1. INTERPOLASI LINEAR

Contoh 1 (mudah)

Perkirakanlah jumlah penduduk Amerika Serikat (dalam juta) pada tahun

1968 berdasarkan data yang ditabelkan di bawah ini:

Tahun 1960 1970

Jumlah penduduk 179,3 203,2

Penyelesaian:

Dari tabel di atas dapat dituliskan:

x0=1960, y0=179,3, dan x1=1970, y1=203,2.

Dengan menggunakan persamaan (5), maka:

p1 (1968 )=179,3+(203,2−179,3 )(1970−1960 )

(1968−1960 )=198,4

Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198,4 juta

CONTOH 2 (sulit)

Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513 maka

tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma.

Bandingkanlah hasilnya dengan nilai sejati ℓn (9,2) = 2,2192.

Penyelesaian:

Kita dapat menuliskan:

x0=9,0, y0=2,1972, dan x1=9,5, y1=2,2513

Dengan menggunakan persamaan (8.7) diperoleh hasil sebagai berikut:

p1 (9,2 )=2,1972+(2,2513−2,1972 )

(9,5−9,0 )(9,2−9,0 )=2,2188

Galat : 2,2192−2,2188

2,2192× 100%=0,018 %

Di sini nampak bahwa interpolasi linear tidak

cukup untuk memperoleh ketelitian sampai 5 angka penting, hanya sampai 3

angka penting.

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi linier berdasar data ln 1=0 dan ln 6=1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4=1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2=0,69314718).

Penyelesaian:

Dengan menggunakan persamaan (6.2), dihitung dengan interpolasi linier nilai ln pada x = 2 berdasar nilai ln di x0 = 1 dan x1 = 6.

p1 (x )= y0+( y1− y0 )( x1−x0 )

( x−x0 )

p1 (2 )=0+(1,7917595−0 )

(6−1 )(2−1 )=0,3583519

Persentasi Galat Relatif:

∈t=(0,69314718−0,3583519 )

0,69314718× 100 %=48,3 %

Apabila digunakan interval yang lebih kecil, yaitu nilai x0 = 1 dan x1 = 4, maka:

p1 (x )= y0+( y1− y0 )( x1−x0 )

( x−x0 )

p1 (2 )=0+(−0 )

(4−1 )(2−1 )=0,46209813

Besar kesalahan adalah:

∈t=(0,69314718−0,46209813 )

0,69314718× 100 %=33,3 %

2. INTERPOLASI KUADRATIIK

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode polinomial order dua berdasar data nilai ln 1 = 0 dan nilai dari ln 6 = 1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data ln 1 dan ln 4 = 1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, dihitung pula besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2 = 0,69314718).

Penyelesaian:

x0 = 1 f (x0) = 0

x1 = 4 f (x1) = 1,3862944

x2 = 6 f (x2) = 1,7917595

Interpolasi polinomial dihitung dengan menggunakan persamaan (6.3), dan koefisien b0, b1, dan b2, dihitung dengan persamaan (6.4), persamaan (6.5) dan persamaan (6.6).

Dengan menggunakan persamaan (6.4) diperoleh nilai b0, yaitu (b0 = 0), koefisien b1 dapat dihitung dengan persamaan (6.5):

b1 =

f ( x1 )− f ( x0 )x1−x0

b1 =

1, 3862944 − 04 − 1 = 0,46209813.

Persamaan (6.6) digunakan untuk menghitung koefisien b2:

b2 =

f ( x2)−f ( x1 )x2−x1

−f ( x1 )−f (x0 )

x1−x0

x2−x0

b2 =

1 , 7917595 − 1, 38629446−4

− 0 , 46209813

6−1 = –0,051873116.

Nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (6.3):

f2(x) = b0 + b1(x – x0) + b2(x – x0)(x – x1)

f2(x) = 0 + 0,46209813(x – 1) + (–0,051873116)(x – 1)(x – 4)

Untuk x = 2, maka diperoleh nilai fungsi interpolasi:

f2(2) = 0 + 0,46209813(2 – 1) + (–0,051873116)(2 – 1)(2 – 4) = 0,56584436.

Besar kesalahan adalah:

Et =

0 ,69314718 − 0 ,565844360 , 69314718 100 % = 18,4 %.

3. Interpolasi Polinomial Lagrange

Interpolasi polinomial Lagrange hampir sama dengan polinomial Newton, tetapi tidak

menggunakan bentuk pembagian beda hingga. Interpolasi polinomial Lagrange dapat

diturunkan dari persamaan Newton.

Bentuk polinomial Newton order satu:

f 1 ( x )=f ( x0 )+( x – x0 ) f [ x1 , x0 ]……… ……………(6.16)

Pembagian beda hingga yang ada dalam persamaan diatas mempunyai bentuk:

f [x1 , x0]=¿

f [ x1 , x0 ]=…………………………… (6.17)

Substitusi persamaan (6.17) ke dalam persamaan (6.16) memberikan:

f 1 ( x )=f (x0)+ f (x1)+ f (x0)

Dengan mengelompokkan suku-suku di ruas kanan maka persamaan diatas menjadi:

f 1 ( x )=f (x0)+ f (x1)

atau

f 1 ( x )=f ( x0 )+f ( x1 ) ………………(6.18)

Persamaan (6.18) dikenal dengan interpolasi polinomial Lagrange order satu.

Dengan prosedur diatas, untuk interpolasi order dua akan didapat:

f 1 ( x )=f ( x0 )+f ( x1 )+ f ( x2 ) ………………… ……………………………….(6.19)

Bentuk umum interpolasi polinomial Lagrange order n adalah:

f n(x)=f (x i)................................................................... (6.20)

dengan

L i(x )=¿........................................................................ (6.21)

Simbol merupakan perkalian.

Dengan menggunakan persamaan (6.20) dan persamaan (6.21) dapat dihitung interpolasi

Lagrange order yang lebih tinggi, misalnya untuk interpolasi Lagrange order 3, persamaan

tersebut adalah:

f 3(x)=f (x i)=L0( x) f (x0)+L1( x) f (x1)+L2(x ) f (x2)+L3(x ) f (x3)

L0(x )=¿

L1(x)=¿

L2(x)=¿

L3(x)=¿

Sehingga bentuk interpolasi polinomial Lagrange order 3 adalah:

f 3 ( x )=( x−x1

x0−x1)( x−x2

x0−x2)( x−x3

x0−x3) f ( x0 )+( x−x0

x1−x0)( x−x2

x1−x2)( x−x3

x1−x3) f ( x1 )+( x−x0

x2−x0)( x−x1

x2−x1)( x−x3

x2−x3) f ( x2 )+( x−x0

x3−x0)( x−x1

x3−x1)( x−x2

x3−x2) f ( x3 ) ………………… ..(6.22)

Contoh soal:

Dicari nilai ln 2 dengan metode interpolasi polinomial Lagrange order satu dan dua

berdasar data ln 1=0 dan data ln 6=1,7917595. Hitung juga nilai tersebut berdasar data

ln 1 dan data ln 4=1,3862944. Untuk membandingkan hasil yang diperoleh, hitung pula

besar kesalahan (diketahui nilai eksak dari ln 2=0,69314718¿ .

Penyelesaian:

x0 = 1 f (x0) = 0

x1 = 4 f (x1) = 1,3862944

x2 = 6 f (x2) = 1,7917595

Penyelesaian order satu menggunakan persamaan (6.18):

f1(x) =

x −x1

x0−x1 f (x0) +

x−x0

x1−x0 f (x1)

Untuk x = 2 dan dengan data yang diketahui maka:

f1(2) =

2 −41−4 (0) +

2 −14−1 (1,3862944) = 0,462098133.

Untuk interpolasi polinomial Lagrange order dua digunakan persamaan (6.19):

f1(x) =

x −x1

x0−x1

x −x2

x0−x2 f (x0) +

x −x0

x1−x0

x −x2

x1−x2 f (x1) +

x −x0

x2−x0

x −x1

x2−x1 f (x2)

f1(2) =

2 −41−4

2 −61−6 (0) +

2 −14−1

2 −64−6 (1,3862944) +

2 −16−1

2 −46−4 (1,7917595)

= 0,56584437.

4. Spline Kuadratik

Contoh : Interpolasi spline kuadratik untuk data berikut :

X 0.0 0.1 0.4 0.5Y 1.3 4.5 2.0 2.1

Dengan penetapan z0=0

Penyelesaian : pertama kali dihitung nilai-nilai z i :

z1=2y1− y0

x1−x0

−z0

¿24.5−1.30.1−0.0

−0

¿23.20.1

¿ 6.40.1

¿64

z2=2y2− y1

x2− x1

−z1

¿22.0−4.50.4−0.1

−64

¿2−2.50.3

−64

¿− 50.3

−64

¿−503

−1923

¿−2423

z3=2y3− y2

x3−x2

−z2

¿22.1−2.00.5−0.4

−(−2423 )

¿20.10.1

+ 2423

¿2+ 2423

¿ 63+ 242

3

¿ 2483

Jadi, fungsi spline kuadratik Si ( x ) :

S0 ( x )=z1−z0

2 ( x1−x0 )(x−x0)

2+z0 ( x−x0 )+ y0

¿ 64−02 (0.1−0.0 )

(x−0.0)2+0 ( x−0.0 )+1.3

¿ 640.2

x2+0+1.3

¿320 x2+1.3 untuk 0.0≤ x ≤0.1

S1 ( x )=z2−z1

2 ( x2−x1 )(x−x1)

2+z1 ( x−x1 )+ y1

¿

−2423

−64

2 (0.4−0.1 )(x−0.1)2+64 ( x−0.1 )+4.5

¿

−242−1923

0.6( x2−0.2 x+0.01 )+ (64 x−6.4 )+4.5

¿−4341.8

x2+ 86.81.8

x− 4.341.8

+64 x−6.4+4.5

¿−21709

x2+ 4349

x−21.79

+ 3209

x−9.59

¿−21709

x2+ 7549

x−31.29

¿−21709

x2+ 7549

x−15645

untuk 0.1 ≤ x≤ 0.4

S2 ( x )=z3−z2

2 ( x3−x2 )(x−x2)

2+z2 ( x− x2 )+ y2

¿

2483

−(−2423 )

2 (0.5−0.4 )( x−0.4 )2+(−242

3 ) ( x−0.4 )+2.0

¿

2483

+ 2423

2 (0.1 )( x2−0.8 x+0.16 )+(−242

3x−

96.83 )+2.0

¿ 4900.6

( x2−0.8 x+0.16 )+(−2423

x−96.83 )+2.0

¿ 4900.6

x2−3920.6

x+ 78.40.6

−2423

x−96.83

+2.0

¿ 24503

x2−19603

x+3923

−2423

x−96.83

+ 63

¿ 24503

x2−22023

x−482.83

¿ 24503

x2−22023

x−482830

untuk 0.4 ≤ x≤ 0.5

Contoh 1:

Gunakanlah data berikut ini untuk mencari Si ( x ) padax=5 dengan menggunakan

interpolasi spline linear.

X Y

3,0 2,5

4,5 1,0

7,0 2,5

9,0 0,5

Penyelesaian :

Dari tabel dapat dilihat bahwa x = 5 berada dalam rentang 4,5 ≤ x ≤ 7,0 dapat dihitung

menggunakan persamaan :

Si ( x )=ai x+bi

a i=y i+1− y i

x i+1−x i ,

⇔ ai=y3− y2

x3−x2

⇔ ai=2,5−1,07,0−4,5

=0,60

b i= y i−a i x i

⇔ bi= y2−a x2

⇔ bi=1,0−0,60 . 4,5

⇔ bi=1,0−2,7 = −1,7

Si ( x )=ai x+bi

⇔ S i (5 )=0,60 (5 )−1,7

⇔ S i (5 )=3−1,7=1,3

Jadi nilai x = 5 adalah 1,3

Contoh 2:

Carilah konstruksi spline linear dari data berikut :

X 0,0 0,1 0,4 0,5 0,75 1,0

Y 1,3 4,5 2,0 2,1 5,0 3,0

Penyelesaian :

Dengan menggunakan persamaan :

Si ( x )= y i+y i+1− y i

x i+1−xi ,

( x−x i)

Konstruksi spline linearnyaadalah :

[ 0,0 ;0,1 ]⇒ S (x )=1,3+ 4,5−1,30,1−0

( x−0 )

¿1,3+32 x

[ 0,1 ;0,4 ]⇒ S1 ( x )=4,5+ 2,0−4,50,4−0,1

(x−0,1 )

¿ 163

−253

x

[ 0,4 ;0,5 ]⇒ S2 ( x )=2,0+ 2,1−2,00,5−0,4

( x−0,4 )

¿1,6+x

[ 0,5 ;0,75 ]⇒S3 (x )=2,1+ 5,0−2,10,75−0,5

( x−0,5 )

¿−3,7+11,6 x

[ 0,75 ;1,0 ]⇒ S4 ( x )=5,0+ 3,0−5,01,0−0,75

( x−0,75 )

¿11−8 x

Contoh 3:

Hitung x = 16 dari data berikut dengan menggunakan interpolasi spline linear

x y

0 0

10 227,04

20 517,35

15 362,78

22,5 602,97

Penyelesaian :

x y

0 0

10 227,04

20 517,35

15 362,78

22,5 602,97

x y

0 0

10 227,04

15 362,78

20 517,35

22,5 602,97

Niai x = 16 berada dalam rentang15≤ x ≤20

Dengan menggunakan persamaan :

Si ( x )= y i+y i+1− y i

x i+1−xi ,

( x−x i)

Si ( x )= y (1 5 )+ y (20 )− y (15 )20−15

( x−1 5 )

¿362,78+ 5 17,35−362,7820−1 5

( x−15 )

¿362,78+30,9 1 3 (x−15 )

Sehingga untuk x = 16

Si (16 )=362,78+30,91 3 (16−15 )

¿362,78+30,9 1 3 (1 )

¿393,69

5. Persamaan interpolasi polinomial Newton derajat n

f n ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+b2 ( x−x0 ) ( x−x1 )+…+bn ( x−x0 ) ( x−x1 ) …( x−xn−1) (8)

Seperti yang dilakukan dengan derajat 1 dan 2, titik-titik data dapat digunakan untuk

mengevaluasi koefisien b0 , b1 , b2 , … dan bn. Untuk interpolasi polinomial derajat n, diperlukan

n+1 titik data x0 , x1 , x2 ,…,xn. dengan menggunakan titik-titik data tersebut, persamaan berikut

digunakan untuk mengevaluasi koefisien,

b0=f ( x0 ) (9)

b1=f [ x1 , x0 ] (10)

b2=f [ x2 , x1 , x0 ] (11)

⋮

bn=f [ xn , xn−1 , …, x1 , x0 ] (12)

dengan evaluasi fungsi berkurung ( [ … ]) adalah pembagian beda hingga. Misalnya beda terbagi

hingga pertama di nyatakan secara umum sebagai

f [ x i , x j ]=f ( x i )− f ( x j )

x i−x j

(13)

Beda terbagi hingga kedua, yang menggambarkan perbedaan dari dua beda terbagi pertama,

diungkapkan secara umum sebagai

f [ x i , x j , xk ]=f [ x i , x j ]−f [ x j , xk ]

x i−xk

(14 )

Demikian pula, beda terbagi hingga ke-n adalah

f [ xn , xn−1 , …, x1 , x0 ]=f [ xn, xn−1 , …, x1 ]−f [ xn−1 ,…, x1, x0 ]

xn−x0

(15)

i x i f ( x i ) Satu Dua Tiga

0 x0 f ( x0 ) f [ x1 , x0 ] f [ x2 , x1 , x0 ] f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]1 x1 f ( x1 ) f [ x2 , x1 ] f [ x3 , x2 , x1 ]2 x2 f ( x2 ) f [ x3 , x2 ]3 x3 f ( x3 )

Gambar 1. Perlukisan grafis sifat rekursif beda – beda terbagi hingga

Beda- beda ini dapat dipakai untuk menghitung koefisien – koefisien dalam Persamaan

(9) samapai (12), yang kemudian dapat disubstitusikan ke persamaan (*) untuk menghasilkan

polinom interpolasi,

f n ( x )=f ( x0 )+( x−x0 ) f [ x1 , x0 ]+( x−x0 ) ( x−x1 ) f [ x2 , x1, x0 ] (16)

+…+ ( x−x0 ) ( x−x1) … ( x−xn−1 ) f [ xn , xn−1 , …,x0 ]

Yang di sebut polinom interpolasi beda-terbagi Newton (divided-difference interpolating

polynomial). Perlu diperhatikan bahwa titik – titik data yang di pakai dalam Persamaan (16)

tidak perlu berjarak sama atau bahwa nilai – nilai absis perlu dalam urutan menaik,seperti

diilustrasikan dalam contoh berikut. Perhatikan juga, bagaimana persamaan (13) sampai (15)

bersifat rekursif yakni beda- beda tingkat yang lebih tinggi disusu dari beda – beda yang lebih

rendah.

Contoh 1:

Pernyataan Masalah: titik data pada

x0=1 f ( x0 )=0

x1=4 f ( x1 )=1,3862944

x2=6 f ( x2 )=1,7917595

x3=5 f ( x3 )=1,6094379

Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln2 dengan polinom interpolasi beda terbagi

Newton orde-ketiga.

Penyelesaian: Polinom orde-ketiga, Persamaan (*) dengan n = 3 adalah

f 3 ( x )=b0+b1 ( x−x0 )+b2 ( x−x0 ) ( x−x1 )+b3 ( x−x0 ) ( x−x1 ) ( x−x2 )

Beda – beda terbagi pertama untuk masalah tersebut adalah

f [ x1 , x0 ]=1,3862944−04−1

=0,46209813

f [ x2 , x1 ]=1,7917595−1,38629446−4

=0,20273255

f [ x3 , x2 ]=1,6094379−1,79175955−6

=0,18232160

Beda – beda terbagi kedua adalah

f [ x2 , x1 , x0 ]=0,20273255−0,462098136−1

=−0,051873116

f [ x3 , x2 , x1 ]=0,18232160−0,202732555−4

=−0,02041095

Beda terbagi ketiga adalah

f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]=−0,020410950−(−0,501873116)5−1

Hasil – hasilnya untuk f [ x1 , x0 ] , f [ x2, x1 , x0 ], dan f [ x3 , x2 , x1 , x0 ] merupakan koefisien – koefisien

b1 , b2 , dan b3 dari persamaan (*). Bersama – sama dengan b0=f ( x0 )=0,0 , Persamaan (*) adalah

f 3 ( x )=0+0,46209813 ( x−1 )−0,051873116 ( x−1 )(x−4)

+0,0078655415 ( x−1 ) ( x−4 )(x−6)

Yang dapat di gunakan untuk menghitung

f 3 (2 )=0,62876869

Jadi, nilai ln 2 berdasarkan data yang di ketahui adalah 0,62876869

Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat 1. Hitunglah ln 4, apabila

diketahui: ln 2=0,69314718 dan ln 6=1,791759469

Nilai eksak ln 4=1,386294361

Penyelesaian:

i x i f ¿) Satu

0 2 0,69314718 0,274653072

1 6 1,791759469

f 1 ( 4 )=0,69314718+0,274653072 ( x−2 )

¿0,69314718+0,274653072 ( 4−2 )

¿1,242453324

Galat relatif = 1,386294361−1,242453324

1,386294361×100 %=10,38 %

Contoh 2:

Dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat 2, hitunglah nilai ln 4, apabila diketahui ln 2=0,69314718 , ln 3=1,098612289 dan ln 6=1,791759469. Nilai eksak ln 4=1,386294361

Penyelesaian :

i x i f x i Satu Dua0 2 0,69314718 0,405465109 -0,0436040121 3 1,09812289 0,2311049062 6 1,791759469

f 2 ( 4 )=0,69314718+0,405465109 ( x−2 )−0,043604012 ( x−2 ) ( x−3 )=1,416869374

Galat relatif = 1,386294361−1,416869374

1,386294361×100 %=−2,21 %

6. Spline Kubik

Contoh 6.4 Konstruksikan spline kubik untuk 4 titik data berikut:

terhadap syarat batas: S' ¿) =S' (0) = c0 = 2 dan S' (xn) = S' (3) = cn = 2

Penyelesaian. Lebar subinterval pada sumbu x:

h0 ¿ h1 = h2 = h3 = 1

dan beda terbagi pertama, dengan mengingat bahwa d i ¿ f ¿)¿ y i, yaitu :

d1−¿d0

h0

=1 ,d2−¿ d1

h1

=3 ,d3−¿ d2

h2

=1¿¿¿

Persamaan matriks dapat dituliskan sebagai

[2 1 01 4 10 1 4

001

0 0 12][b0

b1

b2

b3]=3¿,

yang mempunyai penyelesaian

b0 = -3, b1 = 3,b2 = -3, dan b3 = 3.

Disubstitusikan penyelesaian tersebut ke persamaan (6.19) untuk memperoleh koefisien-

koefisien lain dari spline kubik:

d0=0 , d1=1d2=2

c0=1−13

(3+2 (−3 ) )=2 ,c1=3−13

(−3 )+2(3)¿=2 ,c2=1−13(3+2(−3))=2

a0=3−(−3)

32 , a1=

−3−33

=−2, a2=3−(−3)

3=2

Terakhir, kita dapat menuliskan persamaan spline kubik seperti

S0 ( x )=2 x3−3 x2−2 x ,untuk x ∈[0,1]

S1 ( x )=−2¿

x 0 2 3

y 0 4 5

S2 ( x )=2¿