1

EDISI REVISI

BAHAN AJAR

Matematika Dasar

Disusun oleh

Tim Dosen

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2012

2

BAB I

PENDAHULUAN

A. Deskripsi

Mata kuliah ini membahas tentang sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akar

kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear, fungsi

dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral.

B. Prasyarat

-

C. Petunjuk Belajar

Dalam perkuliahan ini, beberapa metode akan digunakan yaitu ceramah, tanya jawab,

dan diskusi. Metode ceramah dan tanya jawab akan digunakan dalam penyajian materi.

Sedangkan untuk meningkatkan pemahaman materi mahasiswa dibentuk kelompok.

Mahasiswa diberikan soal-soal latihan untuk diselesaikan dan ada soal yang dikerjakan

secara individu dan ada pula soal yang dikerjakan dengan berdiskusi bersama teman dalam

kelompoknya.

D. Kompetensi Dasar dan Indikator

D.1 Kompetensi

Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak,

akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, sistem persamaan linear,

fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan integral dan dapat

mengerjakan soal atau permasalahan yang relevan.

D.2 Indikator

a. Mahasiswa memahami materi sistem bilangan real

b. Mahasiswa memahami materi ketaksamaan

c. Mahasiswa memahami materi nilai mutlak

d. Mahasiswa memahami materi akar kuadrat dan kuadrat

e. Mahasiswa memahami materi koordinat kartesius

f. Mahasiswa memahami materi koordinat kutub

g. Mahasiswa memahami materi sistem persamaan linear

h. Mahasiswa memahami materi fungsi

3

i. Mahasiswa memahami materi limit dan kekontinuan fungsi

j. Mahasiswa memahami materi turunan

k. Mahasiswa memahami materi aplikasi turunan

l. Mahasiswa memahami materi integral

m. Mahasiswa memahami materi penggunaan integral

D.3 Tujuan Penulisan Bahan Ajar

Dengan ditulisnya bahan ajar mata kuliah Matematika Dasar Untuk Fisika ini

diharapkan dapat membantu mahasiswa di dalam mempelajari materi sistem bilangan real,

ketaksamaan, nilai mutlak, akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik,

sistem persamaan linear, fungsi dan limit, turunan, aplikasi turunan, integral, serta penerapan

integral.

4

BAB II

SISTEM BILANGAN REAL

A. Kompetensi dan Indikator

A.1 Standar Kompetensi

Menggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.

A.2 Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak,

akar kuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan

linear

A.3 Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

B. Uraian Materi

BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan

bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional

Bilangan Rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q

0.

Notasinya: Q = {x|x = dengan p, q Z, dengan q 0}

contoh :

Himpunan-himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional :

Himpunan bilangan asli, N = {1,2,3,….}

Himpunan bilangan bulat, Z = {…-2,-1,0,1,2,……}

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .

Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }

contoh : , e, log 5.

1 4 57, ,

3 9 1

p

q

p

q

p

qp

q

5

Jika Bilangan Real dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut:

Desimal Berulang dan Tak Berulang

Desimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama.

contohnya : 3/8 = 0.375, atau 0.3750000000….

13/11 =1.1818181818…

Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya

contoh : x = 0.136136136….

y = 0.271271271…..

Buktikan x dan y merepresentasikan bilangan rasional !

Desimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya,

contoh : 0.101001000100001….

Garis Bilangan

Setiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garis

bilangan, yang disebut garis bilangan real.

SISTEM BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan sifat-sifat bilangan disebut sistem bilangan

real. Sifat-sifat bilangan real dibagi menjadi : * Sifat-sifat aljabar; * Sifat-sifat urutan; dan

* Sifat-sifat kelengkapan

0-1 1 2-4 252 3 5

N

ZQ

R

6

Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real

Sifat – sifat aljabar menyatakan bahwa 2 bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,

dikalikan, dibagi (kecuali dengan 0) untuk memperoleh bilangan real yang baru.

contoh:

2 + 5⅛ = 7⅛

5-0,4 = 4,6

4 x ¾= 3

3 : 4 = ¾

Sifat-sifat Lapangan (field) :

Hukum Komutatif :

x+y = y+x ; xy=yx

Hukum Assosiatif :

x+(y+z) = (x+y)+z, x(yz)=(xy)z

Hukum Distributif :

x(y+z) = xy+xz

Elemen-elemen identitas :

x + 0 = x ; x ·1 = x

Balikan (Invers) :

x+(-x) = 0 ; x·x-1 = 1

Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

Bilangan real a disebut bilangan positif, jika a nilainya lebih dari 0, ditulis a > 0.

Contoh : 5 adalah bilangan positif, karena 5 > 0

Bilangan real a kurang dari b, ditulis a < b, jika b – a positif

Contoh : 2 < 5 karena 5 – 2 = 3 > 0

Untuk setiap bilangan real a, b, c berlaku sifat-sifat sebagai berikut

Trikotomi :

x < y atau x = y atau x > y

Ketransitifan :

Jika x < y dan y < z maka x < z

Penambahan :

x < y jika dan hanya jika x + z < y + z

Perkalian :

Bila z positif, x < y jhj xz < yz

Bila z negatif, x < y jhj xz > yz

7

Sifat-sifat Kelengkapan Bilangan Real

Sifat kelengkapan dari himpunan bilangan real secara garis besar menyatakan bahwa terdapat

cukup banyak bilangan – bilangan real untuk mengisi garis bilangan real secara lengkap

sehingga tidak ada setitikpun celah diantaranya

Contoh :

Nyatakanlah apakah masing-masing yang berikut benar atau salah!

a. -2 < -5

b.

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling

sedikit 2 bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Untuk setiap x, a, b R,

1. [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} disebut interval tutup

2. [a, b) = {x | a ≤ x < b} disebut interval setengah tertutup atau terbuka

3. (a, b] = {x | a < x ≤ b} disebut interval setengah terbuka atau tertutup

4. (a, b) = {x | a < x < b} disebut interval terbuka

Selain interval-interval di atas juga terdapat interval-interval tak hingga

1. (–∞, b] = {x | x ≤ b}

2. (–∞, b) = {x | x < b}

3. [a, ∞) = {x | x ≥ a}

4. (a, ∞) = {x | x > a}

5. (–∞, ∞) = {x | x R}

PERTIDAKSAMAAN

Menyelesaikan pertidaksamaan dalam x berarti mencari interval atau interval-interval dari

bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

Cara menyelesaikan pertidaksamaan:

1. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama

2. kalikan kedua sisi dengan bilangan positif

3. kalikan kedua sisi dengan bilangan negatif, tapi tanda ketidaksaman berubah

6 34

7 39

8

Contoh:

Selesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garis bilangan

real!

a. 5x – 3 ≤ 7 - 3x

b.

x

x

2

42

c. (x – 1)2 ≤ 4

NILAI MUTLAK

Definisi nilai mutlak :

Jadi |x|≥ 0 untuk setiap bilangan real x dan

|x| = 0 jika dan hanya jika x = 0.

|x| dapat juga didefinisikan sebagai:

Secara Geometri:

|x| menyatakan jarak dari x ke titik asal.

|x – y| = jarak diantara x dan y

Sifat-sifat Nilai Mutlak

• |-a| = |a|

• |ab| = |a||b|

• |a + b| ≤ |a| + |b|

• |x|2 = x2

• |x| < a jika dan hanya jika - a < x < a

• |x| > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a

• |x| < |y| jika dan hanya jika x2 < y2

Contoh:

1. |x+5| < 6

0,

0,

xx

xxx

2x x

aa

b b

9

SISTEM KOORDINAT CARTESIUS (PERSEGI PANJANG)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada

beberapa macam sistem koordinat yaitu:

Sistem Koordinat Cartesius;

Sistem Koordinat Kutub;

Sistem Koordinat Tabung, dan

Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat Cartesius

Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang

lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut

sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O.

Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real

positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif.

Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing

dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar

(bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II,

kwadran III, dan kwadran IV

Gambar Koordinat Cartesius dan kwadrannya

1 . 5 2 6x x

2 . 2 1 1 1x x 3. Berapakah nilai a dan t yang memenuhi persamaan

?t a a t

10

Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik

P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x|.

Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O

dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik

asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Definisi

Y Perhatikan di samping.

A(x,y) Gambar di samping adalah sebuah

lingkaran pada bidang Cartesius yang

X berpusat di O(0,0) dan barjari-jari r

satuan. Titik A(x,y) adalah sebarang

titik yang terletak pada lingkaran.

rO

Lingkaran adalah tempat titik-titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap titik tetap.

Titik tetap itu disebut titik pusat lingkaran, dan jarak titik-pada lingkaran ke pusat adalah jari-

jari lingkaran.

r

O(0,0)

11

Berdasarkan Definisi 1, titik A(x,y) berjarak r satuan dari titik O(0,0).

Jarak A(x,y) ke O(0,0) adalah

|AO| = r

22 )0()0( yx = r

22 yx = r

22 yx = r 2 .

Contoh 1:

Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalah

22 yx = 5 2 atau 22 yx = 25.

Contoh 2.

Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya 22 yx = 27.

Jawab:

Pusat lingkaran 22 yx = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = 27 = 3 3 satuan.

Contoh 3

Y Tulislah persamaan lingkaran yang

A(12,5) berpusat di titik O(0,0) dan melalui titik

A(12,5)

O X

Persamaan 22 yx = r 2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik

O(0,0) dan berjari-jari r.

12

Jawab:

Jarak AO sama dengan jari-jari lingkaran, sebut r.

r = 22 )05()012(

= 22 512

= 25144

= 169

= 13 satuan.

Jadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0,0) dan jari-jari 13 satuan adalah

22 yx = 13 2 atau 22 yx = 169.

Persamaan Lingkaran dengan Pusat P(a,b)

Y Perhatikan Gambar di samping.

A(x,y) Sebuah lingkaran pada bidang

Cartesius dengan pusat P(a,b) dan

berjari-jari r. Titik A(x,y) adalah

sebarang titik yang terletak pada

lingkaran.

O X

Berdasarkan Definisi 1, pada Gambar 4, sebarang titik A(x,y) pada lingkaran berjarak r satuan

dari titik tetap P(a,b). Jarak A(x,y) ke P(a,b) adalah

r = 22 )()( ybxa

= 22 )()( byax

r 2 = 22 )()( byax .

r

P(a,b)

Persamaan 22 )()( byax = r 2 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik

P(a,b) dan berjari-jari r.

13

Catatan: Untuk a = 0 dan b = 0, titik P(a,b) adalah titik P(0,0). Persamaan lingkarannya

menjadi 2x + 2y = r 2 , yakni persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan

berjari-jari r.

Contoh:

Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).

Jawab:

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah

22 )4()2( yx = 5 2 atau 22 )4()2( yx = 25.

Persamaan Lingkaran 2x + 2y + A x + B y + C = 0.

Perhatikan persamaan

2x + 2y + A x + B y + C = 0

2x + A x + 2y + B y = - C

2x + A x + 41 A 2 + 2y + B y + 4

1 B 2 = 41 A 2 + 4

1 B 2 - C

2212

21 )()( ByAx = 4

1 A 2 + 41 B 2 - C.

Ini adalah persamaan lingkaran dengan

Pusat : P(- 21 A, - 2

1 B)

Jari-jari : r = CBA 2412

41 satuan.

Contoh:

Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya

2x + 2y - 6 x + 4 y - 12 = 0.

Jawab:

Pada persamaan 2x + 2y - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.

Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.

Pusat lingkaran : P(- 21 A, - 2

1 B) atau P(3,-2)

Jari-jari : r = CBA 2412

41 = 1216.36. 4

141 = 25 = 5 satuan.

14

Latihan

1. Lingkaran L1 = x2 + y2 + 2x -4y – 4, lingkaran L2 mempunyai pusat di (3,5) serta

menyinggung lingkaran L1. Tentukan persamaan lingkaran L2.

2. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = 3 x dan

sumbu X di titik (4,0).

3. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran x2 + y2 -10x – 14y -151 = 0.

4. Diketahui titik P(5,-2) dan lingkaran x2 + y2 -3x +y – 4 = 0. Melalui P dibuat garis

sehingga menyinggung lingkaran di T, hitung panjang PT.

5. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran (x+3)2 + (y-4)2 = 16. Hitung jarak terdekat P ke

lingkaran.

Garis Lurus

Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah

Ax + By + C = 0,dengan A, B tak keduanya nol.

Jika B ≠ 0, persamaan tadi dapat dinyatakan sebagai

y = mx + c, dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis tersebut.

Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0) dengan gradien m adalah

y – yo = m(x – xo).

KOORDINAT KUTUB

Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan

koordinat kutub.

Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray)

yang diberikan dan berpangkal pada O.

Titik P dengan koordinat kutub (r, ) berarti berada diposisi:

- derajat dari sumbu-x (sb. polar)

( diukur berlawanan arah jarum-jam)

- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.

O (the pole) ray (polar axis)

15

Perhatian:

jika r < 0, maka P berada di posisi yang

berlawanan arah.

r: koordinat radial

: koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat kutub

(r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil

= ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Example:

the following polar coordinates represent the same point

(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

Konversi koordinat kutub kedalam koordinat kartesius. Gunakan relasi:

x = r cos , y = r sin

Maka r2 = x2 + y2,

tan = y/x, jika x 0

Catt. menentukan

Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4

jadi -/2 < < /2 = arctan(y/x).

Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,

= + arctan(y/x).

Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a

Untuk lingkaran berjari a,

- berpusat di (0,a): r = 2a sin

- berpusat di (a,0): r = 2a cos

16

Konversikan persamaan kutub r = 2 sin kedalam sistem koordinat kartesius:

Kalikan kedua sisi dengan r:

r2 = 2r sin

x2 + y2 = 2y

x2 + y2 - 2y = 0

Jadi persamaan tsb. dalam koordinat kartesius adalah x2 + (y -1)2 = 1

Cari titik potong antara 2 persamaan kutub berikut:

r = 1 + sin and r2 = 4 sin .

Solusi:

(1 + sin )2 = 4 sin

1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0

sin2 - 2 sin + 1 = 0

(sin - 1)2 = 0 sin = 1

Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1,…

Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan Kutub

Cardioid:

Contoh : r = sin θ + 1

Limaçon:

r = a + b cos , r = a + b sin

contoh : r = 3 – 5 sin θ

)cos1()sin1( ardanar

17

Mawar (Rose)

Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )

mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);

dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,

2n jika n genap

Contoh : r = cos θ

Lemniscate:

Contoh: untuk

)2sin(atau)2cos( 22 arar

)2sin(42 r

18

Spiral:

Persamaan berbentuk r = n

Contoh : r =

Grafik dari “butterfly curve”

r() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin( /4)^3

19

20

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Bentuk umum:

dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,

i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.

Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Masing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis ini.

Penyajian SPL dalam Bentuk Grafik

SPL BENTUK MATRIKS

Strategi Menyelesaikan SPL

Mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai penyelesaian sama (ekuivalen)

tetapi bentuk yang lebih sederhana.

kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

21

Tiga Operasi Yang Mempertahankan Penyelesaian SPL

SPL

1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua persamaan sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lainnya.

MATRIKS

1. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

2. Menukar posisi dua baris sebarang.

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.

Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)

SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk sederhana sehingga tercapai 1 elemen tak

nol pada suatu baris.

Contoh:

DIKETAHUI

kalikan pers (i)dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i)dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii)dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

22

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat kaitan menarik antara bentuk SPL dan

representasi matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan METODA ELIMINASI

GAUSS.

Bentuk Echelon-Baris

Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:

kalikan pers (ii)dengan (-1), lalutambahkan ke pers(i).

kalikan brs (ii)dengan (-1), lalutambahkan ke brs(i).

kalikan pers (iii)dengan (-11/2), lalutambahkan ke pers (i)dan kalikan pers (ii) dg(7/2), lalu tambahkanke pers (ii)

DIKETAHUI

kalikan pers (i)dengan (-2), kemu-dian tambahkan kepers (ii).

kalikan baris (i)dengan (-2), lalutambahkan kebaris (ii).

…………(i)…………(ii)…………(iii)

kalikan pers (i)dengan (-3), kemu-dian tambahkan kepers (iii).

kalikan baris (i)dengan (-3), lalutambahkan kebaris (iii).

kalikan pers (ii)dengan (1/2).

kalikan baris (ii)dengan (1/2).

23

maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

Matriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksi.

Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:

1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen

tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.

2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.

3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading

1 baris berikut.

4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi

Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut

bentuk echelon-baris.

CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:

CONTOH bentuk echelon-baris:

Bentuk Umum Echelon-Baris

24

Bentuk Umum Echelon-Baris Tereduksi

dimana lambang ∗ dapat diisi bilananga real sebarang.

Latihan:

Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:

Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas!

Metoda Gauss-Jordan

Ide pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubah matriks ke dalam bentuk echelon-baris

tereduksi.

CONTOH: Diberikan SPL berikut.

Bentuk matriks SPL ini adalah:

25

Akhirnya diperoleh:

Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh penyelesaian:

Di mana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak berhingga banyak

penyelesaian.

Metode Substitusi Mundur

Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:

-2B1 + B2B2B2B2

5B2+B3 B3

61808400

0000000

1-3-02-1-00

00202-31B4 B4+4B2

B3 ⇄ B4 B3 B3/3

-3B3+B2B2

2B2+B1B1

26

Bentuk ini ekuivalen dengan:

LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:

LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:

LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-jaan substitusi

selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada metoda Gauss-Jordan sebelumnya

diperoleh:

Eliminasi Gaussian

Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian menggunakan

substitusi mundur.

CONTOH:

Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian

27

PENYELESAIAN:

Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:

28

BAB III

FUNGSI DAN LIMIT

A. Kompetensi dan Indikator

A.1 Standar Kompetensi

Menggunakan konsep Fungsi dan Limit dalam soal dan permasalahan yang relevan.

A.2 Kompetensi Dasar

Memahami matematika pada materi fungsi dan limit

A.3 Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

B. Uraian Materi

FUNGSI DAN OPERASI PADA FUNGSI

Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan yang memetakan setiap objek

x di suatuhimpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah hasil).

Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.

Lambang f : D → E berarti f adalah fungsi dari D ke E.

Fungsi yang akan dibahas di sini adalah fungsi dengan daerah asal DR dan daerah hasil

ER, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti

y = x2 atau f(x) = x2, x є R.

Contoh 1.

Fungsi f(x) = x2 memetakan setiap bilangan real x ke kuadratnya, yakni x2. Daerah asalnya

adalah R dan daerah hasilnya adalah [0,∞).

Contoh 2.

Fungsi g(x) = 1/x memetakan setiap bilangan real x ≠ 0 ke kebalikannya, yakni 1/x. Daerah

asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x є R | x ≠ 0 }.

29

Operasi pada Fungsi

Seperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian,

dan pembagian pada fungsi, sebagai berikut:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f.g)(x) = f(x).g(x)

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dan

daerah asal g, yakni {x є R | x ≠ 0 }.

Contoh

jika f(x) = x2 dan g(x) = 1/x, maka f + g

adalah fungsi yang memetakan x ke x2 + 1/x, yakni (f + g)(x) = x2 + 1/x.

Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yakni

f p(x) = [f(x)]p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

KOMPOSISI FUNGSI

Aturan fungsi komposisi

Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikut

mengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan

x ke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C

adalah komposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.

A B C

g h

f

Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus

f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

x y z

30

adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.

Perhatikan bahwa h g g h.

(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).

h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g

h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.

Contoh :

Misalkan dua fungsi g : R R dan h : R R, keduanya berturut-turut ditentukan oleh

rumus:

g(x) = 2x + 1 dan h(x) = x 2

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.

b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.

Jawab:

a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.

(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = (-9) 2 = 81.

(iii) Misalkan f = h g.

f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = (2x + 1) 2 untuk semua x R.

Jadi Rf = {x R/ x 1}.

b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.

Berdarkan a(iii);

(2x + 1) 2 = 100

2x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10

x = 4 21 atau x = - 5 2

1 .

FUNGSI TRIGONOMETRI

Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Menentukan Rumus untuk cos (α ± β)

Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif

membentuk sudut α . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut β.

AOC = α dan BOC = β.

31

Dengan demikian koordiant titik A (cos α , sin α) dan B (cos β, sin β).

Dengan rumus jarak antara dua titik, maka jarak AB adalah:

AB2 = (xA – xB )2 + (yA – yB )2

= (cos α – cos β )2 + (sin α – sin β)2

= cos2 α – 2cosα cos β + cos 2 β + sin2 α – 2sinα sinβ + sin2 β

= cos2 α + sin2 α + cos2 β + sin2 β – 2cos α cos β – 2sin α sin β

= 1 + 1 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

= 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β ) ........................ ( 1 )

Perhatikan AOB, AOB = α – β dengan aturan cosinus, diperoleh

AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB cosAOB

= 1 + 1 – 2.1.1.cos (α – β)

= 2 – 2 cos (α – β) ............................................................ ( 2 )

Dari ( 1 ) dan ( 2 ) diperoleh:

2 – 2 cos (α – β) = 2 – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

-2 cos (α – β) = – 2 (cos α cos β + sin α sin β )

cos (α – β) = (cos α cos β + sin α sin β )

Dengan mengubah α + β menjadi α – (– β) diperoleh :

cos (α + β) = cos (α – (– β))

= cos α cos (-β) + sin α sin (-β)

= cos α cos β – sin α sin β

Ingat !

sin (-α ) = - sin α

cos (-α) = cos α

Jadi :

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Jadi:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

O

α β

A

B

C

X

Y

32

Contoh:

Tuliskan rumus cosinus sudut jumlah atau selisih berikut ini!

a. cos (2a – b)

b. cos (2p + 3q)

Jawab:

a. cos (2a – b) = cos 2a cos b + sin 2a sin b

b. cos (2p + 3q) = cos 2p cos 3q - sin 2p sin 3q

Buktikan bahwa:

a. cos(2

- A) = sin A

b. cos8

5 cos8

1 - sin8

5 sin8

1 = 22

1

c. cos

p

2

cos

p

6

+ sin

p

2

sin

p

6

=

2

1

d. cos A cos A - sin A sin A = cos 2

Bukti:

a. cos(2

- A) = cos

2

. cos A + sin

2

. sin A

= 0. cos A + 1 . sin A

= sin A (terbukti)

b. cos8

5 cos8

1 - sin8

5 sin8

1 = cos

8

1

8

5

= cos 4

3

= 22

1 (terbukti)

c. cos

p

2

cos

p

6

+ sin

p

2

sin

p

6

= cos

pp

62

= cos3

=2

1(terbukti)

d. cos A cos A - sin A sin A = cos { A + A }

= cos 2 (terbukti)

33

2. Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.

sin = cos 090

= cos 090

= cos 090 cos + sin 090 sin

= sin cos + cos sin

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin kita dapat menentukan rumus selisih

dua sudut sebagi berikut:

sin = sin

= sin cos + cos sin = sin cos + cos sin

= sin cos - cos sin

3. Menentukan rumus untuk tan

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan

rumus tan (α+β) sebagai berikut :

tan (α+β) =)cos(

)sin(

=>ingat! tan α =

cos

sin

=

sinsincoscos

cossincossin

=

coscos

sinsin

coscos

coscoscoscos

sincos

coscos

cossin

Ingat !!sin 090 = coscos 090 = sin

Jadi:

Sin = sin cos + cos sin

Jadi:

sin = sin cos - cos sin

Ingat:Pembilang dan penyebutdibagi dengan cos α cosβ

34

=

cos

sin.

cos

sin1

cos

sin

cos

sin

=

tantan1

tantan

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

1. Menentukan Sudut Rangkap

a. Menentukan rumus sin 2α

Dengan rumus sin (α +β) = sinα cosβ + cosα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat sin 2α = sin(α + α)

= sinα cosα + cosα sinα

= 2 sinα cosα

b. Menentukan rumus cos 2α

Dengan rumus cos (α +β) = cosα cosβ – sinα sinβ dan dengan mengubah 2α = α + α

didapat cos 2α = cos(α + α)

= cosα cosα – sinα sinα

= cos2α – sin2α

Rumus cos 2α = cos2α – sin2α

dapat dinyatakan dalam bentuk lain

cos 2α = cos2α – sin2α

= cos2α – (1 – cos2α)

= cos2α – 1 + cos2α

= 2 cos2α – 1

Jadi:

tan (α+β) =

tantan1

tantan

Jadi:

sin 2α = 2 sinα cosα

Jadi:cos 2α = cos2α – sin2α

Ingat !!cos2α + sin2α = 1sin2α = 1 – cos2α

cos2α = 1 – sin2α

35

cos 2α = cos2α – sin2α

= (1 – sin2α )– sin2α

= 1 – sin2α - sin2α

= 1 – 2 sin2α

2. Identitas Trigonometri

Rumus – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama

dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari

suatu identitas trigonometri

Contoh:

Buktikan identitas berikut!

a. (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α

b. sin 3α = 3 sinα – 4 sin3 α

c. 4

4

44

costan1

sincos

Bukti:

a. (sin α + cos α)2 = sin2 α + 2 sin α cos α + cos2 α

= sin2 α + cos2 α + 2sin αcos α

= 1 + sin2 α

(terbukti)

b. 3 α dapat dinyatakan 2 α + α, sehingga :

sin 3 α = sin (2 α + α)

= sin 2 α cos α + cos 2 α sin α

= (2 sin α cos α)cos α + (1 – 2 sin2 α)sin α

= 2 sin α cos2 α + sin α – 2 sin3 α

= 2 sin α (1 – sin2 α) + sin α – 2 sin3α

= 2sin α – 2 sin3 α + sin α – 2sin3 α

= 3 sin α – 4 sin3 α

(terbukti)

Jadi:cos 2α = 2cos2α – 1

Jadi:cos 2α = 1 – 2 sin2α

36

c.

4

44

tan1

sincos

=)tan1)(tan1(

)sin)(cossin(cos22

2222

=

)cos

sincos(

cos

1

)sin.(cos1

2

22

2

22

=

)cos

sincos(

cos

1

sincos

2

22

2

22

=)sin(cos

cos

1sincos

22

4

22

=

4cos

11

= cos4 α

(terbukti)

Latihan

a. Jika sin x cos x = a untuk 0 x 4

, tentukan tan 2x.

b. Nilai maksimum dari25cos8sin15 xx

madalah 25. Tentukan nilai m

c. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga.

Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan

d. Dalam segitiga lancip ABC, sin C =13

2, tan A tan B = 13, tentukan tan A + tan B.

e. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2, tentukan nilai tan .

37

LIMIT FUNGSI

Konsep Limit

Misalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I

kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh

terdefinisi boleh juga tidak

Limit fungsi di satu titik

Jika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat ke

nilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan

cara memilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam

daerah asal fungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x)

untuk x mendekati a sama dengan L, ditulis

axlim f(x) = L.

Dengan ungkapan lain:

axlim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x – a| < maka | f(x) - L| <

.

Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada

nilai x = a tidak dipersoalkan.

Misalnya pada fungsi f(x) = 3x – 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk =

0,003. Karena |(3x – 4) – 5| = |3x – 9| = 3|x – 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini

adalah =3

untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.

Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakanax

lim f(x) = L

tidak ada.

38

39

LIMIT SEPIHAK

Dari gambar di atas dapat terlihat bahwa fungsi f(x) mengalami loncatan pada x = 1

Sekarang coba lengkapi implikasi berikut:

40

Hasil terakhir menunjukkan bahwa limit kiri dari f(x) untuk x menuju 1 dari kiri bukan 1,5

Definisi Limit KananMisalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)untuk x mendekati c dari kanan disebut L, dinotasikan

εLxfδcx0δ0,εLxlimfcx

Definisi Limit KiriMisalkan f(x) terdefinisi pada I = (a,b), kecuali mungkin di c I. Limit dari f(x)untuk x mendekati c dari kiridisebut L, dinotasikan

εLxfδx-c0δ0,εLxlimfcx

41

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan Sepihak

Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bila

Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bila

Kekontinuan Pada Interval

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)

Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a

dan kontinu kiri di b

42

2. Periksa kekontinuan fungsi f yang diberikan oleh

3. Misalkan fungsi f diberikan oleh

Tunjukkan

4. Hitunglah

0x

0x,

1x

xsinxf

12xxxf 16xflim0,xflim

5x1x

xtan2xxsinx

lim0x

43

BAB IV

TURUNAN

A. Kompetensi dan Indikator

A.1 Standar Kompetensi

Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecahan masalah

A.2 Kompetensi Dasar

a. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi

b. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan

memecahkan masalah

c. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi

d. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim

fungsi dan penafsirannya

A.3 Indikator Pembelajaran

Mahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

B. Uraian Materi

Laju Perubahan Nilai Fungsi; Ide Turunan pada x = a.

Jika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki kecepatan. Pada bagian B, telah

diuraikan makna kecepatan rata-rata gerak benda. Yaitu:

kecepatan rata-rata =diperlukanyangwaktu

ditempuhyangjarak=

waktuperubahan

jarakperubahan.

Jika benda tersebut bergerak sepanjang lintasan y = f(x), maka perbandingan di atas

menunjukkan perubahan nilai rata-rata:

perubahan nilai rata-rata =xiabelperubahan

fungsinilaiperubahan

var.

44

Misalkan fungsi f : R R ditentukan oleh rumus f: x f(x).

Y y = f(x) Gambar di samping adalah

f(a+h) B sketsa suatu kurva y = f(x).

Titik A(a,f(a)) dan B(a+h,f(a+h))

f(a) A adalah dua titik yang terletak pada

kurva.

Apa yang terjadi jika h mendekati

O a a+h X nilai nol?

Perhatikan perubahan dari A ke B. Untuk daerah asal dalam interval a x a + h, nilai

fungsi berubah dari f(a) pada x = a sampai f(a + h) pada x = a + h.

Perbandingan selisih nilai fungsi dan selisih nilai variabel merupakan perubahan rata-

rata nilai fungsi dalam interval a x a + h untuk h 0, yakni:

Perubahan rata-rata =iabelnilaiperubahan

fungsinilaiperubahan

var

=aha

afhaf

)(

)()(

=h

afhaf )()( .

Untuk nilai h mendekati nol, perubahan rata-rata nilai fungsi itu di sebut lajuperubahan nilai fungsi pada x = a.

Laju perubahan nilai fungsi (pada x = a) =0

limh h

afhaf )()( .

Lambang turunan fungsi yang rumusnya f(x) di titik x = a, adalah f(a) (dibaca: f aksen a).

f(a) =0

limh h

afhaf )()( .

Jika0

limh h

afhaf )()( ada, maka dikatakan f terturunkan (terdiferensialkan) di a.

f(a) adalah turunan fungsi f di x = a.

Contoh :

Misalkan f(x) = 18x 2 + 19. Carilah turunan fungsi f di x = 4.

Jawab:

Turunan fungsi f(x) = 18x 2 + 19x di x = 4 adalah f(4).

45

f(4) =0

limh h

fhf )4()4(

=0

limh h

hh )4.194.18())4(19)4(18( 22

=0

limh h

hhh )4.194.18()194.19184.2.184.18( 222

=0

limh h

hh 218163

=0

limh

(163 + 18h)

= 163.

Turunan dari fungsi f

Misalkan f : A R dengan A R suatu fungsi dan untuk setiap anggota A fungsi f

memiliki turunan. Misalnya untuk a, b, … A,

f(a) =0

limh h

afhaf )()( , f(b) =

0limh h

bfhbf )()( , … ada nilainya;

maka dikatakan f terturunkan (diferensiable) pada A.

Perhatikan untuk setiap anggota A kita memperoleh nilai baru di bawah f. Jadi kita

memperoleh fungsi baru yang diturunkan dari f, yaitu.

f : A R dengan A R.

Fungsi f ini disebut turunan f pada A, dan ditentukan oleh rumus:

f(x) =0

limh h

xfhxf )()( .

Contoh:

Carilah turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 .

Jawab:

Turunan fungsi f yang ditentukan oleh rumus f(x) = 3x 3 adalah

f(x) =0

limh h

xfhxf )()(

=0

limh h

xhx 33 3)(3

=0

limh h

xhxhhxx 33223 3)33(3

46

=0

limh h

xhxhhxx 33223 33993

=0

limh h

hxhhx 322 399

=0

limh

(9x 2 + 9xh + 3h 2 )

= 9x 2 .

Turunan Beberapa Fungsi Khusus

(1) Turunan fungsi konstan, yaitu f(x) = a, a konstanta.

f(x) =0

limh h

xfhxf )()(

=0

limh h

aa

= 0.

(Lihat latihan 7 nomor 1)

Jika f(x) = a, a konstanta; maka f(x) = 0.

(2) Turunan fungsi pangkat positif dari x, yaitu f(x) = x n .

Contoh pada Latihan 7, nomor 2 sampai 6. Hasilnya masukkan tabel:

f(x) x x 2 x 3 x 4 … x n

f(x) 1 2x 3x 2 4x 3 … ……

Perhatikan baik-baik tabel di atas, apakah kamu menemukan pola sehingga kamu

dapat mengisi …… di bawah x n ?

Jika f(x) = x n , maka f(x) = nx 1n .

(3) Turunan f(x) = ax n dengan a konstanta; n bilangan positif atau rasional.

Dengan cara serupa dengan (2); ternyata berlaku:

Jika f(x) = ax n , maka f(x) = anx 1n

47

(4) Turunan pangkat negatif dari x, yaitu f(x) =nx

1

Jika kita lihat kembali Latihan 7, nomor 7 dan dimasukkan ke table, akan terlihat

polanya turunannya, yaitu:

Jika f(x) =nx

1 , maka f(x) = -1nx

n .

Karenanx

1= x n , maka pernyataan di atas setara dengan:

Jika f(x) = x n , maka f(x) = -nx )1( n .

Turunan f(x) yaitu f(x) dalam proses pencariannya menggunakan konsep limit, yakni

f(x) =0

limh h

xfhxf )()( .

Sifat-sifat turunan berikut penting dalam mencari turunan:

1. Jika fungsi f dan g keduanya fungsi yang terdefinisi pada selang I, maka turunan (jika

ada) dari f dan g juga merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang I. Demikian juga

fungsi-fungsi f + g, f - g, cf, f g, dan f/g (khusus untuk f/g perlu tambahan syarat g

0) adalah juga fungsi-fungsi juga memiliki turunan yang terdefinisi di I.

2. Rumus turunan f + g, f - g, cf, f g, dan f/g berturut-turut adalah:

a. (f + g)(x) = f(x) + g(x).

b. (f - g)(x) = f(x) - g(x).

c. (cf)(x) = cf(x), c konstanta.

d. (f g)(x) = f(x)g(x) + g(x) f(x)

e. (f/g)(x) =2)]([

)(')()(')(

xg

xgxfxfxg , g(x) 0.

Notasi yang juga sering digunakan adalah:

a. Jika y = u + v, maka y = u + v.

b. Jika y = u - v, maka y = u - v.

c. Jika y = cu, maka y = c u , c konstanta.

d. Jika y = uv, maka y = uv + vu .

48

Latihan

1. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal kurva x3 – y3 =2xy di titik (-1,1)

2. Akan dibuat persegi panjang ABCD dengan titik sudut A(0,0), B di sumbu X, D di

sumbu Y dan C pada kurva y = a2 – x2. Tentukan ukuran-ukuran persegi panjang

tersebut agar luasnya maksimum

3. Tentukan titik-titik ekstrim dari fungsi f(x) = -2x3 + 3x2 pada [-2

1,2]

4. Kawat sepanjang 16 cm dipotong menjadi 2 bagian. Salah satu potongan dibentuk jadi

bujur sangkar dan potongan lainnya dibuat jadi lingkaran. Berapa ukuran potongan

tersebut agar :

- jumlah seluruh luasnya minimum

- jumlah seluruh luasnya maksimum

5. Carilah dua buah bilangan tak negatif yang jumlahnya 10 dan hasil kalinya maksimum

49

BAB VINTEGRAL

1. Konsep Anti Turunan Fungsi

a. Pengertian Anti Turunan

Teorema 1.1Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada selang buka I. Jika 0)(' xf pada selang I, makaf(x) = k untuk suatu konstanta k.

Teorema 1.2Dipunyai fungsi f dan g mempunyai turunan pada selang buka I. Jika )(')(' xgxf padaselang I, maka

f(x) = g(x) + k untuk suatu konstanta k.

Definisi 1.1Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) padaselang I disebut anti turunan

b. Integral Tak Tentu

Pada bagian ini diawali dengan pengertian anti deferensial suatu fungsi yang merupakanbentuk paling umum dari suatu anti turunan.

Definisi 1.2Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi. JikaF’(x) = f(x) pada selang buka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada selang I adalah

CxFy )( untuk sembarang konstanta C.

Selanjutnya pengertian tentang integral tak tentu didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 1.3Dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang buka I dan F adalah suatu anti turunan f pada selangI. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada I,ditulis dengan lambang

CxFdxxf )()(

dengan C sembarang konstanta dan dibaca integral tak tentu dari f terhadap variabel x.

Contoh 1.1Dipunyai xxf 2sin)( , xxF 2cos)( 2

11 , xxF 2

2 sin)( , dan xxF 23 cos)( .

Periksa apakah )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x).

Pemeriksaan:

)(2sin2)2sin(2

1)2(

)2(

)2(cos

2

1]2cos[)]([ 21

1 xfxxdx

xd

xd

xd

dx

xd

dx

xFd

50

)(2sincossin2)(sin

)(sin

)(sin][sin)]([ 222 xfxxx

dx

xd

xd

xd

dx

xd

dx

xFd , dan

)(2sin)sin(cos.2)(cos

)(cos

)(cos]cos[)]([ 223 xfxxx

dx

xd

xd

xd

dx

xd

dx

xFd

Jadi )(1 xF , )(2 xF , dan )(3 xF semuanya merupakan suatu anti turunan dari f(x).

Contoh 1.2Tentukan dxx2 .

Penyelesaian:Tulis xxf 2)( dan 2)( xxF .

Jelas )(2)()]([

)('2

xfxdx

xd

dx

xFdxF .

Jadi )(xF adalah suatu anti turunan f(x).

Jadi Cxdxx 22 .

c. Rangkuman1. Fungsi F yang memenuhi F’(x) = f(x) pada selang terbuka I disebut anti turunan.2. Anti diferensial adalah bentuk paling umum dari suatu anti turunan atau primitif fungsi.3. Proses menentukan anti diferensial dari fungsi f dinamakan integral tak tentu f pada selang

buka I, ditulis dengan lambang CxFdxxf )()( , dengan C

konstanta.

d. Latihan

Periksa kebenaran pernyataan berikut.1. 2

0 )( xxF adalah anti turunan dari xxf 2)( .

2. xxF 1)( merupakan anti turunan darix

xf

12

1)(

3. xxxF 2cos)( merupakan anti turunan dari xxxxf 2sin22cos)(

4. xxxF )( merupakan anti turunan dari xxxf )( .

2. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, Integral Parsial, dan Beberapa RumusTeknis Integral

a. Teorema Kelinearan, Teorema Penggantian, dan Integral Parsial

Teorema 2.1 (Kelinearan)(a) dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan

(b) dxxfKdxxfK )()( , dengan K suatu konstanta.

51

Teorema 2.2 (Penggantian)Dipunyai )(xgy mempunyai turunan pada Dg dan Rg I dengan I adalah suatu selang. Jika

)(xfy terdefinisi pada selang I sehingga F’(x) = f(x), maka

CxgFdxxgxgf )]([)(')]([

Teorema 2.3 (Integral Parsial)Jika )(xuu dan )(xvv adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I,maka

duvuvdvu .

b. Beberapa Rumus Teknis Integral

Berikut ini disajikan beberapa rumus teknis integral.

1. Cxdx

2. Cx

dxx2

2

3.

1,1

1

nCn

xdxx

nn

4. Cxdxx cossin

5. Cxdxx sincos

6. Cxdxx tansec 2

7. dxxdxx cotcsc 2

8. Cxdxxx sectansec

9. Cxdxxx csccotcsc

10.

CxCxx

dx 11

2cossin

1

11.

CxCxx

dx 112

cottan1

12. CxCxxx

dx

11

2cscsec

1

13. Ca

uC

a

u

ua

du

11

22cossin

14. Ca

u

aC

a

u

aua

du

11

22cot

1tan

1.

15. Ca

u

aC

a

u

aauu

du

11

22csc

1sec

1

52

Contoh 2.1

Tentukan(a) dxxx )cos2(

(b) dxxxx )23()62( 263

(c) dxxx sin2

Penyelesaian:(a) dxxdxxdxxx cos2)cos2(

= )(sin)( 212 CxCx

= )(sin 212 CCxx

= Cxx sin2 .

(b) )62()62()23()62( 363263 xxdxxdxxxx

= Cxx

7

)62(( 73

.

(c) dxxx sin2 = dxxx sin2

= )](coscos[ 22 xdxxx

= dxxxxx cos2cos2

= )(sin2cos2 xdxxx

= )sinsin(2cos2 dxxxxxx

= Cxxxxx cos2sin2cos2 .

Contoh 2.2

Tentukan

(a) 522 xx

dx(b)

24 xx

dx

Penyelesaian:

(a) 522 xx

dx= 22 2)1(x

dx

= Cx

2

1tan

2

1 1 .

(b) 24 xx

dx=

22 )2(2 x

dx

= Cx

2

2sin 1 .

53

c. Rangkuman

Teorema kelinearan, teorema penggantian, dan teorema integral parsial merupakan teoremaintegral yang mendasar dan harus dikuasai. Banyak soal integral yang bisa dibawa ke dalambentuk integral seperti yang tercantum dalam beberapa rumus teknis integral.

d. Latihan

Tentukan integral berikut.

1. dxxx 4

2. dxxx sin1cos

3. dx

x

x

1

2

4. 942 xx

dx

5. dxxx cos2

3. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN

Notasi SigmaPerhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + …+ 10. Bentuk ini dapat ditulisdengan

10

1

10321i

i

yang dibaca “sigma i, i dari 1 sampai 10”. Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:

(a)

40

1

22222 40321s

s

(b)

n

j jn 1 12

1

12

1

152

1

142

1

132

1

Teorema

(a) nccn

i

1

untuk sembarang konstanta c,

(b)

n

ii

n

ii acac

11

, dan

(c)

n

ii

n

iii

n

ii bdacbdac

111

)(

54

Induksi MatematikaInduksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar untuksetiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam induksi matematika,yaitu:

(i) pertama P(1) benar dan(ii) kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Dengan demikian dapat dinyatakan:

benarP(k)apabilabenar)1(

benar)1(benar)(

kP

PnP

Jumlah RiemannPada bagian ini akan disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang merupakandasar pendefinisian integral tentu.

DefinisiDipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi Pn untuk selang [a,b] adalah sembaranghimpunan yang terdiri (n+1) bilangan

},,,{ 21,0 nxxxx

dengan bxxxxa n 210 .

Catatan:Panjang subselang ke-i, dinyatakan dengan xi , yaitu 1 iii xxx , i = 1, 2, 3, …, nPanjang subselang terbesar dari partisi Pn dinyatakan dengan nP dibaca dengan “norm Pn”.

DefinisiDipunyai ],[: baf suatu fungsi, Pn suatu partisi untuk selang [a,b], dan titik sampel

],[ 1 iii xxt . Bangun

n

iiin xtfR

1

)( .

Bangun Rn disebut Jumlah Riemann untuk f pada selang [a,b].

Integral TertentuPada bagian ini didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann.

DefinisiDipunyai fungsi ],[: baf .

Jika

n

iii

oPxtf

1

)(lim ada, maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada

selang [a,b].Selanjutnya ditulis

b

a

n

iii

oPdxxfxtf )()(lim

1

disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.

55

Catatan:1) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan - .2) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka

nP 0 .

3) Pada bentuk b

a

dxxf )( , f disebut integran, a disebut batas bawah, dan b disebut batas

atas.

4) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan 0)( xf pada [a,b], b

a

dxxf )(

menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis x = b, dan sumbuX.

5) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, dan negatif.

Teorema-teorema Integral TertentuDefinisi integral tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus b = a ataub < a yang didefinisikan sebagai berikut.Definisi

(a) Jika f(a) terdefinisi maka 0)( b

a

dxxf .

(b) Jika a > b dan b

a

dxxf )( terdefinisi, maka a

b

b

a

dxxfdxxf )()( .

TeoremaJika fungsi f kontinu pada selang [a,b], maka f terintegral secara Riemann pada selang [a,b].

Teorema

(a) abxdxn

ii

P

b

a

1

0lim .

(b) )(lim1

0abKxKdxK

n

ii

P

b

a

.

TeoremaJika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fungsi-fungsi (f+g) dan Kfdengan K konstanta teintegralkan, yaitu:

(1) b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ dan

(2) b

a

b

a

dxxfKdxxfK )()( .

56

TeoremaJika D adalah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f, garis x = a, x = b, dan sumbu X,maka

dxxfLb

a )( .

TeoremaJika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat a, b, dan c, maka

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

tanpa memperhatikan urutan a, b, dan c.

TeoremaJika f terintegral pada selang [a,b] dan 0)( xf pada [a,b], maka

0)( b

a

dxxf .

TeoremaJika f dan g terintegral pada selang [a,b] dan )()( xgxf pada [a,b], maka

b

a

b

a

dxxgdxxf )()( .

TeoremaJika f kontinu pada selang [a,b], )(min xfm

bxa , dan )(xfmaksM

bxa , maka

)()()( abMdxxfabmb

a

.

4. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

Luas DaerahPada bagian ini dibicarakan tentang penggunaan integral tertentu untuk menghitung luasdaerah pada bidang datar.

DefinisiDipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dengan 0)( xf untuk semua

x[a,b], x = a, x = b, dan sumbu X. Jika A adalah luas daerah D, maka

b

a

dxxfA )( .

DefinisiDipunyai D adalah daerah yang dibatasi dua grafik fungsi f dan g dengan )()( xgxf untuk

semua x[a,b], x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D, maka

b

a

dxxgxfA )]()([ .

57

TeoremaDipunyai D adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f yang kontinu pada [a,b]dan 0)( xf untuk semua x[a,b], sumbu X, x = a, dan x = b. Jika A adalah luas daerah D,maka

b

a

dxxfA )( .

Volum Benda PutarSuatu daerah D pada bidang datar apabila diputar dengan suatu poros tertentu akanmenghasilkan suatu benda putar. Volum benda putar tersebut dapat dihitung denganmenggunakan integral tertentu.1) Metode Cakram

Dipunyai fungsi f kontinu pada selang [a,b]. Misalkan daerah D dibatasi oleh grafik f,sumbu X, x = a, dan x = b diputar dengan poros sumbu X akan membangun suatubenda putar. Volum benda putar tersebut akan dicari dengan menggunakan metodecakram sebagai berikut.Gambar??Buat partisi untuk selang [a,b]. Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt .

Volum cakram ke-i adalah

xtfV iii 2)(

Jadi dxxfxtfVn

i

b

a

iiP

1

22

0)()(lim .

2) Metode CincinMisalkan daerah D dibatasi oleh grafik fungsi g dan h dengan )()( xhxg pada [a,b],x = a, dan x = b. Akan ditentukan volum benda yang terjadi jika daerah D diputarterhadap sumbu X.Gambar??Buat partisi untuk selang [a,b] pada sumbu X.Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt .

Tulis Vi : volum cincin ke-i

Jelas xthxtgV iiiii 22 )()(

= xthtg iii 22 )()(

Jadi

n

iiii

PxthtgV

1

22

0)()(lim

= b

a

dxxhxg 22 )()(

3) Metode Sel Silinder (Kulit Tabung)Dipunyai daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f dengan 0)( xf padaselang [a,b], garis x = a, garis x = b, dan sumbu X. Akan ditentukan volum benda yangterjadi jika daerah D diputar terhadap sumbu Y.

58

Bangun partisi untuk selang [a,b].Pilih titik sampel ],[ 1 iii xxt dengan ti berada tepat di tengah sub selang ],[ 1 ii xx .

Jadi2

1 ii

i

xxt atau 12 iii xxt .

Tulis Vi : volum silinder ke-i.Jelas )()( 2

12

iiiii tfxtfxV = ))(( 2

12

iii xxtf= ))()(( 11 iiiii xxxxtf= xtft ii )(2

Jadi

n

iii

PxtftV

10

)(lim2

= b

a

dxxfx )(2

5. TEKNIK PENGINTEGRALAN

Pada bab ini disajikan beberapa teknik pengintegralan yang penting. Strategi yang ditekankandi sini adalah dalam setiap menyelesaikan masalah integral perlu keterampilan dalammenentukan teorema yang akan dipakai.

Teorema-teorema Integral yang Diperoleh Langsung dari TurunanNo Teorema1 Cxdx 2 CxKdxK , dengan K suatu konstanta

3 dxxfKdxxfK )()(

4 dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([

5

1,1

1

nCn

xdxx

nn

6xCCx

x

dxlnln

7 Cedxe xx

8 C

a

adxa

xx

lndengan a>0, dan a 1

9 Cxdxx cossin

10 Cxdxx sincos

11 Cxdxx tansec 2

12 Cxdxx cotcsc 2

13 Cxdxxx sectansec

59

14 Cxdxxx csccotcsc

15 CxCxdxx seclncoslntan

16 Cxdxx sinlncot

17 Cxxdxx tanseclnsec

18 Cxxdxx cotcsclncsc

60

DAFTAR PUSTAKA

1. Purcell, dkk. 2004. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga

2. Howard Anton, 1994, Elementary Linear Algebra 7th edition, New York: JohnWiley & Sons, Inc.

3. Yusuf Yahya, D. Suryadi H.S., Agus Sumin, Matematika Dasar untuk PerguruanTinggi, Ghalia Indonesia, 1994.

4. Moch. Chotim. 2007. Kalkulus I. Semarang: Jurusan Matematika UNNES.5. Moch. Chotim. 2005. Kalkulus 2. Semarang: Jurusan Matematika UNNES.6. GCE A Level. 2002. Mathematics (Yearly). 1991/2002. Redspot Publising.

Singapore7. M. Asikin H, Nuriana RDN. 2009. Telaah Kurikulum Matematika 3. Bahan Ajar

Perkuliahan. Semarang: Jurusan Matematika FMIPA UNNES8. Michael Evans dkk. 1999. Essential Mathematics Methods. Cambridge University

Press9. Scottish Mathematics Group. 1992. Modern Mathematics fos Schools. Nelson

Blackie Ltd London