42

Bagian 5

Sistem Persamaan Linier 5. I. Pendahuluan

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier ada beberapa cara yang sudah

diketahui pada mata kuliah sebelumnya (Matriks dan Transformasi Linier), cara tersebut

dikenal dengan istilah cara analitik, dalam pembahasan ini akan diperkenalkan cara

menggunakan metode numerik, yang sesungguhnya hampir sama, akan tetapi pada metode

numerik lebih difokuskan pada algoritma urutan kerja penyelesaian (iterasi) sehingga

nantinya, mudah membuat desain program dalam bahasa komputer, dengan bahasa yang

diinginkan pemakai.

Secara umum, bentuk sistem persamaan linier dapat disajikan sebagai berikut :

1nn1222111 cxaxaxa

2nn2222121 cxaxaxa

…………………………………

…………………………………

mnmn22m11m cxa........xaxa

atau dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini :

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

c

c

c

x

x

x

a..aa

a..aa

a..aa

atau dinotasikan dalam bentuk matriks :

A . X = C ,

dengan A sebagai koefisien matriks, C disebut nilai konstanta persamaan bagian

kanan dan X sebagai Penyelesaian sistem persamaan.

5. 2. Sistem Persamaan Linier yang lebih sederhana

Beberapa metode secara analitik yang telah diketahui sebelumnya antara lain :

metode grafik, metode determinan dan aturan Cramer, dan Eliminasi bilangan Anu.

43

5.2. 1. Metode Grafik

Penyelesaian SPL dengan metode grafik dapat digambarkan pada sistem koordinat

siku-siku dengan satu sumbu berpadanan dengan x1 dan lainnya dengan x2. Atau secara

umum dapat dilukiskan sebagai :

a11x1 + a12x2 = c1

a21x1 + a22x2 = c2

kedua persamaan dapat diselesaikan untuk x2 :

x2 =

12

11

a

ax1 +

12

1

a

c atau

x2 =

22

11

a

ax1 +

22

1

a

c

dan x1 :

x1 =

11

12

a

ax2 +

11

1

a

c atau

x1 =

21

11

a

ax1 +

21

1

a

c

Jadi persamaan tersebut dapat dibuat dalam bentuk garis lurus, yaitu :

x2 = (kemiringan) x1 + perpotongan,

dengan x2 sebagai ordinat dan x1 sebagai absis. Perpoongan antara x1 dan x2 menyatakan

penyelesaian.

Contoh 5. 2.1

Gunakan metode grafik untuk menyelesaikan persamaan

3x1 + 2x2 = 18

–x1 + 2x2 = 2

Penyelesaian

Diketahui : x2 =

2

3x1 + 9 atau x2 =

2

1x1 + 1

Jadi penyelesaiannya adalah perpotongan dua garis pada x1 = 4 dan x2 = 3, sehingga jika

disubtitusi ke persamaan-persamaan semula menghasilkan :

3(4)+ 2(3) = 18 dan –4 + 2(3) = 2

44

Hasil – hasil ini setara dengan ruas kanan persamaan semula.

5. 2. 2. Metode Determinan dan Aturan Cramer

Aturan Cramer adalah teknik penyelesaian untuk SPL yang kecil jumlah

persamaannya. Salah satu prinsip dari aturan Cramer adalah Implementasi dari konsep

determinan.

Jika diketahui himpunan tiga persamaan :

a11x1 + a12x2 + a13x3 = c1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = c2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = c3

atau dapat dibuat dalam bentuk matriks menjadi,

A . X = C

bentuk determinan dari matriks tersebut adalah

D =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

atau

D = a11

3332

2322

aa

aa – a12

3331

2321

aa

aa + a13

3231

2221

aa

aa

di mana determinan – determinan 2 kali 2 dinamakan minor – minor.

Sehingga berdasarkan aturan Cramer dapat diselesaikan SPL dengan :

0 2 4 6

2

4

6

8

x1

x2

3x1 + 2x2 = 18

–x1 + 2x2 = 2

Penyelesaian : x1 = 4; dan x2 = 3

45

x1 = D

aac

aac

aac

33323

23222

13121

, x2 = D

aca

aca

aca

33313

23212

13111

, dan x3 = D

caa

caa

caa

33213

22212

11211

,

Contoh 5. 2.1

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan persamaan

0.3x1 + 0.52x2 + x3 = –0. 01

0.5x1 + x2 + 1. 9 x3 = 0. 67

0.1x1 + 0.3 x2 + 0.5 x3 = 0. 44

Penyelesaian

Diketahui Determinan D dapat dituliskan :

D =

5.03.01.0

9.115.0

152.03.0

Minor – minornya adalah

A1 = 5.03.0

9.11 = 1(0.5) – 1.9(0. 3) = –0. 07

A2 = 5.01.0

9.15.0 = 0.5(0.5) – 1.9(0.13) =0. 06

A3 = 3.01.0

15.0 = 0.5(0.3) – 1(0.1) = 0. 05

Sehingga determinan nya adalah

D = 0. 3(–0. 07) – 0.52(0. 06) + 1(0. 05) = –0. 0022

x1 = D

aac

aac

aac

33323

23222

13121

= 0022.0

5.03.044.0

9.1167.0

152.001.0

= 0022.0

03278.0

= – 14.9

46

x2 = 0022.0

5.03.044.0

9.1167.0

152.001.0

= 0022.0

0649.0

= – 29. 5

dan x3 = 0022.0

5.03.044.0

9.1167.0

152.001.0

= 0022.0

04356.0

= 19. 8

5. 2. 3. Metode Eliminasi Bilangan Anu

Eliminasi bilangan anu (unknown) atau tidak diketahui penggabungan persamaan –

persamaan dengan pendektan aljabar, misalkan untuk dua persamaan :

a11x1 + a12x2 = c1 (*)

a21x1 + a22x2 = c2 (**)

Misalkan persamaan (*) dikalikan a21 dan persamaan dikalikan dengan a11 (**) maka

persamaan menjadi

a11 .a21 x1 + a12. a21 x2 = c1. a21

a21 .a11 x1 + a22. a11 x2 = c2. a11

maka dengan pengurangan kedua persamaan ini akan menghasilkan,

a22 .a11 x2 – a12. a21 x2 = c2.a11 – c1a21 (***)

sehingga dapat diselesaikan menjadi,

x2 =

21122211

121211

aaaa

caca

Jika disubtitusikan ke persamaan (***) maka,

x1 =

21122211

212122

aaaa

caca

Contoh 5. 2. 3

Gunakan metode eliminasi bilangan anu untuk untuk menyelesaikan persamaan

3x1 + 2x2 = 18

–x1 + 2x2 = 2

PenyelesaianDiketahui,

x1 =

21122211

112122

aaaa

caca

47

x1 = )1(2)2(3

)18(2)18(2

= 0 dan,

x2 = )1(2)2(3

18)1()2(3

= 3

Jika metode ini digunakan untuk matriks yang lebih besar akan sangat

membosankan, satu metode yang lebih praktis adalah dengan metode eliminasi Gauss Naif.

5. 3. Sistem Persamaan Linier yang lebih besar

Pendekatan ke bentuk persamaan yang lebih besar untuk kasus himpunan n

persamaan yang umum :

1nn1222111 cxaxaxa (5. 3. 1)

2nn2222121 cxaxaxa (5. 3. 2)

…………………………………

…………………………………

mnmn22m11m cxa........xaxa (5. 3. 3)

5. 3. 1 Metode Eliminasi Gauss Naif

Metode ini mempunyai teknik – teknik untuk eliminasi maju ( forward elimination)

dan pensubtitusian mundur (back subtitution) yang merupakan bagian dari penyelesaian

metode Gauss. Metode ini cocok untuk algorima yang lebih sederhana diterapkan, akan

tetapi pada kasusu khusus harus dihindari pembagian dengan nol.

Dapat digambarkan secara sederhana dari metode ini untuk kasus matriks 3 x 3 sebagai :

3

2

1

333231

232221

131211

c

c

c

aaa

aaa

aaa

3

2

1

33

2322

131211

c

c

c

a

aa

aaa

Eliminasi

maju

Subtitusi

mundur

48

1131321211

2232322

3333

a/)xaxac(x

a/)xac(x

a/cx

Eliminasi maju dari bilangan anu (bilangan yang tidak diketahui), tahap pertama didesain

untuk mereduksi sistem persamaan ke sistem segitiga atas. Langkah awal adalah adalah

menghilangkan bilangan anu pertama x1 dari persamaan kedua sampai ke–n. untuk

melakukan ini, kalikan persamaan (5. 3. 1) dengan a21/a11 untuk memberikan hasil,

1

11

21

nn1

11

21

212

11

21

121 ca

axa

a

axa

a

axa

sekarang persamaan ini dapat dikurangkan dari persamaan (5. 3. 2) sehingga memberikan

hasil,

2nn2222121 cxaxaxa

1

11

21

nn1

11

21

212

11

21

121 ca

axa

a

axa

a

axa

1

11

21

2nn1

11

21

n2212

11

21

22 ca

acxa

a

aaxa

a

aa

atau 2nn2222 cxaxa

dengan cara yang sama prosedur ini diulang dimana persamaan (5. 3. 1) dikalikan dengan

a31/a11 dan hasilnya dikurangkan dengan persamaan ketiga. Dengan mengulangi prosedur

tersebut untuk persamaan sisanya akan dihasilkan sistem yang termodifikasi sebagai

berikut :

1nn1313222111 cxaxaxaxa (5. 3. 5)

2nn2323222 cxaxaxa (5. 3. 6)

3nn3333232 cxaxaxa (5. 3. 7)

…………………………………

nnnn33n22n cxaxaxa (5. 3. 8)

untuk langkah diatas, persamaan (5. 3. 2) disebut sebagai persamaan tumpuan (pivot

equation) dan a11 disebut koefisien tumpuan. Jika prosedur di atas diulangi dengan tujuan

menghilangkan bilangan anu kedua dari persamaan (5. 3. 7) sampai (5. 3. 8). Untuk

melakukan hal ini kalikan persamaan (5. 3. 6) dengan a32 / a22 dan kurangkan hasilnya

persamaan (5. 3. 7). Lakukan eliminasi serupa untuk persamaan sisanya guna

menghasilkan :

–

49

1nn1313222111 cxaxaxaxa

2nn2323222 cxaxaxa

3nn3333 cxaxa

…………………………

nnnn33n cxaxa

tanda aksen ganda menunjukkan bahwa elemen – elemen itu telah dimodifikasi dua kali.

Jika prosedur ini dilakukan dengan menggunakan persamaan – persamaan tumpuan

sisanya. Manipulasi terakhir dalam urutan depan adalah memakai persamaan ke – (n – 1)

untuk menghilangkan suku xn-1 dari persamaan ke – n.

1nn1313222111 cxaxaxaxa (5. 3. 9)

2nn2323222 cxaxaxa (5. 3. 10)

3nn3333 cxaxa (5. 3. 11)

…………………

)1n(

nn

)1n(

nn cxa (5. 3. 12)

dengan subtityusi mundur maka xn dapat diselesaikan :

xn = )1n(

nn

)1n(

n

a

c

untuk x sisanyadapat dinyatakan dengan rumus :

xi = )1i(

ii

n

1ij

j

)1i(

ij

)1i(

i

a

xac

Contoh 5. 3. 4

Gunakan eliminasi Gauss Naif untuk menyelesaikan persamaan :

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 13)

0.1x1 + 7x2 – 0.3 x3 = – 19.3 (5. 3. 14)

0.3x1 – 0.2x2 + 10 x3 = 71.4 (5. 3. 15)

Penyelesaian

Pada bagian I : Eliminasi Maju,

Kalikan persamaan (5. 3. 13) dengan (0.1)/3 dan kurangkan dengan persamaan (5. 3. 14)

sehingga,

7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617

50

kalikan persamaan (5. 3. 13) dengan (0. 3)/3 dan kurangkan dengan persamaan (5. 3. 15),

untuk mengeleminasi x1 maka kelompok persamaan itu menjadi,

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 16)

7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617 (5. 3. 17)

–0.1900x2 + 10.0200 x3 = 70.615 (5. 3. 18)

jika x2 dikeluarkan dari persamaan (5. 3. 18), kalikan persamaan (5. 3 17) dengan

-0. 190000/7.00333 kurangkan hasilnya dengan persamaan (5. 3. 18) sehinggga,

3x1 – 0.1x2 – 0.2 x3 = 7.85 (5. 3. 19)

7.0033x2 – 0.293333 x3 = – 19.5617 (5. 3. 20)

10.0120 x3 = 70.0843 (5. 3. 21)

dengan subtitusi mundur maka, dapat dikethui nilai,

x3 = 7. 00003

dengan mensubtitusi hasil ini kembali ke persamaan (5. 3. 20) maka,

7,00333x2 – 0. 293333(7.00003) = - 19. 5617

sehingga, x2 = – 2. 50000 dan begitu juga dengan subtitusi kembali hasil-hasil ini ke

persamaan (5. 3. 18),

3x1 – 0.1(– 2. 50000) – 0. 2(7. 00003) = 7. 85

yang dapat diselesaikan menjadi x1 = 3. 0000.