tugas matematika dasar
-
Upload
dhika-elfa-pradana -
Category
Documents
-
view
268 -
download
0
description
Transcript of tugas matematika dasar
![Page 1: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/1.jpg)
TUGAS AKHIR MATEMATIKA DASAR
KELOMPOK 2
Anggota:
1. Andi Hartomo Yusuf
2. David Sanjaya
3. Herlin Arina
4. Billi Bastanta Bangun
5. Gavrilla Anggasta Nadia
6. Sabrina Nasmita
7. M. Rully Indrawan
8. Dewa Gde Weda K.D.R
![Page 2: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/2.jpg)
David Sanjaya NPM : 1106066864
Soal :
Hitunglah luas dan volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh y=x2 dan y2 = 8x bila diputar mengelilingi sumbu x= -3 dan sumbu y= -1, serta hitunglah panjang kurvanya!
Jawab :
Grafik dari fungsi-fungsi yang terkait
- Luas (L) menggunakan fungsi f(x) :
∫0
2
(√8 x−x2) dx = ¿
= { (23(8(2))3 /2
) – ( 23¿} – (0) }
= 128
3 – 83
= 40 Satuan Luas
- Luas (L) menggunakan fungsi f(y) :
∫0
4
(√ y− y2
8) dy =
¿
= { (23(4)3 /2
) – ( 1
24¿} – (0) }
= 128
3 – 83
= 40 Satuan Luas
![Page 3: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/3.jpg)
- Volume diputar terhadap sumbu y = -1 :
π∫0
4
(√ y+1)2−( y2
8 )2
dy= π∫0
4
¿¿
= π ¿
=π ¿
= π (120
5−64
5¿ ≈ 11.2 π Satuan Volume
- Volume diputar terhadap sumbu x = -3 :
π∫0
2
(√8 x+3)2−(x2+3)2 dx= π∫
0
2
8 x+6 √8 x−x4−6 x3dx
= π ¿
=π ¿
= π 1208
5 ≈ 241.46 π Satuan Volume
- Panjang kurva :Kita ingin mengetahui panjang kurva dari fungsi y=x2 dan y2 =8x dari x=0 sampai x=2, oleh karena itu kita akan menggunakan teorema phytagoras :Kalau kita masukkan x=2 pada fungsi y=x2 , maka akan didapatkan titik (2,4), begitu juga dengan fungsi y2 =8x, kalau kita masukkan x=2 pada fungsi tersebut maka akan didapat titik (2,4). Lalu gunakan teorema phytagoras :
S=√(4)2+(2)2 = √20
lalu panjang kurva itu dikalikan dengan 2, karena masing-masing fungsi memiliki panjang kurva yang sama.
√20 x 2 = 2√20 = 4√5 Satuan Panjang
![Page 4: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/4.jpg)
HERLIN ARINA NPM: 1106066920
Volume terhadap sumbu (y)
Metode cincin x = 3√ y
V ¿ π∫0
8
[22−¿( 3√ y )2]dy¿
¿ π∫0
8
[4−¿ y2 /3]dy ¿
¿ π(4y- 35
y5 /3)]
80
¿ π(4.8 - 35
y3√ y )
¿ π(32 - 35
.32)
¿ 645
π
Terhadap sumbu x
Metode kulit tabung
y¿ x3
V ¿2 π∫0
2
( xy ) dx
¿2 π∫0
2
( x . x3 ) dx
¿2 π∫0
2
( x4 ) dx
= 2 π5
x5] 20
= 64 π
5
![Page 5: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/5.jpg)
Metode Cakram
V ¿ π∫0
2
(x3)2 ¿dx¿
¿ π∫0
2
x6 dx
¿ π7
x7] 20
¿128π7
Luas permukaan terhadap x
A = ∫0
2
x3 dx
= x4
4 ]
20
= 164
= 4
Luas permukaan terhadap y
X = 3√ y
A = ∫0
8
(2−¿ 3√ y )¿ ] 80
![Page 6: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/6.jpg)
= 2y-34
y43 ]
80
= 2.8 -34
.8.2
= 4
![Page 7: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/7.jpg)
0
3
3
1
1
Mochammad Rully Indrawan NPM : 1106066851
Tentukanlah luas daerah antara kurva y = x2, sumbu x, garis x= 1 dan garis x = 3.a. Terhadap sumbu xb. Terhadap sumbu y
Tentukan volume benda putar yang terbentuk jika a. diputar pada sumbu x b. diputar pada sumbu y
Panjang kurva y = X 2/3 dari titik (1,1) sampai titik ( 8,4 )
Jawab :
1. Luas daerah
Terhadap sumbu x y
9
x 1 3
f ( x ) ≥ 0
A=∫a
b
f ( x ) dx ;a=1 , b=3 , f ( x )=x2
A=∫1
3
x2 dx
A=⌊ x3
3⌋=1
3(33−13 )=26
3
Terhadap sumbu y y
9
A=∫a
b
f ( y ) dy ;a=1 , b=9 , f ( y )=2 – y12
A=∫1
9
2− y12 dy
A=⌊2 y –23
y32 ⌋
A=[2 (9 ) –23
(9 )32]−[2 (1 ) – 2
3(1)
32 ]=26
3
2. Volume
x
![Page 8: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/8.jpg)
Diputar terhadap sumbu y
V y=2π∫1
3
x . x2dx
V y=2 π [¼ x ]31
V y=π
Diputar terhadap sumbu x
V x=π∫1
9
4− y dy
V x=π [ 4 y – ½ y2 ] 91
V x=π
![Page 9: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/9.jpg)
Panjang kurva :
y=x23
y ’=2/3 x−1/3
S=∫1
8
√1+( y ')2 dx
S=∫1
8
√1+4/9 x−2 /3 dx
S=13∫
1
8
√9 x2 /3+ 4x1 /3 dx
u=9 x2 /3+4 du=6 x−1 /3 dx x =1 u = 13 x=8 u=40
S= 118
∫13
40
u1/2du
S=1/27(403/2 – 133 /2)S=7,6
![Page 10: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/10.jpg)
Andi Hartomo Yusuf NPM : 1106066643
No. Urut : 14
Soal Aplikasi Integral
Tentukan luas (terhadap sumbu X dan Y), volume (terhadap sumbu X dan Y) serta panjang
kurva, jika dibatasi oleh kurva , garis dan sumbu Y.
Luas terhadap sumbu X:
![Page 11: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/11.jpg)
Luas terhadap sumbu Y:
![Page 12: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/12.jpg)
Volume terhadap sumbu X:
![Page 13: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/13.jpg)
Volume terhadap sumbu Y
![Page 14: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/14.jpg)
Panjang kurva (L)
, intervalnya berdasarkan batas di sumbu X :
![Page 15: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/15.jpg)
a.) Luas : Terhadap sumbu x :
∫0
2
(4−2 x) dx = ¿
= {4(2) – (2)2} – {0} = 8 – 4
= 4
Terhadap sumbu y : 2x = 4-y
x = 2 - 12
y
∫0
4
(2−12
y )dy = [2y – 14
y2]
= [8 – 4] – [0] = 4
b.) Volume : Terhadap sumbu x :
π∫0
2
¿¿
= π∫0
2
(16−16 x+4 x2)dx
= π ¿
= π [32 - 32 + 323
] – [0] = 323
π ≈ 33.5
Terhadap sumbu y :
π∫0
4
¿¿
= π∫0
4
(4−2 y+ 124
y2)dy
= π ¿
= π [16 – 16 + 6412
]
= 163
π ≈ 16.7
c.) Panjang Kurva :
Gavrilla Anggastanadia (11) NPM : 1106066555
![Page 16: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/16.jpg)
Sabrina Nasmita NPM : 1106066366
Soal
Tentukan luas terhadap sumbu X dan Y, volume terhadap sumbu X dan Y serta panjang kurva, jika dibatasi oleh kurva y=x2, garis x=2 ,dan y=x.
∆S = √∆ x2+∆ y2
= √(2)2+(4)2
= √4+16 = √20 = 2 √5 ≈ 4.47
y=x2
2
y=x
2
4
Y
X
X=2
Sumbu-X
1. Luas terhadap sumbu X:
= ∫0
2
x2−x dx = ¿
= {13(2)3−1
2¿}-(0)}
=83−2
= 23
X=2
4
2
X=√Y
X=Y
Y
2. Luas terhadap sumbu Y: ¿∫0
2
y−√ y dy
+ ∫2
4
( 2−√ y ) dy
¿ [12
y2−26
y32] 2
0+ [2 y−2
3y
32 ]42
¿ [(12
22−26
232 )+{(2 (4 )−2
34
32 )−(2 (2 )−2
62
32)}]
¿2+8−163
−4
¿6−163
¿ 23
![Page 17: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/17.jpg)
2X
Sumbu-Y
2. Luas terhadap sumbu Y: ¿∫0
2
y−√ y dy
+ ∫2
4
( 2−√ y ) dy
¿ [12
y2−26
y32] 2
0+ [2 y−2
3y
32 ]42
¿ [(12
22−26
232 )+{(2 (4 )−2
34
32 )−(2 (2 )−2
62
32)}]
¿2+8−163
−4
¿6−163
¿ 23
y=x2
2
y=x
2
4
Y
X
X=2
Sumbu-X
3. Volume terhadap sumbu X:
¿ π∫0
2
( x2 )2−x2 dx
= π∫0
2
x 4−x2
¿ π [ 15
x5−13
x3] 20 ¿ π ( 1
525−1
323)− (0 )
¿ π ( 325
−83 ) ¿ 56
15π
X=2
2
4
2
X=√Y
X=Y
Y
X
Sumbu-Y
4. Volume terhadap sumbu Y:
¿2 π∫0
2
y ( y−√ y)dy + 2 π∫2
4
y (2−√ y ) dy
¿2 π∫0
2
y2− y32 ¿dy ¿ +
2 π∫2
4 (2 y− y32)dy
¿2 π [ 13
y3−25
y52 ]20+ [ y2−2
5y
52 ]42
¿2 π [( 13
23−25
252 )−(0 )+2 π {(2(4)2−2
54
52 )−(2(2)2−2
5(2)
52)}]
¿2 π {( 83−8√2
5 )}+2 π {(32−645 )−(8−8 √2
5 )} ¿ 16 π
3+64 π−128 π
5−8 π ¿ 536
15π
![Page 18: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/18.jpg)
5. Panjang kurva (L)
kurva : y=x2 , intervalnya berdasarkan batas di sumbu X : 0 ≤ x≤ 2.
rumus :misalkan L adalah panjangbusur kurva y=f (x ) dengan interval atau batas sumbu x :a≤ x≤ b maka ,
L=∫a
b
√1+( dydx )
2
dx
¿∫a
b
√1+ { f ' ( x ) }2 dx
∴ y=x2makadydx
=2 x
L=∫0
2
√1+(2 x )2 dx
¿∫0
2
√1+4 x2 dx
¿∫0
2
(1+4 x2)12 dx
¿ [23
(1+4 x2 )32 ]20
¿ {23
(1+4 ∙ 22 )32 }−2
3(1 )
32
¿ {23
(1+16 )32 }−2
3
¿( 23
√4913)−23
¿46,7−0,7 ≈ 46
4. Volume terhadap sumbu Y:
¿2 π∫0
2
y ( y−√ y)dy + 2 π∫2
4
y (2−√ y ) dy
¿2 π∫0
2
y2− y32 ¿dy ¿ +
2 π∫2
4 (2 y− y32)dy
¿2 π [ 13
y3−25
y52 ]20+ [ y2−2
5y
52 ]42
¿2 π [( 13
23−25
252 )−(0 )+2 π {(2(4)2−2
54
52 )−(2(2)2−2
5(2)
52)}]
¿2 π {( 83−8√2
5 )}+2 π {(32−645 )−(8−8 √2
5 )} ¿ 16 π
3+64 π−128 π
5−8 π ¿ 536
15π
![Page 19: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/19.jpg)
Billi Bastanta Bangun NPM : 1106066870
Diketahui kurva sebagai berikut :
Luas terhadap sumbu x :
∆ A=[√2x−(−x+4 ) ] ∆ x
A=∫0
4
[√2 x−(−x+4 ) ] dx
¿ [ 23
(2 x )32+
12
x2−4 x ]40¿ [ 2
3(2 x ) √2 x+ 1
2x2−4 x ]40
¿ [( 23
8.2√2+ 12
16−16)−0 )]¿ [ 32
3√2−8 ]
-2 0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
y=-x+4y^2=2x
![Page 20: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/20.jpg)
¿7.2
Luas terhadap sumbu y :
∆ A=[(4− y )−12
y2]∆ y
A=∫0
2
[(4− y )−12
y2]dy
¿ [4 y−12
y2−16
y3]20¿ [4 (2 )−1
2(2 )2−1
6(2 )3]20
¿ [(8−2−86 )−0 )]
¿ [ 286 ]
¿4.67
Volume diputar terhadap sumbu x :
∆ V =π [ (√2 x )2−(−x+4 )2 ] ∆ x
V=π∫0
4
[2 x−( x2−8 x+16 ) ]dx
¿ π [ x2−13
x3+4 x2−16 x ]40¿ π [(16−64
3+64−64)−0 )]
¿ π [ 163 ]
![Page 21: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/21.jpg)
¿5.3 π
Volume diputar terhadap sumbu y :
∆ V =π [ (4− y )2−( 12
y2)2]∆ y
V=π∫0
2
[( y2−8 y+16)−14
y 4]dy
¿ π [ 13
y3−4 y2+16 y− 120
y5]20¿ π [( 8
3−16+32−32
20 )−0 )]¿ π [ 1024
60 ]¿17.1 π
Panjang Kurva :
Diketahui 1 kurva ( y2 = 2x ) sebut sebagai F(x) dan 1 garis linear ( y = -x+4 )Panjang total dari kurva dan garis tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :
Skurva = ∫0
2
√1+(F ( x )' )2 dy
Sedangkan untuk mencari panjang garis y= -x+4 , dapat digunakan persamaan pythagoras :
c =√(a)2+(b)2 , dimana a = 2, b = 2 , dan c adalah panjang kurva yang terkait
Jadi bila kita satukan, rumus tersebut menjadi :
![Page 22: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/22.jpg)
Stotal = ∫0
2
√1+(F ( x )' )2 dy + √(a)2+(b)2
Stotal = ∫0
2
√1+ 116 x2 dy+ √(2)2+(2)2≈ 4.5
Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji (1)
NPM : 1106066340
Tugas Matematika Dasar
Soal 6.1(halaman 284) nomor 2
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji(1)
Buat gambar lalu iris secara vertikal
∆A ≈ (x3 - x + 2)
A = ∫−1
2
(x3−x+2)dx
= [ 14
x 4−12
x2+2x ]−1
2
= (4 – 2 + 4) - ( 14−1
2−2)
= 334
y = x3 - x + 2
![Page 23: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/23.jpg)
Irisan dari soal no 2 secara horizontal
1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1.5-1
-0.50
0.51
1.52
2.5
A = ∫0
1
ydy +∫1
8
¿¿dy
= 1+[14
y4− y2+2 y ]1
8
= 334
y = x3 - x + 2
![Page 24: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/24.jpg)
Dewa Gde Weda Krishna Ditha Rasanji (1) NPM : 1106066340
Soal 6.2(halaman 291) nomor 2
Volume
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50
0.51
1.52
2.53
3.54
4.5
Metode Cincin
V ≈ π(-x2 + 4x)2 ∆x
= π(x4 -8x3 + 16x2) dx
= π∫0
3
(x4−8 x3+16 x2)dx
= π [ 15
x5−2 x4+163
x3]
0
3
= 153 π
5
≈ 96.13
Metode Kulit Tabung
y = -x2 +4x
![Page 25: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/25.jpg)
V = 2π ∫0
3
3¿¿-x2 + 4x) dx
= 2π ∫0
3
¿¿x2 + 12x) dx
= 2π [−x3+6 x2 ]03
≈ 96.13
Soal 6.4(halaman 306) nomor 13
Panjang Kurva
x =t 3/3, y =t 2/2, 0 ≤ t ≤ 1
dxdt
=t2,
dydt
=t
Panjang = ∫0
1
t √(t¿¿2)2+t 2¿dt
= ∫0
1
√t 4+t 2dt
= ∫0
1
t √t 2+1 dt
= [ 13
(t2+1 )3 /2]0
1
![Page 26: tugas matematika dasar](https://reader033.fdokumen.com/reader033/viewer/2022061518/563db86b550346aa9a9382f5/html5/thumbnails/26.jpg)
= 13
(2√2−1 )
≈ 0.61