METODE NUMERIK„Pendekatan dan Kesalahan”
Semester Ganjil 2010/2011
PENDAHULUAN
Metode Numerik: Teknik menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan.
Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyak dan menjenuhkan
Karena itu diperlukan bantuan komputer untuk melaksanakannya
PENDAHULUAN
Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik :
Solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka. Metode analitik yang biasanya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik dievaluasi menghasilkan nilai.
PENDAHULUAN
Metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan.
Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).
MOTIVASI
Kenapa diperlukan? Pada umumnya permasalahan dalam sains
dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika
Persamaan ini sulit diselesaikan dengan “tangan” analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik
Teknis dan Proses Penyelesaian Problem
Galat
Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan.
Kesalahan = Nilai eksak – Nilai perkiraan
Contoh : x = 3,141592 dan x*=3,14, maka galat mutlaknya adalah, E = 3,141592 – 3,14 = 0,001592
Galat Galat relatif e dari a
Sehingga galat relatifnya adalah
Prosentase Galat relatif e * 100%
eE Galat
e Nilai Eksak
0,0015920,000507
3,141592eE
e
Galat
Masalah & Sekaligus tantangan dlm Met-Num “menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan
mengenai harga yang sebenarnya”
Alternatif yg selalu dipakai dlm menormalisasi kesalahan dgn mengunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu sbb:
ea = (Kesalahan aproksimasi/Aproksimasi)x 100%
Dimana: a = kesalahan tersebut dinormalisasikan
thd sebuah harga aproksimasi.
Galat Metode numerik memakai pendekatan iteratif utk
menghitung jawaban. Dlm hal ini, suatu aproksimasi skrg dibuat berdasarkan suatu
aproksimasi sblmnya dilakukan berulang kali atau scr interasi spy dapat menghitung aprosimasi yg lbh baik & semakin baik.
Dgn demikian, kesalahan sering ditaksir sbg perbedaan antara aproksimasi sblmnya dgn aproksimasi sekarang, Sehingga kesalahan relatif persen ditentukan:
εa bisa sj positif atau jg negatif, namun seringkali hanya digunakan harga absolutnya dimana apakah lebih kecil dari suatu toleransi praspesifikasinya (εs)
│εa│ < εs
aproksimasi skrg – aproksimasi sblmnya100%
Pendekatan Sekaranga x
Galat
Kalau hubungan (│εa│ < εs ) dipegang, hasil kita anggap berada dlm tingkat
praspesifikasi yang dapat diterima εs atau dianggap hasil yang didapatkan mendekati sebenarnya.
Galat
Macam-macam Galat Galat Percobaan (galat bawaan/melekat), terjadi
karena : Kekeliruan dalam memberikan data Kesalahan dalam asumsi terhadap data
Galat pembulatan (round-off error)
Pembulatan merupakan penentuan jumlah angka dibelakang koma
Galat
Galat pemotongan ( truncation error) adalah pemotongan barisan langkah komputasi.
Contoh :
.....!7!5
!3*
.....!7!5!3
sin
75
3
753
xxE
xxy
xxxxxy
Hampiran
Galat Pemotongan
Deret Taylor dan Maclaurin
Jika dalam hampiran linier digunakan definisi limit
Dengan kata lain nilai f(x) disekitar a dapat dihampiri oleh garis singgung f(x) di a. hampiran ini cukup baik apabila dekat dengan a, tapi tidak demikian apabila jauh dari a.
1
( ) ( )'( ) lim
sehingga diperoleh ( ) ( ) '( )( )
'( ) ( ( ) '( ) )
( )
x a
f x f af a
x af x f a f a x a
f a x f a f a a
mx c P x
Hampiran kuadrat
Akan ditentukan A,B,C sehingga P2(x) merupakan hampran yang baik untuk f(x) dengan syarat.
22misalkan ( )P x A Bx Cx
2 2 2
22
( ) ( ), '( ) '( ), ''( ) ''( )
''( )didapatkan ( ) ( ) '( )( ) ( )
2!
P a f a P a f a P a f a
f aP x f a f a x a x a
Hampiran Kubik
2 33
3 3
3 3
2 33
( )
Syarat ( ) ( ), '( ) '( ),
''( ) ''( ), '''( ) '''( )
didapatkan
''( ) '''( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )
2! 3!
P a A Bx Cx Dx
P a f a P a f a
P a f a P a f x
f a f aP a f a f a x a x a x a
Hampiran ke-n (deret Taylor)
2 3'( ) ''( ) '''( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
1! 2! 3!
f a f a f af x f a x a x a x a
Deret Maclaurin
Merupakan deret taylor dengan a=0 contoh
2 3 4
3 5 7
1 ..2! 3! 4!
sin ....3! 5! 7!
x x x xe x
x x xx x
Contoh Galat Hampiran Hitung Kesalahan yang terjadi pada e0.5 apabila
hanya diperhitungkan beberapa suku saja, jika diketahui nilai eksak e0.5=1.648721271
2 3 4
1 ..2! 3! 4!
1suku pertama
39,35%
2suku pertama
9.02%
33.33%
x
e
a
e
a
x x xe x
3suku pertama
1,44%
7,69%
4suku pertama
0.175%
1.27%
.
e
a
e
a
dst
Top Related