Pengantar Dasar Matematika - Sugiarto

PDM-Sugiarto-Isti Hidayah Page 1

BAHAN AJAR

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA

(PDM)

Disusun oleh

Sugiarto, Isti Hidayah Jurusan Matematika

FMIPA UNNES 2011


egala puji hanya untuk Allah, Tuhan semesta alam, yang telah melimpahkan karuniaNya, sehingga Alhamdulillah bahan ajar yang berjudul Pengantar Dasar Matematika telah selesai disusun sesuai dengan rencana. Kompetensi yang dimiliki mahasiswa setelah menempuh matakuliah Pengantar

Dasar Matematika bermanfaat bagi mahasiswa tidak saja sebagai bekal untuk

menempuh semua matakuliah Keahlian Bidang Studi, akan tetapi bermanfaat pula bagi

mahasiswa sebagai sarana berfikir mengembangkan penalaran dan meningkatkan

kemampuan berpikir logis.

Perkuliahan ini dimaksudkan membekali mahasiswa agar mampu menggunakan

penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat

generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika,

disamping itu juga membekali mahasiswa untuk mengembangkan kemampuan berpikir

logis, rasional, analitis, sistematis, objektif, dan kritis serta kreatif.

Kompetensi yang diperoleh mahasiswa setelah menempuh matakuliah ini sangat

bermanfaat sebagai bekal untuk menempuh matakuliah lain. Adapun materi yang

dikembangkan pada matakuliah Pengantar Dasar Matematika meliputi:

1) Himpunan, relasi, fungsi dan kardinalitas

2) Logika : disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, ekivalensi, argument, bukti kesahan

argumen dan kwantifikasi

Semarang, Agustus 2011.

Penulis

Sugiarto-Isti Hidayah

PRAKATA

ii


HALAMAN JUDUL ....................................................................................................... KATA PENGANTAR .................................................................................................... DAFTAR ISI ........................................................................................................... BAB I : PENDAHULUAN .......................................................................................

1. Deskripsi mata kuliah .................................................................................. 2. Prasyarat ................................................................................................. 3. Petunjuk belajar ............................................................................................ 4. Standar Kompetensi .................................................................................... 5. Kompetensi dasar ........................................................................................ 6. Indikator ....................................................................................................

BAB II: HIMPUNAN ..............................................................................................4 1. Pengertian Himpunan ..............................................................................4 2. Keanggotaan Himpunan ......................................................................... 3. Cara Menyatakan Himpunan ................................................................... 4. Latihan 2 ......................................................................................................

BAB III: MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN ................................... 1. Himpunan Kosong ................................................................................. 2. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga .............................................. 3. Himpunan di Dalam Himpunan ............................................................... 4. Himpunan Bagian sejati ........................................................................ 5. Dua Himpunan yang Sama ..................................................................... 6. Dua Himpunan yang Ekivalen ............................................................... 7. Himpunan Kuasa .................................................................................. Latihan 3 ..................................................................................................

BAB IV: OPERASI PADA HIMPUNAN .................................................................... 1. Irisan Dua Himpunan ............................................................................. 2. Gabungan Dua Himpunan ........................................................................ 3. Selisih Dua Himpunan ................................................................................ 4. Komplemen ............................................................................................. 5. Perkalian Dua Himpunan ............................................................................. 6. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan ............................................................ Latihan 4 ................................................................................................

BAB V: HIMPUNAN BILANGAN .......................................................................... 1. Himpunan Bilangan-bilangan ................................................................ 2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya ............................................................... 3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal ...................................................... 4. Selang ...................................................................................................... Latihan 5 ...................................................................................................

BAB VI: RELASI ANTARA DUA HIMPUNAN ............................................................. 1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan ............................................... 2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan ....................................... 3. Banyaknya ReIasi Antara Dua I limpunan ............................................... 4. Macam Relasi .........................................................................................

DAFTAR ISI

i ii

iii 1 1 1 1 2 2 2 4 4 4 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9

10 10 11 11 12 13 13 15 17 17 19 20 20 21 22 22 22 24 25

iii


5. Relasi Ekivalen dan Partisi ....................................................................... Latihan 6 ....................................................................................................

BAB VII: FUNGSI ................................................................................................... 1. Pengertian Fungsi .................................................................................... 2. Cara Menyatakan Fungsi .................................................................. 3. Banyaknya Fungsi ................................................................................... 4. Jangkauan dari Fungsi ............................................................................. 5. Jenis Fungsi ............................................................................................ Latihan 7 .................................................................................................

BAB VIII: LOGIKA MATEMATIK A ............................................................................ 1. Proposisi .................................................................................................. 2. Proposisi Komposit .................................................................................. 3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit ...................................................... 4. Tabel Kebenaran ...................................................................................... 5. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi .................................................... 6. Implikasi Logis .......................................................................................... 7. Ekivalensi ................................................................................................ Latihan 8A .................................................................................................. 8. Hukum-hukum Aljabar Proposisi ............................................................ 9. Argumen ................................................................................................... 10. Kesahan Argumen ................................................................................... 11. Metode Deduksi ..................................................................................... Latihan 8B ............................................................................................... 12. Aturan Bukti Bersyarat (ABB) .................................................................

Latihan 8C ................................................................................................. 13. Reductio Ad Absordum (Bukti Tak Langsung) .......................................... Latihan 8D ...............................................................................................

BAB IX: KUANTIFIKASI .......................................................................................... 1. Fungsi Proposisi dan Kuantor ....................................................................... 2. Melambangkan Proposisi ............................................................................ Latihan 9A ................................................................................................. 3. Bukti Kesahan clan Aturan Kuantifikasi Permulaan .................................... Latihan 9B ....................................................................................................

BAB X: BILANGAN KARDINAL ................................................................................ 1. Himpunan Ekivalen .................................................................................. 2. Himpunan Berhingga clan Tak Berhingga ................................................. 3. Himpunan Terbilang clan Tak Terbilang .................................................... 4. Bilangan Kardinal ....................................................................................... Latihan 10 .....................................................................................................

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................

26 29 30 30 31 32 33 35 36 37 37 37 38 39 40 40 41 42 43 44 44 45 48 50 52 53 54 55 55 56 57 58 61 62 62 62 63 67 72 73


A. Diskripsi

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) bertujuan agar mahasiswa

memiliki kecakapan untuk memahami : Konsep dasar himpunan, macam himpunan,

relasi pada himpunan, operasi pada himpunan, himpunan bilangan-bilangan, ralasi,

fungsi, bilangan kardinal, logika matematika dan kuantifikasi

B. Prasyarat.

Perkuliahan Pengantar Dasar Matematika (PDM) tidak memerlukan

pengetahuan prasyarat secara khusus. Pengetahuan matematika yang telah didapat di

Pendidikan Dasar dan pendidikan menengah sudah cukup sebagai dasar untuk

mempelajari materi pokok pada perluliahan PDM.

C. Petunjuk Belajar

Strategi yang dikembangkan pada perkuliahan ini adalah startegi hiuristik

dengan metode tanya jawab, demonstrasi dan diskusi dilanjutkan dengan presentasi

hasil diskusi kelompok, serta pemberian tugas terstruktur (TT) baik tugas individual

maupun tugas kelompok. Strategi ini juga mengembangkan kemampuan mahasiswa

untuk bereksplorasi dan berelaborasi dalam kegiatan mengonstruk pengetahuan yang

berupa pemahaman konsep, prisnsip dan penerapannya dalam memecahkan masalah

yang berkaitan dengan teori himpunan dan Pengantar logika matematika. Untuk

memantapkan pengetahuan mahasiswa dan untuk menghindari miskonsepsi, maka

perlu dilaksanakan kegiatan konfirmasi oleh dosen dan oleh mahasiswa.

Adapun langkah pembelajaran yang dikembangkan meliputi:

1. Tahap Kegiatan Pendahuluan.

a. Menyiapkan kondisi fisik dan mental mahasiswa untuk belajar

b. Menggali pengetahuan prasyarat dengan cara tanya jawab dan menggunakan

media pembelajaran

2. Tahap Kegiatan Inti

a. Melakukan tanya jawab

PENDAHULUAN

AN


b. Melakukan inkuiri dengan menggunakan modeling

c. Melakukan diskusi kelompok dan mempresentasikan hasilnya

(dikembangkan secara eksplorasi, elaborasi dan konfirmasi)

3. Tahap Kegiatan Penutup

a. Pemberian kesempatan untuk membuat rangkuman

b. Pemberian tuas terstruktur individual/kelompok

c. Tindak lanjut, pada setiap akhir perkuliahan menugaskan kepada mabahsiswa

untuk me,mpelajari materi berikutnya.

D. Standar Kompetensi

Penyelenggaraan mata kuliah PDM bertujuan agar mahasiswa mampu

mengembangkan kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya

dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan teori himpunan dan logika

matematika,

E. Kompetensi Dasar

Perkuliahan ini dimaksudkan agar mahasiswa mampu mengembangkan

kecakapan untuk memahami konsep dan prinsip serta penerapannya dalam

pemecahan masalah berkaitan dengan teori himpunan dan logika matematika,

yang meliputi: 1) pendahuluan, 2) Konsep dasar himpunan, 3) macam himpunan, 4)

relasi pada himpunan, 5) operasi pada himpunan, 6) himpunan bilangan-bilangan, 7)

ralasi dan fungsi, 8) logika matematika, dan 9) kuantifikasi. 10) bilangan kardinal.

F. Indikator

Mahasiswa mampu:

1) Mendiskripsikan konsep dasar himpunan, meliputi : Pengertian Himpunan,

keanggotaan Himpunan, Cara Menyatakan Himpunan.

2) Menyebutkan macam himpunan, meliputi : Himpunan Kosong, himpunan berhingga dan

tak berhingga , himpunan di dalam himpunan.

3) Menyebutkan pengertian: himpunan Bagian sejati, dua himpunan sama , dua

himpunan yang ekivalen, himpunan kuasa.

4) Menyebutkan pengertian: irisan dua himpunan, gabungan dua himpunan, selisih

dua himpunan, komplemen, perkalian dua himpunan.


5) Menemukan sifat-sifat operasi pada himpunan.

6) Menentukan himpunan bilangan, operasi hitung dengan bilangan nol dan sifat-

sifatnya, pecahan biasa dan pecahan desimal.

7) Menyebutkan pengertian relasi antara dua himpunan, menentukan cara menyatakan

relasi antara dua himpunan, banyaknya reIasi antara dua I limpunan, macam relasi,

relasi ekivalen dan partisi.

8) Menyebutkan pengertian fungsi, menentukan cara menyatakan fungsi , banyaknya

Fungsi , jangkauan dari Fungsi , jenis Fungsi.

9) Menyebutkan pengertian himpunan ekivalen, himpunan berhingga dan tak

berhingga, himpunan terbilang dan tak terbilang, dan bilangan kardinal.

10) Menyebutkan pengertian proposisi, dan proposisi komposisi.

11) Menentukan nilai tebenaran proposisi komposit, tabel kebenaran, tautologi,

kontradiksi, dan kontingensi, Implikasi Logis, ekivalensi, dan hukum-hukum Aljabar

Proposisi.

12) Menentukan argumen, kesahan argumen , metode deduksi, aturan bukti bersyarat

(ABB), reductio ad absordum (Bukti Tak Langsung).

13) Menentukan argumen fungsi proposisi dan kuantor, melambangkan proposisi, kukti

kesahan dan aturan kuantifikasi permulaan.


1. Pengertian Himpunan

Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep

dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan

himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan bendabenda

atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas

dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota

himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk

dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.1

Kumpulan yang bukan merupakan himpunan

a. kumpulan makanan lezat

b. kumpulan batu-batu besar

c. kumpulan lukisan indah

Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya

tidak didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.2

Kumpulan yang merupakan himpunan

a. kumpulan negara-negara Asean

b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia

c. kumpulan bilangan asli genap

d. Penduduk Jawa Tengah

2. Keanggotaan Himpunan

Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah

himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c

anggota himpunan A, dapat ditulis c A, demikian juga a A dan b A. Tetapi d bukan

anggota himpunan A dan dapat ditulis d A.

3. Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan

a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

c. notasi pembentuk himpunan.

Contoh 1.3

a. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;

A = {1,3,5,7)

HIMPUNAN

AN


B = {0,2,4,6,8, ...}

C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

b. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau

A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,

B = Himpunan bilangan cacah genap,

C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s.

c. Notasi pembentuk himpunan.

A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil}

B = {x| x bilangan cacah genapl}

C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s}

LATIHAN 2

AN

1. a. Berilah tiga contoh kumpulan yang bukan merupakan himpunan.

b. Berilah tiga contoh kumpulan yang merupakan himpunan.

2. Diketahui B = {p, q, r}. Katakanlah apakah keempat pernyataan berikut benar,

kemudian berikan alasannya.

a. p B b. {q} B, c. r B, d. s B.

3. Tulislah himpunan berikut dengan tabulasi.

a. A = {x2 = 25}

b. B = {x| x + 3 = 3}

c. A = {x| x > 3, x bilangan asli ganjil}

d. A = {x| 0 < x < 5, x bilangan real}

4. Tulislah dengan menyebutkan syarat-syarat anggotanya.

a. E = {a,i,u,e,o}

b. F = {2,3,5,7,11}

c. G = {3,6,9,12, }

d. H = {123, 132, 213, 231, 312, 321}.

5. Tulislah dengan notasi pembentuk himpunan untuk himpunan bilangan asli yang:

a. kurang dari 5,

b. Iebih dari atau sama dengan 3,

c. kelipatan 5 kurang dari 50, dan

d. prima.

6. Penulisan himpunan berikut manakah yang benar

a. J= {x| x > 0, x himpunan bilangan bulat}

b. K = {x| x < 20, x bilangan asli genap}

c. L = {x| x > 4, x bilangan cacah}


elah dikemukakan pada bab I bahwa konsep himpunan merupakan konsep yang tidak

didefinisikan. Dari konsep tersebut dapat dikembangkan konsep lain yang didefinisikan

berkaitan dengan konsep himpunan. Berikut ini disajikan beberapa konsep yang

didefinisikan berkaitan dengan konsep himpunan.

1. Himpunan Kosong

Definisi 2.1

Himpunan kosong dinyatakan dengan atau {}.

Contoh 2.1

Himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan kosong.

a. A = Himpunan bilangan prima genap

b. B = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

c. C = Himpunan segitiga samakaki yang tumpul

d. D = Himpunan persegi panjang yang merupakan belah ketupat.

e. E = {x| x x}

f. F = {x| x2 +4 = 0, x bilangan real}

Himpunan tersebut tersebut di atas yang merupakan himpunan kosong adalah B, E, F,

sedangkan himpunan A, C, dan D bukan himpunan kosong.

2. Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga

Dilihat dari kardinalitasnya suatu himpunan ada yang merupakan himpunan berhingga

dan himpunan tak berhingga. Suatu himpunan disebut himpunan berhingga bila banyak

anggota himpunan menyatakan bilangan tertentu, atau dapat juga dikatakan suatu

himpunan disebut berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung, maka

proses penghitungannya dapat berakhir. Sebaliknya suatu himpunan disebut himpunan

tak berhingga bila banyaknya anggota himpunan tersebut tidak dapat dinyatakan dengan

bilangan tertentu. Atau dapat juga dikatakan suatu himpunan disebut himpunan tak

berhingga bila anggota-anggota himpunan tersebut dihitung maka proses

penghitungannya tidak dapat diakhiri.

Himpunan kosong adalah

himpunan yang tidak mempunyai

MACAM HIMPUNAN DAN RELASI PADA HIMPUNAN


Contoh 2.2

1. Himpunan berhingga

a. K = Himpunan nama hari dalam seminggu

b. L = {x|x < 100, x bilangan cacah ganjil}

c. P = {x| x negara - negara Asean}

d. Q = {x| x penduduk Indonesia}

2. Himpunan tak berhingga

a. R = Himpunan bilangan asli

b. L = Himpunan bilangan cacah kelipatan 5

c. P = {x| x > I00, x bilangan bulat}

d. Q = {x| x bilangan bulat genap}

3. Himpunan di Dalam Himpunan

Definisi 2.2

Dari definisi 2.2 dapat dikatakan bahwa A disebut bukan himpunan bagian dari B jika dan

hanya jika ada x anggota A dan x bukan anggota B. Dapat ditulis A B jhj x A dan x B.

Contoh 2.3

Diketahui himpunan A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,3,5}, C = {2,4,6}, D = {3,4,5,6,1,2}, dan E =

{5,6,7}. Manakah pernyataan di bawah ini yang benar.

a. B A d. E A g. A A

b. A C e. A D h. {} A

Pada gambar 2.1 semua anggota A

ada di dalam himpunan B, maka A

disebut himpunan bagian dari B,

ditulis A B dibaca A himpunan bagian dari B.

Gambar 2.1

B

A

Himpunan A disebut himpunan bagian dari B ditulis A B jika dan hanya jika untuk setiap x anggota A maka x anggota B. Dapat ditulis

A B jhj x A maka x B.


c. D A f. E C i. B

Jawab:

Pernyataan yang benar adalah a, c, d, e, f, g, h, dan i.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

2. Jika A himpunan maka A A.

4. Himpunan Bagian Sejati

Definisi 2.3

A disebut himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan B A.

Contoh 2.4

Diketahui A={0,2,4,6}, B={0,2,4,6,8}, dan C={xl x bilangan cacah genap kurang dari 9}.

Jelas bahwa:

1) A himpunan bagian sejati B

2) bukan himpunan bagian sejati C

Dalam beberapa buku sebutan A himpunan bagian sejati B ditulis dengan A B dan

sebutan C himpunan bagian sejati D dirulis dengan C D.

5. Dua Himpunan yang Sama

Definisi 2.4

Dari definisi 2.4 dapat disimpulkan bahwa:

AB jhj A B atau B A.

Contoh 2.5

Diketahui himpunan A = {1,3,5,7,9), B ={2,4,6,8,10), dan C = {7,3,9,1,5). Banyaknya

anggota himpunan A ditulis dengan n(A), sehingga:

a) A = C dan n(A) = n(C) 5, dan

b) n(A) = n(B) = 5 tetapi AB.

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang sama, ditulis A=B jika dan hanya jika anggota-anggota A tepat sama dengan anggota-anggota B artinya setiap anggota A ada di B dan setiap anggota B ada di A dan dapat ditulis:

A=B jhj A B dan B A.


6. Dua Himpunan yang Ekivalen

Definisi 2.5

Contoh 2.6

Diketahui A = {3,6,9,12,15}, B = {12,9,6,3,15), dan C = {2,3,5,7,11}, maka:

a) A=B dan A B

b) n(A) = n(C) tetapi AC.

Contoh 2.7

Diketahui N = {1,2,3,4,5 }, C = {0,1,2,3,4 }, N C sebab N dan C berkorespondensi satu-

satu. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

N : 1, 2, 3, 4, , n,

C : 0, 1, 2, 3, , (n-1),

7. Himpunan Kuasa

Definisi 2.6

Contoh 2.8

a. A = {2,4}, maka n(A) =

2A = { {2}, {4}, {2,4}}, n(2A)=4

b. B = {1}, maka n(B) = 1

2B= { , {1}}, n(2B) = 2

c. C = {1,3,5), maka n(C) = 3

2C = { , {1}, {3}, {5}, {1,3), {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}, n(2C) = 8.

Dari contoh 2.8 dapat disimpulkan

Jika A adalah himpunan, n(A)=k, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A ditulis

n(2A) = 2k.

Himpunan A dan B disebut dua himpunan yang ekivalen, ditulis A B jika dan hanya jika: 1. n(A) = n(B), untuk A dan B

himpunan berhingga. 2. A dan B berkorespondensi satu-

satu, untuk A dan B himpunan tak berhingga.

Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang anggotanya semua himpunan bagian dari himpunan A ditulis 2A.


1. Misalkan A = {a,b,c,d}

a. Tulislah semua himpunan bagian dari A

b. Berapakah banyaknya himpunan bagian dari A.

2. Apakah setiap himpunan mempunyai himpunan bagian sejati?

3. Misalkan P adalah himpunan, Jika P , buktikanlah bahwa P= .

4. Misalkan A, B, dan C masing-masing adalah himpunan, jika A B dan B C, buktikan

bahwa A C.

5. Misalkan A ={{3}, {4,5), {1,3}}, pernyataan-pernyataan manakah yang benar?

Mengapa?

a. {1,3} A c. {3} A b. {4,5} A d. {{1,3}} A

6. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang sama?

a. {a,b,c} b. {c,b,a,c} d. {b,c,b,a} d. {c,a,c,b}

7. Manakah dari himpunan-himpunan berikut yang sama?

a. {x|x2 - 3x + 2 = 0, x bilangan real),

b. {1,2,1,2},

c. {x| x dua bilangan asli yang pertama}.

8. Yang manakah di antara himpunan-himpunan berikut yang himpunan kosong?

a. {x I x bilangan, prima genap},

b. {x I x bilangan ganjil yang habis dibagi 2},

c. {x I x2 3x + 5 = 0, x bilangan real),

d. {xix+ 8=8},

e. {x x + 4 1; X Miamian nen,

f. {x x segitiga sama kaki tumpul},

g. {x Ix persegi panjang yang belah ketupat},

9. Himpunann manakah yang berhingga dan takberhingga?

a. {1,2,3,...,10.000),

b. {x| x bilangan genap},

c. {penduduk bumi},

d. {1,2,3,...}.

10. Diketahui B = {1,3,5,7}. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar.

a. {1,3} 2B c. {} 2B e. {3,7} 2B

b. B 2B d. B 2B f. {{5,7}} 2B

11. Diketahui A = {1,2,3,4,5,...}, B =- {2,4,6,8,...}, dan C = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3, ...}.

Tujukkan bahwa:

a. A B b. A C

12. Diketahui M = {x| x bilangan asli genap kurang dari 100}, N = {x| x bilangan cacah

ganjil kurang dari 99}. Apakah MN? Jelaskanlah!

13. Diketahui A = himpunan segi empat; B = himpunan persegi panjang; C = himpunan

persegi; dan D = himpunan belah ketupat. Nyatakan dalam diagram Venn!

Latihan 3


Dalam ilmu-ilmu berhitung kita belajar menjumlahkan dan mengalikan yaitu kita

menetapkan untuk setiap pasang bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x+y yang disebut

jumlah dari x dan y, dan xy yang disebut perkalian x dan v. Penetapan-penetapan ini disebut

operasi-operasi penjumlahan dan perkalian. Operasi penjumlahan dan perkalian termasuk

operasi biner. Di samping operasi biner ada jenis operasi yang lain yaitu operasi uner. Pada

bab ini akan dibahas operasioperasi pada himpunan, yaitu:

1. Irisan Dua Himpunan

Definisi 3.1

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. lrisan A dan B ditulis A B adalah

himpunan semua anggota yang berada dalam A dan juga berada dalam B.

Dapat ditulis A B = {x| x A, x B.} .

Contoh 3.1

a. Diketahui K = {a,b,c,d,e},

L = {b,d,f,g}, maka K L = {b,d}.

b. Diketahui A = {x| x bilangan asli

ganjil}, B = {x| x bilangan asli genap}, maka A B =

c. Diketahui C = {2,4,6,8,...},

D = {4,8,12,...}, maka C D = {4,8,12,...} = D.

Dari contoh 3.1 dapat disimpulkan secara umum

1. Jika A,B himpunan maka (A B) A dan (A B) B 2. Jika A B maka A B = A.

OPERASI PADA HIMPUNAN

AN


Untuk lebih jelasnya dapat

diIihat gambar 3.2

Definisi 3.2

Himpunan berpotongan dan himpunan saling lepas.

Contoh 3.2

Diketahui A: himpunan persegi panjang B: himpunan belah ketupat C: himpunan segitiga

Maka:

A B = himpunan persegi

A C = dan B C =

2. Gabungan Dua Himpunan

Definisi 3.3

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis AB jika dan hanya jika A B .

Misalkan A dan B adalah himpunan-

himpunan. Himpunan A dan B

dikatakan saling lepas atau saling

asing ditulis A//B jika dan hanya jika

A B= .

A

B B

A (A B) A dan (A B) B A B = A

Gambar

3.2

AB

Gambar

3.3

A

B

A//

C

Gambar

3.4

A

C

B//

C

Gambar

3.5

B

C


Contoh 3.3

a. Diketahui K = {a,b,c,d,e}, L = {b,d,f,g}, maka K L= {a,b,c,d,e,f,g}

b. Diketahui A = {x| x bilangan asli ganjil}, B = {x| x bilangan asli genap}, maka A B = {x| x

bilangan asli}.

c. Diketahui C = {2,4,6,8,...}, D = {4,8,12,...},maka C D = {4,8,12,...) = C.

Dari contoh 3.3 dapat disimpulkan secara umum:


dilihat gambar 3.7

Contoh 3.4

Setiap siswa dalam suatu kelas diwajibkan memilih sekurang-kurangnya satu cabang

olahraga. Setelah diadakan pencatatan terdapat data 21 anak memilih bulu tangkis, 26

anak memilih tenis meja, dan 8 anak memilih keduanya. Berapakah anak yang:

a. Memilih tenis meja saja?

b. Hanya memilih bulu tangkis saja?

c. Ada dalam kelas tersebut?

Penyelesaian:

Gambar 3.6

A B

Gambar

3.8

B T

13 8 18

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Gabungan A dan B ditulis A B adalah himpunan semua anggota yang berada dalam A atau B atau dalam A dan B. Dapat ditulis A B = {x| x A atau x B}

1. Jika A,B himpunan maka A (AuB) dan B (AuB)

2. Jika A B maka A B = B.

B

A A (A B) dan B (A B)

A B = B Gambar

3.7

A

B

A B


Dari gambar 3.8 jelas bahwa:

a. siswa yang memilih tenis meja saja

ada 13 anak,

b. siswa yang memilih bulu tangkis

saja ada 18 anak, dan

c. banyaknya siswa dalam kelas =

13+8+18 = 39 anak.

3. Selisih Dua Himpunan

Definisi 3.4

Contoh 3.5

a. Diketahui A = {1,2,3,4,5},

B = {4,5,6,7,8,9},

maka: (1). A-B = {1,2,3}, B - A =

{6,7,8,9}. (2). A B = {4,5}

b. Diketahui C = {2,4,6),

B = {2,4,6,8,10)

c. Diketahui E = {1,3,5,7,9,...),

F = {2,4,6,8,...)

maka: (1). E - F = {1,3,5,7,9,...) = E.

(2). F - E = {2,4,6,8,...} = F.

Dari contoh 3.5 dapat disimpulkan secara umum:

1 Jika A B himpunan maka A-B = ,

2. Jika A B himpunan maka A (B-A) =

Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Selisih himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan semua anggota himpunan A yang bukan anggota B. Dapat ditulis A-B = {x| x A, x B}.

A-

B Gambar

3.9

A

B


B,

3. Jika A, B himpunan maka (A-B) A,

4. Jika A, B himpunan maka A-B, A B,

B-A saling asing.


dilihat gambar 3.10

Misalkan A adalah himpunan dengan semesta U. Komplemen A ditulis Ac atau A adalah

himpunan semua anggota U yang bukan anggota himpunan A.

Contoh 3.6

a. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10},

A = {2,3,4,5}, dan B = {4,5,6,7}, maka

(1). A' = {1,6,7,8,9,10}

(2). B' = {1,2,3,8,9,10}

(3). A B = {4,5}

(4). (A B) = {1,2,3,6,7,8,9,10}

(5). A' B' = {1,2,3,6,7,8,9,10}

(6). A B = {2,3,4,5,6,7}

(7). (A B)' = {1,8,9,10}

(8). A B = {1,8,9,10}.

Ternyata dari (4) dan (5) serta (7)

dan (8)

(A B)' = A' B'

(A B)' = A' B'

b. Diketahui U = {1,2,3,4,...,10},

C = {3,4,5,6}, dan D = {2,3,4,5,6,7}, maka

(1). Jelas C D,

(2). C' = {1,2,7,8,9,10},

(3). D' = {1,8,9,10}

Ternyata D C.

c. A-B = {x| x A dan x B}

A-B A B B-A A (B-A) = B Gambar 3.10

A

B B

A


= {x| x A dan x B'}

= A B'.

Jadi A-B = A B'.

4. Perkalian Dua Himpunan (Produk Cartesius)

Suatu perangkat yang diperlukan untuk membangun perkalian silang dua himpunan

adalah pasangan berurutan. Pasangan berurutan yang memuat dua unsur a dan b dengan

a sebagai unsur pertama dan b sebagai unsur kedua, ditulis dengan (a,b), (a,b) dan (c,d)

dikatakan sama jika dan hanya jika a=c dan b=d.

Definisi 3.6

Contoh 3.7

Diketahui A = {a,b} dan B = {1,2,3}, maka

(1). AxB =

{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

(2). BxA =

{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Ternyata AxB BxA.

5. Sifat-sifat Operasi pada Himpunan

Misalkan A dan B himpunan-himpunan. Perkalian silang dari A dan B ditulis AxB adalah himpunan semua pasangan terurut (a,b) dengan a A dan b B. Dapat ditulis AxB = {(a,b)| a A, b B}

1. Idempoten a. A A = A b. A A = A

2. Asosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C)

3. Komutatif a. A B = B A b. A B = B A

4. Distributif a. A (B C)= (A B) (A C) b. A (B C)= (A B) (A C)

5. Identitas a. A = A b. A U = U c. A =


6. Penggunaan Sifat Operasi pada Himpunan.

Contoh 3.8

Jika A B dan B C maka A C, buktikanlah!

Penyelesaian:

Diketahui A B dan B C.

Akan dibuktikan A C.

A B maka A B = A (1)

B C maka B C = B (2)

Pada (1) A B = A

A (B C) = A' subtitusi (2) pada (1)

(A B) C = A assosiatif

A C = A subtitusi (1)

A C.

Contoh 3.9

Buktikan bahwa (D-E) dan (D E) saling asing.

De Morgan a. (A B) = A B b. (A B) = A B

8. Absorpsi a. A (A B)= A b. A (A B)= B


Penyelesaian:

Diketahui D, E himpunan

Akan dibuktikan (D-E) dan (D E) saling asing.

(D-E) (D E) = (D E') (D E)

= (D D) (E E) (Kom, Ass)

= D (Idemp, Kompl)

= . (Ident)

Ternyata (D-E) (D E) = .

Jadi (D-E) dan (D E) saling asing.

Contoh 3.10

Buktikan bahwa jika A B maka B A

Penyelesaian:

Diketahui A, B himpunan, A B

Akan dibuktikan B A.

A B maka A B = A

(A B)' = A

A B = A

B' A'.

Terbukti.


1. Letakkanlah lambang " ", atau lambang = di antara sebanyak mungkin pasangan

himpunan-himpunan di bawah ini:\

2. Nyatakanlah apakah masing-masing pernyataan berikut ini benar atau salah.

3. Gambarlah diagram-diagram Venn untuk himpunan-himpunan itu dan jelaskan arti dari

I K seperti yang terdapat dalam gambarmu.

4. X adalah himpunan bilangan kelipatan 6 yang kilning dari 35. Y adalah himpunan

kelipatan 8 yang kurang dari 35. Sebutkanlah anggota-anggota X, Y, dan X Y. Dengan

mengabaikan nol dalam X Y, kita peroleh kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan 8.

Sebutkan KPK itu!

5. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 20 murid, 15 murid memilih Matematika, 12 murid

memilih Ilmu Pengetahuan Alam, dan 10 murid Matematika dan ilmu Pengetahuan

Alam. Tunjukkanlah keterangan ini dalam diagram Venn. Berapakah murid yang tidak

memilih Matematika maupun Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Diadakan pencatatan tentang yang biasa diminum sehari-hari olen 180 murid. 100 anak

minum teh, 92 anak minum kopi, dan 115 anak minum susu, sedang 25 anak minum

ketiga-tiganya.

Latihan 4

AN


a. Dengan menggunakan T, K, dan S untuk himpunan peminum teh, kopi, dan susu,

gambarlah keterangan ini dalam diagram Venn. Tunjukkanlah terlebih dahulu

banyaknya anak yang minum baik teh maupun kopi dan susu.

b. Berapakali banyaknya anak yang minum kopi, tetapi tidak minum teh maupun susu?

c. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum susu saja?

d. Berapakah banyaknya anak yang hanya minum teh saja?

7. a. A = {0,1,2,3}, B = {1,3,5,7}, dan C = {2,3,5,8}. Nyatakanlah masing-masing himpunan di

bawah ini dengan menyebutkan semua anggotanya.

(1). A B (4). A A

(2). A C (5). A B

(3). B C

b. Dengan menggunakan himpunan-himpunan pada soal 6.a nyatakanlah masing masing

himpunan di bawah ini dengan menyebutkan semua anggota-anggotanya.

(1). (A B) C (2). A (B C)

Apakah yang kamu lihat pada jawabannya?

8. Gambarlah diagram Venn bagi tiap bentuk berikut ini, dan masukkanlah banyaknya

elemen dalam daerah yang tergambar. Kemudian hitunglah banyaknya elemen yang

ditanyakan.

a. n(A)=50, n(B)=62, dan n(A B)=26.

b. Hitunglah n(A B).

c. n(X)=7, n(Y)=11, X dan Y terpisah.

d. Hitunglah n(X Y).

c. n(P)=23, n(Q)=25, dan P Q.

d. Hitunglah n(P Q).

9. A dan B adalah himpunan sedemikian hingga n(A)= p+q, n(B)= q+r, dan n(A B)= q.

a. Gambarlah himpunan-himpunan ini dalam diagram Venn dan masukkanlah

banyaknya anggota dalam tiap daerah.

Hitunglah: (1). n(A B),

T

K

S

U

Gambar 3.11


(2). n(A) + n(B) - n(A B),

kemudian tunjukkan bahwa n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B).

b. Kalau A dan B saling asing, bagaimanakah hasil dalam b?

10. Misalkan A, B, dan C himpunan-himpunan. Buktikanlah:

a. (A-B) A

b. (A-B), A B, dan (B-A) saling lepas

c. Jika A B maka A (B-A) = B

d. (A-B) B = .

11. Misalkan U = {1,2,3,...,9}, A = { 1,2,3,4), B = {2,4,6,8}, dan C = {3,4,5,6). Carilah:

a. A' c. C e. (A B)

b. B' d. (A C)' f. (B-C)'

12. Andaikan A = {a,b}, B = {1,2), dan C = {3,4). Carilah:

a. Ax(B C) d. Ax(B C)

b. (AxB) (AxC) e. (AxB) (AxC)

c. (AxB)xC

13. Pernyataan di bawah ini manakah yang benar:

a. jika x (A B) maka x A

b. jika x (A B) maka x B

c. jika x (A B) rnaka x A

d. jika x A, maka x (A B)

e. jika x A maka x (A B)

f. jika x (A-B) maka x A

g. jika x A maka x A

h. jika x A' maka x A

14. Tentukan syarat agar pernyataan di bawah ini benar.

a. jika x (M N) maka x N

b. jika x M maka x (M N)

15. Isilah titik-titik di bawah ini sehingga menjadi pernyataan yang benar.

a. jika M N maka:

(1). M N =

(2). M N =

(3). M-N = ...

(4). M (N-M) =

b. jika M , N , MN, dan M-N =,

maka M N =

16. Di dalam diagram venn pada gambar di bawah ini arsirlah:


a. B

b. (A B)

c. (B-A)

d. A B

Gambar 3.12

A

B


1. Himpunan Bilangan-bilangan

a. Bilangan Asli

Bilangan-bilangan 1,2,3,4,5,... disebut bilangan asli. Himpunan semua bilangan asli

disebut himpunan bilangan asli dan ditulis N. Jadi N = {1,2,3,4,...}.

b. Bilangan Cacah

Bilangan-bilangan 0,1,2,3,4, disebut bilangan cacah. Himpunan semua bilangan cacah

disebut himpunan bilangan cacah dan ditulis C. Jadi C = {0,1,2,3,4,...}. Jelas N C, C-N =

{0}.

c. Bilangan Bulat

Bilangan-bilangan 0,-1,1,-2,2,-3,3,... disebut bilangan bulat. Himpunan semua bilangan

bulat disebut himpunan bilangan bulat dan ditulis Z . Jadi Z = {...,-1,1,-2,2,-3,3,...}. Jelas

bahwa N C Z.

d. Bilangan Pecah

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan dengan a,b Z, b0, a dan b koprima disebut

bilangan pecah.

merupakan bilangan pecah. Bilangan pecah

dapat ditulis dengan:

(1) pecahan

... disebut

pecahan biasa

(2) pecahan 0,5; 0,500...; 0,4999... disebut pecahan desimal

(3) pecahan 50% disebut pecahan

persen

Pada bab ini perkataan pecahan menyatakan lambang bilangan, bilangan pecah, dan

bilangan bulat. bisa dilambangkan dengan pecahan. Pada beberapa buku ada yang

menyatakan pecahan sebagai bilangan dan lambang dari pecahan disebut bentuk

pecahan. Bilangan bulat dua dapat dinyatakan dengan

(1) pecahan biasa:

,

,

(2) pecahan desimal: 2,00...,

1,999...

(3) pecahan persen: 200%.

Bilangan pecah seperempat dapat

dinyatakan dengan

HIMPUNAN BILANGAN

AN


(1) pecahan biasa:

,

,

(2) pecahan desimal: 0,25;

0,25000..., 0,24999...

(3) pecahan persen: 25%.

Jika himpunan semua bilangan pecah dinyatakan dengan P maka Z P = Q, Z P, Z//P

e. Himpunan Bilangan Rasional

Bilangan yang dapat dinyatakan dengan pecahan

dengan p,q Z, q0, disebut

bilangan rasional. Contohnya,

dan seterusnya. Himpunan semua

bilangan rasional disebut himpunan bilangan rasional, dan ditulis dengan Q. Jadi Q= {x|

x=

, p,q Z, q0}.

f. Himpunan Bilangan Irasional

Bilangan-bilangan seperti , dan seterusnya tidak dapat

dengan pecahan

dengan p,q Z, q0. Bilangan tersebut disebut bilangan irasional.

Himpunan semua bilangan irasional disebut himpunan bilangan irasional. Jika

himpunan tersebut dinyatakan dengan I maka Q l = R, Z I, Q I, Q//I.

g. Himpunan Bilangan Real

Salah satu sifat penting dari bilangan-bilangan real adalah bahwa bilangan-bilangan

tersebut dapat dinyatakan oleh titik-titik pada sebuah garis lurus sebagaimana pada

gambar 4.1. Garis tersebut disebut garis real. Ada suatu cara yang lazim untuk

membuat pasangan titik-titik pada garis itu dengan bilangan-bilangan real, yaitu setiap

titik menyatakan suatu bilangan real dan setiap bilangan real dinyatakan dengan

sebuah titik. Oleh karena itu kita dapat mempergunakan perkataan titik dan bilangan

secara bertukaran.

Jika I: Himpunanbilangan irasional

Q: Himpunan bilangan rasional

Maka I Q = R, I R, Q R karena

I//Q maka R-Q = I.

h. Bilangan Imajiner

Bilangan-bilangan seperti dan seterusnya

disebut bilangan imajiner. Himpunan semua bilangan imajiner disebut himpunan

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

4


bilangan imajiner. Jika himpunan tersebut dinyatakan dengan J maka R//J. dapat

ditulis . i = i , dengan i2 = 1. Jadi = i , dan = i .

i. Himpunan Bilangan Kompleks

Jika J : himpunan bilangan imajiner

R: himpunan bilangan real

K: himpunan bilangan

kompleks

Maka J R = K.

Bilangan kompleks dapat dinyatakan dengan z = a+bi, dengan a,b R dan i2 = 1, a

disebut bagian real dan b disebut bagian imajiner.

Contoh bilangan kompleks.

Z1 =2+3i dengan a -2 dan b = 3.

Z2 =5- 4i dengan a = 5 dan b = -4.

Z3 = -6 dengan a = -6 dan b = O.

Z1 = 2i dengan a = 0 dan b = 2.

j. Diagram Venn

Jika N: himpunan bilangan asli

C: himpunan bilangan cacah

Z: himpunan bilangan bulat

Q: himpunan bilangan rasional

R: himpunan bilangan irasional

K: himpunan bilangan kompleks

Maka diagram venn-nya:

Pada gambar 4.2

CN = {0}

ZN = {x Lx bilangan bulat negatif}

QZ = {a- L bilangan pecah} = P

RQ = (x Ir bilangan irasional} = I

KR = {x bilangan imajiner} = J


2. Bilangan Nol dan Sifat-sifatnya

a. Pengertian Bilangan Nol

Bilangan nol menyatakan banyaknya anggota himpunan kosong. Jadi jika A = {} maka

n(A) = 0.

b. Perkalian dengan Nol

0x4 =

Untuk menjawab pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan beberapa cara:

(1) dengan pola bilangan.

3x4 = 12

2x4 = 8

1 x4 = 4

0x4 =

(2) dengan sifat komutataif.

4x0 = 0+0+0+0 = 0

4x2 = 2x4

3x6 = 6x3

5x1 = 1x5

Jadi 0x4 = 4x0 = 0

c. Pembagian dengan Nol

(1) 4:0 = .

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan dengan pengertian operasi pembagian.

10:2 = 5 sebab 5x2 = 10

0:4 = 0 sebab Ox4 = 0

Misalkan 4:0 = n maka nx0 = 4

Persamaan nx0 = 4 tidak mempunyai penyelesaian sehingga persamaan 4:0 = n

juga tidak mempunyai penyelesaian. Jadi 4:0 hasilnya tidak didefinisikan.

(2) 0:0 = .

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misalkan 0:0 = n maka nxo =

0. Untuk n = -6 maka -6x0 = 0, untuk n =

maka

x0 = 0. Ternyata untuk setiap

bilangan real merupakan penyelesaian dari nx0 = 0. Sehingga penyelesaian 0:0 = n

tidak tunggal.

Jadi 0:0 dikatakan bentuk tak tentu.

(3) 30 = .

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

(a). Dengan pola bilangan:

33 = 27

32 = 9

31 =3


(b). Dengan sifat perpangkatan:

30 = 32:32 = 1

Jadi 30 = 1.

(4) 3-2 = .

Pertanyaan ,tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

(a). Dengan pola bilangan:

32 = 9

31 =3

3-1 =

3-2 = .

(b). Dengan sifat perpangkatan:

3-2 = 31-3 = 31 : 33 =

=

Jadi 3-2 =

.

(5) 00 = .

Pertanyaan tersebut dapat

dijelaskan sebagai berikut.

00 = 03-3 = 03 : 03 =

Jadi 00 =

merupakan bentuk tak tentu.

3. Pecahan Biasa dan Pecahan Desimal

a. Pecahan Desimal

Apakah 0,5 = 0,4999?

Pertanyaan tersebut dapat dijelaskan sebaai berikut.

Misalkan x=0,5 maka x=

=

Misalkan y = 0,4999

100y = 49,99

10y = 4,99

90y = 45

y =

=

Jadi, 0,5 = 0,4999


b Menyatakan Pecahan Biasa ke dalam Pecahan Desimal

Dari tabel di atas pengertian baru tentang

bilangan rasional, bahwa bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan

dengan desimal berulang tak terbatas..

e. Menyatakan Pecahan Desimal ke dalam Pecahan Biasa

Contoh 4.1

(1) Nyatakanlah pecahan decimal 0,181818... kedalam pecahan biasa.

Jawab:

Misalkan x = 0,181818... maka:

100x = 18,181818...

x = 0,181818..

99x = 18

x =

.

(2) Nyatakanlah pecahan desimal 0,374999... kedalam pecahan biasa.

Jawab:

Misalkan z = 0,374999... maka:

10.000z = 3.749,999...

1.000z = 374,999...

9.000z = 3.375

x =

.

Pecahan

Biasa

Pecahan Desimal

0,5 = 0,500 = 0,499

0,25 = 0.2500... =

0,2499...

0,125 = 0,12500... =

0,124999...

0,333

0,1666

1,181818

2,000 = 1,999


4. Selang (Interval)

Berikut ini disajikan beberapa himpunan yang merupakan selang.

Himpunan Notasi

Selang

Grafik

A={x|1x3} A=[1,3]

B={x|1


(3). A C (7). A-C

(4). A C (8). B-C

7. Diketahui bilangan kompleks z1 = 3+2i, z2 = -4+I, z3 = 5-2i, hitunglah:

a. z1 + z2 d. z1 x z2

b. (z1 + z2) + z3 e. z3 x z1

c. z1 z3


1. Pengertian Relasi Antara Dua Himpunan

Untuk memahami pengertian relasi antara dua himpunan perhatikatuah contoh berikut.

Misalnya ada empat anak yaitu Fajar, Dian, Tono, dan Nani ditanya apakah mereka gemar

bermain catur, voli, atau tenis meja. Jawaban mereka:

Fajar dan Dian gemar bermain catur,

Tono dan Nani gemar bermain voli,

Fajar dan Tono gemar bermain tenis meja

Perhatikanlah bahwa sebenarnya ada dua himpunan:

1. Himpunan anak

A = {Fajar, Dian, Tono, Nani}

2. Himpunan permainan

B = {catur, voli, tenis meja}

Kedua himpunan A dan B dihubungkan dengan hubungan gemar bermain. Hubungan

gemar bermain dari

himpunan A ke himpunan B dapat digambar sebagai berikut.

Gambar 5.1 menunjukkan suatu cara untuk menyatakan hubungan atau relasi dari

himpunan A ke himpunan B. Hubungan itu adalah gemar bermain. Gambar 4.1 disebut

diagram panah. Perhatikanlah bahwa suatu relasi mempunyai arah pada diagram panah

ditunjukkan dengan anak panah.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:

Suatu hubungan atau relasi dari

himpunan A ke himpunan B

adalah pemasangan anggota-

anggota A dengan anggota-

anggota B.

Fajar

Dian

Toni

Nani

Catur

Voli

Tenis

Gemar

bermain A

B

Gambar

5.1

RELASI

AN


2. Cara Menyatakan Relasi Antara Dua Himpunan

Diketahui himpunan A = {2,3,4,5}, B = {4,5,6} dengan relasi faktor dari, dari himpunan A

ke himpunan B maka kita dapat menyatakan relasi tersebut dergan tiga cara yaitu:

1). Dengan diagram panah

Pada gambar 5.2, 2 dikawankan dengan

4 ditulis 24, ini berarti 2 faktor dari 4.

2). Dengan himpunan pasangan berurutan

Perhatikanlah gambar 5.2. 26 ini berarti 2 faktor dari 6 dan dapat ditulis dengan

pasangan berurutan (2,6). Jika relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B

dinyatakan dengan R, maka jelas 2 berelasi R dengan 6 atau dapat ditulis dengan 2R6

atau (2,6) R. Dengan cara yang sama dapat dituliskan 2R4 atau (2,4) R, 3R6 atau

(3,6) R, tetapi 2 tidak berelasi dengan 5 atau dapat ditulis 2 5 atau (2,5) R. Dengan

demikian relasi R tersebut merupakan himpunan pasangan berurutan yaitu:

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

Dengan cara lain dapat dijelaskan pula bahwa jika ditentukan x A dan y B maka

relasi faktor dari tersebut dapat dinyatakan (lettgan kalimat terbuka x faktor dari y.

Pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "6" didapat pernyataan yang benar,

sehingga pasangan berurutan (2,6) merupakan penyelesaian dari kalimat terbuka x

faktor dari y. Tetapi pengganti "x" dengan "2" dan "y" dengan "5" didapat pernyataan

yang salah, sehingga (2,5) bukan penyelesaian dari kalimat terbuka x faktor dari y. Jika

relasi faktor dari dari himpunan A ke himpunan B dinyatakan dengan R maka

himpunan semua pasangan berurutan (x,y) yang menghasilkan pernyataan yang

benar yaitu himpunan penyelesaian kalimat terbuka

R = {(2,4),(2,6),(3,6),(4,4),(5,5)}

2

3

4

5

4

5

6

Faktor dari A

B

Gambar


3). Dengan grafik Cartesius

Koordinat titik-titik pada gambar 5.3 menyatakan anggota-anggota pasangan

berurutan dari relasi R (faktor dari).

Contoh 4.1

Diketahui M = {0,2 4,6,8}, N = {0,1,2,3,4,5}.

R = MN adalah relasi dari M ke N dinyatakan dengan kalimat terbuka x dua kali y

dengan X M, y N. Nyatakanlah relasi tersebut:

a. dengan diagram panah

b. dengan himpunan pasangan

berurutan

c. dengan grafik Cartesius

Penyelesaian:

a. dengan diagram panah

b. dengan himpunan pasangan

berurutan

R = {(0,0),(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)}

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

M R

N

Gambar

5.4


c dengan grafik Cartesius

3. Banyaknya Relasi Antara Dua Himpunan

Jika R: AB adalah relasi dari A ke B. n(a) = 3, dan n(B) = 2 maka banyaknya relasi R

tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan A = {1,3,5} maka n(A) = 3,

B = {a,b} maka n(B) = 2

AxB = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)) maka n(AxB) = 6 = 3x2.

Jika R1 = {(1,a)} jelas R1 (AxB) dan R1 relasi dari A ke B.

Jika R2 = {(1,a).(2,b)} jelas R2 (AxB) dan R2 relasi dari A ke B.

jika R0 = {} jelas R0 (AxB) dan R0 bukan relasi dari ke B.

Jika R6 = {(1,a),(1,b),(3,a),(3,b),(5,a),(5,b)} jelas R6 (AxB) dan R6 relasi dari A ke B.

Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa:

1. Jika R relasi dari A ke B maka R (AxB)

2. Jika R (AxB) dan R maka R relasi dari A ke B

Kita tahu bahwa n(AxB) = 6 jelas bahwa banyaknya anggota himpunan kuasa = 26 = 23x2

Karena untuk R= maka R relasi dari A ke B maka banyaknya relasi R dari A ke B ada 26 -

1. Dengan demikian dapat kita katakan bahwa jika R: AB adalah relasi dari A ke B dan

n(A) = 3, n(B) = 3 maka banyaknya relasi R sebanyak 23x2 - 1.

Secara umum dapat dikatakan bahwa:

Contoh 5.2

Diketahui R: MN adalah relasi dari M ke N. Jika n(M)=4 dan n(N)=3, hitunglah

banyaknya relasi R tersebut.

Penyelesaian:

n(M)=4 dan n(N)=3.

5

4

3

2

1

0 2 4 6 8

Gambar 5.5

Jika R: AB adalah relasi dari A ke B dan n(A) = k, n(B) =1

maka banyaknya relasi R = 2kxl

-

1.


Banyaknya relasi R ada = 24x3 - 1 = 4095.

4. Macam Relasi

(a). Relasi Refleksif

Definisi 5.1

Dari definisi 5.1 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan

relasi refleksif jika dan hanya jika a A, dan (a,a) R.

Contoh 5.3

Diketahui R:AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian

sehingga:

a. R1 = {(1,1),(1,3),(3,3)1

b. R2 = 1(1,1),(3,3),(5,5))

c.R3= {(1,1),(1",3),(3,3),(5,3),(5,5)}

Apakah R1, R2, dan R3 relasi refleksif atau bukan?

Penyelesaian:

a. R1 bukan relasi refleksif sebab

5 A tetapi (5,5) R1.

b. R2 relasi refleksif sebab a A

maka (a,a) R1.

c. R3 relasi refleksif sebab a A

maka (a,a) R1.

Contoh 5.4

Diketahui A = {x|x garis-garis sejajar dalam bidang datar}

B = {x I x bangun-bangun segitiga dalam bidang datar}

Jika R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y"

maka R relasi refleksif.

Jika R: BB adalah relasi di dalam himpunan B dengan R menyatakan "x sebangun y"

maka R relasi refleksif.

Misalkan R suatu relasi di

dalam himpunan A maka R

disebut relasi refleksif jika dan

hanya jika a A, maka (a,a) R.


(b). Relasi Simetris

Definisi 5.2

Dari definisi 5.2 dapat disimpulkan suatu realasi R di dalam himpunan A disebut

bukan realsi simetris jika (a,b) R dan (b,a) R.

Contoh 5.5

Diketahui R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan A={1,3,5} sedemikian

sehingga:

R1 = {(1,1),(1,3),(3,3),(3,1),(3,5)}

R2 = {(1,1),(3,3),(3,5),(5,5),(5,3)}

R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}

Apakah R1,R2,R3 relasi simetris atau bukan?

Penyelesaian:

R1 bukan realsi simetris sebab (3,5) R1 tetapi (5,3) R1.

R2 relasi simetris.

R3 relasi simetris.

Contoh 5.6

Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.

Jika R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajary"

maka R relasi simetris.



(c). Relasi Transitif

Definisi 5.3

Dari definisi 5.3 dapat disimpulkan suatu relasi R di dalam himpunan A disebut bukan

relasi transitif jika (a,b) R dan (b,c) R tetapi (a,c) R

Misalkan R suatu relasi di

dalam himpunan A maka R

disebut relasi simetris jika

(a,b) R, maka berarti (b,a) R.

Misalkan R suatu relasi di dalam

himpunan A maka R disebut relasi

transitif jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R.


Contoh 5.7

Diketahui R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan A = {1,3,5} sedemikian

sehingga:

a.R1 = {(1,1),(1,3),(3,1),(5,5)}

b.R2 = {(1,3),(1,1),(3,1),(3,3)}

c.R3 = {(1,1),(3,3),(5,5)}

Apakah R1, R2, dan R3 relasi transitif atau bukan?

Penyelesaian:

a. R1 bukan relasi transitif sebab

(3,1) R1 dan (1,3) R, tetapi (3,3) R1.

b. R2 relasi transitif sebab

(1,3) R2 dan (3,1) R2 maka

(1,1) R2; (3,1) R2 dan (1,3) R2

maka (3,3) R2;

(1,1) R2 dan (1,3) R2 maka

(1,3) R2; (3,1) R2 dan (1,I) R2

maka (3,1) R2; (1,3) R2 dan

(3,3) R2 maka (1,3) R2;

c. R3 relasi transitif.

Contoh 5.8

Untuk himpunan A dan B pada contoh 5.4.

Jika R: AA adalah relasi di dalam himpunan A dengan R menyatakan "x sejajar y"




(d). Relasi Ekivalen

Definisi 5.4

Misalkan R suatu relasi di dalam

himpuiran A maka R disebut

relasi ekivalen jika berlaku

syarat:

a. Refleksif artinya a A, maka (a,a) R;

b. Simetris artinya jika (a,b) R, maka berarti (b,a) R; dan

c. Transitif artinya jika (a,b) R dan (b,c) R, maka berarti (a,c) R.


Contoh 5.9.

Diketahui himpunan A = {0,2,4}, relasi R di dalam himpunan A dengan R = {(0,0),

(2,2), (4,4)} berlaku syarat refleksif, simetris, dan transitif. Oleh karena itu R

merupakan relasi ekivalen.

5. Relasi Ekivalen dan Partisi

(a). Partisi Himpunan

Pengertian partisi himpunan dapat dijelaskan melalui contoh sebagai berikut.

Misalkan A = {1,2,3,4,...,10}, A1 = {1,2,3}, A2 = {4,5,6,7}, A3 = {8,9,10}.

Koleksi himpunan A = {A1,A2,A3} mempunyai dua sifat yaitu:

1. A1 A2 A3 = A

2. A1 A2 = , A1 A3 = , A2 A3 = .

Koleksi himpunan tersebut disebut partisi A.

Contoh 5.10

Diketahui N={xl x bilangan asli}. N1={1,5,9,17,...}, N2={2,6,10,14,...}, N3={3,7,11,15,...),

N4=(4,8,12,16,...). Apakah koleksi (N1,N2,N3,N4) partisi dari N.

Penyelesaian:

Koleksi {N1,N2,N3,N4} mempunyai sifat:

1. N1 N2 N3 N4 = N

2. N1 N2 = , N1 N3 = , N1 N4 = .

N2 N3 = , N2 N4 = , dan N3 N4 = .

Jadi koleksi {N1,N2,N3,N4} merupakan partisi dari N.

(b). Hubungan Partisi dan Relasi Ekivalen

Sebelum dibicarakan hubungan antara partisi dan relasi ekivalen, maka pada uraian

berikut akan dibicarakan a kongruen b modulo m.

Definisi 5.5

Misalkan a dan b bilangan

asli, m bilangan asli, maka

dikatakan a kongruen b

modulo m ditulis a b (mod. m) jika a-b = km dengan k

bilangan bulat.


Contoh 5.11

Untuk m = 3, maka:

1 kongruen 4 modulo 3

ditulis 1 4 (mod. 3)

sebab 1-4 = -1(3);



sebab 4-1= 1(3);



sebab 5-4 = -3(3);



sebab 20-2 = 6(3);

2 tidak kongruen 7 modulo 3 ditulis 2 7 (mod. 3) sebab 2-7 k(3) dengan k bilangan

bulat.

Contoh 5.12

Diketahui N = himpunan bilangan asli. R:NN adalah relasi di dalam himpunan N

yang didefinisikan dengan a kongruen b modulo m. Buktikan R relasi ekivalen.

Bukti:

1. a A maka a a (mod.m) sebab a-a = 0(m). (sifat refleksif).

2. Jika a b (mod.m) maka:

a-b = k(m)

-b+a = k(m)

b-a = -k(m)

Jadi, b a(mod.m) (simetris)

3. Jika a b (mod.m) dan b c (mod. m) maka:

a-b = k1(m)

b-c = k2(m)

a-c = (k1 + k2)(m)

a-c = k(m)

Jadi a c (mod. m) (sifat transitif).

Jadi R relasi ekivalen.

Contoh 5.13

Diketahui N = himpunan bilangan asli. R relasi di dalam himpunan N yang

didefinisikan dengan "a b (mod. 3)" dengan a,b N.

Tunjukkan bahwa N dipecah menjadi partisi.


Penyelesaian:

Jika N1 = {x|x 1 (mod. 3)} maka

N1 = {1,4,7,...},


N2 = {2,5,8,...},


N3 = {3,6,9,...},


N4 = {4,1,7,},


N5 = {5,2,8,...},


N6 = {6,3,9,...}.

Ternyata N1 = N4 = N7 =

N2 = N5 = N8 =

N3 = N6 = N9 =

Perhatikan koleksi (N1,N2,N3). Jelas bahwa:

1. N1 N2 N3 = N

2. N1 N2 = , N1 N3 = , N2 N3 = .

Jadi N dipecah menjadi partisi.

Contoh 5.14

Diketahui N = himpunan bilangan asli.

N1 = {1,3,5,7,...} dan N2 = {2,4,6,8,...}.

R relasi di dalam himpunan N.

a. Apakah koleksi {N1,N2} partisi dari N?

b. Tentukan relasi R yang memecah N menjadi partisi {N1,N2}

Penyelesaian:

a. N1 N2= N dan N1 N2 = .

Jadi koleksi {N1,N2} partisi

dari N.

b. N1 = {1,3,5,7,} = {x|x 1 (mod. 2)} N2 = (2,4,6.8,...) {x|x 2 (mod. 2)}

Jadi relasi R yang memecah N menjadi partisi {NI,N2} adalah "a b (mod. 2)" dengan

a,b N.


Dari contoh 5.13 dan 5.14 dapat disimpulkan:

1. Andaikan R suatu relasi dari A = {1,2,3,4} ke dalam B = {1,3,5} yang didefinisikan oleh

kalimat terbuka "x kurang dari y".

a. Carilah himpunan penyelesaian dari R.

b. Nyatakan R di dalam diagram koordinat AxB.

2. Andaikan R suatu relasi dari E = {2,3,4,5} ke dalam F = {3,6,7,10} yang didefinisikan oleh

kalimat terbuka "x membagi y". Buatlah suatu sketsa dari R di dalam diagram koordinat

ExF.

3. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak refleksif?

4. Jika S = {1,2,3,4} dan R = {(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(4,4)}. Apakah R refleksif? Mengapa?

5. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan A tidak simetris?

6. Jika V = {1,2,3,4} dan R = {(1,2),(3,4),(2,1), (3,3)}. Apakah R simetris?

7. Apakah suatu himpunan A di mana setiap relasi pada A simetris?

8. Bilamanakah suatu relasi R pada suatu himpunan M disebut relasi ekivalen?

9. Berikan 3 contoh relasi ekivalen?

10. Jika R relasi di dalam himpunan N dengan N = himpunan bilangan asli dan relasi R

didefinisikan dengan "a b (mod. 4)". Tunjukkan bahwa R memecah himpunan N

menjadi partisi.

11. Andaikan W = {1,2,3,4} dan R = {(2,2),(2,3),(1,4), (3,2)}. Apakah R transitif? Mengapa?

12. Andaikan E = {1,2,3}. Perhatikanlah relasi-relasi yang berikut pada E:

R1 = {(1,1),(2,1),(2,2), (3,2),(2,3)}

R2 = {(1,1)}

R3 = {(1,2)}

R4 = {(1,1),(2,3),(3,2)}

R5 = ExE.

Jika diketahui R relasi di dalam

himpunan N dan:

I. Jika R relasi ekivalen maka

himpunan N terpecah menjadi

partisi;

2 Jika himpunan N dipecah

menjadi partisi maka relasi R

adalah relasi ekivalen.

Latihan 6

AN


Di antara relasi R1, R2, R3, R4, dan R5 manakah yang:

a. relasi refleksif?

b. relasi simetris?

c. relasi transitif?

d. relasi ekivalen?


1. Pengertian Fungsi

Untuk memahami pengertian fungsi, perhatikanlah gambar 6.1 di samping.

Diagram panah pada gambar 6.1 menyatakan hubungan ukuran sepatunya dari himpunan A

ke himpunan B dengan A = {Tono, Desi, Rano, Tini, Rosi} dan B = {37, 38, 39, 40} yang

merupakan ukuran sepatu.

Setiap anak hanya mempunyai satu ukuran sepatu, sehingga dapat dikatakan setiap

anggota P dipasangkan dengan tepat satu anggota Q. Relasi yang mempunyai sifat seperti

ini disebut pemetaan atau fungsi.

dan (iii) adalah fungsi sebab setiap anggota A dikawankan dengan tepat satu anggota B.

bukan fungsi sebab b A tidak dikawankan dengan satu anggota B. Dari uraian di atas dapat disimpulkan dengan:

Definisi 6.1

Perhatikan diagram panah dalam

gambar 6.2.

bukan pemetaan sebab b A dikawankan dengan 2 anggota B.

Suatu fungsi dari himpunan A ke

himpunan B adalah suatu reiasi

yang khusus, yaitu relasi di mana

setiap anggota A dikawankan

dengan tepat satu anggota B.

FUNGSI

AN

Tono

Desy

Rano

Tini

Rosi

3

7

3

8

Ukuran sepatu P

Q

Gambar 5.2


Misalkan f adalah fungsi dari A ke dalam B, maka dapat ditulis f AB dibaca "f adalah

fungsi dari A ke dalam B". Himpunan A disebut daerah asal atau ranah atau domain dari

fungsi f. Himpunan B disebut daerah kawan atau ko ranah atau co domain dari fungsi f.

Jika x A maka bayangan dari x oleh fungsi f dinyatakan dengan f(x) dan dibaca "fx". Jika f:

xy dengan x A dan y B maka y disebut bayangan dari x oleh fungsi dan dapat ditulis y

= f(x).

Contoh 6.1

Diketahui A = {1,2,3,4} dan B = {3,4,5,6,7}. f: AB adalah fungsi dari A ke dalam B yang

didefinisikan dengan f: x(2x+1). Tentukan bayangan dari 1,2, dan 3 oleh fungsi f.

Penyelesaian:

Bayangan dari 1 oleh fungsi f adalah f(1) = 2(1)+1=3



Secara umum bayangan dari a oleh fungsi f adalah f(a) = 2(a)+1.

2. Cara Menyatakan Fungsi

Diketahui f: AB adalah fungsi dari A ke dalam B dengan f: x(2x+1), A = {1,2,3,4,5} dan

B = {1,3,5,79,11}, maka fungsi f dapat dinyatakan dengan:

a. Rumus fungsi yaitu f(x) = 2x+1

b. Diagram panah

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(i)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(ii)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(iv)

a

b

c

p

q

r

s

A

B

(iii) Gambar


c. Himpunan pasangan berurutan.

Jika fungsi f dinyatakan dengan himpunan F maka F = {(1,3),(2,5),(3,7),(4,9),(5,11)}

tampak pada himpunan F setiap elemen A menjadi elemen pertama pada tepat satu

pasangan raja.

d. Grafik Cartesius

Contoh 6.2

Diketahui f: AR adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f: x(x2), jika R =

himpunan bilangan real, A = {x|-2 x 2, x A}. Gambarlah grafik fungsi f.

Frafik merupakan parabola f: x(x2), dengan x bialangan real

1

2

3

4

5

1

3

5

7

9

1

A

B

Gambar 6.4

11

9

7

5

3

0 1 2 3 4

Gambar 5.5

-2 -1 0 1

2

f(-2)= (-2)2 =4

f(-1)= (-1)2= 1

f(0) = (0)2 = 0

f(1) = (1)2 = 1

f(2) = (2)2 = 4


Contoh 6.3

Penyelesaian:

Yang merupakan grafik fungsi adalah (i) dan

(iii).

3. Banyaknya Fungsi

Misalkan f: AB adalah fungsi dad A ke dalam B dengan A = {1,3,5} dan B={a,b}.

Tentukanlah semua fungsi f yang mungkin.

Penyelesaian:

Misalkan fungsi-fungsi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan F,

maka:

F1 = {(1,a),(3,a),(5,a)}

F2 = {(1,a),(3,a),(5,b)}

F3 = {(1,a),(3,b),(5,a)}

F4 = {(l,b),(3,a),(5,a)}

F5 = {(1,b),(3,b),(5,a)}

F6 = {( 1,b),(3,a),(5,b)}

F7 = {(1,a),(3,b),(5,b)}

F8 = {(1,b),(3,b),(5,b)}

Ternyata untuk n(A) = 3, n(B) = 2 maka banyaknya fungsi fdari A ke dalam B = 23 = 8.

Secara umum:

-3 0

3

-3 0

3

-3 0

3

-3 0

3

I

ii

iii

iv

Gambar 6.7

Jika f:adalah fungsi dari A ke dalam B den gan n(A) = k dan n(B) = I, maka banyaknya fungsi dari A ke dalam B ada

Contoh 6.3

Misalkan A = [-3,3] manakah

grafik pada gambar 6.7 yang

merupakan grafik fungsi dari A ke

dalam B.


4. Jangkauan Dari Fungsi

Misalkan A = {a,b,c,d,e}; B = {1,2,3,4,5} f: AB adalah fungsi dari A ke dalam B yang

didefinisikan oleh diagram panah pada gambar 6.8. Tampak bahwa:

2 bayangan dari a dan b

3 bayangan dari e dan d

4 bayangan dari c

Himpunan semua bayangan dari A adalah {2,3,4}. Himpunan tersebut disebut

jangkauan atau range atau daerah hasil daRI fungsi f ditulis f(A).

Contoh 6.4

Diketahui f: AR adalah fungsi dari A ke dalam R yang ditentukan oleh f(x)= x2-2x-

3. Jika R = himpunan bilangan real, A = {x|-2x4, x R}. Tentukan range dari

fungsi f(x).

Penyelesaian:

x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 5 0 -3 -4 -3 0 5

Lihat gambar 6.9

4 A maka 5 f(A)

-2 A maka 5 f(A)

1 A maka -4 f(A)

Jadi:

f(A) = {x| -4x


5. Jenis Fungsi

Lihat diagram panah pada gambar 6.10

(i) bukan fungsi sebab a A mempunyai dua kawan di B.

(ii), (iv) disebut fungsi satu-satu sebab setiap pasang anggota berbeda pada domain

mempunyai kawan yang berbeda pada co domain. (iii) disebut fungsi kepada sebab

range = co domain. (v) disebut fungsi satuan sebab x A, xx. (vi) disebut fungsi konstan

sebab f(A) mempunyai satu anggota.

a. Fungsi Satu-satu

Definisi 6.2

Dari definisi 6.2 dapat dikatakan bahwa f bukan fungsi satu-satu jika dan hanya

jika x1,x2 A, x1x2 tetapi f(x1)=f(x2). Fungsi satu-satu sering disebut fungsi injection.

Contoh 6.5

Misalkan f: AB adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika x1,x2 A, x1x2 maka f(x1)f(x2).


Misalkan fungsi f: RR didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 maka f bukan fungsi

satu-satu (mengapa?).

Misalkan fungsi g: RR didefinisikan dengan rumus f(x) = 2x+1 maka g merupakan

fungsi satu-satu (mengapa?).

b. Fungsi Kepada

Definisi 6.3

Dengan demikian jika f(A) B maka fungsi f bukan fungsi kepada. Fungsi kepada sering

disebut fungsi surjection.

Contoh 6.6

Fungsi pada contoh 6.5(1) bukan fungsi kepada (mengapa?)

Fungsi pada contoh 6.5(2) adalah fungsi kepada (mengapa?)

Contoh 6.5(2) merupakan fungsi byjection (mengapa?).

c. Fungsi Satuan

Definisi 6.4

Contoh 6.7

Diketahui f: RR adalah fungsi di dalam R, dengan R=himpunan bilangan real dan

f(x)=x.

Misalkan f: AA adalah fungsi di dalam A maka fungsi f yang didefinisikan oleh f(x) = x disebut fungsi satuan atau fungsi identitas.

Jika suatu fungsi merupakan fungsi satu-satu dan juga fungsi kepada maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu kepada

Misalkan AB adalah fungsi dari A ke dalam B maka f disebut fungsi kepada jika dan hanya jika range f =

atau f(A) = B.


1) Apakah f fungsi satuan?

2) Gambarlah grafik fungsi f?

3) Apakah f fungsi satu-satu? Mengapa?

4) Apakah f fungsi kepada? Mengapa?

Penyelesaian:

1) f fungsi satuan

x 0 2 f(x) 0 2

2) grafik fungsi f melalui titik (0,0) dan (2,2).

3) f fungsi satu-satu sebab x1,x2 R, x1x2 maka f(x1)f(x2).

4) f fungsi kepada sebab f(R) = R.

d. Fungsi Konstan

D e f i n i s i 6 .5

Contoh 6.8

Diketahui f: RR didefinsikan oleh f(x) = 3 dengan R = himpunan bilangan real.

1) Apakah f fungsi konstan?

2) Gambarlah grafiknya?

Penyelesaian:

1) f fungsi konstan

2) grafik fungsi f melalui titik (0,3) dan (2,3).

Gambar 6.12

Misalkan f: AB adalah fungsi dari A ke dalam B maka fungsi f disebut fungsi konstan jika dan hanya jika jangkauan dari f hanya terdiri dari satu anggota.

0 2

f(x) 3 3


6. Invers Suatu Fungsi dan Fungsi Invers

1. Diketahui R: AB adalah relasi dari A ke dalam B. J ika A = {2,3,4,5}; B = {3,4,5}.

Relasi R didefinisikan "x faktor y"

a. Nyatakan R dengan diagram panah.

b. Apakah relasi r fungsi? Mengapa?

Gambar 6.13

a

b

c

1

3

A

B

(i)

a

b

c

1

2

3

4

A

B

(ii)

a

b

c

1

2

3

A

B

(iii)

Diagram panah pada gambar 6.13

merupakan fungsi.

a. f: AB fungsi kepada inversnya f:

BA bukan fungsi sebab 3 E B

mempunyai dua kawan.

b. g: AC fungsi satu-satu inversnya g-':

CA bukan fungsi sebab 4c-C tidak

mempunyai kawan.

c. h: AD fungsi satu-satu kepada

inversnya h': DA. merupakan fungsi

lagi, fungsi tersebut disebut fungsi invers.

Apa yang dapat saudara simpulkan dari

contoh di atas? Bilamana suatu fungsi

mempunyai fungsi invers?

Latihan 7

AN


2. Misalkan A = {1,2,3,4,5} Katakan apakah masing-masing dari himpunan pasangan

terurut yang berikut merupakan fungsi dari A ke dalam A.

a. f1= {(2,3),(1,4),(2,1),(3,2),(4,4)}

b. f2 = {(3,1),(4,2),(1,1)}

c. f3 = {(2,3),(3,6),(4,2),(3,2)}

3. Misalkan f(x) x2 mendefinisikan suatu fungsi pada selang tertutup -2x5, carilah:

a. f(0) b. f(3) c. f(-4) d. f(t-2)

4. Misalkan A = {a,b,c} dan B = {1,0}. Berapakah banyaknya fungsi yang berbeda dari B

ke dalam A, dan apa saja?

5. Ambilah A = (-1,0,1,2,3). Misalkan fungsi g: AR didefinisikan oleh f(x)= x2+2.

Carilah jangkauan dari g.

6. Carilah jangkauan dari fungsi di bawah ini jika fungsi-fungsi tersebut dari R ke

dalam R didefinisikan oleh:

a. f(x) = x2+2 b. g(x) = x2+4x+4

7. a. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi satu-satu? Mengapa?

b. Apakah fungsi pada soal 6.a fungsi kepada? Mengapa?

8. Gambarlah diagram panah untuk menunjukkan:

a. Fungsi satu-satu yang bukan fungsi kepada

b. Fungsi kepada yang bukan fungsi satu-satu.

9. Grafik di bawah ini manakah yang merupakan grafik fungsi dari A ke dalam B.

10. Diketahui f: AR dengan R = himpunan bilangan real, A ={x|-1x5} didefinisikan

dengan f(x)= x2+4. Tentukanlah range dari f.

11. Tulislah 4 contoh fungsi konstan, kemudian gambarlah grafiknya.


1. Proposisi (Pernyataan) Elementer

Perhatikan kalimat pada contoh 8.1 di bawah ini.

1) Semarang Ibu Kota Jawa Tengah

2) a faktor dari 6

3) Dua adalah bilangan ganjil

4) Mudah-mudahan lulus ujian

5) 2+ 6 = 8

6) x faktor dari 5

7) 5 + 4 < 7

8) Selesaikan soal di bawah

9) x + 5 = 9

10) x - 2 < 7

Kalimat pada contoh 8.1 yang merupakan pernyataan adalah 1, 3, 5, dan 7 sebab kalimat

tersebut sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Nilai kebenaran

pernyataan di atas berturut-turut: benar, salah, dan salah.

Definisi 8.1

Pernyataan pada contoh 8.1 sering disebut pernyataan elementer dan selanjutnya

dinyatakan dengan simbol p, q, r, s, dan seterusnya.

2. Proposisi Komposit

Misalkan p, q masing-masing proposisi

Pernyataan adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

LOGIKA METAMETIKA

AN


elementer, maka proposisi berikut ini merupakan proposisi komposit.

Jadi dapat disimpulkan bahwa

Definisi 8.2

Ada lima perangkai, yaitu:

dan .

3. Nilai Kebenaran Proposisi Komposit

p q p q p q p q p q -

T

T

F

F

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

F

T

T

T

F

F

T

F

F

T

T

Contoh 8.2

Diketahui proposisi elementer:

p : Tidak ada segitiga sama kaki yang tumpul

q : Fungsi identitas merupakan fungsi satu-satu

r : Ada belch ketupat yang merupakan persegi panjang.

Tentukan nilai kebenaran dari proposisi di bawah ini:

a. p, q, dan r g . (p q) r

b. q r h.

c. q r i . q ( )

d. p r j.

e. q p k. (p q) r

f. p q l. (p q) r

Penyelesaian:

a. F, T, dan T e. i.

b. F f. j.

c. T g. k.

d. h. l.

Catatan:

Propo- sisi komposit

Dibaca Disebut

p q p bil q Konjungsi p v q p atau q Disjungsi p q jika p maka q Implikasi p q p jika dan

hanya jika q

Biiinplikasi

ingkaran p Negasi

Proposisi komposit adalah proposisi yang memuat perangkai


Proposisi komposit dapat dibentuk dari tiga proposisi elementer p, q, dan q atau dari n

buah proposisi elementer p1, p2, p3, , pn.

4. Tabel Kebenaran

Ada dua cara untuk membuat tabel kebenaran dari proposisi komposit.

Contoh 8.3

Buatlah tabel kebenaran proposisi di bawah ini.

a. p (p q) c. p ( )

b . ( p q) p d. (p q) r

Penyelesaian:

a. cara I

cara II

cara II

b. Cara I

p q p q (p q) p

T T T T T F F T F T F T F F F T

Cara II

c. cara I

p q p q ( ) p ( )

p

p

q p q p (p q)

T T T T T F F F F T F T F F F T

p (p q)

T T T T T T F T F F F T F F T F T F F F 1 3 1 2 1

(P q) P

T T T T T T F F T T F F T T F F F F T F 1 2 1 3 1 langka

h

langka

h

langka

h


T

T

F

F

T

F

T

F

T

T

T

F

F

F

F

T

F

F

F

F

Cara II

d. Cara I

cara II

Cara II

Catatan:

Hubungan antara banyaknya proposisi elementer dengan banyaknya baris pada tabel

kebenaran proposisi komposit adalah sebagai berikut.

p (p q)

T F F T T T T F F T

F

T F F F F F T T F F T F F F 1 4 3 1 2 1

p q r p q (p q) r

T T T T T T T F T F T F T F T T F F F T F T T F T F T F F T F F T F T F F F F T

(p q) r T T T T T T T T F F T F F T T T F F T F F F T T T F F T T F F F F T T F F F T F 1 2 1 3 1

langka

h


Banyaknya

proposisi elementer

Banyaknya baris

pada tabel

2 4 = 22

22 3 8 = 2

3

23 4 16 = 2

4

24

. .

n 2n

5. Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi

Perhatikan contoh 8.3 b.

Proposisi (p q) p selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi

elementernya. Proposisi tersebut disebut tautologi.

Definisi 8.3

Perhatikan contoh 8.3 c.

Proposisi p (p q) selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi

elementernya. Proposisi tersebut disebut kontradiksi.

Definisi 8.4

Perhatikan contoh 8.3 a dan d.

Proposisi p (p q) dan (p q) r masing-masing bukan tautologi dan kontradiksi. Proposisi

tersebut disebut kontingensi.

Definisi 8.5

6. Implikasi Logis

Perhatikan implikasi di bawah ini!

Tautologi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai benar untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Kontradiksi adalah proposisi komposit yang selalu bernilai salah untuk setiap nilai kebenaran dari proposisi elementernya.

Kontingensi adalah proposisi

komposit yang bukan tautologi dan

kontradiksi.


a. p (p q)

b. (p q) p

c. p (p q)

Ternyata :

Proposisi a. kontingensi (contoh 8.3 a.

Proposisi b. tautologi (contoh 8.3 b.

Proposisi c. diselidiki sebagai berikut.

Ternyata proporsi p (p q) tautologi.

Proporsi b. dan c. adalah implikasi yang merupakan tautologi, dan implikasi tersebut

disebut implikasi logis. Sehingga dapat ditulis dengan

(p q) p

p (p q)

Definisi 8.6

Contoh 8.4

Selidiki dengan tabel kebenaran, manakah yang merupakan implikasi logis.

a. [( ) p] q

b. [( ) p] p

c. [( ) p]

Penyelesaian:

a. [( ) p] q

p (p q) T T T T T T T T T F F T F T T F T F F F 1 3 1 2 1

Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka proposisi P Q disebut implikasi logis jika P Q tautologi, dan dapat ditulis P Q.

langka

h


b. [( ) p] p

c. [( ) p]

Ternyata:

Proposisi a. tautologi maka implikasi logis

Proposisi b. kontingensi maka bukan implikasi logis

Proposisi c. tautologi maka implikasi logis

7. Ekivalensi

Perhatikanlah proposisi komposit dan . Selidikilah apakah kedua proposisi

tersebut bernilai sama?

Penyelesaian:

p q -p p q -p v q

T T F T T

T F F F F

F T T T T

F F T T T

Ternyata dan mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka dikatakan bahwa

ekivalen , ditulis: ek. .

Definisi 8.7

Contoh 8.5

Selidiki apakah

a. p q ek

b. p p ek p

c. p ek F

d. p ek T

[( p q) q] p

F

F

T

T

T

T

F

F

T

F

T

T

T

F

T

F

F

F

F

T

F

T

F

T

T

F

T

F

T

T

T

T

F

F

T

T

T

T

F

F

2 1 3 1 4 2 1 5 2 1

Misalkan P, Q masing-masing proposisi komposit, maka P dikatakan ekivalen Q ditulis P ek Q jika P dan Q mempunyai nilai kebenaran yang sama.


Penyelesaian:

Ternyata :

a. p q ek

b. p p ek p

c. p ek F, artinya p selalu bernilai salah atau kontradiksi.

d. p ek T, artinya p selalu bernilai benar atau tautologi.

p q -p -q p q

p p p p

T

T

F

F

T

F

T

F

F

F

T

T

F

T

F

T

T

F

T

T

T

F

T

T

F

F

F

F

T

T

T

T

T

T

F

F


1. Buatlah contoh

a. 5 pernyataan yang bernilai benar

b. 5 pernyataan yang bernilai salah

c. 5 kalimat terbuka

d. 5 kalimat yang bukan pernyataan dare bukan kalimat terbuka

2. Diketahui proposisi elementer:

p: relasi kesamaan pada himpunan

bilangan asli adalah relasi ekivalen

q: ada bilangan x sehingga x + 4 = 3

r: tidak ada garis horizontal yang

saling tegak lurus.

Tentukan nilai kebenaran dari:

a. p, q, dan r d. [(p q) r]

b. p r e. (-p q) r

c. (p q) r f. (p q) r

3. Buatlah table kebenaran dari proporsi di bawah ini, kemudian tentukanlan manakah

yang kontradiksi, tautologi, dan kontingensi.

a.

b. [(p q) p] q

c. (p q) r

d. (p q) (p q)

e. [(p q) (q r)] (p r)

f. ( ) q

4. Selidiki apakah proporsi di bawah ini implikasi logis.

a. [(p q) ] q

b. (p q) (p q)

c. (p q)

Latihan 8A

AN


5. Selidiki apakah

a. -(p q) ek -p -q

b. p q ek q p

c. (p q) r ek p (q r)

d. p q ek (p q) (q p)


8. Hukum-h ukum Aljahar Proposisi

(Aturan Penggantian)

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan

yang lainnya. Di bawah ini disajikan daftar aturan penggantian untuk keperluan deduksi.

1. Hukum Idempoten (Idem)

a. p p ek p b. p p ek p 2. Hukum Asosiatif (As)

Pengantar Dasar Matematika - Sugiarto

Documents

Transcript of Pengantar Dasar Matematika - Sugiarto