Met num 1

1

PENDEKATAN DAN PENYEDERHAANAN

MASALAH BERDASARKAN METODE NUMERIK

Oleh : Amri Sandy

Sillabus Mata Kuliah :

1. Pendahuluan

1. 1 Latar Belakang

1. 2 Metode Numerik dan Pemodelan Matematika

1. 3 Ruang Lingkup dan Perangkat Lunak

1. 4 Algoritma Penyelesaian Masalah Pada Metode Numerik

2. Sistem Bilangan dan Analisis Kesalahan (Error)

2. 1 Sistem Bilangan

2. 2 Analisis Kesalahan (Error)

2. 3 Tingkat Hampiran

2. 4 Bilangan Titik Kambang

2. 5 Perambatan Nilai Error

2. 6 Ketidaktepatan, Kesalahan Perumusan dan Ketidakpastian Data

3. Penyelesaian Persamaan Tidak Lninier

3. 1 Metode Pencarian Akar

3. 2 Metode Tertutup

3. 3 Metode Terbuka

3. 4 Akar Ganda dan Akar – akar Polinom

3. 5 Sistem Persamaan Tidak Linier

3. 6 Contoh Aplikasi

4. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

4. 1 Metode Eliminasi Gauss

4. 2 Metode Eliminasi Gauss - Jordan

4. 3 Metode Matriks Invers

4. 4 Metode Dekomposisi Matriks Segitiga Bawah dan Atas

4. 5 Determinan

4. 6 Metode Iterasi Untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Linier


5. Interpolasi dan Metode Regresi

5. 1 Masalah Interpolasi Polinom

5. 2 Polinom Lagrange

5. 3 Polinom Lagrange

5. 4 Polinom Newton

5. 5 Keunikan Polinom Interpolasi

6. Pendekatan Turunan Numerik

6. 1 Pendekatan Pada Perhitungan Masalah Turunan Numerik

6. 2 Turunan Pada Deret Taylor

6. 3 Turunan Numerik Pada Polinom Interpolasi

2

6. 4 Tingkat Kesalahan

6. 5 Ekstrapolasi Richardson


7. Integrasi Numerik

7. 1 Metode Titik

7. 2 Metode Newton Cotes

7. 3 Pendekatan Singularitas

7. 4 Penggunaan Ekstraplasi

7. 5 Integral Ganda


8. Penyelesaian Persamaan Differensial Biasa (PDB)

8. 1 Pendahuluan

8. 2 Persamaan Differensial Biasa Orde Satu

8. 3 Metode Euler

8. 4 Metode Heun

8. 5 Metode Deret Taylor

8. 6 Metode Runge Kutta

8. 7 Ekstrapolasi Richardson

8. 8 Metode Langkah Ganda

8. 9 Sistem Persamaan Differensial

8.10 Ketidakstabilan Metode PDB

8.11 Contoh Aplikasi

9. Penyelesaian Persamaan Differensial Parsil

9. 1 Persamaan Hiperbolik

9. 2 Persamaan Parabolik

9. 3 Persamaan Eliptik

9. 4 Conoth Aplikasi

10. Masalah Nilai Eigen dan Vektor Eigen 10.1 Sistem Persamaan Homogen : Masalah Nilai Eigen

10.2 Metode Pangkat

10.3 Metode Jakobi

10.4 Nilai Eigen dari Matriks Simetrik

10.5 Contoh Aplikasi

Daftar Pustaka

[1] Mathews., John H & Kurtis D. Fink.1999. Numerical Methods Using Matlab. Third

Edition. Printice–Hall, Inc. New York.

[2] Munir., Rinaldi. 2003. Metode Numerik. Penerbit Informatika. Bandung.

[3] Chapra., Steven C & Raymond P. Canale. 1988. Metode Numerik. Penerbit Erlangga.

Jakarta. (Alih Bahasa : Drs. I Nyoman Susila, M.Sc).

[4] Boyce, W. E & R. C. Diprima. 1996. Elementary Differential Equation & Boundary

Value Problems. 5th

ed. Wiley, New York.

[5] Stroud, K. A. 2003. Matematika Teknik Jilid 1 & 2. Penerbit Erlangga. Jakarta. (Alih

Bahasa : Drs. Alit Bondan, M.Kom).

3

Bagian 1

Pendahuluan

I. Mengapa Harus Belajar Numerik ?

1. mempermudah perhitungan jika metode analitik tidak dapat digunakan lagi pada

masalah Matematika.

2. memperkuat pengertian matematika

3. dapat mendesain program sendiri sesuai kebutuhan pemakai

4. dapat menyederhanakan matematika tingkat tinggi ke matematika yang lebih

sederhana

II. Tahap–tahap Pemecahan Masalah Secara Numerik ?

1. pemodelan

2. penyederhanaan model

3. formulasi numerik

4. pemrograman

5. operasional

6. evaluasi

III. Pokok - Pokok Bahasan Secara Umum pada Metode Numerik

1. Solusi Persamaan Tidak Linier

Misalkan, selesaikanlah f(x) = 0 untuk x

2. Solusi Sistem Persaman Linier

Misalkan sistem persamaan linier (SPL),

a11 x1 + a12 x2 = c1

a21 x1 + a22 x2 = c2

untuk harga–harga x1 dan x2

akar

y = f(x)

y

x

Titik potong kedua SPL

x1

x2

4

3. Interpolasi Polinom

Misalkan, diberikan titik-titik (x0, y0), (x1, y1), …, (xn, yn). Tentukan polinom p0(x)

yang melalui semua titik tersebut.

4. Turunan Numerik

Diberikan titik (xi, yi) dan

titik (xi+1, yi+1).

Tentukan f(xi)

5. Integrasi Numerik

Hitung Integral

I = b

a

dx)x(f

6. Solusi Persamaan Differensial Biasa

Diberikan dy/dx = f(x, y) dan dengan nilai awal y0 = y(x0)

Tentukan nilai y(xt) untuk xt R

.

y = p0(x)

y

x

y = f(x)

y

x

h

xi xi+1

yi+1

yi

y = f(x)

y

x

I = b

af(x)

a b

Gradien = f(xi, yi)

y

x

x

xi xi+1

yi

5

Bagian 2

Sistem Bilangan Dan Analisis

Galat (Error)

2. 1 Sistem Bilangan

2.1.1 Sistem Desimal

Sistem ini merupakan sistem dasar, dimana sistem ini kuantitas yang besar atau

kecil dapat disajikan dengan menggunakan simbol-simbol 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 bersama

dengan nilai tempat sesuai dengan posisinya [5].

Contoh 1

Misalkan, 2 7 6 5 , 3 2 110

Memiliki nilai tempat 103 10

2 10

1 10

0 10

-1 10

-2 10

-3

1000 100 10 1 101

1001

10001

Nilai tempat adalah pangkat-pangkat dari 10, yang diberi nama denari (atau

desimal) untuk sistem ini. Sistem denari disebut memiliki basis 10. Sistem desimal atau

denari ini, menuntun ke sistem lain yang memiliki jenis struktur yang sama tetapi

menggunakan nilai tempat yang berbeda.

2.1.2 Sistem Biner

Sistem ini banyak digunakan dalam semua bentuk aplikasi pensaklaran. Simbol

yang digunakan disini hanyalah 0 dan 1 dan nilai tempatnya adalah pangkat-pangkat dari

2, dengan kata lain, sistem ini memiliki basis 2.

Contoh 2

Misalkan, 1 0 1 1 , 1 0 12

Memiliki nilai tempat 23 2

2 2

1 2

0 2

-1 2

-2 2

-3

atau 8 4 2 1 21

41

81

Jadi 1011, 101 dalam sistem biner

= 1x8 0x4 1x2 1x1 1x21 0x

41 1x

81

= 8 + 0 + 2 + 1 + 21 + 0 +

81 dalam desimal.

= 1185 =11. 625 dalam sistem denari. Oleh sebab itu 1011, 1012 = 11, 62510.

Subskrip kecil 2 dan 10 menunjukkan basis kedua sistem tersebut. Dengan cara

yang sama ekivalen bilangan denari dari 1101, 0112 adalah 13, 375.

Karena

6

1 1 0 1 , 0 1 12

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 41 +

81 = 13

83 = 13, 375

2.1.3 Sistem Oktal

Sistem ini menggunakan simbol – simbol : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

dengan nilai tempat yang berupa pangkat – pangkat dari 8.

Contoh 3

Misalkan, 3 5 7 , 3 2 18

Sistem oktal 82 8

1 8

0 8

-1 8

-2 8

-3

Memiliki nilai tempat 64 8 1 81

641

5121

Jadi 3 5 7 , 3 2 18

= 3x64 5x8 7x1 3x81 2x

641 1x

5121

= 192 + 40 + 7 + 83 +

321 +

5121 = 239

512209 = 239, 40810

dengan kata lain 357, 3218 = 239, 40810.

Dengan cara yang sama 263,4528 = 179, 58210.

karena

2 6 3 , 4 5 28

= 2x82

6x81 3x8

0 4x

81 5x

321 2x

5121

= 2x64 6x8 3x1 4x81 5x

641 2x

5121

= 128 + 48 + 3 + 21 +

645 +

5122 = 179

256149 = 179,58210

2.1.4 Sistem Duodesimal (basis 12)

Dengan basis 12, kolom satuan perlu menampung simbol hingga 11 sebelum

muncul kelebihan kolom kedua terjadi. Sayangnya, simbol desimal hanya sampai 9, jadi

harus ada dua simbol baru, untuk menggambarkan nilai 10 dan 11. Beberapa saran untuk

simbol tambahan telah diusulkan, tetapi disini akan diadopsi simbol X dan masing

masing untuk 10 dan 11. yang pertama mengingatkan pada angka Romawi 10 dan dapat

dianggap sebagai goresan 1 1 yang dimiringkan untuk menyambung bagian atasnya.

Sistem ini menggunakan simbol – simbol : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X, .

Dengan nilai tempat yang berupa pangkat – pangkat dari 12.

Contoh 4

Misalkan, 2 X 5 , 1 3 612

Sistem oktal 122 12

1 12

0 12

-1 12

-2 12

-3

7


1441

17281

Jadi 2 X 5 , 1 3 612

= 2x144 10x12 5x1 1x121 3x

1441 6x

17281

= 288 + 120 + 5 + 121 +

481 +

2881 = 413,

28831

dengan kata lain 2X5, 13612 = 413, 10810.

2.1.5 Sistem Heksadesimal (basis 16)

Sistem ini digunakan pada komputer. Simbolnya perlu dicapai dengan denari 15

yang ekuivalen, sehingga, setelah 9, huruf alfabet digunakan sebagai berikut :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Nilai tempat pada sistem ini ada pangkat–pangkat dari 16.

Contoh 5

Misalkan, 2 A 7 , 3 E 216

Sistem oktal 162 16

1 16

0 16

-1 16

-2 16

-3


2561

40961

Jadi 2 A 7 , 3 E 216

= 2x256 10x16 7x1 3x161 14x

2561 2x

40961

= 6792048497 = 679, 24310

Cara lain untuk sampai pada hasil yang sama ialah dengan menggunakan fakta

bahwa dua kolom yang bersebelahan berbeda dalam nilai tempatnya sebesar faktor yang

merupakan basis sistem tersebut. Contoh berikut akan ditunjukkan metode tersebut.

Nyatakanlah bilangan oktal 357, 1218 dalam bentuk desimal. Pertama – tama,

perhatikan bilangan cacah 3578. Pada awal ujung kiri kalikanlah kolom pertama dengan

basis 8 dan tambahkanlah hasilnya ke entri pada kolom berikutnya (yang berjumlah 29).

3 5 7

x 8 24 232

24 29 239

x 8

232

Selajutnya ulangi proses ini. Kalikan julah kolom kedua dengan basis 8 dan

tambahkanlah hasilnya ke kolom berikutnya. Perkalian akan menghasilkan 239 pada

kolom satuannya.

Jadi 3578 = 23910.

8

Untuk bagian desimalnya yaitu 0, 1218

0 , 1 2 1

x 8 8 80

8 10 81

x 8

80

Berawal dari kolom kiri setelah tanda koma, kalikan dengan 8 dan tambahkanlah hasilnya

ke kolom berikutnya. Ulangi proses ini, akhirnya akan diperoleh jumlah 81 pada kolom

akhir. Akan tetapi karena nilai kolom ini 8-3

, sehingga nilai desimal dari 0, 1218 adalah 81

x 8-3

= 51281 = 0, 158210, dengan mengabungkan kedua hasil parsial ini, maka 357, 1218 =

239, 158210. Dapat juga disusun secara melebar seperti berikut :

3 5 7 , 1 2 1

x 8 24 232 x 8 8 80

24 29 239 8 10 81

x 8 x 8

232 80

81 x 38

1 = 51281 = 0, 158210 sehingga 357, 1218 = 239, 158210.

Nyatakanlah duodesimal 245, 13612 dalam bentuk desimal atau denari.

Dengan proses yang serupa dengan sebelumnya maka,

2 4 5 , 1 3 6

x 12 24 336 x 12 12 180

24 28 341 12 15 186

x 12 x 8

336 180

Karena nilai kolom terakhir adalah 12-3

, maka 0, 13612 = 186 x 12-3

= 1728186 = 0, 107610

Jadi 245, 13612 = 341, 107610.

Contoh 6

Carilah ekuivalensi bilangan berikut :

a. Dari bilangan desimal ke bilangan biner, 11011, 10112 !

b. Dari bilangan heksadesimal ke bilangan desimal, 4 C 5, 2 B 8 !

Penyelesaian

a.

1 1 0 1 1 , 1 0 1 1

x 2 2 6 12 26 x 2 2 4 10

2 3 6 13 27 2 2 5 11

x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

6 12 26 4 10

9

Karena nilai tempat 2-4

, 11 x 2-4

= 6

11 = 0, 687510, 11011, 10112 = 27, 687510

b.

4 C 5 , 2 B 8

x 16 64 1216 x 16 32 688

64 76 1221 32 43 696

x 16 x 16

1216 688

Karena nilai tempat 16 -4

, 696 x 16-4

= 4096

696 = 0, 1699210,

4C5,2B816 = 1221,169910.

Latihan :

Nyatakanlah bilangan – bilangan berikut dalam bnetuk desimal :

1. 11001, 112

2. 4X9, 2512

3. 776, 1438

4. 6F8, 3D516

Penyelesaian :

1. 25, 7510

2. 510, 19310

3. 705, 24610

4. 1784, 24010

10

2.1.6 Mengubah Basis dari Desimal ke Basis Baru

a. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk Biner

Cara paling mudah untuk melakukan hal ini, adalah dengan pembagian

berulang dengan 2 (basis baru), dengan memperhatikan sisa pada setiap tahap,

sampai hasil bagi nol diperoleh.

Contoh 7:

Ubah 24510 kebentuk bilangan biner :

2 24510

2 122 – 1

2 61 – 0

2 30 – 1

2 15 – 0

2 7 – 1

2 3 – 1

2 1 – 1

0 – 1

Jadi 24510 = 111101012 (sisa, ditulis dengan urutan terbalik atau dari bahwa

keatas).

b. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk oktal

Metode ini sama dengan sebelumnya, yaitu membagi secara berulang

dengan 8 (basis baru).

Contoh 8:

Ubah 52410 kebentuk bilangan oktal :

8 52410

8 65 – 4

8 8 – 1

8 1 – 0

0 – 1

Jadi 52410 = 10148.

c. Untuk menyatakan bilangan Desimal ke bentuk Duodesimal

Metode ini sama dengan sebelumnya, yaitu membagi secara berulang

dengan 12 (basis baru).

Metode ini cukup cepat dan mudah jika bilangan desimalnya yang diubah tersebut

berupa bilangan cacah.

11

Contoh 9:

Ubah 89710 kebentuk bilangan biner :

12 89710

12 74 – 9

12 6 – 2

0 – 6

Jadi 89710 = 62912 (sisa, ditulis dengan urutan terbalik atau dari bahwa keatas).

d. Untuk mengubah bentuk bilangan Desimal ke bentuk Oktal

Untuk mengubah 0,52610 ke bentuk oktal, kalikan bilangan desimal itu

secara berulang dengan basis baruya, (dalam hal ini 8), tetapi pada perkalian yang

kedua dan seterusnya, tidak mengalikan bagian bilangan cacah hasil kali

sebelumnya.

Contoh 10 :

0, 52610

8

4, 208

8

Disini dikalikan dengan 8, tetapi desimalnya saja

1, 664

8

5, 312

8

2, 496 dan seterusnya

Jadi 0, 52610 = 0, 41528 ( ditulis dengan urutan dari atas kebawah).

Mengkonversi bilangan deimal ke sebarang bilangan dasar, baru dilakukan dengan

cara yanga sama.

Contoh 11 :

0, 30610

12

3, 672

12

8, 064

12

0, 768

12

9, 216

12

2, 592

0, 30610 = 0, 380912

12

Jika bilangan desimal berisi bagian bilangan cacah maupun desimal, kedua bagian

itu dikonversi secara terpisah dan disatukan pada hasil akhirnya.

Contoh 12 :

Nyatakanlah 492, 73110 dalam bentuk Oktal !

penyelesaian

8 49210

8 61 – 4

8 7 – 5

0 – 7

Sehingga 492, 73110 = 754, 56628

Latihan :

1. Nyatakanlah bilangan desimal 348, 65410 ke bentuk oktal, biner, dan heksadesimal !



Penyelesaian :

1. 348,65410 = 534, 5178

= 101 011 100, 101 001 111 (dibuat dalam tiga digit biner)

= 101011100,1010011112

= 0001 0101 1100 , 1010 0111 1000 (dibuat dalam empat digit biner

dari dua arah)

= 1 5 (12), (10) 7 8

= 15C, A7816

2. 428, 371 = 654, 27610

= 110 101 100, 010 111 110

= 0001 1010 1100, 0101 11112

= 1AC, 5F16

3. 163, 24510 = 243, 1758

= 010100011,0011111012

= 1010 0011, 0011 1110 10002

= A3, 3E816

, 73110

8

5 , 848

8

6 , 784

8

6 , 272

8

2 , 176

Met num 1

Documents

Transcript of Met num 1