Bahan Ajar Matematika Rekayasa i33

BAHAN AJAR

MATEMATIKA REKAYASA I

JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS WARMADEWA DENPASAR 2011/2012

BAHAN AJAR MATEMATIKA REKAYASA ISILABUS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Aturan Dasar dan Hukum-hukum matematika Turunan / Deferensial Penerapan Deferensial Deferensial Parsial Integral Integral Rangkap Koordinat Kutub

ATURAN DASAR DAN HUKUM-HUKUM MATEMATIKA1) Identitas Aljabar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( (

)( )( )(

) ) )

2) Identitas Trigonometri a)

b)

( ( ( ( (

) ) ) ) )

c)

d) Penjumlahan

Matematika Rekayasa I | 1

e.

( ( ( (

) ) ) )

( ( ( (

) ) ) )

f. Sudut Negatif ( ) ( ) ( ) g. Kurva-kurva baku 1. garis Lurus Kemiringan (slope) : Sudut antar dua garis :

Persamaan Garis Lurus (kemiringan = m) - yang memotong sumbu y rill di C ) - yang melalui ( ( ) ( ) - yang melalui ( )

2. Lingkaran - Berpusat dititik asal dengan jari-jari - Berpusat di (n,k) dengan jari-jari ( Hukum-hukum matematika

)

(

)

a) Hokum Asosiatif ( untuk penjumlahan dan perkalian ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) Hukum kumulatif (untuk penjumlahan dan perkalian)

c) Hukum distribusi (untuk perkalian dan pembagian) ( ) ( )Matematika Rekayasa I | 2

TURUNAN/DEFERENSIAL Koefisien Deferensial Baku

NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( )

Contoh : 1.

2.3.

Fungsi dari Suatu Fungsiadalah fungsi , karena harga tergantung pada sudut , demikian pula ( ) adalah fungsi sudut ( ) yaitu ( ) adalah fungsi dari ( ), tetapi ( ) itu merupakan fungsi , karena harganya bergantung kepada . Jadi kedua pernyataan ( ) adalah fungsi dari ( ) dan ini, kita gabungkan dapat kita lakukan bahwa ( ) adalah fungsi dari fungsi , jadi ( ) adalah fungsi dari fungsi dan secara umum ungkapan ini sering dikatakan sebagai fungsi sudut fungsi.Matematika Rekayasa I | 3

Contoh ( Jawab : Missal :=

)

( (

) )

PERKALIAN DUA FUNGSIJika dengan adalah fungsi , maka :

Contoh : 1. Jawab :

, deferensialkan terhadap !

(

)

Semua cara sama untuk mendeferensialkan suatu perkalian adalah : 1. Tuliskanlah fungsi yang pertama dan deferensialkanlah fungsi yang kedua, 2. Tuliskanlah fungsi yang kedua dan deferensialkalah fungsi yang pertama

PEMBAGIAN DUA FUNGSI

Dimana u dan v adalah fungsi x maka :


Contoh: 1. Jawab deferensialkan terhadap x!

(

)( (

) ( )

)( )

Deferensial Logaritmik Jika ada lebih dari dua fungsi dengan berbagai susunan atas atau bawah, koefisien deferensial, lebih baik dicari melalui apa yang kita kenal sebagai Deferensial Logaritmik.

{

}

{

}

{

}

Contoh : 1. Jawab { * + ( ) + deferensialkanlah terhadap x!


*

+

FUNGSU IMPLISITJika dan terdeteksi sepenuhnya oleh dan disebut sebagai fungsi eksplisit dari . Jika kaitan antara dan sangat ketat, ada kalanya kita tidak dapat memisahkan di ruas kiri sendiri, misalnya , dalam hal semacam ini, ( ) tersirat di dalamnya. disebut fungsi implisit karena hubungannya dalam bentuk

Contah 1. jika Jawab , tentukanlah dititik !

(

)


(

)(

) (

( ) ( )

)(

( (

)( ) ( )( ( )

)( )( )

)

( )

PERSAMAAN PARAMETRIK

Dalam hal ini sebuah harga tertentu akan memberikan pasangan harga variable ketiga yaitu disebut parameter dan kedua pernyataan untuk dan disebut persamaan parametrik. Contoh : 1. !

(

)

PENERAPAN DEFERENSIALPersamaan Garis Lurus yang melalui :

0 C 0

y x


Persamaan dasar sudut garis lurus : dengan : kemiringan d d C = Perpotongan dengan sumbu Jika skala identik, maka riil

Contoh : Tentukan persamaan garis yang melalui P(3,2) dan Q(-2,1)!y 5 4 3 2 1 x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 P

Jawab ( ) ( ) ( )

Persamaan (1) dan (2) dieliminasi

Untuk

substitusikan ke persamaan (1)

Sebagai persamaan garisnya :

(

)

Bila harga m tertentu dan titik yang dilalui (x,y) tertentu maka persamaan garisnya: ( Contoh Garis melalui titik (5,3) dengan kemiringan 2, maka persamaan garisnya adalah : ( ( ) )


Persamaan garis yang melalui titik yang sama dn saling tegak lurus :

Contoh : Garis melalui titik (4,3) dengan m=2. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan garis tersebut! Jawab

Persamaan garisnya : ( ( ( ) )

Garis Singgung Dan Garis Normal

P

Ty=f(x)

Kemiringan kurva singgung di titik p diketahui.

( ) disebuah titik p pada kurva ditentukan oleh kemiringan garis di titik p yang dapat dihitung bila persamaan kurvanya

Kemiringan di tentukan oleh harga


Contoh 1. Tentukan persamaan garis singgung kurva Jawab: Kemiringan (m) = P(1,0)= m = di titik P(1,0)

Persamaan garis ( ( ) )

Menentukan garis normal di P Didefenisikan sebagai garis yang melalui titik P dan tegak lurus kepada garis singgung di P Kemiringan garis normal Unutk soal di atas Persamaan garis normalnya ( )

6

2. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik :( ( ( ) ( ) ) ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

untuk persamaan parametric kurva

Untuk M garis singgung Matematika Rekayasa I | 10

M garis normal

Menentukan garis singgung dan garis normalnya : Untuk memperoleh persamaan garis singgung dan garis normal kita harus mengetahui harga x dan y yang di lalui :

Persamaan garis singgung ( ( ) )

Persamaan garis normal : ( ( ) )

Harga maksimum dan minimum (titik balik) Contoh :

Titik balik terjadi bila :


(

)(

)

Untuk menentukan jenis masing-masing titk balik substitusikan nilai x kedalam

Dititik dititik

Titik belok Contoh

(

)

untuk titik belok

(

)

Uji perubahan tanda untuk ( ( )( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ) ( )

untuk ( ( )( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ) ( )


jadi satu-satunya titik belok yang ada terjadi pada

yaitu pada titik

DIDEFERENSIAL PARSIALContoh

Tinjaulah hubungan

Pernyataan

sendiri masih merupakan fungsi x dan y karena itu kita dapat mencari koefisien

diferensial parsialnya terhadap x maupun y. i. Jika bila dideferensialkan secara parsial terhadap x kita peroleh { ii. } ( )

Jikat kita deferensialkan secara parsial terhadap y, kita peroleh : { } ( )

Tentu saja kita dapat juga melakukuan hal yang sama terhadap hasil : ( ( ) )

diatas dan ini memberikan

PERTAMBAHAN KECILContoh : 1. Jika dengan V 250 volt dan R 50. Tentukan perubahan I jika V bertambah sebesar 1 volt dan R bertambah sebesar 5 ( )

Sehingga untuk ( ) ( ) Matematika Rekayasa I | 13

Yakni turun sebesar 0,03 ampere.

2. Jika persen, dan Jawab:

, tentukanlah presentasi pertambahan , jika bertambah 1 persen.

bertambah 2 persen, berkurang 3

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

{ { }

}

Jadi, turun sebesar 11 persen.


Integral Integral integral baku: Deferensial ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) Integral

Contoh soal: 1. 3. ( )

=2 2. 4. +c


(( )

)( )

+C

(

)

(

)

Fungsi dari suatu fungsi linear dalam x: Serupa juga dengan: 1. 2. 3. 4. 5. Contoh soal: 1. 2. 3. ( ( )( )

(

)

(

)

(( ) ( ) ( )

)

+c

(

) ) )( )

( ( (

) ) ) ( )

4. 5. (

Integral dalam bentuk Contoh: ( )

( ) ( )

( (

) ) ( )

Integral dalam bentuk ( ) ( )( )

(

)

Integral suatu perkalian integral per bagian (parsial) Contoh Matematika Rekayasa I | 16

1.

(

)

2.

* * * * + + +in +

{

}

INTEGRAL DENGAN PECAHAN PARSIAL Kaidah pecahan parsial : Pembilang dari fungsi yang di berikan harus lebih rendahderajadnya dari pada derajad penyebutnya. Jika tidak demikian maka kita harus membaginya dahulu dengan pembagian biasa. Matematika Rekayasa I | 17

Faktorkanlah penyebutnya menjadi factor-faktor prima. Factor linear ( Factor ( Factor ( ) akan memberikan pecahan parsial yang berbentuk ) akan memberikan pecahan parsial : ) akan memberikan pecahan parsial +(( ) )

+

(

)

Factor kuadrat (

) akan memberikan pecahan parsial

Contoh Missal : U= dV= 1. = = ( ( ) )

Integral Fungsi Trigonometri 1

Pokok bahasan materi ini adalah tentang Integran fungsi trigonometri. Kita masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : No 1 2 3 4 5 6 f(x) sin x cos x tan x cot x sec x csc x f ( ) cos x - sin x sec2x -csc2x tan x sec x -cot x csc x

Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : Karena integral merupakan invers turunan, maka dari tabel ini diperoleh bahwa : 1. 2. 3. 4. 5. 6. sin x dx = - cos x + C cos x dx = sin x + C sec2x dx = tan x + C csc2x dx = - cot x+ C tan x . sec x dx = sec x + C cot x. csc x dx = - csc x + C Matematika Rekayasa I | 18

Ingat juga bahwa tan2A = sec2A 1 dan cot2x = csc2x - 1 Contoh 1 Tentukanlah Jawab : ( 8 + 4 sin x 3 tan x . sec x) dx = 8x 4 cos x 3 sec x + C Contoh 2 ( 3 sin x 4 tan2x 6)dx ( 8 + 4 sin x 3 tan x . sec x) dx

Tentukanlah Jawab :

1 + tan 2 x = sec 2x sehingga tan2x = sec2x 1 ( 3 sin x 4 tan2x 6)dx (3 sin x 4(sec2x 1) 6)dx (3 sin x 4 sec2x + 4 6) dx (3 sin x 4 sec2x 2) dx

=

=

=

= - 3 cos x 4 tan x 2x + C

Turunan Fungsi Trigonometri 2

Selain bentuk bentuk di atas kita juga masih ingat turunan fungsi trigonometri berikut ini : F(x) sin (ax + b) cos (ax + b) tan (ax + b) f ( ) a cos (ax + b) - a sin (ax + b) a sec2(ax + b) Matematika Rekayasa I | 19 f( )

cotg (ax + b) sec (ax + b) cosec (ax + b)

- a cosec2(ax + b) a tan (ax + b) sec (ax + b) - a cotg (ax + b) cosec (ax + b)

Dari tabel tersebut dapat diperoleh bahwa :

1.

cos (a + b) d

sin (ax + b) + C

2.

sin (a + b) d

-

cos (ax + b) + C

3.

sec2(ax + b) dx =

tan (ax + b) + C

4

cosec2(ax + b) dx = -

cotg (ax + b) + C

5.

tan (a + b) sec (a + b) d

sec (ax + b) + C

6.

cotg (a + b) cosec (a + b) d

cosec (ax + b) + C

Seringkali dalam menyelesaikan integral fungsi trigonometri, bagian integrannya perlu diubah dengan menggunakan identitas trigonometri agar bentuknya lebih sederhana dan integralnya segera dapat ditemukan.Oleh karena itu perlu diingat bahwa : 2 sin A . sin B = cos (A B) cos (A + B) 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A B) 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A B)

sin2A =

, cos2A =

, sin 2x = 2 sin x cos x

Ada 4 Identitas yang perlu digunakan : 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 cos A sin B = sin (A+B) sin (A-B) 2 cos A cos B = cos (A+B) + sin (A-B) 2 sin A sin B = cos (A-B) cos (A+B)

Contoh : = ( = * = * = {+ ( ) + }+c Matematika Rekayasa I | 20 ) ( )+

= = ( = * = * = { =

-

+c

) ( ) + + +c }+c ( )+

-

Untuk mengintegrasikan sin2x dan cos2x, dinyatakan dengan cosinus sudut rangkap. Contoh : ( ( ) ) ( )

-

Mengintegrasikan

-Mengintegrasi sin5x dan cos5x Contoh : Cos5x dx = = ( =2 4

x . cos x dx = (

2

x)2 cos x dx

x + sin4x) cos x dx2

x dx - 2 +

x . cos x dx + +c

4

x . cos x dx

= sin x

Contoh soal penerapan Integral 1) Carilah luas di bawah kurva y= x2+2x+1 di antara x = 1 dan x = 2 Jawab : ( 0 0 0 2) Harga Mean Tentukanlah harga mean dari Jawab : ( Matematika Rekayasa I | 21 ) 1 0 1 ) 1 0 1 diantara x= -1 dan x = 2 1

,

,( , -

)

(

)-

3) Harga RMS Tentukan harga RMS dari y = - cos sin 200t diantara t Jawab : 0 dan t

( ( ( ) )

)

(

)

[ [ ]

]

Sentroid suatu bentuk bidang Contoh : Tentukanlah posisi sentroid dari gambar yang dibatasi oleh kurva y = 5 sin 2x, sumbu x, dan ordinat pada x = 0 dan x = Jawab : I1 = Cari = =5[ =5[( )

=5

-

)

=5[- . . + I1 = 5 [ I2 =

] [

-

]=

- ] - = - [ 1] =

=5[-

)


= [

- ]. = [

- ]

= 0,8660 0,5236

Cari I3 = = = = [x [. /

( ]

)

=> sin

= sin =

= = = =

0 , ,

1 (

()

)

Integral lipat dua :

Contoh : Hitungan : 1.


0 ( ) 1 0 1

2. Hitunglah ( , {( ( ,( ( )( ) ) ) ) )

)

Integral lipat tiga : Contoh: 1. Hitunglah 0 ( *( , ) ( ) ( ) ( ( 1 , + ) ( ) )

2. Hitunglah . . . . ( ( ( . =( ) / ( ) ) ) (

( / / /

)

/

( )

)

)

(

) Matematika Rekayasa I | 24

(

)

(

)

Contoh Soal Lain : 1. Garis oleh Jawab: Dik : Dij : ( ) ( . . . . . / / / . / / / ) dan parabola dan ordinat berpotong di . Tentukan luas daerah yang dilingkupi dengan menggunakan integral lipat dua?


Bahan Ajar Matematika Rekayasa i33

Documents

Transcript of Bahan Ajar Matematika Rekayasa i33