengan dua angka yang ham pir

+ x2/3 , sehingga f (x) = (x + )2/3 x2/3 (x + )2/3

(x + )2/3 + x2/3 (x + )2/3 + x2/3

x

2/3

=

(x + )2/3

2

(x2/3 )2

(x + )2/3 + x2/3

2.3

Su mber Galat Numerika. G alat Pem otongan (Truncation Error)

Galat pem o tongan biasa nya m en gacu kepadapenggunaan ham piransebagai pengga nti

2.3 Sumber Galat Numerik

29

formula eksak. Maksud nya, ungkapan m atem ati yang lebih kom pleks diga ka nti de n - gan formula yang lebih sederhana.Untuk penyederhanaanperm asalahan biasa nya pe r- hatian hanya ditujuk kan pada beberapaa suku dari deret taylor, sedang kan suku lainnya diabai an. Pengabaianini m enyebab k kan terjadi nya galat, yang biasa disebut galat pe- m otongan.Tipe galat pem otonganini be rg a ntun g ke pada m et de kom p utasi yang digu- nakan untuk pengham piran.M isal an, o k diberikan fungsi,f (x) = cos(x) yang dihampiri denganderet Taylor untuk x0 = 0 sa m p a io rd e ke-6 , co s (x) = 1 x 2 x 4 x6 x10 x8 + + + 2! 4! 6! 8! 10! nilai ham piran galat pem otongan6 x2 x4 + x + R6 (x) 2! 4! 6!

= 1

Jum lah suku-suku pada galat pem otongantidak dapat dihitung secara pasti, tetapi dapat diham piri dengan rumus suku sisa pada persam aan(1.1), sehingga galat pem o -to ng anorde ke-6 untu k co s( ) adalah x R6 (x) = Nilai R6 x3 cos (), 0 < < x 7!

yang tepat tidak pernah kita peroleh, karen a kita tidak

m en ge taui nilai yang sebenar ya. Untuk itu, yang dapat dilaku h n kan adalah m ene ntukan nilai m aksi um dari galat pem otongan. m

Co ntoh 2.6 Guna kan deret Taylor orde 4 disekitarx0 = 1 untuk m engham piri ln(0, 9) dan berikan taksiranuntuk galat pem otongan aksi m mum yang dibuat. Penyelesaian: Jika f (x) = ln(x), m aka turunan nya adalah,

f (x) = ln(x) f (1 ) = 0, f (x) = 1/x f (1 ) = 1,

30 . f (x) = 6/x f (5) (x) = 2 4/x5(4) 4


f (4) (1 ) = 6, f (5) () = 2 4/ 5

Deret Taylor untuk fungsif (x) = ln(x) ord e 4, ln(x) = (x 1 ) (x 1 )2 (x 1 )3 (x 1 )4 + + R4 (x) 3 2 4 dan untuk ln(0, 9), deret Taylornya adalah, ln(0, 9) = 0, 1 (0, 1 )3 (0, 1 )2 + 2 3 = 0, 1 0 5 3 5 8 + R4 (x) 3 (0, 1 )4 4 + R4 (x)

R dan galat pem otongan 4 (x) diberikan oleh, 2 4 (0, 1 )5 |R4 (0, 9 ) < m ax 5 5! dan nilai max|2 4/ 5 | di d alam se lang0, 9 < < 1 terletakpada = 0, 9 , maka

|R4 (0, 9 ) < m ax b. Galat Pembulatan Perhitungan di

2 4 (0, 1 )5 0, 95 5! sebagaian besar

dalam perm asalahan num erik ham pir

meng gu naan bilangan ril. k

Oleh karena keterbatasan kom puter di dalam

m enyediakan bilangan ril, sehingga tid ak semua bilan gan ril dapat disajikan. Akibat ya, muncul galat yang diaki- batkan oleh pem otongan n digit bilangan.G alat yang dem ikian disebutgalatpembulatan. Sebagaicontoh, hasil bagi 2/3 m enghasil kan nilai 0, 6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 .. Di . dalam m esinkom puter, bilanganreal seperti ini tida k dapat disajikan seca ratep at. Komputer hanya m am pu m enyajikan sejum lah digit (bit). Bilangan real yang panjang ya melebihi jum lah n digit yang dapat direpresetasi an oleh kom puterakan n k dibulat an ke bilangan terdekat. k M isal nya, kom puter anya dapatm erepresen atasi bilan ga nreal0, 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 h kan . . . ke d a la m 6 digit berarti, m aka represe ntasi bilangan1/6 = 0, 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6. di .. kom - puter 6-digitadalah0666667. ,

2.3 Sumber Galat Numerik

31

c. Galat Total Galat akhir dari suatu perhitungan secara num erik m erupa kan jum lah galat pem oton-gan dan galat pembulatan.Misal an d eret Taylor m engham piri s(x) di k co x0 = 0 sampai o rd e 4 , co s (x) = 1 x 2 x 4 x6 x 8 x10 + + + 2! 4! 6! 8! 10! x2 x 4 = 1 + +R4 (x) 2! 4!

Untuk co s( , 2 ) diperole h , 0 0 co s( , 2 ) 1 (1)

0, 22 0, 24 + 2 24

= 0, 9 8 0 0 6 6 6 6 6 6 6.6 6 .. (2)

0, 9 8 0 0 6 6 6(8 digit penting) 7

Galat pada (1) adalahgalat pem otongan karenaco s( 2) d iham pirisam paiorde 4 , 0, dan galatpada (2) adalahgalatpembulatan(hasilham piran dibulat an sam pai8 digit k penting).

Co ntoh 2.7 Evaluasi fungsi

f (x) = x3 6x2 + 3x 0, 1 4 9

(2 .6 )

pada x = 4, 71 denganm engguna tiga digit aritmetik kan Penyelesaian: Dari perhitungan diperolehnilai-nilaif (4, 71) yang ditunjukan pada Tabel Dari k Tabel Tabel 2.3 N ilai-nilai persam aan (2.6)m engguna tiga digit kan aritmetik

Nilai

x

x2

x3

6x2

3x

Ecxact 1 2 2 ,1 8 4 1 1 0 4 ,4 8 7 tiga digit(chooping)4 ,7,1tiga digit(rounding)1 1 11 3 31,1 0 4 6 1 4 ,1 3 2 2 ,1 104 132 1 4 5 4 ,731 4 ,7 2 2 ,2 10 13 1 4 ,1

32 di atas dapat diperolehnilai-nilai,nilai s e ja ti:


f (4, 7 1 )= 1 0 4 4 8 7 1 1 1 1 3 3 1 0 4 6+ 1 4, 1 3 0, 1 4 9= 1 4, 6 3 6 4 8 9 , , Tiga digit (galat pem otongan/ chooping error): f (4, 7 1 )= 1 0 4 1 3 2+ 1 4, 1 0, 1 4 9= 1 4, 0 Tiga digit (galatpembulatan/rounding error): f (4, 7 1 )= 1 0 5 1 3 3+ 1 4, 1 0, 1 4 9= 1 4, 0 Jadi galat relatif tiga digit dari kedua sumber galat adalah + 1 4, 6 3 6 4 8 1 4, 0 0, 0 4 1 4, 6 3 6 4 8 9 Galat relatif yang dihasil kan dari evaluasifungsisecaralangsung bernilai cukup besar. Untuk itu, dapatdiambil alternatifcara untuk m em perkecil galatrelatiftersebut. Salah satu nya ad alahm enggunkan perkalian bersa ra ngsehingga a , persam aan (2.6 ) dibentuk menjadi, f (x) = x6 3 6x2 + 3x 0, 1 4 9= ((x 6 )x + 3)x 0, 149 D enganm enge valuasifungsidenganperkalian bersarang, galat relatif diberikan oleh , tiga digit (chopping): tiga digit (rounding) : + 1 4, 6 3 6 4 8 9 1 4, 5 0, 0 0 9 3 1 4, 6 3 6 4 8 9 + 1 4, 6 3 6 4 8 9 1 4, 6 0, 0 0 2 5 1 4, 6 3 6 4 8 9

Perkalian bersarangdapat m ereduksi galat relatif untuk pende katan chopping, sedan g an untuk pende k katan roundinglebih baik lagi dan dapatm ereduksi galat relatif sa m p a i9 0

2.4

Orde HampiranDi dalam m et ode num erik, fungsi f (x) yang rumit sering diga ntikan

de ng anfungsi ham piran yang lebih sederhana.M isal an f (h) diham piri dengan k fungsi p(h). Jika |f (h)p(h)| M |hn | d enganM adalahkonsta nta real dan M > 0 ,

Bab 2 Analisis Galat 32 m aka dikatakan p(h) m engham piri (h) dengan orde pengham piran n ) dan f O(h ditulis, f (h) = p(h) + O(hn )

2.4 Orde Hampiran dan O(hn ) dapat diarti an k

33 sebagai orde galat ham piran fungsi. Karen a h

umumnya cukup kecil, sehinggasem akintinggi nilai n m aka galat akan sem akin kecil, yang berarti sem akinteliti pengham piran fungsi nya. M et ode yang berorde O(h2 ) lebih teliti hasil ya daripada m et n ode yang berorde O(h). Ketelitian juga berga ntung kepada nilai h. Misalnya, Pada m e t de ord e O(h3 ), jika ukuran h o baru dijadi an setengahkali h semula, m aka galat baru m enjadiseperdelapan k kali galat semula. Andai an suatu fungsidiham pirioleh deretTaylor, k xi+1 = xi + h, i = 0, 1, 2, . . . adalah titi-titik sele b ar h, m aka ham piran f (xi+1 ) disekitar xi adalah f (xi+1 ) = f (xi ) (xi+1 xi )f (x ) + (xi+1 xi )2 f (x ) + i i + 1! 2! (xi+1 xi )n f (n) (x ) + R (x i n i+1 + n! ) h h (n) n h2 ) + f (xi ) + f (x2 ) + + = f (xi (xi ) + Rn (xi+1 1! 2! ) f n! d engan Rn (xi+1 ) = hn+1 (n + 1)! f(n+1)

(2 .7 )

(t)

= O(hn+1 ), xi < t < xn+1 Jadi, kita dapat m enuliskan kembali persam aan (2.7)dalam bentuk,n

f (xi+1 ) =k=0

h f (k) (x ) + O(hn+1 ) i k!

k

(2 .8 )

S ebag ai contoh.h h h eh = 1 + h + 2! + 3! + 4! + O(h5 ) 2 3 4 5 x ln(x + 1) = x 2 + 3x 4 x + x + O(h6 ) 52 3 4

sin(h) = h Co ntoh 2.8

h3 3!

h 7 6 + 5! + O(h ), (bukan O(h ), kare nasuku orde ke 6 adalah0 )

5

Pertimbang kan eksp ansi eretTaylor berikut. d eh = 1 + h + h2 + h3 + O(h4 )

2!

3!

34 da n co s(h) = 1


h2 2! +

h

4

4!

+ O(h )

6

Hitunglahorde ham pirandari jum lahdan perkalian kedua nya. Penyelesaian: Untuk penjum lahan, eh + co s(h) = h2 h3 h h2 1+ h + + + O(h4 ) + 1 + + O(h6 ) 2! 3! 2! 4!4 h3 + O(h4 ) + + O(h6 ) 3! h 4

= 2+h+

4! Oleh karena O(h4 ) + m aka2 3 h h eh + co s(h) = 1 + h + + 2! 3!

h4 4 4 6 4 = O(h ) dan O(h ) + O(h ) = O(h ) 4!

dan orde ham piran adalahO(h4 ). S e dan gan perkaliannya, nya k (e )(cos(h)) = =h

1+ h + 1+ h + + 1

h2 h3 + + O(h4 ) 2! 3! 1

1

h2 h 6 + + O(h ) 2! 4!

h 2 h3 + 2! 3!

h2 h3 h 2 h4 O(h6 ) + + + 1+ h + + 2! 4! 2! 3!

4 h2 +h O(h4 ) + O(h 4 )O(h 6) 2! 4! 6 7 h3 5h4 h5 + h + h + O(h4 ) + O(h6 ) + O(h4 )O(h6 ) 3 24 2 4 4 8 144

= 1+h Oleh karena

O(h4 )O(h6 ) = O(h10 ) da n m aka eh co s = 1 + h (h) h3 + O(h4 ) 3

5h4 24

h

5

24

+

h

6

48

+

h

7

1 44

+ O(h ) + O(h ) + O(h )O(h ) = O(h )

4

6

4

6

4

4

2.5 Perambatan Galat

35

2.5

Pera mbatan GalatBilangantitik kambangadalahbilanganyang disajikan dalam bentuk

sejum lah digit berarti yang sudahtetap,yaitu d1 d2 d3 d4 d5 . . . dn B p dengan: i d1 d2 d3 d4 d5 . . . dn adalahdigit atau bit m antisa yang nila nya 0 sam p aiB 1, n B p adalah panjang digit (bit) m antisa adalah basis sistem bilangan yang adalah pang kat (berupa bilangan dipakai bulat) M isal ya, bilagan real 2 4 5 ,7 6 5 4 n dinyatakan dalam bentuk 0, 2 4 5 7 6 5 4 1 03 Galat yang dikandungdalam bilangantitik kambang m era mbat pada hasil ko m putasi. M isal an terdapat dua bilangan a dan b den ga n nilai ham piran masin gk m asin g a d a n b. Jika galt dari a dan b m asing-m asin ga dan ditulis, a = a +a

b

, m aka d apa t

dan b = b + b

Jika diberikan operasipenjum lahpada dua bilangan tersebut, a + b = (a + b)a)

+ (b +a

= (a + b) + (b)

+

Jika operasi aritm eti ka

dilaku kan

secara terus-m enerusdalam perhitungan

kom putasi, aka galat akan m era m mbat dan terjadi penum pu kan galat yang besar kemungkinanm engakibat penyim pangan kan hasil terhadapnilai sebernar ya . n

36


Latihan2.2 1. Kadangkadang keh ilang ansig ni kasi galat dapat dihindari d en gan m enyusun kemba li suku-suku dari su atufu ng siatau m en gg una identitas dari kan trigonometri atau aljabar. Tentukan rumusan yang sesuaiuntuk fungsi-fungsi berikut untuk m enghindari kehilanganangka penting. a . ln(x + 1 ) ln(x) untuk x yang cukup be sa r b. x2 + 1 x 2untuk x yang cukup be sa r c. cos2 (x) sin (x) untuk x 4 d.1+cos( x) 2

untuk x p,

2 . Jika diberikan p = p + untuk kasus berikut ini.

q = q+

q,

r = r +

r,

bag aim an a n dapatanda pe

a. Jum lah tiga bilanganp + q + r b. Perkalian tiga bilanganpqr 3. D iberikan ekspan si eretTaylor, d 1 = 1 + h h2 + h3 + O(h4 ) 1h dan co s(h) = 1 4 h2 + h + O(h6 ) 2 ! 4!

Hitunglahorde ham piranuntuk penjum lahan dan perkalian 4. D iberikan ekspan si eretTaylor, d e =1+h+ dan sin(h) = h h + O(h 5 ) 3! Hitunglahorde ham piranuntuk penjum lahan dan perkalian3 h

h2 2!

+

3 h

3!

+

h2 + O(h5 ) 2!

2.5 Perambatan Galat 5 . A su m si kan b ahwa a = 0 dan b2 4ac > 0 dan pe rti bagkan pe rsam aan m kuadratik karnya dihitu ng den ga nm e ng gunkan a ax2 + bx + c = 0 yan g m a naakar-a + b2 4ac b x1 = 2a dan b b2 4ac 2a x2 = Tunjukkan bahwa akar-a persam aan kar tersebut juga dap atdihitu ngd engan m en gguna kan rumu s, 2c x1 = b + b2 4ac dan x2 = 2c b b2 4ac rumu s,

37

6. D enganm eng guna n rumu s p ad a soal di atas, hitunglahnilai x1 dan x2 ka untuk persam aan kuadratikberikut. a . x2 1.0 0 0 0 1 + 1 = 0 .0 x b. x2 1 0.0 0 0 0 1 + 1 = 0 .0 x c . x2 1 0 0 0 0 0 1 + 1 = 0 .0 .0 x d. x2 1 0 0 00 0 0 0 1 + 1 = 0 . .0 x 7. D enganm engguna tiga digit aritm eti kan ka, hitunglah a . x2 + 1 0 0 4 = 0 x b. x2 6 0x + 2 = 0 c. d.1 2 3x 1 2 3x 123x 4 123x 4

+

+1 6 1 6

e . 1, 0 0 2 2 1 1, 0 1x + 0, 0 1 2 6 5 x f. 1, 0 0 2 2 + 1 1, 0 1x + 0, 0 1 2 6 5 x 8. Turunkan rumusan berikut ini, Ax2 + 2Bx + C = 0 dan temukan rumusan yang dapatdilaku kan agarakar-akar fungsitersebut m em -punyai galat yang cukup kecil

38 9. evalua sifun gsi-fu ng si berikut jika 1 x a . x + 1 1 b. co s(x + ) c o s (x) c . (x + 1)1/3 x1/3 1 1 d. x x+1 e . tan(x + ) tan(x) 1 x f. x + 1 2 + 1 x1 m e nde ati 0 k


BAB 3 PENYELESAIAN SISTEM LINEAR

Sistem dari persam aan linear sering kita jum pai dibeberapa bidang terapan, misalnya pada persoalan m atem ati statistik, sika, biologi, rekayasa, sains ka, sosial dan bisnis. Pada bab ini dibahas bagaim anam enyele sai kan persoalanpersoalansistempersam aan linear serentak yang berasaldari dunia nyata.

3.1

konsep Dasar Sistem Persamaan

Linear

Salah satu topik yang dipelajari pada aljabarlinear elem e nter adalah m enye le -saikan dua buah persam aan linear berikut, ax + by = c dx + ey = f Koesienkoesien a, b, . . . f (3 .1 )

adalah konsta nta yang diberikan, tugas kita adalah Persoalan muncul ketika

m enen-tukan nilai x dan y. D enganm engguna m et kan ode substitusiatau m et ode elem inasi,m aka persam a an(4.2 ) dapa t disele sai kan. m et ode elem eninasi akan m engalamkesulitan. i Jika terdapatn buah persam aan linear, denganx1 , x2 , . . . xn , d a p at dibentuk seb ua hsistempe rsam aa n linear sebag ai berikut. a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + + a2n xn . . . . . = b1 = b2 (3 .2 ) an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + ann xn = bn persam aanlinear yang dilibat an sangat banyak, m aka m et k ode substitusiatau

40

Bab 3 Penyelesaian Sistem Linear

Untuk m em permudah penye le saian pe rsam aanlinear yang m elibat kan n buah pe rsam aan, aka d en ganm en gg una m atriks, m aka pe rsam aan .3 ) da pat m kan (3 dibentuk menjadi, Ax = b di m ana

(3 .3 ) ,

A =

a11 a21 . an1

a12 a1n a22 a2n . . . . an2 ann

,

x1 x2 x = . . xn

b1 b 2 b = . . bn

Andai an bahwa n = 1 , m aka pe rsa m a an k (??) menjadi, a11 x1 = b1 (3 .4 )

Jika a11 = 0, m aka persam aan(3.4) m em pu nyai solusi unik, yaitu x1 = b1 /a11 , tetapi jika a11 = 0 , m aka pe rsa m a a n .4 )tidak m em pu (3 nyai penyelesaianuntuk b1 = 0 , dan untuk kasus b1 = 0 m aka x1 adalahpenyelesaianuntuk setiapnilai x1 . Dari persam aan(3.3), diketahui bahwa m atriks x m erup n penyelesaian ka dari siste m pe rsam aanline ar (3 .3 ). Jika m atriks A adalah m atriks non-singular (m em pu yai invers), m aka penyelesaian persam aan (3.3) dapat ditulis dalam n bentuk, x = A1 b Untuk kasus n = 1 , m aka A1

(3 .5 )

= 1/a11 sehingga penyelesaia ndari (3.3)adalah 1 x1 = b1 a11

Co ntoh 3.1 Selesai sistempersam aan kan linear berikut. 2x1 + 3x2 = 8 5x1 + 4x2 = 1 2 Penyelesaian: Sistempersam aan linear di atas dapat diubah ke dalam bentuk matriks, 2 3 5 4 x1 x2 = 8 13

3.1 Konsep Dasar Sistem Persamaan Linear dim ana A = 2 3 5 4 , x= x1 x2 , b= 8 13

41

Oleh karena m atriks koesienm erupa an m ariks non-singular k (det( ) = 0 A ), m aka sistempersam aan linear di atas m em pu nyai penyelesaianunik, yaitu x = A1 b dan dipe ro leh x1 = 1, x2 = 2 Co ntoh 3.2 sele sai sistempersa m aan ear berikut. kan lin 2x1 + 3x2 = 4 4x1 + 6x2 = 7 Sistempersam aan linear di atas dapat diubah ke dalam bentuk matriks, 2 3 4 6 dim ana A = 2 3 4 6 , x= x1 x2 , b= 4 7 x1 x2 = 4 7 atau x= 1 2

Det(A) = 0 , m aka m atriksA adalahm atrikssingular,dan oleh karena b= 4 7

m aka sistempersam aan linear di atas tidak m em pu nyai penyelesaianuntuk x1 dan x2 Seandai jika, kan 4 8 m aka dua persam aan pada sistempersam aan linear adalahsam a,karena b= 2x1 + 3x2 = 4 dan (2 )2x1 + (2 )3x2 = (2 )4

42


sehingga penyelesaian diperoleh hanya m elibat kan satu persam aan yaitu, 2x1 + 3x2 = 4 d engan penyelesaian

x1 = 4 3c , 2

x2 = c

untuk semua bilanganreal c, sehingga penyelesaian dari sistempersam aan linear tidak berhingga.

3.2

Elemninasi

Gauss

M etode yang paling sering diguna kan untuk m enyelesaian sistem nonsingulardari suatu sistem persam aanlinear adalah elem inasiG auss. M et ode ini cukup sede r- hana dan efektif. Ide pokok pada m et ode ini adalah bagaim ana m engelem inasi variabe l- variabel x1 , x2 , . . . , xn untuk m em anipulasi persam aan (3.3) sehingga diperoleh bentuk yang sederhana, selanjut nya akan mudah untuk diselesai kan. B eberapa operasi m atematika yang biasa diguna kan pada m et ode tersebut adalah perkalian dengan konstanta bukan nol, pengurangan suatu persam aan dengan persam aan lain dan mengubah nya, baris. Pandangkembali sistempersam aan linear (??) dalam bentuk,(1) (1) a11 x1 + a(1) x2 + a(1) x3 + + a1n xn = b(1) 12 13 1 (1) a21 x1 + a(1) x2 + a(1) x3 + + a2n xn = b(1) 22 23 2 . . . . . (1) (1) (1) (1) (1) an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + + a xn = bn nn (1)

Misalkan a(1)

11

= 0 , m aka kita dapat m eng elem in asi1 dari se tiap persam aan x de n (1) (1)

gan m engali a /a terhadappersam aan kan pertam a. Hasil dari e lem e ninasi dilam11 i1 ban g kan de n gansuperskrip 2 . Pada se tiappe rsam aan bentuk, mi1 = da n a i1 a11(1) (1)

a

(2) ij

(1)

(1)

= aij mij a1j ,

j = 1, 2, . . . , n

3.2 Eleminasi Gauss serta bi(2) (1) = bi mi1 b(1) 1 (2)

43

Perkalian persam aan pertam a ditentukan untuk m embuat a i1 m atrikshasil elem inasi 1 , yaitu x(1) (1) a11 x1 + a(1) x2 + a(1) x3 + + a1n xn = b(1) 12 13 1

= 0

(elem ninasi 1 dari persam aan x ke-i, untuk i = 2, 3, . . . , n. Selanjut nya susunkembali

a22 x2 + a(2) x3 + + a(2) xn = b(2) 23 2n 2 a32 x2 + a(2) x3 + + a(2) xn = b(2) 33 3n 3 . . . .(2) (2) (2) (2) an2 x2 + an3 x3 + + a xn = bn nn (2)

(2)

a

(2) 22

Selanjut nya elem inasi 2 dari pe rsam aan x ke-i untuk i = 3, 4, . . . , n. Misalkan = 0 , m aka untu k i = 3, 4, . . . , n kita ambil, mi2 = ai2 , a(2) i2

dan kemudian(3) (2) (2) aij = aij mi2 a2j , j = 2, 3, . . . , n

da n

b

(3)

(2)

(2)

i

= bi mi2 b2

m emberikan hasil,(1) a(1) x1 + a(1) x2 + a(1) x3 + + a xn = b(1) 11 12 13 1n 1

a22 x2 + a(2) x3 + + a(2) xn = b(2) 23 2n 2 a33 x3 + + a(2) xn = b(2) 3n 3 . . .(2) (2) (2) an3 x3 + + ann xn = bn (2)

(2)

kan Eleminasi x3 dari persam aani = 4, 5, . . . , n dengan m em isal a(3) (1) (2) (3) (n)

33

= 0.

Elem en -ele m en , a , a , . . . , a disebutelem enpivot. Jika elem inasi (a dilakukan nn 11 22 33

44


terhadappe rsam aanpersam aan linear sam pa iele m en-elelm en pivot hila ng ,m aka akan m enghasil bentuk sistempersam aan kan linear(1) (1) (1) (1) (1) a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + + a1n xn = b1 (2) (2) a22 x2 + a(2) x3 + + a2n xn = b2 23 (3) a33 x3 + + a(3) xn = b3 3n . . (n) (n) ann xn = bn (3) (2)

(3 .6 )

Prosesreduksiterhadappersam aan (3.3)m enjadi(3.6)disebutelem inasi, dan koesien m atriks pada persam aan (3.6)disebutm atrikssegitigaatas,yang ditulis U = (uij ) yang m anauij = 0 , jika i > j atau ditulis U =

a11 0 0 . . 0

(1)

(1) + a12

(1) + a13

+ a +

(2) 22

+ a 23 . 0

(2)

+ + a (1) 1(n1) + + a 2(n1)(3) (2)

(1) + a1n (2)

+ a 2n (3)

0 . . 0

+ a33

(3)

+ + a 3(n1) + a 3n . . (3) 0 a 3n

Penyelesaianuntuk x1 , x2 , . . . , xn dilaku kan denganm ensubstitusi kembali. kan Jika ann = 0, m aka penye lesaianuntu k xn adalah bn xnn = (n) ann sela njut ya nilai xn diguna n kan untuk m enyelesaianxn1 ,(n1) (n1) a(n1)( n1) xn1 + a(n1) x(n1)n = bn1 (n1)n (n1) (n) (n)

ata u(n1) (n1) (n1) (n1) a(n1)( n1) xn1 + a(n1)n x(n1)n = bn1

ata u(n1) a(n1)( n1) xn1

+ a(n1) bn (n1)n (n) ann

(n)

= bn1

(n1)

x(n1)( n1) =

1 a(n1)( n1)

bn1 a(n1) (n1)n

b(n) n a(n) nn

3.2 Eleminasi Gauss

45

Jika lang kah tersebutsecaram enerus dilaku kan, m aka dapat ditulis secaraumum, xk = a Co ntoh 3.3 sele sai sistempersa m aan ear berikut. kan lin x1 + x 2 + x 3 = 1 x1 + 2x2 + 4x3 = 1 1 x1 + 3x2 + 9x3 = (3 .8 )(k) kk

1

a k(k)

n j=k+1

(k) a xj kj

(3 .7 )

Elem enasi 1 pada persam aan x kedua dan ketiga denganm engurang persam aan kan pe r- tam a terhadapkedua persam aan, diperoleh, x1 + x2 + x3 = 1 x2 + 3x3 = 2 2x2 + 8x3 = 0 (3 .9 )

Eleminasi x2 p ada persam aanke tig a de n ganm e n guran 2 kali pe rsam aan kan kedua terhadappersam aan ketiga,diperoleh x1 + x 2 + x3 = 1 x2 + 3x3 = 2 2x3 = 4 Denganm enggunaan algoritm asubstitusi-ulang k diperoleh, x3 = x2 4 =2 2 = 3(2) 2 = 8 (3 .1 0 )

x1 = 6 + 1 = 7

Co ntoh 3.4 kan S elesai sistemberikut 1, 1 3 3 1 + 5, 2 8 1 2 = 6, 4 1 4 x x 2 4, 1 4x1 1, 2 1 0 2 = 2 2, 9 3 x Kalikan m21 = 2 4, 1 4/1, 1 3 3= 2 1, 31 terhadapbaris pertam adan kurang kan terhadap baris kedua, dan d enganm engguna em p at digit perhitungandiperoleh kan koesien

(3 .1 1 )

46 baru, a22 a23(2)


(2)

= = = =

1, 2 1 0 2 1, 3 1 (5 2 8 1 )= 1, 2 1 0 1 1 2 5 , , 1 1 3 7 , 2 2, 9 3 2 1, 3 1 (6 4 1 4 )= 2 2, 9 3 1 3 6 7 , , 1 1 3 8 ,

dan diperoleh sistemsegitigaatas, 1, 1 3 3 1 + 5, 2 8 1 2 = x x 6, 4 1 4 1 1 3 7x2 = 1 1 3 8 , , D enganm engguna algoritm asubstitusi-ulang, kan diperoleh x2 = x1 113 8 , = 1, 0 0 1 1 1 3 7 , 6, 4 1 4 5, 2 8 6 , = 6, 4 1 4 5, 2 8 1 (1 0 0 1 ) 1, 1 3 3 = 1, 1 3 3 = 0, 9 9 5 6 (3 .1 2 )

Penyele saiandari sistempersam aan linear di atas adalahx1 = 1, 0 0 0 d an x2 = 1, 000.Untuk dapat m ene ntukan solusiyang sebenar ya, m aka dilaku n kan dengan m engubahbaris,sehingga sistemyang baru adalahsebagai berikut. 2 4, 1 4x1 1, 2 1 0 2 = 2 2, 9 3 x 1, 1 3 3 1 + 5, 2 8 1 2 = 6, 4 1 4 x x Kalikan m21 = 1, 1 3 3 4, 1 4 = 0, 0 4 6 9 3 rh a d a pb a ris pe rta m ad a n h a sil te nya /2 kurangkan terhadapbaris kedua,dan diperolehkoesienbaru, a22(2)

(3 .1 3 )

= 5, 2 8 1 0, 0 4 6 9 31, 2 1 0 )= 5, 2 8 1+ 0, 0 5 6 7 9 ( = 5, 3 3 8 = 6, 4 1 4 0, 0 4 6 9 3 (2, 2 3 )= 6, 4 1 4 1, 0 7 6 9 = 5, 3 3 8

a23

(2)

sehingga iperoleh sistemseg itig aatas,yaitu d 2 4, 1 4x1 1, 2 1 0 2 = 2 2, 9 3 x 5, 3 3 8 2 = 5, 3 3 8 x (3 .1 4 )

3.2 Eleminasi Gauss D enganm engguna algoritm asubstitusi-ulang kan diperoleh, x2 = 5, 3 3 8 3 3 8 /5, = 1, 0 0 0 2 2, 9 3 + 1, 2 1 0 (1 0 0 0 ) , x1 = 2 4, 1 4 = 1, 0 0 0

47

Latihan3.1 Tunjuk kan bahwa Ax = b adalah ekivalen terhadapbentuk sistemsegitigaatas atas Ux = y dan tentukan penye le saian . 2x1 + 4x2 6x3 = 4 1 . x1 + 5x2 + 3x3 = 1 0 5 x1 + 3x2 + 2x3 = x1 + x2 6x3 = 7 2 . x1 + 2x2 + 9x3 = 2 x1 2x2 + 3x3 = 1 0 2x1 2x2 + 5x3 = 6 3 . 2x1 + 3x2 + x3 = 1 3 x1 + 4x2 4x3 = 3 5x1 + 2x2 x3 = 1 4. 5 x1 + 0x2 + 3x3 = + x2 + 6x3 = 1 7 3x1 2x1 + 4x2 6x3 = 4 3x2 + 6x3 = 1 2 3x3 = 3 x1 + x2 6x3 = 7 3x2 + 1 5x3 = 9 1 2x3 = 1 2 2x1 2x2 + 5x3 = 6 5x2 4x3 = 7 0, 9x3 = 1, 8 5x1 + 2x2 x3 = 1 0, 4x2 + 2, 8x3 = 4, 8 1 0x3 = 1 0

5. Tentukan parabola y = A + Bx Cx2 yang m elalui(1, 4 ), (2, 7 ) dan (3, 1 4 ) 6. Tentukan parabola y = A + Bx + Cx2 yang m elalui(1, 6 ), (2, 5) d an (3, 2 ) 7. Tentukan parabola y = A + Bx + Cx2 yang m elalui(1, 2 ), (2, 2) d an (4, 8 ). 8. Tentukan penyelesaiandari sistemlinear berikut. x1 + x2 + 0x3 + 4x4 2x1 x2 + 5x3 + 0x4 5x1 + 2x2 + x3 + 2x4 3x1 + 0x2 + 2x3 + 6x4 = 3 = 2 = 5 = 2

48 9. Tentukan solusi dari sistemlinear berikut.


x1 x2 2x1 3x2 x3 2x2 + 2x3 + 3x4 2x3 4x4 10. Tentukan penyelesaian sistemlinear berikut. x1 + 2x1 x2 x2 + 5x3 3x2 4x3 + 2x4 2x3 + 6x4

= 7 = 9 = 10 = 12

= 5 = 9 = 19 = 2

3.3 LU

Faktorisasi

Matriks

Pada sub-babsebelum nya, kita telah m em pelajari bagaim ana enyelesai m kan sistem persa m aanline ar dengan m engguna m et d e elem in asi G a uss yang kan o menghasil seg itig aatas. Pada pembahasankali ini, kita akan m em kan perken al an k ko nsepfaktorisasi dari m atrikskoesienA yang diberikan m enjadiperkalian m atriks segitiga-atas d e n - gan e le m e n-elem ediag onal tidak nol dan m ariks segitiga U n bawah L yang m em pu yai e le m en -e le m e n g o n a l1 . Untu k m e n g ilu strsi n , be rik u t n d ia ka d ibe rika n conto h faktorisasi m a trik sbe ru k u ra n4 4 . Definisi 3.1 Sebuah m atriks non-singularA m em pu nyai faktorisasi triangular jika m atriks tersebu tdapat dibentuk sebagai suatu perkalian m atrik segigita bawah L dan m atrikssegitiga atas U, A = LU atau ditulis dalam bentuk matriks

(3 .1 5 )

a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a32 a33 a34 a31 a41 a42 a43 a44

=

m21 m31

1

0 1 m32 m42

m41

0 0 1 m43

0 0 0 1

u11 0 0 0

u12 u13 u22 u23 0 u33 0 0

u14 u24 u34 u44

(3 .1 6 )

Oleh karena m atriskA adalahnon-singular, enyebab m kan ukk = 0 untuk semua k dan e le m e n -e le m en ri m atrik sL dan U m asing-m asing da adalahmij dan uij .

3.3 Faktorisasi Matriks LU

49

Peny elesaian

Sistem Linear

Misal an m atriks koesienA untuk sistem linear Ax = b yang k m em pu yai faktorisasi n trian gular(3 .1 5 ), an se lan jut sele sai bentuk, d nya kan LUX = B (3 .1 7 )

yang diperoleh denganm endensi Y = U X dan selesai dua buah sistem , kan kan yaitu: penyelesaiann untuk Y, LY = B dan penyelesaianuntuk X, Jika matriksY didenisi kan, UX = Y Y =

(3 .1 8 )

(3 .1 9 )

y1 y2 y3 y4

m aka bentuk sistemLY = B ditulis, y1 m21 y1 m31 y1 m41 y1 + + m y2 y + m32 y2 + 42 2 + m y3 y + 43 3 + y4 = b1 = b2 = bb3 = 4 (3 .2 0 )

S e le sa i n (3 .2 0 )untu k m e n e ka ntuka n y1 , y2 , y3 dan y4 dan guna kan untuk m enyelesai kan sistem, u11 x1 + u12 x2 + u13 x3 + u14 x4 u22 x2 + u23 x3 + u24 x4 u33 x3 + u34 x4 u44 x4 = = = = y1 y2 y3 y4

(3 .2 1 )

Co ntoh 3.5 kan S elesai sistem berikut.

4x1 + 3x2 x3 = 2 2x1 4x2 + 5x3 = 2 0 7 x1 + 2x2 + 6x3 =

50 Penyelesaian:


Dari soal di atas,diperoleh m atrikskoesien nya adalah 4 3 A = 2 4 2 1

1 5 6

Selanjut nya, kita akan m eng kontruksi m atriks koesienA m enjadifaktorisasi matriks segitigaLU . Matriks L akan dikontruksi dari m atriksidentitas yang dileta kan sebelah kiri matriksA, 1 0 0 4 3 A = 0 1 0 2 4 1 2 0 0 1

1 5 6

B aris 1 dig un a an untu k m e n gele m inasi k elem e n-e le m eA p ada kolom 1 di bawah n a11 . Kalikan m21 = 0, 5 d a n m31 = 0, 2 5 pada ba ris 1 yan g kemu dian kurang n ka terhadapb a ris 2 d a n 3 , diperoleh, 0 0 3 1 1 4 A = 0, 5 1 0 2, 5 4, 5 0 0, 2 5 0 1 0 1, 2 5 6, 2 5 Baris 2 dig una an untu k m e ngele m inasi k elem e n-e le m e n pada kolom 2 dibawa h A a22 . Kalikan m32 = 0, 5 pad a baris 2 yan g kemud ian kurangan te rh adapb aris 3 . k Pengalinya A, di m asu kan dalam m atrikssebelah kiri, dan diperolehm atriksfaktorisasi yaitu, 1 4 0 0 3 1 A = 0, 5 1 0 0 2, 5 4, 5 0, 2 5 0, 5 1 0 0 8, 5 Dari hasil faktorisasi atriksA, ini berarti m 1 0 0 L = 0, 5 1 0 0, 2 5 0, 5 1

4 3 1 dan U = 0 2, 5 4, 5 0 0 8, 5

Tentukan y1 , y2 dan y3 de ng anm enyelesai kan bentuk B = 1 2 y1 0 0 1 0 y2 = 2 0 0, 5 7 0, 25 0, 5 1 y3

LY

3.3 Faktorisasi Matriks LU ata u

51

y1 = 2 0, 5y1 + y2 = 2 0 0, 25y1 0, 5y2 + y3 = 7 D enganm engguna substitusimaju, diperolehnilai-nilaiy1 , y2 dan y3 , yaitu: kan y1 = 2 y2 = 2 0 + 0, 5(2) = 1 9 y3 = 7 0, 25 (2) + 0, 5 (1 9 )= 1 7 Selanjut ya tulis sistem, n UX = Y 4 3 1 x1 2 = 0 2, 5 4, 5 x2 19 17 0 8, 5 0 x 3

ata u

3x2 x3 = 2 2, 5x2 + 4, 5x3 = 1 9 8, 5x3 = 1 7 Guna kan substitusimundurdan diperoleh, x3 = x2 = x1 = 17 =2 8, 5 1 (1 9 4, 5 (2 ))= 4 2, 5 1 (2 3(4)) = 3 4

4x1 +

Latihan3.2 1 . S e le sa i n LY = B, UX = Y dan verikasi bahwa B = AX untuk (a) BT ka = (4, 1 0, 5) dan (b) BT = (2 0, 4 9, 3 2 ),di m anaA = LU adalah

2 4 6 1 3 = 1 2 1 5 1 1 3 2 2

0 0 2 4 6 1 0 0 3 6 1 1 0 0 3 3

52

Bab 3 Penyelesaian Sistem Linear 2 . S e le sa i n LY = B, UX = Y dan verikasi bahwa B = AX untuk (a) BT ka = (7, 2, 10 ) d an (b) BT = (2 5, 3 5, 7 ), di m anaA = LU adalah

1 6 0 0 6 1 1 1 1 1 2 9 = 1 1 0 0 3 15 1 2 3 1 1 1 0 0 12 3 . S e le sa i n LY = B, UX = Y dan verikasi bahwa B = AX untuk (a) BT ka = (6, 1 3, 3) dan (b) BT = (3 ; 1, 5 ; 1, 5), di m anaA = LU adalah

2 2 5 1 0 0 2 2 5 2 3 1 = 1 1 0 0 5 4 1 4 4 0, 5 0, 6 1 0 0 0, 9 4. Tentukan faktorisasimatrikssegitigaA = LU ini. 5 2 1 (a) (b) 3 1 0 3 1 6 ini. (a) dari matriks-matriks berikut

1 0 3 6 3 1 5 2 1

5. Tentukan faktorisasimatrikssegitigaA = LU dari matriks-matriks berikut

4 2 1

2 1 5 2 7 2

(b)

1 2 7 4 2 1 2 5 2

6 . S e le sa i n LY = B, UX = Y dan verikasi bahwa B = AX untuk (a) BT ka = (8, 4, 1 0, 4) dan (b) BT = (2 8, 1 3, 2 3, 4 ), di m anaA = LU adalah

4 1 2 1

8 4 0 5 4 3 3 1 3 = 4 2 2

1 2 1 4

11 4

2 3 1 3

0 1

0 0 4 0 0 0 1 0 1 2 1

8 4 3 3 3 0 0 4 0 0 0

0

4 1

7. Tentukan faktorisasimatrikssegitigaA = LU untuk matriksberikut ini.

1 1 0 4 2 1 5 0 2 1 2 5 3 0 2 6

8. H ukum Kirchho m engataan bahwa jum laharus yang m asukdan keluar k adalah sam a,yang diberikan (R1 + R3 + R4 )I1 R3 I1 R4 I1 pada sistempersam aan linear berikut. + R3 I2 + R4 I3 = E1 + (R2 + R3 + R5 )I2 R5 I3 = E2 R5 I2 + (R4 R5 + R6 )I3 = 0

3.4 Metode Iterasi untuk Sistem Linear Selesai sistemdi atas untuk I1 , I2 dan I3 jika: kan (a) R1 = 1, R2 = 1, R3 = 2, R4 = 1, R5 = 2, R6 = 4 dan E1 = 2 3, E2 = 2 9

53

(b) R1 = 1, R2 = 0, 7 5, R3 = 1, R4 = 2, R5 = 1, R6 = 4 dan E1 = 1 2, E2 = 2 1, 5 (c) R1 = 1, R2 = 2, R3 = 4, R4 = 3, R5 = 1, R6 = 5 dan E1 = 4 1, E2 = 3 8

3.4

M ode Iterasi untuk Sistem Linear etPada sub-bab ini akan dikemban g kan m et de penye lesaian siste m o

pe rsam aan linear denganm enggunaan iterasi titik tetap, yaitu Iterasi Jacobi dan k IterasiGauss Seidel. a. Iterasi Jacobi Pada m et de iterasiJacobi,sistempersam aan o lineardibentuk m en jadi persam aapersam aan eksplisit,yang sela jutnya dijadi an sebagai k model iterasi. Nilai awal akan diberikan untuk m enghitung nilai konsta nta-konsta nta tak diketahui pada iterasi pertam a, begitu se te rusya. n Pertimbang kan sistemx + b1aan c1 z = d1 a1 persam y linear berikut ini. + a 2 x + b 2 y + c 2 z = d2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d3 Pe rsam aan (3.2 2)dap at ditulis dalam bentuk, 1 (d1 b1 y c1 z ) a1 1 (b2 a2 x c2 z ) y = b2 1 (b1 a3 x b3 y ) z = c3 Se carape rsam aanpersam aan atas dapat diubah ke dalam IterasiJacobi, di x = xi+1 yi+1 zi+1 Co ntoh 3.6 1 (d1 b1 yi c1 zi ) a1 = 1 (d2 a2 xi c2 zi ) b2 = 1 (d3 a3 xi b3 yi ) c3 =

(3 .2 2 )

(3 .2 3 )

(3 .2 4 )

54 S elesai sistempersam aan kan berikut.


4x y + z = 7 4x 8y + z = 2 1 2 1x + y + 5z = 15 d engannilai awal (x0 , y0 , z0 ) = (1, 2, 2 ). Penyelesaian: Tulis persam aan atas dalam di bentuk, 1 (7 + y z) 4 1 x = 8 (2 1 + 4x + z) y = 1 (1 5 + 2x y) z = 5 1 (7 + yi zi ) 4 1 (2 1 + 4xi + zi ) 8 1 5 (1 5 + 2xi yi )

(3 .2 5 )

Dan jika ditulis dalam bentuk iterasiJacobi, xi+1 yi+1 zi+1 = = =

Selanjut nya, substitusi x0 = 1, y0 = 2, z0 = 2 ke dalam persam aan kan iterasiJacobi, x1 = y1 = z1 = 1 (7 + 2 2) = 1, 7 5 4 1 (2 1 + 4 + ) = 3, 3 7 5 8 1 (1 5 + 2 2 ) = 3, 0 0 5

Jika kita lakukan langkah-lang kah yang sam a se cara m e ne rus, m aka iterasi kelihatan nya konvergensebagaim ana yang ditunjukan pada Tabel (3.1). k b. Iterasi Gauss-Seidel M etode iterasi G auss-Seidelyang diguna kan untuk m ene ntukan penyelesaian sistem persam aan linear em pu m nyai prinsip kerja yang sam a dengan m et ode iterasi jacobi, tetapi iterasi yang dilaku kan denganm engguna m et kan ode G aussSeidel lebih cepat pada kasus- asuspenye lesaianya ng konve rg e n . k Pada iterasi G auss-Seidel, i+1 diguna x kan untuk m engga ntikan xi pada perhitungan yi+1 , dan nilai-nilai xi+1 , yi+1 juga diguna kan untuk m engga ntikan xi dan yi pada perhitungan i+1 . z

3.4 Metode Iterasi untuk Sistem Linear Tabel 3.1 KonvergensiIterasijacobiuntuk sistemlinear (5 .4 ) i 0 1 2 3 4 . . xi yi zi

55

1 ,0 2 ,0 2 ,0 1 ,7 5 3 ,3 7 5 3 ,0 1 ,8 4 3 7 5 3 ,8 7 5 3 ,0 2 5 1 ,9 6 2 5 3 ,9 2 5 2 ,9 6 2 5 1 ,9 9 0 6 2 5 0 03 ,9 7 6 5 6 2 5 03 ,0 0 0 0 0 0 0 0 . . . . . .

1 5 1 ,9 9 9 9 9 9 9 33 ,9 9 9 9 9 9 8 53 ,0 0 0 9 3 7 5 0 . . . . . . . . 1 9 2 ,0 0 0 0 0 0 0 04 ,0 0 0 0 0 0 0 03 ,0 0 0 0 0 0 0 0

Sekarang,pandangkembali persamaan a 1 x + b 1 y + c 1 z = d1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = d2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d3 (3 .2 6 )

Pe rsam aan a d a siste m(3 .2 6 )d a p a td iu b a hm e n ja d i p bentu k ite ra siG a u ss-S e id eyaitu, l, xi+1 yi+1 zi+1 1 (d1 b1 yi c1 zi ) a1 = 1 x z) = b2 (d2 a2 i+1 c2 i 1 (d3 a3 xi+1 b3 yi+1 ) c3 =

(3 .2 7 )

Co ntoh 3.7 Pertimbang kan kembali persam aan da conto h soal (5.4 ), pa 4x y + z = 7 4x 8y + z = 2 1 2 1x + y + 5z = 15 d enganP0 = (x0 , y0 , z0 ) = (1, 2, 2 ). Penyelesaian: (3 .2 8 )

56 ProsesiterasiGauss-Seidel yang diberikan adalah, xi+1 yi+1 zi+1


= 1 (7 + yi zi ) = 4 1 (2 1 + 4xi+1 + zi ) = 8 1 (1 5 + 2xi+1 yi+1 ) 5

D enganm ensubstitusi y0 = 2 dan z0 = 2 d ipe ro le h nilai x1 , kan x1 = 7 +2 2 = 1, 7 5 4

dan substitusi x1 = 1, 7 5 d a nz0 = 2 ke dalampersam aan du a,d an diperoleh, kan ke 1 y1 = [1 5+ 2 (1, 7 5 ) 3, 7 5 ]= 3, 7 5 8 Selanjut nya, substitusi kann x1 = 1, 7 5 d an y1 = 3, 7 5 ke dalam pe rsam aan tiga ke dan diperoleh, 1 z1 = (1 5 + 2 9 1 7 5 ) 3, 7 5 )= 2, 9 5 , 5 Dari iterasipertam adiperolehP1 = (x1 , y1 , z1 ) = (1, 7 5 ;3, 7 5 ;2, 9 5 ) Dari hasil perhitungan terlihatbahwa P1 lebih dekat ke nilai sebenar ya (2, 4, n 3) dibandingan denganP0 dan lebih baik dibandingan k denganiterasijacobi. Jika barisan terus-m enerus dilaku kan iterasi, terlihat hasil yan g konverg en ke (2, 4, 3) sebagaim ana terlihat pada Tabel (3 .2 ).

Latihan3.3 1. G una kan iterasiJacobi dan IterasiG auss-Seidel untuk m ene ntukan Pi (i = 1, 2, 3) denganP0 = (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) untuk sistemlinear berikut. Apakah jacobi dan G au ss-seid el konvergensike penyelesaia nyan g dimaksud? (a) 4x y = 1 5 x + 5y = 9 (b) (d) 8x 3y = 1 0 x + 4y = 6 2x + 3y = 1 7x 2y = 1

x + 3y = 1 (c) 6x 2y = 2

3.4 Metode Iterasi untuk Sistem Linear Tabel 3.2 KonvergensiIterasiG auss-Seidel untuk sistemlinear (3.28) i 0 1 2 3 . . xi 1 ,0 1 ,7 5 1 ,9 5 1 ,9 9 5 6 2 5 .. yi zi

57

2 ,0 2 ,0 3 ,3 7 5 2 ,9 5 0 3 ,9 6 8 7 5 2 ,9 8 6 2 5 3 ,9 9 6 0 9 9 3 7 5 ,9 9 9 0 3 1 2 5 2 . .. .

8 1 ,9 9 9 9 9 9 8 33 ,9 9 9 9 9 9 8 8 2 ,9 9 9 9 9 9 9 6 9 1 ,9 9 9 9 9 9 9 83 ,9 9 9 9 9 9 9 9 3 ,0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 ,0 0 0 0 0 0 0 04 ,0 0 0 0 0 0 0 0 3 ,0 0 0 0 0 0 0 0

2. G una kan iterasiJacobi dan IterasiG auss-Seidel untuk m ene ntukan Pi (i = 1, 2, 3) denganP0 = (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0) untuk sistemlinear berikut. Apakah jacobi dan G au ss-seid el konvergensike penyelesaia nyan g dimaksud? (a) 5x y + z = 1 0 2x + 8y z = 1 1 x + y + 4z = 3 x 5y z = 8 4x + y z = 1 3 2x y 6z = 2 (b) 2x + 8y z = 1 1 5x y + z = 1 0 x + y + 4z = 3 4x + y z = 1 3 x 5y z = 8 2x y 6z = 2

(c)

(d)

3 . Pertimbang kan sistemlinear berikut. 5x + 3y = 6 4x 2y = 8 Dapat anh, baik m et k ode iterasi jacobi m aupunGauss-Seidel dapat me n e ntukan penyelesaiandari persam aan linear di atas? 4. D apat ah iterasi Jacobi diguna k kan untuk m enyelesaiansistempersam aan linear berikut. 2x + y 5z = 9 x 5y z = 1 4 7x y 3z = 2 6

58

Bab 3 Penyelesaian Sistem Linear 5 . Pertimbang kan sistemlinear triagonalberikut ini dan asum si bahwa kan matriks koesienadalahm atriksdiagonal. d1 x 1 + c 1 x 2 + a 1 x 1 + d2 x 2 + a2 x 2 .. . c2 x3 d3 x 3 an2 xn2 + .. . + c3 x4 dn1 xn1 an1 xn1 = = = b1 b2 b3 . .

.. . + cn1 xn = bn1 + dn x n = b n

Tulislah algoritm ayang dapatdiguna kan untuk m enyelesai persoalan kan tersebut.

BAB 4 AKAR-AKAR PERSAM AAN NONLINEAR

Pada persoalan atem ati kita seringditemukan m asalah dalam m ene m ka, di ntukan akar dari suatu persam aan yang berbentuk f (x) = 0 (4 .1 ) Penyelesaiansuatu persam aan pada dasar ya adalah nilai-nilai variabel bebas n yang m embuatnilai fungsim enjadi nol. Jika adalahsuatuakar pe rsam aa n dari fungsif (x), m aka f () = 0. Pada kasus ini, fungsif (x) adalahtak linear yang dapat berbentuk: 1 . Pe rsam aan aljabar Pe rsam aan aljabarbiasa nya berbentuk polinom , an xn + an 1 xn1 + + a2 x2 + x + a0 = 0 denganan = 0, n 2 2 . Pe rsam aan Transenden Pe rsam aan transend en adalah persa m aan yang m elibat n fu ng si-fungsi ka trigonom etri, eksponendan logaritm a, misalnya e2x3 4 sin(3x2 + 2) = 0 ln(x + 2) 3 = 0 log(3x 2 ) + co s(x + 1) = 0 3 . Pe rsam aan campuran Pe rsam aan yang m elibat kan persam aan aljabardan persam aan transenden x2 c o s + 1) 3x6 = 0 (x aa

60

Bab 4 Akar-Akar Persamaan Nonlinear x3 e + ex (x3 ) = 0 e2x2 1

4 x tan(x 4) = 0

Untuk m ene ntukan penyelesaiansuatu persam aan, banyak cara dilaku kan. Be- berapa teknik telah diguna kan, m isal ya dengan m enggunaan grak atau n k m em ebuat tabulasi kedua-duaya diguna atau n kan secarabe rsa m a -sa m a . Pada kenyataa nya, banya k persam aannon linear yang cukup sulit untu k m en en - tukan solusi ya. Hal ini terjadi ketika tidak terdapat rumusan untuk n m ene ntukan solusi secara analisis. Untuk itu, kita guna kan m et ode pende katan denganm elibat kan iterasi (yang secaraumum pende katan terbaik akan diguna kan) untuk m ene ntukan solusipe r- sam aannon linear. Misal an diberikan suatu fungsi k f (x) = 0 dan s dikatakan solusidari persam aan (4.2)jika f (s) = 0 (4 .3 ) (4 .2 )

atau secarageomteri dapat ditentukan nilai s sebag ai solusidari f (x), d e n g a n m e n en tukan absis perpotongansumb u-X dengankurva f (x). Pada sub-babini, akan diberikan suatu pende katan untuk m ene ntukan solusi pe rsam aan nolinear.

4.1

Met ode Bagidua

Misalkan f adalahfungsikontinu terdenisi pada interval [a, b] d e n g a nf (a) dan f (b) saling berlawanan tanda sebagaim ana ditunjukan pada G ambar 4.1. k D enganm eng guna n teorem a ka Kalkulus lanjut, terdapat di dalam (a, b) deng an f () = 0. M isal an kita ambil interval [a, b] d a n terletakdi dalam k nya sehingga f (a)f (b) < 0 . Pada setiap kali iterasi, interval [a, b] dibagi dua di x = c dengan terdapatdua sub-i terval, yaitu [a, c] dan [c, b]. S e la n g n c = (a + b)/2 sehingga yang diambil untuk iterasiadalahselangyang m emuat akar yan g m em e nuhi f (a)f (c) < 0 atau f (b)f (c) < 0 . Selangyang baru lagi dibagi dua dengancara yang sam a. Begitu seteru s ya n

sam paiukuranselangbaru m enjadi sangatkecil. Iterasiakan dihe ntikan jika m e m e uhi n

4.1 Metode BagiduaY f (x)

61

a

c

b

X

Ga mbar 4.1 mem otong et Skem atik m ode B agiduapada kurva y = f (x) yang sumbu x di . kondisi sebagai berikut. 1. Lebar interval baru lebih kecil dari nilai toleransilebar interval yang diberikan, |a b| < . 2 . Nilai fungsiham pirandi f (c) = 0 3 . Galat relatif ham piranakar |(cn+1 cn )/cn+1 | < , yang m ana adalah galat relatif yang diingin kan dan n = 0, 1, 2, M et ode B agidua secarakonsep sudah cukup jelas, tetapi konvergensisangat lamban (m embutuh kan banyak iterasiN untuk m enghasil galat,|p pn |, yang cukup kan kecil). Algoritm auntuk m ene ntukan akar persam aan diberikan sebagai berikut. INPUT titik ujung a,b; toleransi TOL, jumlah ite si ra N O U T P U Takar pendekatan Algoritma 1. set i=1 2. while i

3 9, 9 6 log(2)

log(2n ) < log(1 03 ) n log(2 ) < 3

Kasus yang Mungkin

Terjadi

1. Jum lah akar lebih dari satu Bila da lam se lang b] terdapat lebih dari satu akar (banyaknya akar [a, ganjil) sebagaim ana ditunjukan pada G ambar 4.2. k

Y

a

b

X

Ga mbar 4 .2 Kurva y = f (x) yang m em pu nyai akar berjum lahganjil.

2 . Akar ganda Untuk beberapafungsiyang m em pu nyai akar kembar atau imajiner, m et ode bagi dua tidak dapat m ene mukan aka-akar polinom .Halini disebab an karena k tidak terdapatperbedaantanda pada ujung-ujung selangyang baru, sebagaim ana ditunjuk kan pada G ambar 4.3(a)dan G ambar 4.3(b). 3 . Singularitas Pada suatu fungsi f (x), kadangkala terdapatnilai yang tidak terdenisi pada

x

4.1 Metode BagiduaY Y

65

a

b X

a

b X

(a) Polinom yang tidak mempu nyai akar

(b) Polinom yang mempu nyai akar kembar

Ga mbar 4 .3 Polinom yang m em pu nyai akar ganda

terte ntu.

Jika selang [a, b] m emuat titik singular, m aka iterasi m et ode

bagidua tidak pernah berhe nti. Hal ini disebaban karena m e t d e bag id ua k o m en gangg ap titik singularsebagai akar polinom . Y

a

b

X

Ga mbar 4 .4 Inte rval [a, b] yang m emuat titik singular kur y = f (x) va

B atasg alatyang d ipe role hdari m e t d e bise ksi(b agidua)ad alahse bagai o berikut. Misalkan an , bn dan cn m asing-m asing ela m mbang kan nilai-nilaike n yang dihitung dari a, b dan c. Untuk itu, diperoleh 1 bn+1 an+1 = (bn an ), n 1 2 da n 1 bn an = n1 (b a), n 1 2 (4 .4 )

66

Bab 4 Akar-Akar Persamaan Nonlinear

dim anab a m enujukkan panjanginterval awal kita mulai. Oleh karena itu, akarakar persam aan beradapada interval [an , cn ] atau [cn , bn ] , maka 1 | cn | cn an = bn cn = (bn an ) 2 Batas galat untuk cn diperoleh dari kombinasi persam aan 4.4, | cn | 1( b a) 2n (4 .6 ) (4 .5 )

Pe rsam aan .6 menunjukkan iterasicn yan g konve rg e nm enuju apabilan 4 Untuk m embatasibanyaknya iterasi (n) yang akan dilaku kan dalam perhitung an,m aka kita butuh kan suatu nilai sebagai batasdari galat, | cn | se hing ga atau 1( b a) 2n 2n

ba Denganm enggunaan logaritm apada kedua sisi diperoleh, k n lnba

ln 2

(4 .7 )

Latihan4.1 1. G una kan m et ode Bagidua untuk m ene ntukan penyelesaianfungsi f (x) = x3 7x2 + 1 4x 6 = 0 dengana ku rasi102 pada interva l: a . [ 0, 1 ] b. [ 1 ;3, 2 ] c .[ , 2 ; 4 ] 3 2. G una kan m et ode Bagidua untuk m ene ntukan penyelesaianfungsi f (x) = x4 2x3 4x2 + 4x + 4 = 0 den ganakurasi102 pad a interva l: a . [2, 1 ] b .[0, 2 ] c .[ , 3 ] 2 d. [1, 0 ] 3. G una kakan m et ode B agiduauntuk m ene ntukan penyelesaian (x) = tan(x) f x= 0 denganakurasi103 pada interval [ 4 ;4, 5 ]

4.2 Metode Newton-Raphson

67

4. G una kakan m et ode B agiduauntuk m ene ntukan penyelesaian (x) = 2 + cos(ex f 2 ) ex = 0 denganakurasi103 pada interval [ 0, 5 ; 1, 5 ] 5. G una kakan m et ode B agidua untuk m ene ntukan penyelesaian fungsi-fungsi berikut denganakurasi103 . a . x 2x = 0,x

0 x 1, 0x1 3 x 2, 0, 2 x 0, 3 1 x 0 1, 2 x 1, 3

b. e x2 + 3x 2 = 0, c . 2x co s( x) (x + 1)2 = 0 22

d. x co s(x) 2x + 3x 1 = 0

3 6. Tentukan hampiran terhadap 2 5 dengan keakurasian 104 dengan m en gg una m et kan ode Bagidua.(petunjuk:perti bang m kan f (x) = x3 25). 7. Tentukan ham piran 3 d engan aku rasi104 denganm e ng gunkan m et de a o Bagidua. 8. D engan m engguna kan teorem a,tentukan batas iterasi yang dibutuh kan untuk m engham piri penyelesaianx3 x 1 = 0 denagn ketelitian 104 pada interval [ 1, 4 ] .

METNUM

Documents

Transcript of METNUM