Besaran Matematis :Skalar dan Vektor

2.1

Sifat besaran fisis : SkalarVektor

Besaran SkalarBesaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Contoh : waktu, suhu, volume, laju, energiCatatan : skalar tidak tergantung sistem koordinat

Besaran VektorBesaran yang dicirikan oleh besar dan arah.

z

x

y

2.2

2.1 BESARAN SKALAR DAN VEKTOR

Contoh : kecepatan, percepatan, gayaCatatan : vektor tergantung sistem koordinat

Gambar :P Q

Titik P : Titik pangkal vektor

Titik Q : Ujung vektor

Tanda panah : Arah vektor

Panjang PQ = |PQ| : Besarnya (panjang) vektor

2.3

Catatan :Untuk selanjutnya notasi vektor yang digunakan huruf tebal

Notasi Vektor

A Huruf tebal

Pakai tanda panah di atasA

A Huruf miring

Besar vektor A = A = |A|

(pakai tanda mutlak)

2.2 PENGGAMBARAN DAN PENULISAN (NOTASI) VEKTOR

a. Dua vektor sama jika arah dan besarnya sama

A B A = B

b. Dua vektor dikatakan tidak sama jika :

1. Besar sama, arah berbeda

AB

A B≠

2. Besar tidak sama, arah sama

A B

3. Besar dan arahnya berbeda

A B

2.4

A B≠

A B≠

2.3 OPERASI MATEMATIK VEKTOR

1. Operasi jumlah dan selisih vektor2. Operasi kali

2.3.1 JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR

Metode:

1. Jajaran Genjang2. Segitiga3. Poligon4. Uraian

1. Jajaran Genjang

R = A + B+ =A

B

B

-B

R = A+B

S = A

-B

A

Besarnya vektor R = | R | = θcos222 ABBA ++

2.5Besarnya vektor A+B = R = |R| = θcos22 ABBA ++Besarnya vektor A-B = S = |S| = θcos2 ABBA -+

2

22

2.6

2. Segitiga

3. Poligon (Segi Banyak)

Jika vektor A dan B searah θ = 0o : R = A + B Jika vektor A dan B berlawanan arah θ = 180o : R = A - B Jika vektor A dan B Saling tegak lurus θ = 90o : R = 0

Catatan : Untuk Selisih (-) arah Vektor di balik

+ =A+B

A

BA

B

+ + + =A B

CD

A+B+C+D

AB

CD

Ay

By

Ax Bx

A

B

Y

X

Vektor diuraikan atas komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y)

A = Ax.i + Ay.j ; B = Bx.i + By.j

Ax = A cos θ ; Bx = B cos θ

Ay = A sin θ ; By = B sin θ

Besar vektor A + B = |A+B| = |R|

22yx RR +|R| = |A + B| =

Arah Vektor R (terhadap sb.x positif) = tg θ =x

y

R

R

2.7

4. Uraian

x

y

R

Rθ = arc tg

Ry = Ay + ByRx = Ax + Bx

1. Perkalian Skalar dengan Vektor

2. Perkalian vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product)

b. Perkalian Silang (Cross Product)

1. Perkalian Skalar dengan Vektor Hasilnya vektor

C = k A k : SkalarA : Vektor

Vektor C merupakan hasil perkalian antara skalar k dengan vektor A

Catatan : Jika k positif arah C searah dengan A

Jika k negatif arah C berlawanan dengan A

k = 3,A C = 3A

2.8

2.3.2 PERKALIAN VEKTOR

2. Perkalian Vektor dengan Vektor

a. Perkalian Titik (Dot Product) Hasilnya skalar

A • B = C C = skalar

θ

A

B

B cos θ

A cos θ

2.9

Besarnya : C = |A||B| Cos θA = |A| = besar vektor AB = |B| = besar vektor BΘ = sudut antara vektor A dan B

2.10

1. Komutatif : A • B = B • A

2. Distributif : A • (B+C) = (A • B) + (A • C)

Catatan :

1. Jika A dan B saling tegak lurus A • B = 02. Jika A dan B searah A • B = A • B3. Jika A dan B berlawanan arah A • B = - A • B

b. Perkalian Silang (Cross Product)

θ

A

B

C = A x B

θB

A

C = B x A

Catatan :

Arah vektor C sesuai aturan tangan kanan

Besarnya vektor C = A x B = A B sin θ

2.11

Hasilnya vektor

Sifat-sifat :

1. Tidak komunikatif A x B B x A

2. Jika A dan B saling tegak lurus A x B = B x A

3. Jika A dan B searah atau berlawan arah A x B = 0

=

2.4 VEKTOR SATUAN

Vektor yang besarnya satu satuan

A

AA =ˆ

Dalam koordinat Cartesian (koordinat tegak)

Z

Y

X

j

k

i

A Arah sumbu x :

Arah sumbu y :

Arah sumbu z :

2.12

Notasi 1ˆˆ ===A

AAA Besar Vektor

kAjAiAA zyxˆˆˆ ++=

k

j

i

2.13

i

j

k

Sifat-sifat Perkalian Titik (Dot Product) Vektor Satuan

= =

= =

=

=

1

0

ii •

ji •

jj •

kj •

kk •

ik •

Sifat-sifat Perkalian silang (Cross Product) Vektor Satuan

i x i j x j k x k= = = 0

i x j

j x k

k x i

=

=

=

k

j

i

1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :

Jawab :

Besar dan arah vektor pada gambar di samping :

Contoh SoalContoh Soal

X

Y

E

A

C

D

BVektor Besar (m) Arah (o)

A 19 0

B 15 45

C 16 135

D 11 207

E 22 270

Hitung : Besar dan arah vektor resultan.

Vektor Besar (m) Arah(0) Komponen X(m) Komponen Y (m)

ABCDE

1915161122

045135207270

1910.6-11.3-9.8

0

010.611.3-5-22

RX = 8.5 RY = -5.1Besar vektor R :

Arah vektor R terhadap sumbu x positif :

θ = 329.030 (terhadap x berlawanan arah jarum jam )

= R

== 22

X

RR + 5.8 +y

2 )1.5( - 2 01.94. = 9.67 m

tg θ = = - 0,65.81.5-

2.14

2. Diketahui koordinat titik A adalah (2, -3, 4). Tuliskan dalam bentuk vektor dan berapa

besar vektornya ?

Vektor

Jawab :

= ++22 (-3)2 42A A

= 2i – 3j + 4kA

= = 29 satuan

3. Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua buah vektor berikut ini :

2i – 2j + 4kA =

i – 3j + 2kB =

Jawab :

Perkalian titik :

A . B = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2

= 16

Perkalian silang :

A x B =

231422

--

kji

= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j + {2.(-3) – (-2).1} k

= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+2) k

= 8i – 0j – 2j

= 8i – 2k

2.15