METODE NUMERIK LAPORAN AKHIR PRAKTIKUM

DI SUSUN OLEH :Nama NPM Dosen : Dwi Ardiyanti : F1A009047 : Yulian Fauzi S.Si. M.Si

PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BENGKULU 20111

KATA PENGANTARPuji syukur kehadirat Tuhan YME kerena berkat rahmat dan hidayahNya penulis dapat menyelesaikan Laporan Praktikum Metode Numerik ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses pembuatan Laporan ini. Terutama penulis ucapkan banyak terima kasih kepada Bpk Yulian Fauzi S.si.M.si.selaku dosen pembimbing mata kuliah ini, penulis juga mengucapkan kepada asisten dosen, karena berkat bantuan dan dukungan merekalah laporan ini dapat terselesaikan. Penulis sadari seperti pepatah tiada gading yang tak retak, maka tiada pulalah kesempurnaan selain Allah SWT. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca demi makalah ini lebih baik.Semoga makalah ini dapat semakin membuka dan memperluas wawasan dan cakrawala berfikir para pembaca, serta menambah pengetahuan dan pemahaman pembaca mengenai penyelesaian Metode Numerik dalam Matlab.

Bengkulu, Juni 2011

Penulis

2

DAFTAR ISIKata pengantar.......................................................................i Daftar isi................................................................................ii

Bab I . Pendahuluan..................................................1A. Latar Belakang...............................................................................1 B. Tujuan............................................................................................3 C. Rumusan Masalah..........................................................................3 D. Manfaat..........................................................................................4

Bab II........................................................................5A. Penyelesaian persamaan nonlinier.................................5 1. Metode Bisection......................................................5 2. Metode Newton Raphson dan Secant......................13 A. Interpolasi.......................................................................29 1. Interpolasi linier.............................................................29 2. Interpolasi Lagrange......................................................36 1. Interpolasi Beda terbagi Newton..............................41 A. Integrasi Numerik...........................................................50 1. Aturan Trapesium.......................................................50 2. Aturan Simpson........................................................................54

Bab III. Kesimpulan dan Saran...................................601. Kesimpulan....................................................................................60 2. Saran.............................................................................................60

Daftaar Pustaka...............................................................................61

BAB I3

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Seiring pesatnya perkembangan teknologi dan kemajuan zaman, maka diperlukan suatu produk dengan ketelitian dan akurasi tinggi, dan waktu pengerjaan yang singkat. Begitu juga dengan permasalahan dalam bidang matematika, ilmu pengetahuan fisika murni maupun terapan, bidang rekayasa teknik metalurgi, mesin, elektro, sipil dan lain-lain dituntut hal yang sama, dimana dalam suatu perhitungan dengan data numerik membutuhkan ketelitian dan akurasi yang cukup baik. Pada saat teknologi informasi belum ada atau boleh dikatakan belum maju pesat, para praktisi dan profesional di bidang rekayasa teknik dan sain menganalisa dengan perhitungan manual. Simplifikasi digunakan dimana struktur yang sangat kompleks disederhanakan menjadi struktur yang lebih sederhana. Artinya akan terjadi perbedaan dari suatu permodelan dengan kondisi aktual. Hal ini dilakukan untuk menghindari kesulitan dalam analisa. Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong para praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan mudah menggunakan teknologi informasi. Sudah banyak persoalan di bidang teknik maupun sain yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika. Sering kali permodelan matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal, sehingga tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Jika persoalan-persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil-dalil kalkulus, maka solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Metode numerik secara harafiah berarti suatu cara berhitung dengan menggunakan angka-angka, sedangkan secara istilah metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.

4

Dengan menggunakan metode numerik, solusi exact dari persoalan yang dihadapi tidak akan diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau menghampiri solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran ( approximation solution). Pendekatan solusi ini tentu saja tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Solusi tersebut disebut solusi galat (error). Semakin kecil galat yang diperoleh berarti semakin dekat solusi hampiran yang diperoleh dengan solusi sejatinya. Pada saat sebelum perkembangan teknologi informasi belum pesat seperti sekarang ini, ada dua cara pendekatan yang biasa digunakan jika suatu persoalan tidak bisa diselesaikan dengan metode analitik, yaitu : a. Solusi grafik dipakai untuk mencirikan suatu perilaku sistem, teknik ini kurang presisi karena sangat tergantung pada ketelitian penggambaran grafik. b. Metode numerik secara manual. Secara teori pendekatan ini dapat digunakan dengan baik untuk penyelesaian masalah yang rumit, namun pada kenyataannya seringkali menemui masalah. Masalah ini timbul biasanya karena kesalahan kecil dalam perhitungan (Chapra & Canale, 1991) c. Komputer dan metode numerik memberikan suatu alternatif pemecahan dari masalahmasalah tersebut. Dengan menggunakan kemampuan komputer untuk mendapatkan solusi langsung, hampir semua persoalan dapat diselesaikan tanpa perlu penyederhanaan asumsi atau penggunaan teknik yang rumit. Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter dan kriteria error. MATLAB adalah sebuah lingkungan komputasi numerikal dan bahasa pemrograman komputer generasi keempat. Dikembangkan oleh The MathWorks, MATLAB memungkinkan manipulasi matriks, pem-plot-an fungsi dan data, implementasi algoritma, pembuatan antarmuka pengguna, dan peng-antarmuka-an dengan program dalam bahasa lainnya. Meskipun hanya bernuansa numerik, sebuah kotak kakas (toolbox) yang menggunakan mesin simbolik MuPAD, memungkinkan akses terhadap kemampuan aljabar komputer. Sebuah paket tambahan, Simulink, menambahkan simulasi grafis multiranah dan Desain Berdasar-Model untuk sistem terlekat dan dinamik. Pada tahun 2004, MathWorks mengklaim bahwa MATLAB telah dimanfaatkan oleh lebih dari satu juta pengguna di dunia pendidikan dan industri.

5

MATLAB (yang berarti "matrix laboratory") diciptakan pada akhir tahun 1970-an oleh Cleve Moler, yang kemudian menjadi Ketua Departemen Ilmu Komputer di Universitas New Mexico. Ia merancangnya untuk memberikan akses bagi mahasiswa dalam memakai LINPACK dan EISPACK tanpa harus mempelajari Fortran. Karyanya itu segera menyebar ke universitasuniversitas lain dan memperoleh sambutan hangat di kalangan komunitas matematika terapan. Jack Little, seorang insinyur, dipertemukan dengan karyanya tersebut selama kunjungan Moler ke Universitas Stanford pada tahun 1983. Menyadari potensi komersialnya, ia bergabung dengan Moler dan Steve Bangert. Mereka menulis ulang MATLAB dalam bahasa pemrograman C, kemudian mendirikan The MathWorks pada tahun 1984 untuk melanjutkan pengembangannya. Pustaka yang ditulis ulang tadi kini dikenal dengan nama JACKPAC. Pada tahun 2000, MATLAB ditulis ulang dengan pemakaian sekumpulan pustaka baru untuk manipulasi matriks, LAPACK. MATLAB pertama kali diadopsi oleh insinyur rancangan kontrol (yang juga spesialisasi Little), tapi lalu menyebar secara cepat ke berbagai bidang lain. Kini juga digunakan di bidang pendidikan, khususnya dalam pengajaran aljabar linear dan analisis numerik, serta populer di kalangan ilmuwan yang menekuni bidang pemrosesan citra. (Hanselman & Littlefield)

A. TUJUANAdapun tujuan dari penyusunan laporan ini adalah untuk menambah wawasan dan pengetahuan penyusun tentang penyelesaian metode numerik dengan menggunakan program Matlab.

B. Rumusan Masalah Bagaimana menyelesaikan metode numerik dengan menggunakan program matlab? Bagaimana mengaplikasikan interpolasi dalam berbagai permasalahan yang diberikan dengan mengguanakan program komputer? Apa perbandingan antara aturan komposisi trapesium dan Simpson?

6

D. MANFAATDapat memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan non linier.

BAB II HASIL PRAKTIKUM

7

A.Penyelesaian Persamaan Nonlinier1.

Metode Bisection (Bagi Dua)

Tujuan Praktikum 1. Memahami beberapa metode penyelesaian persamaan atau mencari akar persamaan non linier khususnya menggunakan metode bagi dua. 2. Dapat menggunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Metode Numerik

Dasar Teori Metode Bisection atau disebut juga dengan metode bagi dua merupakan salah satu jenis metode pencarian instrumental dimana selang/range selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian. Ide awal metode ini adalah metode table, dimana suatu area dibagi menjadi N bagian. Pada Metode Bisection ini jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah, kemudian lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya perubahan tanda.

Metode ini melakukan pengamatan terhadap nilai f(x) dengan berbagai nilai x, yang mempunyai perbedaan tanda. Taksiran akar diperhalus dengan cara membagi 2 pada interval x yang mempunyai beda tanda tersebut.Prinsip dari Metode Bisection adalah: membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung akar. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Berikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan Metode Bisection (metode bagi dua), yaitu : Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru yaitu c Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: jika |f(c)| toleransi, maka harga c adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4. 8

Langkah 4 : Jika f(c) > 0, maka a baru = a dan b baru = c, sehingga daerah akar fungsi a < x < c. Jika f(c) < 0, maka a baru = c dan b baru = b, sehingga daerah akar fungsi c < x < b. Kemudian kembali ke tahap 2.

ALGORITMAMasukan : f(x),a,b dan epsilon Keluaran : akar

Langkah-langkah1. bman;cmbm 2. untuk iterasi=1,2, ,m untuk i=m-1,m-2, ,1 biai+ 3. fa.fb