Matriks Dan Transformasi Linier

7/21/2019 Matriks Dan Transformasi Linier

http://slidepdf.com/reader/full/matriks-dan-transformasi-linier-56def26bcab10 1/46

Matriks dan Transformasi

Linier

Dra. Dwi Achadiani, M.Kom



Vektor

• Definisi:Vektor adalah besaran yang mempunyai arahdan besar, contoh: kecepatan, gaya, percepatan.

● ●

• Lambang : a : vektor a

besar arah

Titik awal

Titik ujung



Operasi vektor daam bidang

Operasi pen!"mahan d"a vektor

• Deinisi:

!ika a dan b dua vektor dengan titik awal yang sama,

maka jumlah a dan b " a # b $ adalah vektor yang

merupakan diagonal jajaran genjang .

a

b

a # b



%iat penjumlahan vektor

komutati$"hukum.abba&.

adariinversadalahbmaka',baa(.

a'a).

$assosiati $."*ukumcb"ac$ba"+.+$ba",+b,+a-.

+=+=+→∀

=+++=++

∈+→∈∈

Operasi perkaian vektor dengan bi rie

%iat perkalian vektor dengan bil riel



ba b1)(a9.

0αmaka,0aα8.

aa1)(7.00α;0a06.

bβaαaβ)(α5.

bβaα) baα(4.

aa1.3.aαβ)aα(β2.

2R aα,2R aR,α1

−=−+==

−=−==

+=++=+

= =

∈→∈∈

Kombinasi Linier



Deinisi:

!ika na,........3

a,2

a,1

a adalah vektorvektor

di /"atau di $, maka:

dinamakan kombinasi linier dari

3R nanα.............2

a2

α1

a1

α +++

na,,........3a,2a,1a

#an!ang Vektor $%orm&

Deinisi:

0anjang vektor di dideinisikan :nR

2nx.........2

2x2

1xx +++=



'"d"t antara d"a vektor

%udut 1 antara dua vektor di /, jikamemenuhi persamaan berikut:

, dengan

ydanx

yx

yxcosθ

•=

∑=

=• n

-i iyi

2y2



#erkaian 'iang

Deinisi:

!ika + vektor di , maka:

bdana 3R

k-b+a+b-a j)b-a-b)ai+b)a)b+ab2a

:maka

k)b j

+bi

-b2k

)a j

+ai

-ab2a

absin1b2a

−+ −+ −=

++ ++=

=

i panjangnya - unit dan searah sumbu 2



k

panjangnya - unit dan searah sumbu y

panjangnya - unit dan searah sumbu 3

x

y

z

k

i

4aka vektor dapat ditulis menjadi k a aiaa!yx

++=



• (arak d"a titik )ang berada pada d"a "!"ng

vektor

4aka jarak antara titik 5 ke titik 6 adalah d, dengan:

+

)a

)b

+

+a

+b

+

-a

-bd

−+

−+

−=

)a,a,a(" 321

) b, b, b(#321

x

y

z

d



*ergant"ng Linier dan *ebas Linier

Vektor vektor : , apabila

dengan tidak semua berharga nol, maka

vektor disebut bergant"ng inier , sedangkan apabila

semua berharga nol maka vektor disebut bebas

inier .

na.........,,.........3a,

2a,

1a

0n

1i iai

α =∑= i

α

iα



Vektor pembent"k r"ang vektor

Deinisi:

suatu himpunan vektorvektor

disebut sistem pembentuk ruang vektor V, ditulis

V7 bila setiap

dapat ditulis sbg kombinasi linier dari $%,...,%,%&m21

$%,...,%,%&'m21

$%,...,%,%&m21

∈



• Dimensi dan *asis

Dimensi

Deinisi:

suatu vektor V dikatakan berdimensi n bila dapat

diketemukan suatu himpunan n vektorvektor

V yang bebas linier

5tau : maksimum banyaknya vektorvektor V

yang bebas linier .



*asis

Deinisi:

%etiap sistem pembentuk yang bebas linier

disebut basis ruang vektor tersebut.



MAT+K'

Definisi:

4atriks adalah sekumpulan bilangan yang

disusun dalam sebuah empat persegi panjang,

secara teratur, di dalam barisbaris dan kolomkolom.

mna......m2

am1

a ...........................

2na......

22a

21a

1na......

12a

11a

4atriks di atas disebut matriks ukuran m 2 n



Operasi Matriks

-. Operasi Kesamaan

Dua matriks 5 dan 6 disebut sama, jika:

a$ 5 dan 6 sejenis

b$ %etiap unsur yang seletak sama.

=−

=−

=1321*,

1321#,

1321"

5 7 6, 5 8 9, 6 8 9



.#en!"mahan d"a matriks

Definisi:

!umlah dua matriks 5 dan 6 yang sejenis adalah

sebuah matriks 9 yang sejenis pula dengan

unsurunsur , dimana terdapat hubungan:

.

ic

i b

ia

ic

+=

=== ic*,i b#,ia"

−=−−==

9152*,

5142#,

4210"

=−+=+

=−−+=+

133

62+

91

52

42

10*"

91

52+ 51

42

42

10#"



'ifat/sifat pen!"mahan:

omutati : 5 # 6 7 6 # 5

5ssosiati : 5 # "6 # 9$ 7 "5 # 6$ # 9

0.#erkaian dengan skaar $ &

0erkalian sebuah matriks dengan skalar " $ maka setiap unsur matriks tersebut terkalikan

dengan skalar " $.

, maka 5 7 .

= ia"

λ ia

λ

λ

λ

λ



%iatsiat perkalian matriks dengan skalar

-. "5 # 6$ 7 5 # 6+. " # ; $ 5 7 5 # ; 5

). "; 5$ 7 ; 5

λ

λ

λλλλλ



4. Perkalian dua matriks

-/inisi0

-%a maiks " (m x n), dan # ( x 4) did/inisikan

5asi6 ka6inya, ika n 7 , maka 5asi6ka6i ada6a5

maiks * (m x 4) dn8an %ns%+%ns%0

∑=

=

++++=n

1k k b

ik a

ic

n bina....... 3 b3ia 2 b2ia 1 b1iaic



Catatan:

9 :ka6ian 2 maiks "# daa did/inisikan, ika

banyaknya kolom matriks A = banyaknya barismatriks B.

9 ;asi6 ka6i d%a maiks "# ada6a5 s%a% maiksdn8an banyaknya bais 7 banyaknya bais maiks

"dan banyaknya ko6om 7 banyaknya ko6om maiks #.

9 :ada %m%mnya "# < #"

*ono50

( ) ( )20*,

4

32

#,321" ====

62 5

- 2 ) ) 2 - - 2 -



iterdeinis tdk62 59 =−−

==

=−

−

=

954100

532

105

32

954 100

532

#,105

32

"

+ 2 + ) 2 )



Macam-macam matriks

1. Matriks bujursangkar

Deinisi: maiks b%%san8ka ada6a5 maiks

dimana banyaknya bais 7 banyaknya ko6om

!. Matrik satuan" matriks identitas

9 =aiks b%% san8ka 9 >ia %ns%nya no6, kc%a6i didia8ona6 %ama 7 1

= −−=954

100

532

#,105

32"



9ontoh :

= =100

010

001

3?,

10

01

2?

".? 7 ?."

?.? 7 ?

#. Matriks segitiga

9 =aiks b%%san8ka

9 @ns% di aasAdi baBa5 dia8ona6 %ama ada6a5 no6



*ono5 0

=

=87

01#,

900

740321

"

1.Matriks Tranpose

• Tidak perlu bujursangkar

• %etiap baris ditukar tempat dengan kolom



*ono5 0

( )

=

=

=

=

172

054#C,

10

75

24

#

321"C,

3

2

1

"



'ifat/sifat matriks transfose

TTT

TT

TT

TTT

56(."56$

5$"5).

5$+."56 56$-."5

=

=

= +=+

D D



2ontoh

( )

( )

( ) ( )

TTT

TT

TT

T

56"56$

)(

-+

'-

)+

'+- 56

'+-6,

-+

'-)+

5

)("56$)

( 56

'

+

-

6,

- ' )

+ - + 5

=⇒

=

=

=

=

=⇒

=

=

=



$. Matriks simetris

=aiks " disb% simis aabi6a

9 =aiks #%% san8ka

*ono5

"C

" =

870

732

021

32

21,



%. Matriks ske& simetris

=aiks " disb% maiks skB simi ika9 #%% san8ka

*ono5

"

C

" −=

−−

−

070

702

020

,

02

20



4atriks %kew simetris , maka

<ntuk = 7 j maka

!adi diagonal utama matriks skew simetris 7 '

"C

" −= jia

ija −=

iia

iia −= 0=

ii+a



'. Matriks Diagonal

9 =aiks b%%san8ka

9 >m%a %ns% no6, kc%a6i didia8ona6 %ama

500

030

001



3. Matriks %o

•Tidak perlu matriks bujur sangkar

• %emua unsurnya nol

000

000

5.' 7 '

5 # ' 7 5

5.6 7 ', apakah 5 7 ' >atau 6 7 '> atau kedua

duanya nol



Dai:

%embarang matriks bujur sangkar dapat ditulis

sebagai jumlahan dua matriks yang satu simetrisyang lain skew simetris

=

=

=

=

00

0

40

20

0

40

20

0

'+

'''

).(+ 526

+

6,

'''

).(+ 5



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

simisskBEEC

E

""C21"CC"C

21EC,"C"

21E

simis:,:C

:

""C21"CC"C

21:C,"C"

21

2"C

2":

2

"C

2

"E,

2

"C

2

":

2

"C

2

"C

2

"

2

"

"

→−=

−=−=−=

=

+=+=+=+=

−=+=

−++=

6ukti:



−−

−

=

−

=

=

+

=+=

=⇒

=

∞

∞

0121

101

2110

0210

23231

21021

02321

21230

0121

0221

231

2111

0210

23231

21021

02321

21230

0121

22

010

332

101

031

130

021

/

/

/

/ /

/ /

/ /

/ /

/

/

/

/

/ /

/ /

/ /

/ /

/

?

5 50

5 5

4atriks %imetris

4atriks %kew %imetris



2ek

5

?0

=

=

−−−

+

=+

031

100

021

0121

1012110

0221

2312111

/

/

/

/



Transformasi $operasi& 4ementer pada *aris

dan Koom Matriks

Transormasi @lamenter pada matriks adalah:

0enukaran tempat baris ke i dan ke j "baris ke i dijadikan

baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i$, ditulis * "5$

0enukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j "kolom ke i

dijadikan kolom ke j atau sebaliknya$, ditulis "5$

4emperkalikan baris ke i dengan skalar 8 ', ditulis

* "5$

4emperkalikan kolom ke i dengan 8 ', ditulis "5$

4enambah baris ke i dengan kali baris ke j, ditulis

* "5$

λ

ij

ij

i)(λ

λ i

)(λ

λ

ij)(λ



4enambah kolom ke i dengan kali kolom ke j,ditulis

"5$

adang untuk operasi "-$ dan ")$ dapat dilakukan dalam

satu langkah : 4enambah kali baris ke i dengan

kali baris ke j, ditulis * "5$

Demikian pula untuk untuk operasi "+$ dan "($

6ila menggunakan operasi baris maka disebut operasi

baris elementer "A6@$

λ

)(λ

λ

ij

-

λ

+

i )(1

λ j )(2

λ



2ontoh:

=

⇒

⇒

−

⇒

+ ( + +

( ( - )

-+ ' + B

' + + +

- + - )

( ' + B

' + + +

( ' + B

- + - )

- ' ) -

+ ' - (

- + - )

tersebut.69arilah.

elementer sitransormasederetan

dihasilkanyang6matrikcarilah

- ' ) -

+ ' - (

- + - )

5

"-$(-

"+$)

**

*

"+$

),

"-$

(-

,-+

*,"+$

+*,

"-$

)-*

121

31

22

)(

)(

,



nvers '"at" Transformasi Linier

!ika suatu transormasi elementer adalah:

• 5 7 * "6$ 7 * "6$

• 5 7 "6$ 7 "6$

• 5 7 * "6$ 7 * "6$

• 5 7 "6$ 7 "6$

• 5 7 * "6$ 7 * "6$ 5 7 "6$ 7 "6$

)(λ

ij ij

ij

-

ij

i

-

i-Cλ-

i

)(λ -

i-Cλ

ij

)(λ -

ij

)( λ−ij

)(λ -

ij)( λ−



5

--'+

++--+D'(

--'+

+D'(++--

---)

+D'(

++--

-)--

+('D

+--+

-)+-

+('D

+-++

5..9arilah,,*,*:turutberturutelementer sitransorma

sederetandengan 5dari diperoleh,

-)+-

+('D

+-++

6

-+*-$")-*

-)"-C+$

+

"+$

+-)

"-$

)--+

=

−−

−−

=

⇒−

⇒

⇒⇒

2ontoh



#engg"naan O*4

• Mencari +ank Matriks

5dalah jumlah maksimum barisCkolom yang

bebas linier " tidak semua unsur dalam suatu

barisCkolom nol$

• Mecari invers matriks

$ A: & $ :A &/-O*4



2ontoh

=

)((

+-+

-)+

5darimatriksrank-.9ari2)(

31

1)(

21

H

H−

−

)-'

++'

-)+)1(

2

)2(

3H

(''

++'

-)+)2(

2)1(

−3H

'''

++'

-)+

4aka rank matriks 5 7 +



+. 9arilah invers dari matriks

2)(21

4)(32

H

H

1-

100:814

010:31-2

001:201

)A:(II):(Abentuk

814

31-2

201

−

−

→



−−

−

=

−−

−

−

−

−

−−

−

−

−

11 61 04

2211

A,11 6:1 001 04:010

2211:001

11 6-:1-001-04:01-0

2211:001

11 6-:1-00012-:11-0

001:201

H

104-:010

012-:11-0

001:201

100:814

010:31-2

001:201

1H

H

H

H

(1)

32

H

H

1)(3

(-1)2

1)(23

(2)13

2)(21

4)(

32

Matriks Dan Transformasi Linier

Documents

Transcript of Matriks Dan Transformasi Linier