Aljabar Linear

Matrik

Supandi

Sub pokok bahasan

Pengertian Matriks

• Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

• Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.

• Matriks adalah himpumam suatu bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

• Bilangan tersebut disebut entri / elemen

Notasi matriks

• Lambang matrik huruf besar• Lambang elemen huruf kecil• Notasi yang dipakai:

atau

atau

Notasi matrik (2)

• A =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

....

::::

....

.....

21

22221

11211

Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)

Baris ke -1

Kolom ke -2

Matrik A berukuran (ordo) m x n

Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan jijij ba

Jenis Matriks• MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua

elemennya nol Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.• MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang

jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.

Contoh : Matriks berukuran 2x2

A =

32

41

• MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.

Contoh :  

• MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.

Contoh :

• Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

300

050

002

100

010

001

• MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.

Contoh :   A=

• MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A =

400

040

004

400

540

123

• MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.

A=

• MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

Contoh :

A = =

496

041

003

TAA

110

132

021TA

110

132

021

• MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut.

Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0Contoh :

A

0120

1043

2401

0310

TA

0120

1043

2401

0310

• MATRIK PARTISI : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

A 0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

1 0 0 2 -1

0 1 0 1 3

0 0 1 4 0

0 0 0 1 7

0 0 0 7 2

I adalah matrik identitas 3 x 3, B adalah matrik 3 x 2O adalah matrik nol 2 x 3C adalah matrik 2 x 2

Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2

2

2

2 -2 -4

A -1 3 4 Tentukan A !

1 -2 -3

2 -2 -4 2 -2 -4 2 -2 -4

A A.A -1 3 4 -1 3 4 -1 3 4 A

1 -2 -3 1 -2 -3 1 -2 -3

Jawab

3

1 1 3

A 5 2 6

-2 -1 -3

1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0

A A.A.A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0

-2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0

0

Contoh beberapa kasus pemangkatan Contoh beberapa kasus pemangkatan matrikmatrik

2 31 1A Hitung A dan A

1 1

1.

2

3 2

1 1 1 1 2 2A

1 1 1 1 2 2

2 2 1 1 4 4A A A

2 2 1 1 4 4

jawab

Disimpulkan Disimpulkan

n-1 n-1n

n-1 n-1

2 2A untuk n 1

2 2

Untuk n = 1

1-1 1-1 0 01

1-1 1-1 0 0

2 2 2 2 1 1A A

1 12 2 2 2

2 3 40 -1B Tentukan: B ,B dan B !

1 0

2.

2

3 2

4 3

0 -1 0 -1 -1 0 B

1 0 1 0 0 -1

-1 0 0 -1 0 1B B B

0 -1 1 0 -1 0

0 1 0 -1 0 1B B B

-1 0 1 0 1 0

jawab

0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1, , , , ..............

1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0

Operasi Matriks• Penjumlahan MatriksPenjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat

dijumlahkanContoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

67

74

14

13

53

61

• Pengurangan MatriksPengurangan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat

dkurangkanContoh =

a.

b.

hdgc

fbea

hg

fe

dc

ba

41

52

14

13

53

61

• Perkalian MatriksPerkalian Matriks Perkalian Skalar dengan MatriksPerkalian Skalar dengan MatriksContoh :

Perkalian Matriks dengan MatriksPerkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

kskr

kqkp

sr

qpk

)23()32(

,

xx ut

sr

qp

Bgfe

dbaA

)22()23(

)32( ..x

x

x gufseqgtfrep

dubsaqdtbrap

ut

sr

qp

gfe

dbaBA

Contoh

Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah baris matrik A

Latihan

1.

2.