MATEMATIKA EKONOMI

AMIRULSYAH, MSi

PENDAHULUAN

DIFERENSIAL INTEGRAL

DIFFERENSIAL DERIVATIF (TURUNAN)

0.1 dx

dymakaCY

Contoh:Tentukan turunan

pertama(dy/dx) dari :1.Y = 3 maka dy/dx = 0

2.Y = -5 maka dy/dx = 0

3.Y = 2/3 maka dy/dx = 0

4.Y = 5³ maka dy/dx = 0

1..2 bb bXadx

dymakaaXY

Contoh:1. Y = 5x³ maka dy/dx = 5.3x³ˉ¹ dy/dx = 15x²

2. Y = 12x⁸ maka dy/dx = 96x⁷

3. Y = 4x⁶ maka dy/dx = 24x⁵

a. Y = 2X8 = … c. Y = 3X = …

b. Y = 3X4 = . .. d. Y = 5X = …

Soal :

Tentukan turunan pertama (dy/dx) dariPersamaan berikut :

1. Y = 2X3 + 5X2 – 6X - 8

2. Y = 6X5 - X2 – 2X + 5

3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1

4. Y = -X + X4 – X1/2 - 1

5. Y = 2 – X-1 – X + 12

Jawaban :

1. Y = 2X3 + 5X2 – 6X – 8 dy/dx = 6X2 + 10X1 – 6X0 - 0 dY/dX = 6X2 + 10X - 6

2. Y = 6X5 - X2 – 2X + 5 dy/dx = 30X4 - 2X1 –2X0 + 0 dY/dX = 30X4 -2X - 2

3. Y = -2X3 - 5X – 6X2 + 1 dy/dx = -6X2 – 5X0 – 12X1 + 0 dy/dx = -6x2 – 5 – 12x dy/dx = -6X2 – 12X - 5

4. Y = -X + X4 – X1/2 – 1 Y = -1X1 + 1X4 – 1X1/2 – 1dy/dx = -1X0 + 4X3 – 1/2X ½-1 – 0dy/dx = -1 + 4X3 – 1/2X -1/2

dy/dx = 4X3 – 1/2X-1/2 - 1

5. Y = 2 – X-1 – X + 12 Y = 2 – 1X-1 – 1X1 + 12dy/dx = 0 + 1X-1-1 -1X0 + 0dy/dx = 0 + X-2 -1X0 + 0dy/dx = 0 + x-2 – 1 + 0dy/dx = X-2 - 1

)(

...3 1

xfU

dUbUadx

dymakaaUY bb

Contoh :1. Y = 5 ( 3x – 6 ) ⁶ 2. y =

5(x²-3x+2)⁶ misal: u = 3x – 6 misal:

u=x²-3x+2 du= 3

du=2x-3dy/dx = 6.5(3x – 6)⁵.(3) dy/dx=30(x²-

3x+2)⁵.(2x-3)dy/dx = 90(3x – 6) ⁵ dy/dx= (60x-

90)(x²-3x+2) ⁵

SOAL :

Tentukan turunan pertama dari :

1.Y = 3(x2 – 5x + 1)5

2.Y = 4(5X – 3X2 ) 3

3.Y = -2(4 – 2X2)3

JAWAB :

dy/dx = 3.5(x2 – 5x + 1) 5-1.(2x – 5)

dy/dx = 15(2x – 5)(x2 – 5x + 1)4

dy/dx = (30x – 75)(x2 – 5x + 1)4

1. Y = 3(x2 – 5x + 1)5

dy/dx = 4.3(5x – 3x2) 3-1.(5 – 6x)

dy/dx = 12(5 – 6x)(5x – 3x2)2

dy/dx = (60 – 72x)(5x – 3x2)2

2. Y = 4(5X – 3X2 ) 3

dy/dx = -2.3(4 – 2x2) 3-1(-4x)

dy/dx = -6(-4x)(4 – 2x2) 2

dy/dx = 24x(4 – 2x2)2

3. Y = -2(4 – 2X2)3

)()(

..4

xfVdanxfU

UdVVdUdx

dymakaVUY

Contoh:1.Y =(2x-6)⁵(3x+7)⁶Misal:U=(2x-6)⁵ V=(3x+7)⁶ du=5(2x-6)⁴.2 dv=6(3x+7)⁵.3 du=10(2x-6)⁴ dv=18(3x+7)⁵dy/dx =(3x+7)⁶.[10(2x-6)⁴ ] +(2x-6)⁵.

[18(3x+7)⁵] =2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴[5(3x+7) +9(2x-

6)] = 2(3x+7)⁵.(2x-6)⁴.(33x- 19)

SOAL :

Tentukan turunan pertama dari :1.Y = (2X – 1) 3(5X + 2)2

2.Y = (3 – X )2 (4X + 1)3

JAWAB :1. Y = (2X – 1) 3(5X +

2)2

dy/dx = (5x + 2)2.3(2x – 1)2.2 + (2x – 1)3.2(5x + 2).5

dy/dx = 6(5x + 2)2(2x – 1)2 + 10(2x -1)3(5x + 2)

dy/dx = 2(5x + 2)(2x – 1)2 [ 3(5x + 2) + 5(2x – 1)]

dy/dx = 2(5x + 2)(2x – 1)2(25x + 1)

JAWAB :

2. Y = (3 – X )2 (4X + 1)3

dy/dx = (4x + 1)3.2(3 – x).(-1) + (3 – x)2.3(4x + 1)2.4

Dy/dx = -2(4x + 1)3(3 – x) + 12(3 – x)2(4x + 1)2

dy/dx = -2(4x + 1)2(3 – x) [(4x + 1) - 6(3 – x) ]

dy/dx = -2(4x + 1)2(3 – x)(-17 + 10x)

2

..5

V

UdVdUV

dx

dymaka

V

UY

Contoh:1.Y = 2x-5 4x+1Misal: U=2X-5 V=4X+1 du=2 dv=4dy/dx=(4x+1).2 – (2x-5).4 (4x+1)² = 8x+2 – 8x + 20 16x²+8x+1 (a + b )² = a ² +

2ab + b ² = 22 16x²+8x+1

SOAL :

Tentukan turunan pertama dari :1.Y = 5X + 3 X – 4

2. Y = 6 – 3X 2X + 5

JAWAB :

1. Y = 5X + 3 X – 4 U = 5X + 3 maka du = 5V = X – 4 maka dV = 1dy/dx = (X – 4).5 – (5X + 3).1 (X – 4)2

dy/dx = 5X – 20 – 5X – 3 X2 – 8X + 16dy/dx = - 23 X2 – 8X + 16

JAWAB :

2. Y = 6 – 3X 2X + 5 U = 6 – 3X maka dU = -3 V = 2X + 5 maka dV = 2

dy/dx = (2X + 5).(-3) – (6 – 3X).2 (2X + 5)2

dy/dx = -6X – 15 – 12 + 6X 4X2 + 20X + 25dy/dx = - 27 4X2 + 20X + 25

)(

.)(

xftdx

dt

dt

dy

dx

dymakatfY

berantairumus

CONTOH :1. Y = t2 + t + 3 dimana t

= 2x + 1dy/dt = 2t + 1 ; dt/dx =

2

dy/dx = dy/dt .dt/dx dy/dx = ( 2t + 1).2

= 4t + 2

= 4(2x + 1) + 2 dy/dx= 8x + 6

SOAL :

Tentukan turunan pertama dari :1. Y = 3t2 – 5t – 12 dan t = 6x + 3

2. Y = 3 – 2t – 3t2 dan t = 2 – 3x

JAWAB :

1. Y = 3t2 – 5t – 12 dan t = 6x + 3

dy/dt = 6t – 5 dan dt/dx = 6

dy/dx = dy/dt .dt/dx

dy/dx = (6t – 5).6

dy/dx = 36t – 30 = 36(6X + 3) – 30 = 218X + 78

JAWAB :

2. Y = 3 – 2t – 3t2 dan t = 2 – 3x

dy/dt = -2 – 6t dan dt/dx = -3

dy/dx = (-2 – 6t)(-3)

dy/dx = 18t + 6 = 18(2 – 3X) + 6 = 42 – 54X

APLIKASI TURUNAN DALAM ILMU EKONOMI

A.KONSEP MARGINALMARGINAL PRODUKMARGINAL REVENUEMARGINAL COSTMARGINAL UTILITYMARGINAL PROPENSITY TO

CONSUMMARGINAL PROPENSITY TO SAVE

MARGINAL PRODUCTMASALAH PRODUKSIMisalkan total produksi (TP) atau Q adalah

kuantitas produk total,L adalah jumlah pekerja,dan fungsi produksi yang menyatakan hubungan antara output dengan input pada tingkat teknologi tertentu.

Rumus :

MP = dTP atau MP = dQ

dL dL

MP < 0, berarti penambahan pekerja justru menurunkan output

CONTOHTP = 10L² - L³TP max = …?MP = dTP = 20L – 3L² dL

SYARAT I : MP = 0 atau dTP = 0

dL

MP = 20L – 3L² = 0

L ( 20 – 3L) = 0

L1=0 atau 3L =20 L2 = 20/3

SYARAT II : MP' < 0 atau d²TP < 0

dL² MP = 20L – 3L² MP' = 20 -6L

L1 dan L2 DI TES ke MP’

L1 = 0 Substitusi Ke : 20 -6L

20 – 6.0 20 …. 0 20 > 0 tidak

memenuhi

Dengan cara yang sama L2 di tes

L2 = 20/3 Substitusi Ke : 20 -6L

20 – 6.(20/3)

20 - 40 -20 …. 0 -20 < 0 memenuhiL2 = 20/3 merupakan nilai TP max

TPmax = 10L² - L³ = 10(20/3)2 – (20/3)3

= 148,1

MARGINAL REVENUE(MASALAH PENERIMAAN)

Penerimaan total sebuah Firm adalah perkalian antara kuantitas produk dengan harga produk perunit

Atau : TR = PxQRumus : MR = dTR dQMARGINAL REVENUE PRODUCT OF LABOUR (MRPL)Rumus : MPRL = dR = dR . dQ dL dQ dLMARGINAL REVENUE PRODUCT OF CAPITAL (MRPC)Rumus : MPRC = dR = dR . dQ dC dQ dC

CONTOH

1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan sebagai berikut :

R = 5 + 140Q - Q² Fungsi produksinya : Q = 4LJika jumlah tenaga kerja yang ada

10 orang,berapakah MPRL dan jelaskan artinya .

R = 5 + 140Q - Q²

dR = 140 – 2Q

dQ

Q = 4L dQ = 4dL

JAWAB

MPRL = dR = dR . dQ dL dQ dL MPRL = (140 – 2Q).4 Q = 4L dan L = 10Maka Q = 4.10 = 40Jadi,MPRL = (140 – 2.40).4 = (140 – 80 ).4 = 240 Artinya: Untuk setiap penambahan

Tenaga Kerja sebanyak 10 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 240 ,dan sebaliknya

SOALSOAL

1.Fungsi pendapatan dari 1.Fungsi pendapatan dari suatu pabrik diberikan suatu pabrik diberikan sebagai berikut :sebagai berikut :

R = 10 + 200Q - 2Q²R = 10 + 200Q - 2Q²Fungsi produksinya : Q Fungsi produksinya : Q

= 2L= 2LJika jumlah tenagaJika jumlah tenagakerja yang ada 5 orang kerja yang ada 5 orang ,berapakahMPRL,berapakahMPRLdan jelaskan artinya .dan jelaskan artinya .

SOLUSISOLUSI

R = 10 + 200Q - 2Q² Q = 2L R = 10 + 200Q - 2Q² Q = 2L

dR dR = 200 – 4Q = 200 – 4Q dQ dQ = 2 = 2

dQ dLdQ dL

MPRL = MPRL = dRdR = = dRdR . . dQdQ

dL dQ dLdL dQ dL

= (200 – 4Q).2= (200 – 4Q).2

L = 5 Q =2L = 10L = 5 Q =2L = 10

dR dR = (200 – 40).2 = 320 = (200 – 40).2 = 320

dLdLArtinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja Artinya: Untuk setiap penambahan Tenaga Kerja

sebanyak 5 orang akan menyebabkan penambahan sebanyak 5 orang akan menyebabkan penambahan pendapatan sebanyak 320 ,dan sebaliknyapendapatan sebanyak 320 ,dan sebaliknya

Jika TR = 45Q – 0,5Q2 Dan TC = Q3 – 8 Q2 + 57Q + 2Maka ¶ max = ….JAWAB : ¶ = TR – TC ¶ = 45Q – 0,5Q2 – (Q3 – 8 Q2 + 57Q + 2 ) ¶ = 45Q – 0,5Q2 – Q3 + 8 Q2 - 57Q - 2 ¶ = - Q3 + 7,5Q2 – 12Q – 2 M¶ = 0 M¶ = - 3Q2 + 15Q – 12 = 0 Q2 – 5Q + 4 = 0 … x … = 4 … + … = - 5 (Q – 1)(Q - 4 ) = 0 Q1 = 1 Q2 = 4

M¶ = - 3Q2 + 15Q – 12

M¶' = -6Q + 15

Test Q1 dan Q2 ke M¶'

Q1 = 1 ke M¶' = -6(1) + 15 = 9 > 0 (min)

Q2 = 4 ke M¶' = -6(4) + 15 = -9 < 0(max)

Q2 = 4 merupakan ¶ max,

¶ max = - Q3 + 7,5Q2 – 12Q – 2

¶ max = -(4)3 + 7,5(4)2 – 12(4) – 2

= $6

SOALSOALJika TR = 8Q – QJika TR = 8Q – Q2 2 Dan Dan

TC = 1/3QTC = 1/3Q33 – 5 Q – 5 Q22 + 23Q - 50 + 23Q - 50

Maka Maka ¶ max = ….¶ max = ….

SOLUSI

¶ = TR – TC¶ = 8Q – Q2 – (1/3Q3 – 5Q2 + 23Q – 50) = 8Q – Q2 – 1/3Q3 + 5Q2 – 23Q + 50 = 50 - 15Q + 4Q2 – 1/3Q3

SOLUSI

M¶ = 0- 15 + 8Q – Q2 = 0Q2 – 8Q + 15 = 0(Q – 3)(Q – 5) = 0Q - 3 = 0 Q - 5 = 0Q = 3 Q = 5

SOLUSI

¶ = 50 - 15Q + 4Q2 – 1/3Q3

M¶ = - 15 + 8Q – Q2

M¶' = 8 – 2Q

SOLUSIQ = 3 ke M¶'

M¶' = 8 – 2(3) = 2 > 0 tidak memenuhi

Q = 5 ke M¶' M¶' = 8 – 2(5) = - 2 < 0

memenuhi

SOLUSI

Q = 5 substitusi ke ¶max ¶max = 50 – 15(5) + 4(5)2 – 1/3(5)3

= 50 – 75 + 100 – 125/3 = 33 1/3 jadi profit maksimum diperoleh sebesar

33 1/3

OPTIMASI MULTIVARIATOPTIMASI MULTIVARIAT¶ = 80X ¶ = 80X –– 32X 32X22 –– XY - 3Y XY - 3Y22 + 100Y + 100YJAWAB :JAWAB :Ə¶ =Ə¶ = 80 80 –– 64X 64X –– Y = 0 Y = 0ƏXƏXƏ¶Ə¶ = -X = -X –– 6Y + 100 = 0 6Y + 100 = 0ƏYƏYX = 380/383 = 0,99 = 1X = 380/383 = 0,99 = 1Y = 16,5 = 16Y = 16,5 = 16Jadi perusahaan memaksimumkan ¶ pada saat Jadi perusahaan memaksimumkan ¶ pada saat

menjual 16 unit komoditi Y dan 1 unit komoditi X.menjual 16 unit komoditi Y dan 1 unit komoditi X.¶ MAX = 80(1) ¶ MAX = 80(1) –– 32(1) 32(1)22 –– (1)(16) (1)(16) –– 3(16) 3(16)22 + 100(16) + 100(16) = 80 = 80 –– 32 32 –– 16 - 768 + 1600 16 - 768 + 1600 = $ 864= $ 864

SOALSOAL¶ = 12X ¶ = 12X –– X X22 –– 2XY + 6Y 2XY + 6Y22 - 20Y + 50 - 20Y + 50JAWAB :JAWAB :Ə¶ =Ə¶ = ……………………………………= 0= 0ƏXƏXƏ¶Ə¶ = =……………………………………. = 0. = 0ƏYƏYX = X = ……Y = Y = ……Jadi perusahaan memaksimumkan ¶ pada saat Jadi perusahaan memaksimumkan ¶ pada saat

menjual menjual …… unit komoditi Y dan unit komoditi Y dan…… unit komoditi X. unit komoditi X.¶ MAX = 12(¶ MAX = 12(……) ) –– ( (……))22 –– 2( 2(……)()(……) + 6() + 6(……))22 - 20( - 20(……) + 50) + 50 = = ………………………………………………………….... = = ……

12 - 2X - 2Y

- 2X + 12Y – 20

2

4

4 2

4 4 4 2 2 2

48 – 16 – 16 + 24 - 4048 – 16 – 16 + 24 - 40

0

$0$0

OPTIMASI TERKENDALA DENGAN METODE PENGALI LAGRANGE

¶ = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100YKENDALA X + Y = 12JAWAB :L¶ = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ (X+Y-12)ƏL¶ = 80 - 4X – Y + λ = 0ƏXƏL¶ = - X – 6Y + 100 + λ = 0ƏY ƏL¶ = X + Y – 12 = 0Ə λY = 7 , X = 5 , λ = -53Nilai dari λ mempunyai interpretasi ekonomi yang penting.ini adalah

dampak marjinal pada solusi fungsi tujuan yang berhubungan dengan perubahan 1 unit dari kendala.Dalam masalah di atas , hal ini berarti bahwa penurunan kendala kapasitas output dari 12 menjadi 11 unit atau naik ke 13 unit akan ,berturut-turut,mengurangi atau menambah laba total perusahaan (¶) sebesar lebih kurang $ 53

SOAL1.Pada fungsi penerimaan

total dan biaya total dari perusahaan berikut ini : TR = 22Q – 0,5Q2 dan TC = 1/3Q3 – 8,5Q2 + 50Q + 90

Tentukan : a.tingkat output dimana perusahaan memaksimumkan laba totalnya

b. Laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan

SOAL2.Penerimaan total dan

biaya total suatu perusahaan adalah :

TR = 4Q , TC = 0,04Q3 – 0,9Q2 + 10Q + 5

a.Tentukan tingkat output terbaik

b.Tentukan laba total perusahaan pada tingkat output terbaiknya

SOAL3.Pada fungsi biaya

berikut ini,tentukan tingkat (bukan nol) output ketika fungsi biaya mencapai minimum.selanjutnya,tentukan tingkat biaya pada output tersebut

(a) AC = 200 – 24Q + Q2

(b) MC = 200 – 48Q + 3Q2

4.Untuk fungsi laba total perusahaan berikut ini :

¶ = 144X – 3X2 – XY – 2Y2 + 120Y – 35

Tentukan : a.tingkat output masing-masing komoditi ketika perusahaan memaksimumkan laba totalnya

b.Jumlah maksimum dari laba total perusahaan

5.Perusahan warren dan smith memproduksi 2 macam ritsleting komersial,yaitu ritsleting X dan ritsleting Y.bagian produksi memperkirakan fungsi biaya rata-rata perusahaan adalah :

AC = X2 + 2Y2 – 2XY – 2X – 6Y + 20

(a).Manajer perusahaan ingin mengetahui tingkat output ritsleting X dan ritsleting Y ketika biaya rata-rata minimumnya ini.

(b)perusahaan mengharapkan pesanan kedua macam ritsleting sebanyak 6 unit(masing-masing unit terdiri dari banyak ritsleting),karena itu manajer juga ingin mengetahui berapa masing-masing ritsleting harus diproduksi untuk meminimumkan biaya rata-rata, dan berapa biaya rata-rata minimum tersebut bila simanajer menerima pesanan tersebut.manajer perusahaan memberikan tugas kepada 2 orang peneliti yang mempergunakan metode berbeda untuk menemukan jawabannya

(c)Walaupun perusahan mengharapkan pesanan sebanyak 6 unit ada kemungkinan pesanannya lebih besar yaitu 7 unit atau lebih kecil yaitu 5 unit.Tentukan biaya rata-rata minimum perusahaan dengan ukuran pesanan yang berbeda tersebut.

MARGINAL COSTMASALAH BIAYA

TC = FC + VC Total cost jangka pendek (short Run)

TC = VC Total cost jangka panjang (long run )

TC = FC + VC

HUBUNGAN REVENUE DENGAN COST

¶ = TR – TC

Keterangan :

¶ = Profit/Rugi

Jika : TR > TC Perusahaan akan untung (profit)

TR < TC Perusahaan akan rugi

MASALAH BIAYAASUMSI-ASUMSI FUNGSI BIAYA DALAM TEORI EKONOMI

1.Jika tidak ada produk yang dihasilkan biaya total adalah nol atau positif,yaitu f(0) ≥ 0

f(0) merupakan biaya tetap ( overhead produksi )2.Biaya total harus meningkat bilamana Q

bertambah,sehingga biaya marginal selalu positif3.Biaya total untuk memproduksi sejumlah produk

tertentu dalam jumlah yang sangat besar biasanya mencapai titik dimana titik ini meningkat dengan laju yang makin tinggi.Dengan demikian,kurva biaya akan cekung ke atas.Akan tetapi,dalam suatu range tertentu (terbatas ) kurva biaya total sering kali lengkung ke bawah ,sesuai dengan biaya marginal yang menurun dan keadaan ini sering terjadi.

RUMUS : MC = dC dQ

AC=MCAC min=MC

AC=f(Q)

MC=f(Q)MC BAWAH AC(-)MC=AC(0)MC ATAS AC(+)

Q

AC,MC