METODE NUMERIK„Pendekatan dan Kesalahan”

Semester Ganjil 2010/2011

PENDAHULUAN

Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.

Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan

Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya

PENDAHULUAN

Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik :

Solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik dievaluasi menghasilkan nilai.

PENDAHULUAN

Metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan.

Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).

MOTIVASI

Kenapa diperlukan? Pada umumnya permasalahan dalam sains

dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika

Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik

Teknis dan Proses Penyelesaian Problem

Galat

Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak

Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan.

Kesalahan = Nilai eksak – Nilai perkiraan

Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 – 3,14 = 0,001592

Galat Galat relatif e dari a

Sehingga galat relatifnya adalah

Prosentase Galat relatif e * 100%

eE Galat

e Nilai Eksak

0,0015920,000507

3,141592eE

e

Galat

Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num “menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan

mengenai harga yang sebenarnya”

Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:

ea = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%

Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan

thd sebuah harga aproksimasi.

Galat Metode numerik memakai pendekatan iteratif utk

menghitung jawaban. Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdasarkan suatu

aproksimasi sblmnya dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.

Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg perbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukan:

εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasinya (εs)

│εa│ < εs

aproksimasi skrg – aproksimasi sblmnya100%

Pendekatan Sekaranga x

Galat

Kalau hubungan (│εa│ < εs ) dipegang, hasil kita anggap berada dlm tingkat

praspesifikasi yang dapat diterima εs atau dianggap hasil yang didapatkan mendekati sebenarnya.

Galat

Macam-macam Galat Galat Percobaan (galat bawaan/melekat), terjadi

karena : Kekeliruan dalam memberikan data Kesalahan dalam asumsi terhadap data

Galat pembulatan (round-off error)

Pembulatan merupakan penentuan jumlah angka dibelakang koma

Galat

Galat pemotongan ( truncation error) adalah pemotongan barisan langkah komputasi.

Contoh :

.....!7!5

!3*

.....!7!5!3

sin

75

3

753

xxE

xxy

xxxxxy

Hampiran

Galat Pemotongan

Deret Taylor dan Maclaurin

Jika dalam hampiran linier digunakan definisi limit

Dengan kata lain nilai f(x) disekitar a dapat dihampiri oleh garis singgung f(x) di a. hampiran ini cukup baik apabila dekat dengan a, tapi tidak demikian apabila jauh dari a.

1

( ) ( )'( ) lim

sehingga diperoleh ( ) ( ) '( )( )

'( ) ( ( ) '( ) )

( )

x a

f x f af a

x af x f a f a x a

f a x f a f a a

mx c P x

Hampiran kuadrat

Akan ditentukan A,B,C sehingga P2(x) merupakan hampran yang baik untuk f(x) dengan syarat.

22misalkan ( )P x A Bx Cx

2 2 2

22

( ) ( ), '( ) '( ), ''( ) ''( )

''( )didapatkan ( ) ( ) '( )( ) ( )

2!

P a f a P a f a P a f a

f aP x f a f a x a x a

Hampiran Kubik

2 33

3 3

3 3

2 33

( )

Syarat ( ) ( ), '( ) '( ),

''( ) ''( ), '''( ) '''( )

didapatkan

''( ) '''( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )

2! 3!

P a A Bx Cx Dx

P a f a P a f a

P a f a P a f x

f a f aP a f a f a x a x a x a

Hampiran ke-n (deret Taylor)

2 3'( ) ''( ) '''( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

1! 2! 3!

f a f a f af x f a x a x a x a

Deret Maclaurin

Merupakan deret taylor dengan a=0 contoh

2 3 4

3 5 7

1 ..2! 3! 4!

sin ....3! 5! 7!

x x x xe x

x x xx x

Contoh Galat Hampiran Hitung Kesalahan yang terjadi pada e0.5 apabila

hanya diperhitungkan beberapa suku saja, jika diketahui nilai eksak e0.5=1.648721271

2 3 4

1 ..2! 3! 4!

1suku pertama

39,35%

2suku pertama

9.02%

33.33%

x

e

a

e

a

x x xe x

3suku pertama

1,44%

7,69%

4suku pertama

0.175%

1.27%

.

e

a

e

a

dst