Matematika Ekonomi IMatematika Ekonomi I

I. Sistem Bilangan

Bilangan

Nyata Khayal

I rrasionalHasil bagi antara 2

bilangan berupapecahan dengan

desimal tak terbatasdan tak berulang

RasionalHasil bagi antara 2

bilangan, berupa bil.Bulat/pecahan

dengan desimalterbatas

Bulat Pecahan

II. Himpunan

• Adalah Suatu kumpulan/gugusan dari sejumlah obyek

• II.1. Penyajian Himpunan

himpunan A merupakan himpunan bagian B

A=B Himpunan A sama dengan Himpunan B

Obyek p merupakan anggota himp. A

BA

Ap

AUB Himpunan A merupakan gabungan Himpunan B

A∩B Himpunan A merupakan irisan himpunan B

à Himpunan yang beranggotakan obyek yang tidak dimiliki oleh A

Operasi Himpunan

1. AUB

A=(3,5,7) B=(2,3,4,8)

AUB=(2,3,4,5,7,8)

2. A∩B

A=(1,2,4,7,8) B=(1,3,5,6,7)

A∩B=(1,7)

3. A-BA=(1,2,3,4,5) B=(4,5,6,7,8)A-B=(1,2,3)

4. ÃU=(1,2,3,4,5,6,7,8,9)A=(4,5,6,7,8)Ã=(1,2,3,9)

5. A=BA=(a,b,c)B=(b,a,c)

III. DERET

Adalah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

A. Deret Hitungadalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu.

A.I. Suku ke-n dari deret hitung

Sn = a+(n-1)b

a=suku pertama atau S1b=pembedan=indeks suku

A.2. Jumlah n suku

Adalah jumlah nilai suku-sukunya,sejak suku pertama (s1 atau a) sampai dengan suku

ke-n (sn) yang bersangkutan.

Jn = n/2{ 2a+(n-1)b}

Jn = na+n/2(n-1)b

B. Deret Ukur• Adalah deret yang perubahan suku-sukunya

berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.

B.1. Suku ke n dari Deret Ukur

Sn = a.pn-1

a=suku pertama

p=pengganda

n=indeks suku

B.2. Jumlah n suku

Jn = a(1-pn) atau Jn = a(pn-1)

1-p p-1

Contoh Soal

1. Dari sebuah deret hitung, suku pertamanya 100 dan pembeda antar suku-sukunya 10. Hitung: S10 dan J10?

Jawab

S10 = a+(n-1)b

= 100+(10-1)10

= 100+(9)10

= 190

J10 = n/2(2a+(n-1)b)

= 10/2 (2.100+(10-1)10)

= 5(200+(9)10)

= 5(290)

= 1450

C. PENERAPAN DALAM EKONOMI

1. Kasus 1

Perusahaan Maju Terus menghasilkan 4000 unit rumah pada tahun pertama. Perusahaan tersebut menambah tenaga kerja dan bahan bangunan shg mampu meningkatkan produksinya sebanyak 200unit pertahun. Jika perkembangan produksinya konstan, berapa unit rumah yang dihasilkan pada tahun ke 8?Berapa unit yang dihasilkan sampai tahun ke 8?

Diket: a=4000 unit

b=200 unit

n=8

Sn=a+(n-1)b Jn=n/2{2a+(n-1)b}

S8 =4000+(8-1)200

J8=8/2{2.4000+(8-1)200}

=4000+(7)200 =4{8000+(7)200}

S8=5400 =37.600 unit

2. Kasus 2Keuntungan PT. Wijaya Karna dari penjualan Produknya, sebesar 50 buah pada tahun ke tiga dan sebesar 70 buah pada tahun ke tujuh. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama? Berapa buah yang dihasilkan pada tahun ke sepuluh?

JawabanS3=50 buah

S7=70 buahS3 50=a+(3-1)b

50=a+2b

S7 70=a+(7-1)b

70=a+6b -

-20=-4b

5=b

S3 50=a+(3-1)5

S10=40+(10-1)5

50=a+(2)5 =40+(9)5

50=a+10 =40+45

40=a =85

IV. Model Bunga Majemuk

4.1. Rumus menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang

Bunga dibayar sekali dalam setahun

P=∑ sekarang

Fn=P(1+i)n i=tingkat bunga pertahun

n=jumlah tahun

Bunga dibayar lebih dari sekali dalam setahun

Fn=P(1+i/m)mn

P=∑ Sekarangi=tingkat bunga/tahunn=jumlah tahun m=frekuensi pembayaran bunga dalam setahun

4.2. Rumus Menghitung besarnya nilai sekarang apabila diketahui jumlahnya di masa datang

nmF

mi

P.

1

1

Fi

Pn)1(

1

Contoh Kasus

1. Pak Temon meminjam uang di Bank sebanyak Rp.10juta utk jangka waktu 3 thn, dgn i=2%/thn. Hitung berapa jumlahnya saat pelunasan dan jika pembayarannya tiap semester?

P=10 jt

n=3thn

i=2%=0,02

a.Fn=P(1+i)n

=10.000.000(1+0,02)3

=10.000.000(1,02)3

=Rp.10.612.080,-

b.Fn=P(1+i/m)m.n

=10.000.000(1+0,02)3.2

2

=10.000.000(1,01)6

=Rp.10.615.201,-

2. Deposito Abdel akan menjadi Rp.3.400.000,- pada dua tahun mendatang. Jika tingkat bunga yang berlaku 10%/tahun, berapa deposito Abdel sekarang?

Jawaban

Fi

Pn)1(

1

,917.809.2.

3400000)1,1(

1

3400000)1,01(

1

2

2

RpP

P

P

V. Model Pertumbuhan Penduduk

• P1=∑ pada tahun pertama

• Pt= ∑ pada tahun ke t• r=% pertumbuhan/tahun• t=indeks waktu (tahun)

Pt=P1.Rt-1

R=1+r

Contoh Kasus

1. Menurut sensus pada tahun 1961, jumlah penduduk jawa dan lombok 63.059.575 jiwa. Dengan tingkat pertambahan penduduk tiap tahun 2,3%. Maka hitunh jumlah penduduk jawa dan lombok pada tahun 1972.

P1= 63.059.575i=2,3%=0,023t=11 thn

P1972=63.059.575(1,023)11

=63.059.575(1,2842) =80.980.976 Jiwa