MAS1101 - Matematika Dasar I

Minggu ke-9

Sesi ke-1

1

3.4 MASALAH MAKSIMUM DAN MINIMUM

Menyelesaikan maslah maksimum dan minimum yang diberikan.

BAB 3: APLIKASI TURUNAN

2

Beberapa Langkah:

Buat sebuah gambar untuk masalah yang diberikan dan berikan variabel yang sesuai.

Tuliskan rumus untuk fungsi tujuan yang harus dimaksimumkan (atau diminimumkan).

Gunakan kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel tsb sehingga fungsi tujuan hanya mengandung variabel tunggal.

Substitusikan nilai kritis ke dalam fungsi tujuan atau gunakan teori uji turunan pertama dan kedua.

3

Contoh 1 Kotak segi empat akan dibuat dari selembar papan, dengan panjang 24 inci dan lebar 9 inci dengan memotong segiempat identik pada keempat pojok dan melipat ke atas sisinya. • Cari ukuran kotak yang volumenya maksimum. • Lalu, berapa volume maksimumnya.

4

Contoh 2 Seorang petani mempunyai 100 meter kawat yang akan dipergunakan membuat kandang identik yang berdampingan. Berapa ukuran keliling kandang yang mempunyai luas maksimum?

5

Contoh 3 Carilah ukuran silinder tegak dengan volume sebesar mungkin yang dapat diletakkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak seperti pada Gambar 4.

6

Latihan A:

Dengan mengikuti langkah berikut 1. Buat sebuah gambar untuk masalah yang diberikan dan berikan variabel

yang sesuai. 2. Tuliskan rumus untuk fungsi tujuan yang harus dimaksimumkan (atau

diminimumkan). 3. Gunakan kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari

variabel tsb sehingga fungsi tujuan hanya mengandung variabel tunggal. 4. Substitusikan nilai kritis ke dalam fungsi tujuan atau gunakan teori uji

turunan pertama dan kedua.

Selesaikan masalah pada buku referensi Halaman 174: a. Nomor 18 b. Nomor 25 c. Nomor 31

7

3.5 PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI MENGGUNAKAN KALKULUS

Menggambarkan grafik dari suatu fungsi yang diberikan menggunakan kalkulus yaitu kemonotonan dan kecekungan.

BAB 3: APLIKASI TURUNAN

8

Pengantar

• Kita telah mempelajari bagaimana menggambar grafik fungsi sebelumnya.

• Sekarang, kita akan kembali mempelajari bagaimana menggambar grafik fungsi dengan menggunakan kalkulus yang telah dipelajari, yaitu kemonotonan dan kecekungan.

9

Contoh 1

• Gambarlah grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥

• Gunakan informasi dimana 𝑓 naik, 𝑓 turun, 𝑓 cekung ke atas, 𝑓 cekung ke bawah, titik maksimum lokal, titik minimum lokal, titik belok.

10

Gambar grafik fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 12𝑥

11

Contoh 2

Gambarlah grafik fungsi 𝑓 𝑥 =3𝑥5−20𝑥3

32 dengan

12

memperhatikan:

1. Daerah asal

2. Titik potong dengan sumbu ordinat

3. Fungsi genap/ganjil

4. Kemonotonan dan titik ekstrim lokal

5. Kecekungan dan titik belok (bila ada)

Langkah-langkah pengerjaan:

1. Daerah asal Perhatikan bahwa 𝑓 adalah polinomial, jadi daerah asalnya adalah seluruh bilangan real

2. Titik potong dengan sumbu koordinat Perpotongan dengan sumbu 𝑥 diperoleh dengan menentukan 𝑥 sehingga 𝑓 𝑥 = 0. Dalam hal ini, 𝑥 = 0,

dan 𝑥 = ±20

3= ±2,6

3. Fungsi genap/ganjil Karena 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , maka 𝑓 adalah fungsi ganjil, jadi simetri terhadap titik asal.

13

Langkah-langkah pengerjaan:

4. Kemonotonan dan titik ekstrim lokal • Turunan pertama 𝑓 adalah

𝑓′ 𝑥 =15𝑥4 − 60𝑥2

32=15𝑥2 𝑥 − 2 𝑥 + 2

32

• Titik kritisnya adalah 𝑥 = 0, 𝑥 = −2, 𝑥 = 2

• Perhatikan bahwa 𝑓′ 𝑥 > 0 pada −∞,−2 dan 2,∞

• 𝑓′ 𝑥 < 0 pada −2,0 dan 0,2 . Jadi kita tahu dimana 𝑓 naik dan turun. Perhatikan juga bahwa 𝑓 −2 = 2 adalah nilai maksimum lokal dan 𝑓 2 = −2 adalah nilai minimum lokal.

14

Langkah-langkah pengerjaan:

5. Kecekungan dan titik belok (bila ada) • Turunan pertama 𝑓 adalah

𝑓′′ 𝑥 =60𝑥3 − 120𝑥

32=15𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2

32

15

• Dengan data di atas dapat disimpulkan bahwa 𝑓cekung ke atas pada − 2, 0 dan 2, ∞

dan cekung ke bawah pada −∞, − 2 dan

0 2, .

• Jadi, terdapat 1 titik belok.

Gambar grafik fungsi 𝑓 𝑥 =3𝑥5−20𝑥3

32

16

Latihan B:

Dengan memperhatikan 1. Daerah asal dan daerah hasil 2. Titik potong dengan sumbu koordinat 3. Kemonotonan dan titik ekstrim lokal 4. Asimtot (bila ada) 5. Kecekungan dan titik belok (bila ada)

Gambarlah grafik fungsi 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 + 5

2. 𝑔 𝑥 =𝑥

𝑥+1

3. 𝑕 𝑥 =𝑥2

𝑥+1

17