bahan ajar logika matematika SMA

L O G I K A M A T E M A T I K A

M A T E M A T I K A 55

BUKU SISWA

PRAKATA

“Dan bahwa (yang kami perintahkan ini) adalah jalanKu yang lurus, Maka ikutilah Dia, dan janganlah kamu mengikuti jalan-jalan (yang lain)[152], Karena jalan-jalan itu mencerai beraikan kamu dari jalannya. yang demikian itu diperintahkan Allah agar kamu bertakwa” (QS Al An’am [6]: 153)

“Jalan” pada ayat tersebut berarti metode, system, pedoman, pola laku, pola tindak dan pola pikir yang menghantarkan manusia kepada kebenaran. Ayat tersebut menyerukan manusia untuk selalu berpegang teguh kepada logika Qur’ani agar tidak sesat pikir dalam mencapai kebenaran. Untuk mencapai hal tersebut perlu menelusuri usaha-usaha yang telah dilakukan manusia dalam meluruskan petunjuk operasional yang bermanfaat dalam menjalankan logika Qur’ani.

“Katakanlah: "Tidak sama yang buruk dengan yang baik, meskipun banyaknya yang buruk itu menarik hatimu, Maka bertakwalah kepada Allah Hai orang-orang berakal, agar kamu mendapat keberuntungan.” (QS Al Maidah [5]: 100)



BUKU SISWA

Kegunaan logika matematika untuk kalian pelajari, bukan hanya untuk sekedar mengetahui, namun logika matematika dapat membantu kita melakukan penalaran yang benar dan baik dalam kehidupan sehari-hari. Logika adalah metode berpikir dan bernalar untuk memperoleh suatu kesimpulan yang valid, atas izin Allah tentunya. Kalau kalian sudah bisa berpikir baik maka insya Allah perbuatan kita juga akan baik.

#Selamat Belajar#

KERANGKA ISI (EPITOME)


PERNYATAAN

INGKARAN SUATU PERNYATAAN

KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

BIIMPLIKASI

INGKARAN KONJUNGSI DAN DISJUNGSIINGKARAN IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI

LOGIKA MATEMATIKA MMMAMATMATEMATIKAMATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK

PERNYATAAN BERKUANTOR PENARIKAN KESIMPULAN

MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME

KUANTOR UNIVERSAL DAN INGKARANNYA

KUANTOR EKSISTENSIAL DAN INGKARANNYA

PERNYATAANDAN INGKARANNYA

EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI

: PERTEMUAN KE-1

: PERTEMUAN KE-2

: PERTEMUAN KE-3

: PERTEMUAN KE-4

: PERTEMUAN KE-5

: PERTEMUAN KE-6


BUKU SISWA

INDEKS WARNA:

PENDAHULUAN



BUKU SISWA

Pernahkah kalian menyatakan atau mengungkapkan sesuatu?Jika pernah kalimat yang bagaimanakah yang kalian gunakan?Setiap hari manusia berkomunikasi dengan orang-orang disekitarnya. Mereka menyampaikan pendapat atau pernyataan yang terkadang benar, dan terkadang salah, tetapi tidak mungkin benar sekaligus salah.Perhatikan kalimat-kalimat berikut:

1. Al Qur’an adalah kitab suci umat islam.2. Rumput melempari batu3. Tutup pintu itu!4. Pak Marsal adalah guru matematika MAN Pinrang.5. Dimanakah rumahmu?6. 6 lebih besar daripada 57. X + 6 = 7.

Dari kalimat-kalimat tersebut, diskusikan dengan teman sebangkumu.1. Kalimat manakah yang menerangkan sesuatu (deklaratif)? 2. Kalimat manakah yang menurut anda bernilai benar?3. Kalimat manakah yang menurut anda bernilai salah?4. Kalimat manakah yang tidak dapat ditentukan nilai benar atau

salahnya?Bagaimanakah hasil diskusi anda? Dapatkah anda membedakan kalimat yang dapat ditentukan nilai benar atau salahnya?

A. Pengertian Pernyataan dan bukan pernyataanUntuk memahami pengertian pernyataan, perhatikan contoh berikut!1. Matematika adalah salah satu mata pelajaran yang diajarkan di

SMA.2. Wah..!! bagus sekali baju yang engkau pakai.3. Berapa jumlah baju di dalam lemarimu?4. Jeruk mengandung vitamin C.5. Makanlah kue itu!.6. Indonesia memiliki pulau lebih dari 1000.

Dari beberapa contoh tersebut coba tentukan manakah yang bernilai benar, bernilai salah, bernilai kedua-duanya dan tidak bernilai kedua-duanya??. Yang termasuk pernyataan adalah 1, 4, dan 6. Sedangkan yang termasuk bukan pernyataan adalah 2, 3, dan 5. Maka dapat disimpulkan bahwa:



BUKU SISWA

B. Lambang dan nilai kebenaran suatu penyataanDalam matematika pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, seperti a, b, p dan q. perhatikan contoh berikut..!!1. Pernyataan “6 adalah bilangan genap”

Dapat ditulis dengan lambang “p: 6 adalah bilangan genap”2. Pernyataan “ibukota sulawesi barat adalah mamuju”

Dapat ditulis dengan lambang “q: ibukota sulawesi barat adalah mamuju”

Untuk menunjukkan bahwa suatu pernyataan bernilai benar atau bernilai salah dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a. Dasar empiris, yaitu berdasarkan fakta yang kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Contoh: “batu adalah benda cair”, merupakan pernyataan salah.

“mamuju adalah ibukota sulawesi barat”, merupakan pernyataan benar

b. Dasar tak empiris, yaitu berdasarkan bukti-bukti atau perhitungan dalam matematika. Contoh: “sudut siku-siku berderajat 90˚”, merupakan pernyataan benar.

“jika x =1, maka x – 5 = 6”, merupakan pernyataan salah.

C. Kalimat terbukaPerhatikan beberapa kalimat pada contoh berikut!Contoh:1. x – 1 = 52. y + 2 = 63. Dia adalah salah satu pemain barcelona.4. X > 3.Kalimat pada contoh diatas tidak dapat dinyatakan benar atau salah sebelum kita menentukan x, y, dan dia. Kalimat-kalimat tersebut disebut kalimat terbuka, sedang x, y dan dia adalah peubah atau variabel. Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Pernyataan adalah kalimat deklaratif yang hanya benar saja, atau

salah saja, dan tidak kedua-duanya, sedangkan bukan pernyataan

adalah kalimat yang tidak bernilai benar atau salah.


M A T E M A T I K A 604 6 7 5 Latihan 1

BUKU SISWA

Sekarang kita tinjau kembali kalimat terbuka “x + 1 = 5”, jika semesta pembicaraannya adalah himpunan bilangan asli (A), maka kita dapat

gantikan nilai-nilai x∈ A pada kalimat “x + 1 = 5”, sehingga kalimat

terbuka itu menjadi sebuah pernyataan. Nilai kebenaran dari pernyataan diperoleh tergantung pada nilai x yang menggantikan.Misalkan:a. Jika x = 6, maka diperoleh 6 + 1 = 5, merupakan pernyataan yang

salahb. Jika x = 4, maka diperoleh 4 + 1 = 5, merupakan pernyataan yang

benarNilai pengganti x = 4 yang mengubah kalimat terbuka “x + 1 = 5” menjadi pernyataan yang benar disebut penyelesaian, sedangkan himpunan anggota-anggotanya yang merupakan seluruh penyelesaian dari kalimat terbuka disebut himpunan penyelesaian.Dari uraian tersebut diatas maka dapat disimpulkan:

D. Kalimat tertutupKalimat tertutup adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus keduanya.Contoh:1. Nilai x yang memenuhi 2x + 5 = 3 adalah -12. Matematika adalah salah satu pelajaran di SMAKalimat diatas dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa kalimat tertutup adalah suatu pernyataan

Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung

peubah atau variabel, sehingga belum dapat ditentukan benar

atau salah.



Lakukan diskusi dengan teman sebangkumuDiberikan pernyataan p: saya siswa kelas X SMA. Jika anda bukan siswa kelas X SMA, maka bagaimana mengatakannya untuk menyangkal pernyataan p tersebut?

Diskusi

BUKU SISWA

Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.A. Ingkaran atau negasi

Jika diketahui sebuah pernyataan, kita dapat membentuk pernyataan baru dengan membubuhkan kata tidak benar bahwa …. Sebelum pernyataan itu atau menyisipkan kata tidak atau bukan pada penyataan itu. Pernyataan yang diperoleh dengan cara seperti itu disebut ingkaran atau negasi dari pernyataan semula.Jika p adalah sebuah pernyataan yang diketahui ingkaran dari p dapat ditulis dengan lambang.

p⇒ dibaca: tidak benar bahwa p atau bukan p



BUKU SISWA

Untuk menentukan nilai kebenaran dari ingkaran, perhatikan contoh berikut:a. P : 4 adalah bilangan ganjil (salah)

~p : tidak benar bahwa 4 adalah bilangan ganjil, atau~p : 4 adalah bukan bilangan ganjil (benar)

b. P : 5 – 3 = 2 (benar)~p : tidak benar bahwa 5 – 3 = 2, atau~p : 5 – 3 ≠ 2 (salah)

Jika p bernilai salah, maka ingkaran p bernilai benar, atau sebaliknya Jika p bernilai benar, maka ingkaran p bernilai salah.

Dari penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa

P ~PB …..S ……

Contoh soal :Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut!!a. P: 3 + 4 < 8b. Q: Semua presiden adalah laki-lakic. R : ada rumah yang terbuat dari kayud. S : tidak ada siswa perempuan yang bolosJawab:a. P: 3 + 4 < 8

~P : tidak benar bahwa 3 + 4 < 8⇒ ~P : 3 + 4 ≥ 8b. Q: Semua presiden adalah laki-laki

~Q : tidak benar Semua presiden adalah laki-laki⇒ ~Q : ada presiden bukan laki-lakic. R : ada rumah yang terbuat dari kayu

~R: tidak benar bahwa ada rumah yang terbuat dari kayu⇒ ~R: semua rumah tidak terbuat dari kayu

Jadi nilai kebenaran pada ingkaran sebuah pernyataan selalu

berlawanan dengan nilai kebenaran pernyataan semula



KONJUNGSI

LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK

PERNYATAAN BERKUANTORPENARIKAN KESIMPULAN

MODUS PONENSKUANTOR UNIVERSAL DAN INGKARANNYA


BUKU SISWA

d. S : tidak ada siswa perempuan yang bolos~S : tidak benar bahwa tidak ada siswa perempuan yang bolos⇒ ~S : ada siswa perempuan yang bolos

MATERI PERTEMUAN KE-2

Kerjakan soal-soal berikut ini pada buku tugasmuTentukan ingkaran dari tiap-tiap pernyataan berikut..!!

a. 5 adalah bilangan ganjilb. Tidak benar bahwa 32 = 25c. 15 habis dibagi 3

Latihan 2

RANGKUMAN DARI PERTEMUAN 1

……………………………………………………………………………………………………………………

…..

……………………………………………………………………………………………………………………

…..

……………………………………………………………………………………………………………………

…..

……………………………………………………………………………………………………………………

…..

……………………………………………………………………………………………………………………

…..

……………………………………………………………………………………………………………………

…..



BUKU SISWA

B. Pernyataan MajemukPerhatikan contoh berikut…!!!Contoh soal:a. 3 + 4 = 7 dan 7 adalah bilangan ganjil.b. Luas persegipanjang adalah panjang x lebar atau 2 + 5 = 7.Contoh a di atas terdiri dari 2 pernyataan yaitu “3 + 4 = 7” dan “7 adalah bilangan ganjil”. Kedua pernyataan itu dirangkai dengan menggunakan kata penghubung “dan”, sedangkan pada contoh b juga terdiri dari 2 pernyataan yaitu Luas persegipanjang adalah panjang x lebar” dan “2 + 5 = 7”. Kedua pernyataan itu dirangkai dengan menggunakan kata penghubung “atau”.

PERNYATAAN MAJEMUK: KONJUNGSI DISJUNGSI INGKARAN KONJUNGSI DAN DISJUNGSI



Lengkapi tabel kebenaran berikutTabel Kebenaran Konjungsi

Coba Selesaiakan

BUKU SISWA

Kedua pernyataan yang dirangkai dengan cara seperti itu disebut pernyataan majemuk. Jadi dapat disimpulkan bahwa:

Terdapat 4 bentuk pernyataan majemuk yang terbentuk dari dua pernyataan, yaitu konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi.

1. Konjungsi.Untuk memahami pengertian Konjungsi, perhatikan percakapan berikut..Pak Guru : Dewi..!! tolong ambilkan pensil dan penghapus!Dewi : Iya..pak!!! saya akan ambil..!!!Menurut anda, kalau dewi ternyata melakukan hal dibawah ini.

Keterangan Pernyataan1. Dewi membawa pensil dan penghapus.2. Dewi membawa pensil saja3. Dewi membawa penghapus saja4. Dewi tidak membawa apa-apa

………………*………………*………………*………………*

* Isi benar atau salah

Pernyataan majemuk di atas terdiri dari 2 pernyataan tunggal yang dihubungkan kata “dan”. Jadi

Lambang konjungsi dari pernyataan p dan q dinyatakan: p ˄ q (dibaca “p dan q). Oleh karena nilai kebenaran untuk sebuah konjungsi adalah: p ˄ q bernilai benar hanya bila p dan q keduanya benar.

Pernyataan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dari

beberapa pernyataan tunggal dengan menggunakan kata

penghubung.

Konjungsi adalah dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan

kata penghubung “dan”



BUKU SISWA

2. DisjungsiUntuk memahami pengertian disjungsi, perhatikan percakapan barikut..Pak Guru : Kerjakan..!! soal tersebut menggunakan pensil atau pulpen.Dewi : aku menggunakan pensil dan pulpen bergantianAgus : aku menggunakan pensil saja.Haje : aku menggunakan pulpen saja.Anto : aku menggunakan spidolDari percakapan di atas, menurut anda, siapa saja yang mematuhi perintah pak guru?Dari dua pernyataan p dan q dapat dibentuk pernyataan baru, dengan menggabungkan dua pernyataan dengan kata hubung “atau”.

Lambang disjungsi dari pernyataan p atau q dinyatakan: p v q (dibaca “p atau q”). Perhatikan kembali percakapan di atas.!Siswa yang mematuhi perintah guru, dapat dikatakan dikatakan benar, sedang yang tidak mematuhi perintah dikatakan salah.

Disjungsi adalah dua buah pernyataan yang dihubungkan dengan

kata penghubung “atau”



Lengkapi tabel kebenaran berikut

Tabel Kebenaran Disjungsi

AYO SIAPA BISA?

BUKU SISWA

Oleh karena nilai kebenaran untuk sebuah disjungsi adalah: p v q bernilai salah bila p dan q keduanya salah

3. Ingkaran DisjungsiMasih ingat..!! perintah pak guru yang di atas!!!Pak guru : Kerjakan..!! soal tersebut menggunakan pensil atau pulpen.Ingkaranya adalah jangan mengerjakan soal tersebut menggunakan pensil atau pulpen.Dari ucapan pak guru diatas “jangan mengerjakan soal tersebut menggunakan pensil atau pulpen” diperoleh suatu pernyataan “siswa tidak boleh mengerjakan soal menggunakan pensil dan pulpen”Seorang siswa dikatakan benar (mematuhi perintah pak guru) jika dia mengerjakan soal tidak menggunakan pensil dan tidak menggunakan pulpen.

Siswa Keterangan1. Haje.2. Anto.3. Dewi4. Agus

………………*………………*………………*………………*



Salin dan Lengkapi tabel kebenaran berikut

Coba Selesaikan

Bersama teman kelompokmu, buatlah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “dan” kemudian buatlah ingkarannya.Sampaikan hasil diskusi anda di depan kelas.

Coba Selesaikan

BUKU SISWA

Sekarang coba anda pahami pernyataan diatas, jika menggunakan lambang.P : siswa mengerjakan soal dengan menggunakan pensilQ : siswa mengerjakan soal dengan menggunakan pulpen.Pernyataan pak guru : ~( p v q)Siswa benar jika mengerjakan soal tidak menggunakan pensil dan tidak menggunakan pulpen,yaitu : ~p ˄ ~qDapatkah disimpulkan ~( p v q) sama artinya dengan ~p ˄ ~q?Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!

4. Ingkaran Konjungsi

Kesimpulan



Salin dan Lengkapi tabel kebenaran berikut

Coba Selesaikan

Kesimpulan

BUKU SISWA

Ingkaran dari konjungsi p ˄ q atau ~( p ˄ q), dapat ditentukan dengan menggunakan table kebenaran

RANGKUMAN DARI PERTEMUAN 2………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..



PERNYATAAN


KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

BIIMPLIKASI


LOGIKA MATEMATIKA MMMAMATMATEMATIKAMATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK


MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME




EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI

BUKU SISWA

MATERI PADA PERTEMUAN KE-3

PERNYATAAN MAJEMUK: IMPLIKASI BIIMPLIKASI INGKARAN IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI



BUKU SISWA

Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisia. ImplikasiUntuk memahami pengertian implikasi, perhatikan contoh barikut..“Jika hari ini hujan lebat maka saya pergi ke sekolah memakai payung”Pernyataan majemuk di atas terdiri dari 2 pernyataan tunggal yaitu p: “hari ini hujan lebat” dan q: “saya pergi ke sekolah memakai payung”. Jadi

Lambang implikasi dari pernyataan p dan q dinyatakan: p ⇒ q (dibaca “jika p maka q”). Implikasi p ⇒ q dapat dibaca sebagai:

1. Jika p maka q2. Q jika p3. P berimplikasi q4. P syarat cukup bagi q5. Q syarat perlu bagi p

1. Nilai Kebenaran ImplikasiPerhatikan pernyataan berikut.!“jika kamu mengikuti rute pendakian dengan benar maka kamu pasti sampai di puncak gunung”Apabila ternyata :

Keterangan Pernyataan1. Kamu mengikuti rute dengan benar dan

kamu sampai di puncask.2. Kamu mengikuti rute dengan benar dan

kamu tidak sampai di puncak.3. Kamu tidak mengikuti rute dengan benar

dan kamu sampai di puncak.4. Kamu tidak mengikuti rute dengan benar

dan kamu tidak sampai di puncak.

………………*

………………*

………………*

………………*

* Isi benar atau salah

Implikasi adalah dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk “jika p

maka q”



BUKU SISWA

Oleh karena nilai kebenaran untuk sebuah implikasi adalah: p ⇒ q bernilai salah bila p benar dan q salah, maka diperoleh nilai kebenaran.Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!

Salin dan Lengkapi

Tabel Kebenaran Implikasi

P Q p ⇒ q

B B …….

B S …….

S B …….

S S …….

2. Implikasi LogisSuatu implikasi yang selalu bernilai benar disebut implikasi logis. Implikasi p ⇒ q bukan implikasi logis, karena untuk p benar dan q salah mengakibatkan p ⇒ q salah (tidak selalu benar). Jadi tidak semua implikasi berupa implikasi logis. Lengkapilah tabel contoh implikasi logis berikut.Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan Lengkapi

p Q ~p ~q (p ˄ q) ( p ˄ q) ⇒ p

B B ….. ….. ……. …….

B S ….. ….. ……. …….

S B ….. ….. ……. …….

S S ….. ….. ……. …….

Kesimpulan

Kesimpulan



BUKU SISWA

3. BiimplikasiUntuk memahami pengertian biimplikasi, perhatikan contoh barikut..“siswa akan dapat mengikuti ujian jika dan hanya jika ia tidak pernah absen”Pernyataan majemuk di atas terdiri dari 2 pernyataan tunggal yaitu p: “karyawan akan dapat bonus” dan q: “ia tidak pernah absen”. Jadi

Lambang biimplikasi dari pernyataan p dan q dinyatakan: p ⇔ q dapat dibaca:1. “p jika dan hanya jika q”2. “jika p maka q dan jika q maka p”

Biimplikasi adalah dua buah pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika

dan hanya jika q”

1. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap komponennya disebut Tautologi

p ~p p v ~p

BS

SB

BB

2. Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah untuk setiap komponennya disebut Kontradiksi

p ~p p ˄ ~p

BS

SB

SS

Info



BUKU SISWA

3. “p syarat perlu dan cukup untuk q”Sebagai konsekuensi dari “jika p maka q dan jika q maka p” atau disimbolkan (p⇒q)˄(q⇒p) sama dengan (p⇔q).

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan Lengkapi

Tabel Kebenaran BiImplikasi

p q p ⇒ q q ⇒ p (p ⇒ q)˄( q ⇒ p)

B B ……. ……. …….

B S ……. ……. …….

S B ……. ……. …….

S S ……. ……. …….

b. Ingkaran dari suatu ImplikasiPerhatikan percakapan dewi dan haje berikut!Dewi : Je.!! Kapan kita kerjakan tugas sekolah tadi?.Haje : kita kerjakan nanti sore,ya..!! jika nanti sore cerah maka aku akan kerumahmu.

1. Catatlah konsep-konsep yang telah anda pelajari dari materi diatas

2. Urutkanlah mulai dari konsep yang paling umum ke konsep yang paling khusus.

3. Buatlah peta konsep dari konsep-konsep yang anda catat dan urutkan

Coba Selesaikan

Kesimpulan



BUKU SISWA

Ternyata sore harinya cerah, tetapi tidak datang ke rumah dewi. Dapatkah dikatakan bahwa dewi telah mengingkari janjinya?Mari mempelajari lebih lanjut tentang logika matematika.Janji : jika sore hari cerah, maka Dewi akan datang ke rumahnya Haje.Misalkan p: sore hari cerah

Q: Dewi ke rumah Haje.Kejadian : Sore hari cerah dan dewi tidak kerumah Haje.

(p ᴧ~q) Benarkah (p ᴧ~q) merupakan ingkaran dari (p⇒q)

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan Lengkapi


p q ~q p ⇒ q ~(p ⇒ q) p ˄ ~q

B B ……. ……. ……. …….

B S ……. ……. ……. …….

S B ……. ……. ……. …….

S S ……. ……. ……. …….

c. Konvers, Invers, dan KontraposisiDari implikasi p ⇒ q dapat dibentuk implikasi baru yaitu:

a. q ⇒ p disebut konvers dari p ⇒ qb. ~p ⇒ ~q disebut invers dari p ⇒ qc. ~q ⇒ ~p disebut kontraposisi dari p ⇒ q

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan LengkapiPernyataan : “Jika Dewi rajin belajar maka nilai Dewi baik

Kesimpulan



Kesimpulan

p ⇒ q …………Konvers

invers Kontraposisi

BUKU SISWA

P : Dewi rajin Belajar.Q : Nilai Dewi baik.~p : …………………………~q : …………………………Konvers : q ⇒ p

: Jika Nilai Dewi baik maka …………….Invers : ~p ⇒ ~q

: Jika ……………maka ……………..Kontraposisi : ~q ⇒ ~ p

: Jika …………… maka …………….


p q ~p ~q p ⇒ q q ⇒ p ~p ⇒ ~q ~q ⇒ ~p

B B ……. ……. ……. ……. ……. …….

B S ……. ……. ……. ……. ……. …….

S B ……. ……. ……. ……. ……. …….

S S ……. ……. ……. ……. ……. …….

Hubungan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi dapat digambarkan sebagai berikut:

Salin dan Lengkapi



BUKU SISWA

RANGKUMAN DARI PERTEMUAN 3

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………..



PERNYATAAN


KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

BIIMPLIKASI


LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK


MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME




EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI

BUKU SISWA

MATERI PEMBAHASAN PADA PERTEMUAN KE-4

PERNYATAAN BERKUANTORPerhatikan pernyataan dari anto dan agus berikut!Anto : Semua siswa kelas XA senang berolahragaAgus : Beberapa siswa kelas XB senang berolahragaPerhatikan!

PERNYATAAN BERKUANTOR





BUKU SISWA

(i) Anto mengatakan “semua siswa kelas XA senang berolahraga”.Ini berarti tidak ada siswa kelas XA yang tidak senang berolahraga atau setiap siswa kelasXA senang berolahragaPernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal atau berkuantor umum

(ii) Agus mengatakan “Beberapa siswa kelas XB senang berolahraga”.Ini berarti ada siswa kelas XA yang senang berolahraga dan ada siswa kelas XA yang tidak senang berolahraga atau Tidak semua siswa kelas XB senang berolahragaPernyataan yang menggunakan kata Beberapa atau ada …. Yang … disebut pernyataan berkuantor eksistensial atau berkuantor khusus.

1. Kuantor UniversalCoba perhatikan kembali pernyataan berkuantor universal “semua siswa kelas XA senang berolahraga”Jika P = himpunan semua siswa kelas XA Q = himpunan semua siswa kelas X yang senang berolahraga S = himpunan semua siswa kelas X

Maka P⊂Q dan pernyataan berkuantor universal “semua siswa kelas XA

senang berolahraga” dapat digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut.



S

QP

S

QP

BUKU SISWA

Secara umum, P⊂Q berarti semua

anggota P merupakan anggota Q,

atau jika x∈ P maka x∈Q, yang

ditulis dengan lambang

( x∈ P )→ ( x∈ P ).

Atau ∀ x∈P , x∈Q

Misalnya : “semua bilangan asli adalah bilangan cacah” equivalen dengan implikasi: “jika n bilangan asli maka n bilangan cacah”Kalimat terbuka p(x) dapat menjadi suatu pernyataan jika dituliskan kuantor universal di depan kalimat terbuka tersebut.

Pernyataan itu adalah ∀ x , p(x ) yang dibaca “untuk setiap x, berlaku p(x)”

2. Kuantor EksistensialCoba perhatikan kembali pernyataan berkuantor eksistensial “beberapa siswa kelas XB senang berolahraga”Jika P = himpunan semua siswa kelas XB Q = himpunan semua siswa kelas X yang senang berolahraga S = himpunan semua siswa kelas XMaka pernyataan berkuantor eksistensial “beberapa siswa kelas XB senang

berolahraga” dapat digambarkan dengan diagram venn sebagai berikut.

Tampak pada diagram venn

P ∩Q={}Jadi, ada x anggota P (sekurang-kurangnya satu anggota) yang

menjadi anggota Q.Atau dapat dikatakan “beberapa anggota P merupakan anggota Q” yang

ditulis dengan lambang ∃ x (x∈P dan x∈Q)

Pernyataan berkuantor universal dapat dinyatakan dengan “semua P

adalah Q” atau “Setiap P adalah Q” equivalen dengan “jika x∈ P

maka ”



BUKU SISWA

Misalnya pernyataan: “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” equivalen dengan pernyataan: “Ada bilangan prima yang genap”Kalimat terbuka p(x) dapat menjadi suatu pernyataan jika dituliskan kuantor eksistensial di depan kalimat terbuka tersebut.

Pernyataan itu adalah ∃ x , p (x) yang dibaca “ada x, sehingga berlaku p(x)”

3. Ingkaran pernyataan Berkuantor

Bagaimana hasil Coba Selesaikanmu? Sudah dapat membuat ingkaran dari pernyataan berkuantor? Lengkapilah isian berikut untuk lebih memahaminya.Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!

Salin dan Lengkapia. Ingkaran Pernyataan Berkuantor Universal

1. P : Semua siswa SMA gemar matemtika~P: Tidak semua ………………….

: Beberapa siswa SMA tidak ………………: Ada ……. Yang ……..

Pernyataan berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dengan

“Beberapa P adalah Q” atau “Ada P yang Q” equivalen dengan

“sekuran-kurangnya ada satu anggota P yang menjadi anggota Q”

Masih ingat pernyataan Anto dengan Agus di depan?Anto : Semua siswa kelas XA senang berolahragaAgus : Beberapa siswa kelas XB senang berolahragaDiskusikan dengan teman kelompokmu untuk membuat ingkaran dari pernyataan Anto dan Agus, kemudian bacakan hasil Coba Selesaikan di depan kelas

Coba Selesaikan



BUKU SISWA

2. P : Setiap P adalah Q~P: ……… setiap P adalah Q

: Beberapa P adalah …… Q: Ada P yang ……..

3. Pernyataan : ∀ x∈R , x2≥ 0Ingkarannya : ∃ x∈R ,………

: Beberapa P adalah …… Q: Ada P yang ……..

4. P : ∀ x , p(x )~P: (∀ x , p ( x ))

: ∃ x , p (x)b. Ingkaran Pernyataan Berkuantor Universal

1. P : Beberapa bilangan asli habis dibagi 2~P: semua bilangan asli bukan …….

2. P : Ada bilangan prima yang genap~P: tidak benar bahwa ada ………

: Semua …… tidak ……

3. Pernyataan : ∃ x , log x=2Ingkarannya : ∀ x ,………

4. P : ∃ x , p (x)~P: (∃ x , p ( x ))

: ∀ x , p(x )Jadi ingkaran dari pernyataan berkuantor :

(∀ x , p ( x ) )≡∃ x , p(x )

(∃ x , p ( x ) )≡∀ x , p(x )

Kesimpulan



PERNYATAAN


KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

BIIMPLIKASI


LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK


MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME




EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI

BUKU SISWA


RANGKUMAN DARI PERTEMUAN 4………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………..



Coba Kerjakan…!

BUKU SISWA

EKUIVALENCobalah isi tabel berikut.

Bagaimanakah kesimpulanmu?

Apakah nilai kebenaran sama dengan nilai kebenaran dari

?

EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI



BUKU SISWA

Nah sekarang, kalau kalian menemukan suatu pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran yang sama, maka pernyataan tersebut ekuivalen.

Ekuivalen disimbolkan dengan ( ) atau biasa juga dengan menggunakan

tanda biimplikasi ( ).Coba perhatikan kalimat berikut:Jika saya sakit, maka saya pergi ke rumah sakit.Jika saya tidak ke rumah sakit berarti saya tidak sakit.Pernyataan tersebut setara atau ekuivalen.Cobalah buat pernyataan yang setara atau ekuivalen dengan pernyataan berikut:

Tautologi dan kontradiksi.Cobalah selidiki pernyataan berikut:Jenis kelamin manusia cuma dua, laki-laki atau perempuan.Jika dipikirkan, maka bagaimanapun kondisinya pernyataan tersebut selalu benar, mengapa demikian? Karena kalau bukan laki-laki pasti perempuan, kalau bukan perempuan pasti laki-laki. Nah sekarang cobalah isi table berikut:

p q ( )BBSS

BSBS

.....…..…..…..

…..…..…..…..

…..…..…..…..

Bagaimanakah nilai kebenaran pada kolom ke-5.Suatu pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar untuk setiap komponennya disebut tautologi sedangkan suatu pernyataan yang selalu bernilai salah untuk setiap komponennya disebut kontradiksi.

1. Saya tidak ke sekolah atau ke masjid.

2. Ani bukan orang yang rajin dan Yuli bukan orang yang pandai.

3. Tidak semua manusia makan nasi.



BUKU SISWA

Contoh kontradiksi:

BS

SB

SS

Contoh pernyataan: Arman adalah laki-laki dan bukan laki-laki.Cobalah isi table kebenaran berikut.

BBSS

BSBS

…..…..…..…..

…..…..…..…..

Kesimpulan Pertemuan ke-5

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..

……………………………………………………………..



PERNYATAAN


KONJUNGSI

DISJUNGSI

IMPLIKASI

BIIMPLIKASI


LOGIKA MATEMATIKA

PERNYATAANMAJEMUK


MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

SILOGISME




EKUIVALENSI

TAUTOLOGI

KONTRADIKSI

BUKU SISWA




BUKU SISWA

Penarikan Kesimpulan

Salah satu tujuan mempelajari logika matematika yaitu untuk memperoleh pengetahuan guna menguji argumentasi atau penarikan kesimpulan. Dalam pembahasan ini yang dimaksud dengan argumentasi adalah suatu penegasan bahwa dari beberapa pernyataan yang benar yang diketahui (disebut premis), melalui langkah-langkah logis dapat diturunkan suatu pernyataan yang benar (disebut kesimpulan atau konklusi). Suatu kesimpulan dikatakan berlaku atau sah jika dan hanya jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi konklusi, yaitu jika semua premisnya benar maka konklusinya benar.

Pernahkah anda berkendaraan di jalan raya?Jika lampu merah menyala maka kendaraan-kendaraan berhenti1. Lampu merah menyala.

Benarkah kesimpulan “kendaraan-kendaraan berhenti”?2. Kendaraan-kendaraan berhenti.

Benarkah kesimpulan “lampu merah sedang menyala”?

Coba Selesaikan

PENARIKAN KESIMPULAN

Modus Ponnens

Modus Tollens

Sillogisme



BUKU SISWA

Selanjutnya akan dipelajari aturan dasar penarikan kesimpulan dalam logika matematika.1. Modus Ponens

Pernahkah kalian melakukan suatu penarikan kesimpulan dalam kehidupan sehari-hari?Cobalah temukan kesimpulan dari pernyataan berikut.- Sehari sebelum pengumuman Ujian Nasional Andi berkata bahwa

jika ia lulus ujian maka dia bernazar puasa selama 3 hari.- Keesokan harinya ternyata Andi lulus Ujian Nasional.Apa kesimpulanmu?

Aturan dasar penarikan kesimpulan modus ponens menyatakan bahwa:

Silogisme dapat disajikan sebagai berikut.

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan Lengkapia. Jelaskan dengan menggunakan tabel kebenaran bahwa penarikan

kesimpulan modus ponens sah (berlaku)

Tabel Kebenaran Implikasi

P Q p ⇒ q

B B …….

B S …….

S B …….

Jika p → q bernilai benar dan p benar maka q juga

bernilai benar

p → q … Premis 1

p … Premis 2

∴q … Konklusi



BUKU SISWA

S S …….

1. Pada baris manakah dijumpai p ⇒ q dan sekaligus p benar?2. Apakah q pada baris tersebut juga benar?3. Kesimpulan apa yang anda peroleh?

b. Buktikan bahwa penarikan kesimpulan modus ponens dengan menunjukkan bahwa: [(p ⇒ q) ˄ p] ⇒ q merupakan tautologi

P Q p ⇒ q(p ⇒ q) ˄

p[(p ⇒ q) ˄ p] ⇒ q

B B ……. ……. …….

B S ……. ……. …….

S B ……. ……. …….

S S ……. ……. …….

2. Modus TollensSebelum mempelajari modus tollens, perhatikan pernyataan berikut.Pak Marsal berkata jika besok saya ada rapat maka saya akan memberikan tugas sebagai pengganti pertemuan.Keesokan harinya ternyata pak Marsal tidak memberi tugas dan tetap masuk ke kelas.Apa kesimpulanmu?

Aturan dasar penarikan kesimpulan modus tollens menyatakan bahwa:

Modus Tollens dapat disajikan sebagai berikut.

Jika p → q bernilai benar dan ~q benar maka ~p juga bernilai

benar


q … Premis 2

∴ p … Konklusi



BUKU SISWA

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!Salin dan Lengkapia. Jelaskan dengan menggunakan tabel kebenaran bahwa penarikan

kesimpulan modus tollens sah (berlaku)Tabel Kebenaran Implikasi

P Q ~P ~Q p ⇒ q

B B ……. ……. …….

B S ……. ……. …….

S B ……. ……. …….

S S ……. ……. …….

1. Pada baris manakah dijumpai p ⇒ q dan sekaligus ~q benar?2. Apakah ~p pada baris tersebut juga benar?3. Kesimpulan apa yang anda peroleh?

b. Buktikan bahwa penarikan kesimpulan modus ponens dengan menunjukkan bahwa: [(p ⇒ q) ˄ ~q] ⇒ ~p merupakan tautologi

p q ~p ~q p ⇒ q (p ⇒ q) ˄ ~q [(p ⇒ q) ˄ ~q] ⇒ ~p

B B ……. ……. ……. ……. …….

B S ……. ……. ……. ……. …….

S B ……. ……. ……. ……. …….

S S ……. ……. ……. ……. …….

SilogismePerhatikan pernyataan berikut:Jika kamu rajin belajar, maka kamu akan lulus ujian.Jika kamu lulus ujian, maka orangtua kamu pasti senang.Cobalah renungkan kalimat di atas.



BUKU SISWA

Menurut kamu, kira-kira apa kesimpulan dari pernyataan tersebut?

Aturan dasar penarikan kesimpulan yang disebut silogisme menyatakan bahwa:

Silogisme dapat disajikan sebagai berikut.

Coba anda jawab dengan melakukan kegiatan berikut.!!

Salin dan LengkapiTabel Kebenaran BiImplikasi

p q r p ⇒ q q ⇒ r p ⇒ r

B B B B ……. …….

B B S ……. S …….

B S B ……. ……. B

B S S S ……. …….

S B B ……. B …….

S B S ……. ……. B

S S B B ……. …….

S S S ……. B …….

1. Pada baris manakah dijumpai p ⇒ q dan sekaligus q ⇒ r benar?2. Apakah p ⇒ r pada baris tersebut juga benar?3. Kesimpulan apa yang anda peroleh?

Jika p → q dan q → r keduanya bernilai benar maka p →r juga

bernilai benar


q → r … Premis 2

∴ p → r … Konklusi

Kesimpulan



BUKU SISWA

SALIN DAN LENGKAPI

Pernyataan adalah………………………………………………………………………………Ingkaran pernyataan adalah:…….…………………………………………………………Suatu konjungsi benar jika: ………………………..……………………………………….Suatu Disjungsi bernilai salah apabila………….………………………..………………Suatu implikasi bernilai benar jika………………………………………………………..Suatu Biimplikasi bernilai benar jika…………………………..…………………………Konvers dari p maka q adalah………………………………………………………………Invers dari q maka p adalah…………………………..……………………………………Kontraposisi dari q maka p adalah:…………………………………………………………Tautologi adalah:........................................................................................Kontradiksi Adalah:....................................................................................Pernyataan yang ekuivalen adalah:………………………………………………………Kuantor Universal adalah:........................................................................Kuantor Eksistensial adalah:…..……………………………………………………………Tuliskan aturan modus ponens:………………………………………………………………………………………………………………Tuliaskan aturan modus tollens:………………………………………………………………………………………………………………Tuliskan aturan silogisme:………………………………………………………………………………………………………………



BUKU SISWA

”Memang benar bahwa kita akan tahu betapa berartinya sesuatu jika kita kehilangannya, tapi ingatlah juga bahawa kita takkan tahu betapa berartinya sesuatu sebelum kita mendapatkannya”-Dengan memahami logika matematika diharapkan kalian bisa mengetahui apa artinya bagi kalian dan bagaimana menggunakannya kelak-

Pernyataan adalah………………………………………………………………………………Ingkaran pernyataan adalah:…….…………………………………………………………Suatu konjungsi benar jika: ………………………..……………………………………….Suatu Disjungsi bernilai salah apabila………….………………………..………………Suatu implikasi bernilai benar jika………………………………………………………..Suatu Biimplikasi bernilai benar jika…………………………..…………………………Konvers dari p maka q adalah………………………………………………………………Invers dari q maka p adalah…………………………..……………………………………Kontraposisi dari q maka p adalah:…………………………………………………………Tautologi adalah:........................................................................................Kontradiksi Adalah:....................................................................................Pernyataan yang ekuivalen adalah:………………………………………………………Kuantor Universal adalah:........................................................................Kuantor Eksistensial adalah:…..……………………………………………………………Tuliskan aturan modus ponens:………………………………………………………………………………………………………………Tuliaskan aturan modus tollens:………………………………………………………………………………………………………………Tuliskan aturan silogisme:………………………………………………………………………………………………………………

bahan ajar logika matematika SMA

Documents

Transcript of bahan ajar logika matematika SMA