TUGAS MANDIRI

MATEMATIKA DASAR

Meringkas

Nama : Astuanna SigalinggingNPM : 130910195Kode Kelas : 131-MN004-M8Mata Kuliah : Matematika DasarDosen :

FAKULTAS EKONOMIUNIVERSITAS PUTRA BATAM

2013

i

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan YME, bahwasanya

makalah yang berjudul “Meringkas Matematika Dasar” telah selesai

sebagaimana mestinya, guna memenuhi salah satu tugas mandiri mata kuliah

Matematika, Semeter I Jurusan Manajemen Bisnis di lingkungan Universitas

Putra Batam (UPB).

Dalam penyusunan makalah ini tentu penulis mendapatkan kesulitan-

kesulitan. Namun berkat bantuan dari berbagai pihak baik moril maupun materil,

sehingga kesulitan-kesulitan tersebut dapat teratasi.

Maka dari itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada berbagai

pihak yang telah memberikan dukungan baik moril maupun materil kepada

penulis.

Penulis menyadari bahwa makalah ini masih banyak kekurangan, sehingga

demi kesempurnaannya penulis menerima kritik dan saran yang sifatnya

membangun. Namun besar harapan penulis agar makalah ini dapat bermanfaat

khususnya bagi penulis dan bagi pembaca pada umumnya.

Batam, Desember 2013

Astuanna Sigalingging

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................................... ii

DAFTAR ISI................................................................................................... iii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang...................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah................................................................................. 1

C. Tujuan................................................................................................... 2

BAB II PEMBAHASAN

A. Fungsi Real........................................................................................... 3

B. Turunan dan Penggunaan...................................................................... 4

C. Integral dan Penggunaan....................................................................... 5

D. Fungsi transeden................................................................................... 6

E. Teknik Pengintegralan.......................................................................... 12

F. Barisan dan Deret.................................................................................. 14

G. Persamaan Diferensial Biasa.................................................................

H. Kalkulus Fungsi Vektor........................................................................

I. Fungsi Peubah banyak..........................................................................

J. Integral Rangkap...................................................................................

K. Kalkulus Integral Vektor.......................................................................

BAB III KESIMPULAN

A. Kesimpulan........................................................................................... 20

B. Saran..................................................................................................... 20

DAFTAR PUSTAKA...................................................................................... 21

iii

BAB IPENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan

interkasinya dalam bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan

teknologi.Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmudan

peralatan yang digunakan.Ilmu matematika sekarang ini masih banyak

digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industry, asuransi, ekonomi,

pertanian, dan dibanyak bidang social maupun teknik.Mengingat peranan

matematika yang semakin besar dalam tahun-tahun mendatang, tentunya

banyak sarjana matematikayang sangat dibutuhkan yang sangat terapil, andal,

kompeten dan berwawasan luas, baik didalam displin ilmunya sendiri

maupun dalam displin ilmu lainnya yang saling menunjang.

Kata metematika berasal dari “mathema” dalam bahasa yunani yang

diartikan sebagai, “sain, ilmu pengetahuan atau belajar.”Displin utama dalam

matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdanganngan,

pengukuran tanah, dan memprediksi peristiwa dalam astronomi.Ketiga

kebutuhan inisecara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang

matematika yaitu studi tentang struktur, ruang dan perubahan.Pelajaran

tentang strukturyang sangat umum dimulai dalambilangan natural dan

bilangan bulat, serta operasi aritmatikanya, yang semuanya dijabarkan dalam

aljabar dasar.Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajarai dalam teori

bilangan.Ilmu tentang ruang berawal dari geometri.Dan pengertian dari

perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu hal yang biasa

dalam ilmu alam dan kalkulus.

Dalam perdaganagan sangat erat berkaitan dengan matematika karena

dalam perdangan pasti akanada perhitungan, dimana perhitungan

tersebutbagian dari matematika. Secara tidak sadar ternayta semua orang

menggunakan matematika dalam kehidupan sehari-hari, seperti jika ada orang

yang sedang membangun rumah maka pasti orang tersebut akan

1

mengukurdalam menyelesaiakan pekerjaan itu.oleh karenaitu, matematika

sangat bermanfaat sekali dalam kehidupan sehari-hari

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang masalah diatas, rumusan masalah makalah

ini adalah :

1. Apa saja materi yang perlu dikuasai mahasiswa dalam matematika dasar?

2. Bagaimana konsep-konsep dasar dari matematika dasar?

C. Tujuan

Tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui :

1. Materi yang perlu dikuasai mahasiswa dalam matematika dasar

2. Konsep-konsep dasar dalam matematika dasar

2

BAB IIPEMBAHASAN

A. Fungsi Real

1. Sistem Bilangan Real

Bilangan real memainkan persnan yang sangat penting dalam kalkulus.

Oleh karena itu, pertama kali akan diberikan beberapa fakta dan

terminologi dari bilangan real. Sifat-sifat yang dimiliki bilangan real

adalah sifat trikotomi, yaitu bilangan ral a dan b, maka hanya akan

berlaku salah satyu dari tiga sifat berikut ini :

a. a = b atau

b. a < b atau

c. a > b

Definisi : Sistem bilangan R adalah suatu sistem aljabar yang

terhadap operasi jumlahan (+) & operasi perkalian (o) mempunyai sifat-

sifat sebagai berikut:

1. (R, +) Grup komutatif, yaitu:

2. (R-{0}, o) Grup Komutatif, yaitu

3

3. (R, +) distributive

Selanjutnya anggota R disebut bilangan Real / bilangan nyata.

B. Turunan dan Penggunaan

1. Maksimum dan Minimum

Definisi 4.1.1. (nilai maksimum dan minimum)

Misalkan S daerah asal f dan S memuat titik c, kita katakan bahwa :

1. f (c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) > f (x), untuk setiap x S.

2. f (c) adalah nilai minimum f pada S jika f (c) < f (x), untuk setiap x S.

4

3. f (c) adalah nilai ekstrim f pada S jika f (c) adalah nilai maksimum atau

nilai minimum.

4. Tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum, fungsi

yang tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat mempunyai

maksimum atau minimum dengan membatasi daerah asalnya.

1. Teorema 4.1. (eksistensi ekstrim)

Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum

dan minimum.Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan

minimumkan akan mempunyai suatu interval I sebagai daerah aslnya.

Beberapa dari interval ini mempunyai titik ujung. Jika sebuah titik dimana

f ’(c) = 0, maka c disebut titik stasioner. Jika c adalah titik dalam dari I

dimana f ’(c) tidak ada, maka c disebut titik singular. Sebarang titik dalam

daerah asal f yang termasuk salah satu dari ketiga titik yang dikemukakan

diatas disebut tittik kritis dari f.

Definisi 4.1.2. (titik kritis)

Misalkan fungsi f kontinu pada interval terbuka I yang memuat c, titik (c, f

(c)) dinamakan titik kritis dari f jika f ’(c) = 0 atau f ’(c) tidak ada.

Catatan : titik kritis tidak selalu merupakan tittik ekstrim.

Teorema 4.1.2. (titik kritis terhadap nilai ekstrim)

Misalkan f punya tururnan pada interval I yang memuat titik c . Jika f (c)

adalah nilai ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu c berupa salah

satu dari :

1. Titik ujung dari I

2. Titik stasioner dari f atau titik c dimana f ’(c) = 0.

3. Titik singular dari f atau titik c dimana f ’(c) tidak ada.

2. Uji Turunan Pertama.

Definisi 4.2. (kemonotonan)

5

Misalkan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun),

kita katakan bahwa :

1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

dimana x1< x2, maka f (x1) < f (x2).

2. f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x1 dan x2 dalam I

dimana x1< x2, maka f (x1) > f (x2).

3. f monoton pada I jika ia naik atau turun pada I.

Teorema 4.2. (uji turunan pertama untuk kemonotonan)

Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I,

1. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x I, maka f naik pada I.

2. Jika f ’(x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I.

3. Uji Turunan Kedua

Definisi 4.3.1.

Misalkan f (x) punya turunan pada interval terbuka, I = (a, b), jika f ’(x)

naik pada I maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f ’(x)

turun pada I maka f dan grafiknya cekung kebawah pada I.

Teorema 4.3. (uji turunan kedua untuk kecekungan)

Misalkan f terdiferensialkan dua kali (punya turunan kedua) pada interval

terbuka I = (a, b), oleh karenanya :

1. Jika f ’’(x) > 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke atas

pada I

2. Jika f ’’(x) < 0 untuk semua x I, maka grafik f (x) cekung ke bawah

pada I

Definisi 4.3.2. (titik belok / titik balik)

Andaikan fungsi f (x) kontinu di titik c, kita sebut (c, f(c)) suatu titik balik

dari grafik fungsi f (x) jika f (x) cekung keatas pada suatu sisi dan cekung

ke bawah pada sisi lainnya dari titik c.

6

)(xfy )(yfx

ax bx

dy

cy

Y

X

X

Y

RR

Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik x

dimana f ’’(x) = 0 dan dimana f ’’(x) tidak ada, kemudian kita periksa

apakah ianya benar-benar merupakan titik balik.

C. Integral dan Penggunaan

1. Luas Suatu Luasan

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY

dengan persamaan y=f ( x ) atau x=g( y ) atau y=f ( x ) , x=g( y )yang

berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu

koordinat.Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan

positip dan luasan negatip.Luasan positip adalah luasan dengan

persamaan y=f ( x ) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas

sumbu X atau luasan dengan persamaan x=g( y ) dan sumbu-sumbu

koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu Y . Berikut ini gambar

luasan positip yang dimaksud.

7

Y

R

)(xfy

Xax bx

Gambar 4.1

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan y=f ( x ) dan

sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu X atau luasan

dengan persamaan x=g( y ) dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak

disebelah kiri sumbu Y . Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas,

pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga

berupa dua kurva sekaligus, misalnya y2=f (x )dan y2=g( x ) .

Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan

menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.

a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

Gambar 4.3

8

R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi

oleh kurva-kurva y=f ( x ) , x=a , x=b. Dengan menggunakan integral

tertentu luas luasan R dinyatakan dengan

A( R )=∫a

b

f ( x )dx

Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas

bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka

nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif

dinyatakan dalam bentuk

A( R )=∫a

b

−f ( x ) dx=|∫a

b

f ( x )dx|

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti

langkah-langkah sebagai berikut :

a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas

batas-batasnya dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu X atau sumbu Y , selanjutnya

bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor

pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan

menggunakan luas persegi panjang

d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar

masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang

menrupakan luas luasan.

b. Daerah antara dua kurva

Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah y=f ( x )

dan y=g (x ) denganf ( x )≥g( x )pada selang [ a , b ] . Sepertihalnya luasan

9

X

Y

ax bx

)(xgy

)(xfy

)()( xgxf

x

yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat

berupa luasan positip dan luasan negatip. Dengan demikian aturan

menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu

kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva.

Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.

Gambar 4.9

ΔA≈ ( f ( x )−g( x )) Δx

Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:

A( R )=∫a

b

( f ( x )−g ( x ))dx

Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya

disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva

dinyatakan dengan

A( R )=∫c

d

( f ( y )−g( y ))dy

10

X

Y

ba

)(xfy

1. Volume Benda Putar

1. Pemutaran mengelilingi sumbu X

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh y=f ( x ) , x=a , x=b

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena

mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa benda padat (pejal).

Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat

didekati dengan menggunakan rumus: V=π∫

a

b

y2dx.

Gambar 4.10

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu y1=f (x ), y2=g( x ) , x=a , x=b .

Dengan y1≥ y2 Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka

terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan

menggunakan integral tertentu, yaitu:

V=π∫a

b

( y12− y2

2 ) dx

11

Gambar 4.12

c. Pemutaran mengelilingi sumbu Y

Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh x=g( x ) , y=c , y=d

Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan

membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat

didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu: V=π∫

c

d

x2dy.

Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu

x1= f ( x ) , x2=g( x ), y=c , y=d . Denganx1≥x2 Selanjutnya R diputar

mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat

didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:

V=π∫c

d

(x12−x2

2) dy

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung

dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi

tabung.Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali

antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan

tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar

dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

12

V=∫a

b

A ( x )dx

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah

diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah

metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.

Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan

sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat

dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut

merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada

selang [ a , b ] .

Misal pusat cakram (x0 ,0 )dan jari-jari r=f (x0 ) . Maka luas cakram

dinyatakan :

A (x0 )=πf 2 (x0 )Oleh karena itu, volume benda putar :

V=∫a

b

π ( f ( x ))2 dx

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan

x=g( y ) , x=0 , y=c dan y=d

diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

V=∫c

d

π ( g( y ))2 dy

13

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x )≥0 , y=g ( x )≥0 , f ( x )≥g (x )

untuk

setiapx∈ [ a , b ] , x=a dan x=bdiputar dengan sumbu putar sumbu X

maka

volume:

V=∫a

b

π ( f 2( x )−g2( x )) dx

Bila daerah yang dibatasi oleh x= f ( y )≥0 , x=g ( y )≥0 , f ( y )≥g ( y )

untuk setiap y∈ [ c , d ] , y=c dan y=d diputar dengan sumbu putar sumbu

Y maka volume :

V=∫c

d

π ( f 2( y )−g2 ( y )) dy

Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume

benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan

dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai

tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume

yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih

memperjelas kita lihat uraian berikut.

Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut

r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :

ΔV =(πr2−πr1)h=2π rh Δr

dengan :r2−r1

2=r (rata−rata, jari− jari ) , r2−r1=Δr

Bila daerah yang dibatasi oleh y=f ( x ) , y=0 , x=a , x=b diputar

mengelilingi

14

sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari r=x dan Δr=Δx

dan tinggi

tabungh=f (x )Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah

V=∫a

b

2 π xf (x ) dx

Misal daerah dibatasi oleh kur

y=f ( x ) , y=g ( x ) , f ( x )≥g ( x ) , x∈ [ a ,b ] , x=a dan x=b diputar

mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar

V=∫a

b

2 πx ( f ( x )−g ( x )) dx

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan

x= f ( y ) , x=0 , y=c , y=d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume

=

V=∫c

d

2 πy ( f ( y )) dy

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh

x= f ( y ) , x=g ( y ) , f ( y )≥g( y ) , y∈ [ c , d ] , dan y=c dan y=d diputar

mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan

dengan

V=∫c

d

2 πy ( f ( y )−g( y )) dx

D. Fungsi transeden

1. Logaritma

Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi f ( x )=ax untuk a>0 dan

a≠1mempunyai invers, yang dinamakan fungsi logaritma dengan

bilangan dasar a, dan ditulis

15

y=f −1 (x )=a log x

berdasarkan sifat invers y=f −1 (x )⇔ x=f ( y )diperoleh definisi

logaritma berikut.

y=a log x⇔ x=a y , a>0 , a≠1

Sesuai dengan daerah asal dan daerah eksponen, untuk y=a log x berlaku

kondisi a>0dan y≠R . Karena grafik fungsi dan inversnya simetri

terhadap garis y = x, maka grafik fungsi logaritma diperoleh dengan

mencerminkan kurva f (x) = ax terhadap garis y = x.

2. Logaritma Natural

Logaritma natural adalah logaritma yang berbasis e, dimana e adalah

2.718281828459... (dan seterusnya). Logaritma natural terdefinisikan

untuk semua bilangan real positif x dan dapat juga didefinisikan untuk

bilangan kompleks yang bukan 0. Aturan pangkat, tidak dapat memberikan

fungsi yang antiturunannya adalah 1/x. Tetapi, dengan menggunakan

Teorema Dasar Kalkulus kitadapat mendefinisikan fungsi melalui integral

yang turunannya adalah 1/x.Fungsi ini kita sebut logaritma natural dari x,

ditulis ln x. Dapat dibuktikan, tapi tidak diberikan pada kuliah ini, bahwa

fungsi ini sama dengan fungsi logaritma berbasis e yang telah kita kenal di

SMA. Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :

ln x=∫1

x1t

dt , x>0

ln x=e log x

16

Notasi

Ahli matematika biasanya menggunakan "ln(x)" atau "log(x)" untuk

menotasikan loge(x), atau logaritma natural dari x, dan menggunakan

"log10(x)" untuk menotasikan logaritma berbasis 10 dari x.

Insinyur, ahli biologi, dan orang dalam bidang-bidang lain, hanya

menggunakan "ln(x)" atau kadang-kadang (untuk supaya lebih jelas)

"loge(x)" untuk menotasikan logaritma natural dari x, dan "log(x)"

digunakan untuk logaritma berbasis 10, log10(x) atau, dalam konteks

teknik komputer, log2(x).

Kebanyakan bahasa komputer, termasuk C, C++, Fortran, dan BASIC,

"log" atau "LOG" berarti logaritma natural.

Pada kalkulator, tombol ln berarti logaritma natural, sedangkan tombol

log adalah untuk logaritma berbasis 10.

a. Sifat-sifat logaritma natural

Pada contoh sebelumnya telah kita lihat bahwa turunan dari ln5x sama

dengan turunan dari lnx yaitu 1/x. Fakta ini berguna untuk membuktikan

teorema berikut.

Teorema

Jika a dan b>0dan r bilangan rasional, maka

ln 1=0

ln ab=ln a+ln b

17

ln

ab= ln a− ln b

ln ar=r ln a

2. Ln sebagai invers fungsi eksponensial natural

Fungsi ln adalah invers dari fungsi eksponensial:

e ln ( x )=x untuk semua x yang positif dan

ln ( ex )=x      untuk semua x yang real.

Logaritma dapat didefinisikan untuk basis lainnya, asal positif, tidak hanya

e, dan biasanya berguna untuk memecahkan persamaan yang variabel

tidak diketahuinya merupakan pangkat dari variabel lain.

3. Mengapa disebut "natural"

Sekilas, tampaknya yang lebih "natural" tentunya adalah logaritma yang

berbasis 10, karena basis angka yang digunakan umumnya juga 10.

Namun, ada dua alasan mengapa ln(x) disebut logaritma natural: pertama,

persamaan-persamaan yang variable tak diketahuinya merupakan pangkat

dari e jauh lebih sering dijumpai dibanding yang merupakan pangkat dari

10 (karena sifat-sifat "natural" dari fungsi eksponensial yang dapat

menggambarkan growth/pertumbuhan dan decay/penurunan), dan kedua,

karena logaritma natural dapat didefinisikan dengan mudah menggunakan

integral yang dasar atau Deret Taylor (lihat penjelasan di bawah), dan

logaritma berbasis lainnya tidak dapat didefinisikan seperti ini.

Sebagai contoh, lihat turunan dibawah ini:

ddx

logb ( x )= 1x⋅ln b

Jika basis b adalah e maka turunan yang didapat adalah 1/x dan jika x=1,

kemiringan kurva adalah 1.

18

4. Eksponen

a. Fungsi Eksponensial Natural

Fungsi eksponensial natural, y=exp(x), adalah inverse dari logaritma

natural.x=exp(y) ⇔ y=ln x. Bilangan basis fungsi ini, ditulis e=exp(1)

sehingga ln e=1. Ekspansi desimal bilangan iniadalah e≈2,71828182845…

Dengan demikian,

∫1

e1t

dt=1

Dari definisi langsung diperoleh bahwa

1. exp(ln x)=x, bila x>0.

2. ln(exp(x)) =x.

Perlu dicatat, bahwa e adalah bilangan transenden (dibuktikan oleh

Euler), yaitu tidak ada polinom p(x) sehingga p(e)=0. Kita dapat

mengkonfirmasikan (saat ini untuk bilangan rasional r), bahwa y=exp(x)

adalah sebuah fungsi eksponesial. er=exp(ln er)= exp(rln e)= exp(r)

Sejauh ini kita telah mendefinisikan bilangan pangkat dengan pangkat

rasional. Untuk x irrasional, kita kembali pada definisi fungsi eksponesial,

yaitu

e x=exp ( x )

Jadi, untuk selanjutnya.

1. eln x=x , untuk x>0.

2. ln ( ex )=x , untuk tiap x.

b. Turunan dari exp(x)

Misalkan y=ex. Karena ln x dan exp(x) saling inverse, maka x=ln y.

Apabila kedua sisi didiferensialkan, dengan menggunakan Aturan Rantai,

diperoleh bahwa 1=(1/y)Dxy atau Dxy =y .

Teorema

19

ddx

[ex ]=e x

Sebagai akibat kita peroleh

Teorema

∫ ex dx=e x+C

c. Fungsi Logaritma dan Eksponesial Umum

Kita telah berhasil mendefinisikan exuntuk tiap bilangan real x,

termasuk eπ

. Namun bagaimana dengan πe

? Kita akan memanfaatkan

hubungan x=exp(ln x).

Definisi

Jika a>0dan adalah sebarang bilangan real, maka

ax=ex ln a

Dengan demikian, kita peroleh bahwa

ln ( ax )=ln ( ex ln a)=x ln a

Catatan: definisi di atas memungkin kita untuk memperluas aturan

ln ( ar )=ln ( er ln a)=r ln a yang sebelumnya hanya berlakuuntuk r rasional.

d. Sifat-sifat ax

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Diberikan a>0 , b>0 , dan x , y

sebarang bilangan real.

1. ax a y=ax+ y

2. ( ax )y=axy

3. ( a

b )x

=ax

bx

4.

ax

a y=ax− y

20

5. (ab )x=ax bx

Teorema fungsi eksponensial

D x ax=ax ln a

∫ ax dx= 1

ln ax+C , a≠0

e. Fungsi log a x

Pada bagian ini kita akan membangun fungsi logaritma berbasis

bilangan positif a≠1, logax. Fungsi ini didefinisikan sebagai inverse dari

fungsi eksponensial ax

.

Definisi

Misalkana>0 , a≠1 , maka y=loga x⇔ x=a y

Catatan: ln=loga x Hubungannya dengan logaritma biasadapat diperoleh

secara berikut.Misalkan y=loga x sehinggax=a y .

ln x=ln ay= y⋅ln a sehinggalog a x=ln a

ln x

E. Teknik Pengintegralan

1. Teknik Subtitusi

a. Subtitusi Dalam Integral Tak Tentu

Teorema :

21

Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f,

jika u = g(x) maka∫ f(g(x))g’(x) dx = ∫ f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) +

c

Contoh :

Hitunglah∫sin √x

√xdx

.

Jawab : Misalkan u = √ x = x1/2 sehingga du =

12

x−1/2

dx maka

∫sin √x√x

dx = 2

∫sin √x ( 12

x−1/2)dx= 2∫sin udu = 2cosu + c = 2cos

√ x + c

b. Subtitusi Dalam Integral Tentu.

Teorema :

Misal g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada

daerah nilai g, maka

∫a

b

f ( g( x ))g '( x )dx= ∫g(a )

g(b )

f (u)du

Contoh :

Hitung ∫0

1x+1

( x2+2 x+6 )dx

Jawab :

Misal u = x2+2x+6 sehingga du = 2x+2 dx = 2(x+1)dx perhatikan u = 6

jika x = 0 dan u = jika x = 1, jadi

∫0

1x+1

( x2+2 x+6 )dx

=

12∫0

12( x+1)

( x2+2 x+6 )dx

=

12∫6

9duu

=12

[ ln u ]69=1

2( ln 9−ln 6 )

=

12

ln( 32 )

22

1. Pengintegralan Bentuk-Bentuk Trigonometri

a. ∫ sin n x dx, ∫ cos n x dx

Jika n bilangan bulat positif ganjil, maka keluarkan faktor sin x atau

cos x dan kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1.

Jika n bilangan bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah

sudut

sin2 x =

1−cos2 x2 , cos 2 x =

1+cos2 x2

b. ∫ sin m x cos n x dx

Jika m atau n bilangan bulat positif ganjil dan eksponen lain sembarang,

maka keluarkan faktor sin x atau cos x yang berpangkat ganjil tersebut

kemudian gunakan kesamaan sin 2 x + cos 2 x = 1. Jika m dan n bilangan

bulat positif genap, maka gunakan rumus setengah sudut.

c. ∫ tgn x dx, ∫ cotg n x dx.

Keluarkan faktor tg 2 x = sec 2 x – 1 dalam kasus tg atau faktor cotg 2 x =

cosec 2 x – 1 dalam kasus cotg.

d. ∫ tg m x sec n x dx, ∫ cotg m x cosec n x dx

Jika n genap dan m sembarang, maka keluarkan faktor sec 2 x atau

cosec 2 x.

Jika m ganjil dan n sembarang, keluarkan faktor tg x.sec x.

e. ∫ sin mx cos nx dx, ∫ sin mx sin nx dx, ∫ cos mx cos nx dx.

Gunakan kesamaan :

sin mx cos nx = ½[sin (m+n)x + sin (m – n)x]

sin mx sin nx = -½[cos (m+n)x - cos (m – n)x]

cos mx cos nx = ½[cos (m+n)x + cos (m – n)x]

23

3. Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial (sebagian) dapat dilakukan jika

pengintegralan dengan teknik subtitusi tidak memberikan hasil, dan

dengan catatan bagian sisa pengintegralan lebih sederhana dari integral

mula-mula.

∫udv=uv−∫vdu

Contoh :

1. ∫ xe x dx

Misalkan u = x, dv = ex dx maka du = dx , v = ex

∫ xe x dx = xex−∫ex dx = xex –ex + c

4. Integral Fungsi Akar (Subtitusi yang Merasionalkan).

a. Fungsi Integral yang memuat bentuk n√ax+b

Penyelesaian dengan menggunakan subtitusi : u = n√ax+b

Contoh : Hitung ∫ x 3√x−4 dx

Jawab : Misalkan u = ∫ x 3√x−4 dx maka u

3 = x – 4 dan 3u

2du =

dx

Shg ∫ x 3√x−4 dx=

∫(u3+4 )u . 3 u2 du=37( x−4 )

37+(x−4 )

43+c

b. Integral yang memuat bentuk √a2−x2 ,√a2+x2 ,√ x2−a2

Gunakan berturut-turut subtitusi : x = a sin t, x = a tg t dan x = a sec t.

Contoh :

1. Tentukan ∫ √4−x2

x2dx

Jawab :

24

Jawab :

Misalkan x = 2 sin t maka dx = 2 cos t dt dan √4−x2= 2 cos t , shg

∫ √4−x2

x2dx

= ∫ 2cos t

4 sin2 t(2cos t )dt=∫ctg 2 tdt

= - ctg t – t + c

=

√4−x2

x−sin−1 ( x

2 )+c

5. Integral Fungsi Rasional

Fungsi Rasional merupakan fungsi hasil bagi dua fungsi Polinom yang

ditulis :

F ( x )=P( x )Q( x ) , P(x) dan Q(x) fungsi –fungsi Polinom dengan Q(x) ≠ 0

Fungsi Rasional dibedakan atas :

a. Fungsi Rasional Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi

polinom pada pembilang lebih kecil dari pada derajat fungsi polinom

pada penyebut.

b. Fungsi Rasional Tak Sejati yaitu fungsi rasional dimana derajat fungsi

polinom pada pembilang lebih besar dari atau sama dengan derajat fungsi

polinom pada penyebut.

Fungsi Rasional Tak Sejati dapat ditulis sebagai penjumlahan

fungsi polinom dengan Fungsi Rasional Sejati dengan jalan membagi

fungsi pembilang dengan fungsi penyebut.

Permasalahan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada bagaimana

mengintegralkan fungsi rasional sejati. Suatu fakta, bahwa fungsi

rasional sejati dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi rasional sejati yang

lebih sederhana

Contoh :

25

5 x−1

x2−1= 2

x−1+ 3

x+1

a. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berbeda

Contoh :

Tentukan ∫ 5 x+3

x3−2x2−3 xdx

Jawab :

5 x+3

x3−2 x2−3 x= 5 x+3

x( x+1 )(x−3)= A

x+ B

x+1+ C

x−3

maka 5x + 3 = A(x+1)(x-3) + Bx(x-3) + Cx(x+1)

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan ruas

kanan maka diperoleh : A = -1 , B =

−12 , dan C =

32 sehingga

∫ 5 x+3

x3−2x2−3 xdx

= ∫−dx

x+∫

−12

x+1dx+∫

32

x−3dx

= - ln |x|−1

2ln|x+1|+3

2ln|x−3|+c

b. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Linear yang Berulang

Contoh :

Tentukan ∫ x

( x−3 )2dx

Jawab :

26

x

( x−3 )2= A

x−3+ B

(x−3)2 maka x = A(x-3) + B

dengan menyamakan koefisien pada kedua polinom diruas kiri dan

ruas kanan

diperoleh : A = 1 dan B = 3 sehingga

∫ x

( x−3 )2dx=∫ 1

x−3dx+∫ 3

( x−3 )2dx=ln|x−3|− 3

x−3+c

Yang perlu diperhatikan untuk tiap faktor (ax+b )k dalam penyebut,

maka ada sebanyak k suku penjabarannya, yaitu :

A1

ax+b+

A2

(ax+b )2+.. .+

Ak

(ax+b )k

c. Penjabaran Fungsi Rasional atas Faktor Kuadrat yang Berbeda

Contoh :

F. Barisan dan Deret

1. Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan berikut.

1. 1,3,5,7,…

2. 2,6,10,40,30,…

3. 60,50,40,30,…

Barisan ini adalah contoh dari barisan aritmatika U1 , U2 , U3 , …..Un

ialah barisan aritmatika,jika:

U2 - U1 = U3 -U2 =…….= Un - Un−1= konstan

Konstan ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Untuk 1, 3, 5, 7 bedanya ialah 3 – 1 = 4 – 3 =7 – 5 =….=

27

Untuk 60, 50, 40, 20,….bedanya ialah 50 - 60 = 40 – 50 = 30 – 40 = -

10

a. Rumus suku ke n.

Jika suku pertama n1→ dinamakan a, kita mendapatkan:

U2 - U1 = b U2 = U1 - b = a + b

U2 - U3 = b U3 = U2 - b = (a + b) + b = a + 2b

U 4 - U3 = b U 4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

dan seterusnya.

Ini memberikan barisan Aritmatika baku.

A, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1) b

Rumus suku ke n adalah un = a + (n – 1) b.

Contoh 1

Carilah suku ke 40 dari barisan aritmatika 1, 6, 11, 16, …

Penyelesaian:

A = 1, b = 6 – 1, n = 40

un = a + (n – 1) b

u40 = 1 (40 – 1) 5 = 196.

Contoh 3

Carilah rumus suku ke n dari barisan:

2, 4, 6, 8, ………..

Penyelesaian:

Suku pertama (a) 2 dan beda (b) = 4 – 2 = 2

28

Suku ke n: Un = a + ( n – 1 ) b

Un = 2 + ( n – 1 ) 2

Un = 2 + 2n - 2

Un = 2n

b. Rata-rata dari suatu barisan Aritmatika ( Mean Aritmatika ).

Kadang-kadang kita harus mencari mean aritmatika dua buah

bilangan, P dan Q. Ini berarti kita harus menyisipkan sebuah

bilangan A diantara P dan Q, sedemikian rupa sehingga p + A + Q

membentuk sebuah deret aritmetika A – P = b dan Q – A = b.

Jadi A – P = Q - A

2A = P + Q

A =

P+Q2

Ternyata mean aritmetik dua bilangan tidal lain dari pada nilai

tengahnya.

Contoh 2

Sisipkan tiga buah mean aritmetik diantara dua buah bilangan 8

dan 18.

Jawab:

8 + A + B + C + 18

U1 = 8 dan U5 = a + 4b = 18

a = 8

} 4b = 10

b = 2.5

a + 4b = 18

A = a + b =8 + 2.5 = 10.5

B = a + 2b = 8 + 2(,.5) = 13

29

C = a + 3b = 8 + 3(2,5) = 15,5

Jadi mean aritmetik yang dicari adalah 10,5 ; 13 dan 15,5.

2. Deret Aritmetik

Deret aritmetik disebut juga deret hitung. Jumlah n suku pertama deret

aritmetik ditulis Sn Jadi S5 artinya suku pertama dan seterusnya. Kita

dapat mencari rumus untuk jumlah dari deret aritmrtika baku:

A + (a + b) + (a + 2b) + … + [a + (n – 1)b]

Dengan cara:

Misalkan suku terakhir Un , maka suku sebelumnya ialah Un - b,

sebelumnya lagi Un - 2b dan seterusnya.

Jadi Sn = a + (a + b) + (a + 2b) +…+ (Un + 2b) + (Un -b) + Un

Sn = Un + (Un - b) +( Un + 2b) +…+ (a + 2b) + (a + b) + a

2 Sn = (a + Un ) + (a + Un ) + (a + Un ) + … + (a + Un ) + (a +Un )

+ (a + Un )

2 Sn = n (a + Un )

Sn =

12 [a+Un ] , yaitu n x (rata-rata dari suku pertama dan terakhir)

Atau Sn =

12 n{a + (a + (n – 1) b]},karena Un = a +(n + 1)b

=

12 n [2a+(n−1 ) b ]

Contoh 1

Carilah jumlah 50 suku yang pertama dari deret aritmetika

2 + 3 + 4 + …

Jawab:

a = 2 , b = 3 – 2 = 1 dan n = 50

30

Sn =

12 .50 (2.2 + (50- 1). 1)

= 25(4 + 49)

= 25(53)

=1325

Contoh 2

Carilah jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 2.

Jawab:

Penyelesaian: a = 2, b = 2 dan Un = 98

Kita harus mencari dulu n.

Un = a + (n – 1) b

98 = 2 + (n – 1) 2

98 = 2 + 2n – 2

2n = 98

n = 49

Sn =

12 [a+Un ]

=

12 .49 (2 + 98)

= 2450

G. Persamaan Diferensial Biasa

1. Persamaan diferensial parsial

Persamaan diferensial parsial(PDP) adalah persamaan yang di dalamnya

terdapat suku-suku diferensial parsial, yang dalam matematika diartikan

sebagai suatu hubungan yang mengaitkan suatu fungsi yang tidak

diketahui, yang merupakan fungsi dari beberapa variabel bebas, dengan

turunan-turunannya melalui variabel-variabel yang dimaksud. PDP

31

digunakan untuk melakukan formulasi dan menyelesaikan permasalahan

yang melibatkan fungsi-fungsi yang tidak diketahui, yang merupakan

dibentuk oleh beberapa variabel, seperti penjalaran suara dan panas,

elektrostatika, elektrodinamika, aliran fluida, elastisitas, atau lebih umum

segala macam proses yang terdistribusi dalam ruang, atau terdistribusi

dalam ruang dan waktu. Kadang beberapa permasalahan fisis yang amat

berbeda memiliki formulasi matematika yang mirip satu sama.

Bentuk paling sederhana dari persamaan diferensial adalah

di mana u suatu fungsi tak diketahui dari x dan y. Hubungan ini

mengisyaratkan bahwa nilai-nilai u(x,y) adalah tidak bergantung dari x.

Oleh karena itu solusi umum dari persamaan ini adalah

di mana f adalah suatu fungsi sembarang dari variabel y. Analogi dari

persamaan diferensial biasa untuk persamaan ini adalah

yang memiliki solusi

di mana c bernilai konstan (tidak bergantung dari nilai x). Kedua contoh di

atas menggambarkan bahwa solusi umum dari persamaan diferensial biasa

melibatkan suatu kostanta sembarang, akan tetapi solusi dari persamaan

diferensial parsial melibatkan suatu fungsi sembarang. Sebuah solusi dari

persamaan diferensial parsial secara umum tidak unik; kondisi tambahan

harus disertakan lebih lanjut pada syarat batas dari daerah di mana solusi

didefinisikan. Sebagai gambaran dalam contoh sederhana di atas, fungsi

dapat ditentukan jika dispesifikasikan pada sebuah garis .

3. Persamaan diferensial biasa

32

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial di mana fungsi

yang tidak diketahui (variabel terikat) adalah fungsi dari variabel bebas

tunggal.Dalam bentuk paling sederhana fungsi yang tidak diketahui ini

adalah fungsi riil atau fungsi kompleks, namun secara umum bisa juga

berupa fungsi vektor maupun matriks.Lebih jauh lagi, persamaan

diferensial biasa digolongkan berdasarkan orde tertinggi dari turunan

terhadap variabel terikat yang muncul dalam persamaan tersebut.

Contoh sederhana adalah hukum gerak kedua Newton, yang menghasilkan

persamaan diferensial

untuk gerakan partikel dengan massa konstan m. Pada umumnya, gayaF

tergantung kepada posisi partikel x(t) pada waktu t, dan demikian fungsi

yang tidak diketahui x(t) muncul pada kedua ruas persamaan diferensial,

seperti yang diindikasikan dalam notasi F(x(t)).

Persamaan diferensial biasa dibedakan dengan persamaan diferensial

parsial, yang melibatkan turunan parsial dari beberapa variabel.

Persamaan diferensial biasa muncul dalam berbagai keadaan, termasuk

geometri, mekanika, astronomi dan pemodelan populasi. Banyak

matematikawan ternama telah mempelajari persamaan diferensial dan

memberi sumbangan terhadap bidang studi ini, termasuk Isaac Newton,

Gottfried Leibniz, keluarga Bernoulli, Riccati, Clairaut, d'Alembert dan

Euler.

Dalam kasus persamaan tersebut linier, persamaan diferensial biasa dapat

dipecahkan dengan metode analitik.Malangnya, kebanyakan persamaan

diferensial nonlinier, dan kecuali sebagian kecil, tidak dapat dipecahkan

secara eksak.Pemecahan hampiran dapat dicapai menggunakan komputer.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation).

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses

keterbalikan dari pengintegralan.Turunan mempunyai aplikasi dalam

semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda

33

terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan

terhadap waktu adalah percepatan.Hukum gerak kedua Newton

menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan

gaya yang diberikan kepada benda.Laju reaksi dari reaksi kimia juga

merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling

efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan

menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang

paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.

Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah

fungsi.Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan

diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena

alam.Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam

berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis

fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

H. Kalkulus Fungsi Vektor

1. Definisi Fungsi Vektor

Fungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya berupa himpunan

bilangan real dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor.

Jika f(t), g(t), dan h(t) adalah komponen dari vektor r(t), maka f,g dan h

adalah fungsi bernilai bernilai real yang disebut fungsi komponen dari r dan

dapat ditulis

r (t) = (f(t), g(t),h(t)) = f(t)i, g(t)j,h(t)k

Contoh :

Tentukan Df (daerah asal),

1. r (t) = √ t−2i + (t - 3 )-1j

Jawab :

Misalkan f1 (t) = √ t−2i dan f2 (t) = 1

(t−3)

Diperoleh Df1 = [2,∞ ) dan Df 2 = R -{ 3}

Sehingga

34

F(a)

F(t)

F(b) []

a≤ t ≤ b

Df = { t∈ R │t ∈ Df2 ∩ Df 2 }

{t∈R │ t ∈ [2,∞ ) ∩ R -{ 3}}

t∈ [2,∞ ) -{ 3}} = [2, 3) U (3, ∞ ]

2. Grafik Fungsi Bernilai Vektor

Misalkan

f⃗ (t) = f1 (t)i + f2 (t)j

Df = [a,b]

Jika t berubah sepanjang [a,b] ujung-ujung f (t),menjelajah lengkungan

(kurva) C dengan arah tertentu

f(a) disebut titik pangkal lengkungan C

f(b) disebut titik ujung lengkungan C

Jika f (a) = f (b)_ kurva C disebut kurva tertutup

35

C

C

2

4

Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R2(3) dengan arah

tertentu1

Cara menggambar grafik fungsi vektor

1) Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C

2) Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan(Gambar kartesius

kurva)

3) Tentukan arahnya

Contoh :

Gambarkan grafik fungsi dibawah ini:

1. F(t) = (t - 4)i +√ t j ; 0 ≤ t ≤ 4

Persamaan parameter :

x = t – 4 t = x+4

y = √ t

y = √ x+4

x = y2 – 4 (parabola)

arahnya

f (0) = -4i = (-4, 0)

f (4) = 2j = (0, 2)

3. Turunan dan Integral dari Fungsi Vektor

a. Turunan

Turunan r’ dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara

yangsama seperti untuk fungsi bernilai real:

drdt

= r’(t) = limh→ 0

r (t+h )−r (t)h

1

36

Jika limit ini ada. Jika titik P dan Q mempunyai vektor posisi r(t)

dan r(t + h), maka PQ→

menyatakan vector r(t + h) – r(t), yang dengan

demikian dapat dipandang sebagai suatu vektor talibusur. Jika h > 0,

kelipatan skalar (1/h) (r(t +h) – r(t)) mempunyai arah sama seperti r(t +

h) – r(t). Pada saat h → 0, tampak bahwa vektor ini mendekati suatu

vektor yang terletak pada garis singgungnya. Oleh karena itu, vektor

r’(t) disebut vektor singgung terhadap kurva yang didefinisikan oleh r

di titik P, asalkan r’(t) ada dan r’(t) ≠ 0. Garis singgung terhadap C di P

didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vektor

singgung r’(t). Vektor singgung satuan adalah

T(t) = r ' (t )|r ' (t )|

Teorema:

Jika r(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan

h adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka r’(t) = (f’(t), g’(t), h’(t)) =

f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k

Bukti:

r’(t) = lim∆t →0

1∆ t

[r(t + ∆ t ) – r(t)]

= lim∆t →0

1∆ t

[(f(t + ∆ t ), g(t + ∆ t ), h(t + ∆ t )) – (f(t), g(t), h(t))]

= lim∆t →0

¿¿,g (t +∆ t )−g (t)

∆ t,h (t +∆ t )−h(t)

∆ t)

= (lim∆t → 0

f (t+∆ t)– f (t)

∆ t,

lim∆t → 0

g(t +∆ t) – g (t)

∆ t,

lim∆t → 0

h( t+∆t )– h(t )

∆ t)

= (f’(t), g’(t), h’(t))

Contoh :

a. Carilah turunan dari r(t) = (1 + t3)i + te-tj + sin 2t k

b.Carilah vektor singgung satuan pada titik dimana t = 0

Jawab:

37

a. Menurut teorema 2, kita dapat mendiferensialkan masing-masing

komponen dari r :

r’(t) = 3t2i + (1 - t)e-tj + 2 cos 2t k

b. Karena r(0) = i dan r’(0) = j + 2k, vektor singgung satuan di titik

(1, 0, 0) adalah

T(0) = r ' (0)|r ' (0)| =

j+2k

√1+4 =

1

√5 j +

2

√5 k

b. Aturan Diferensiasi

Teorema:

Andaikan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c

adalah suatu skalar, dan f adalah fungsi bernilai real. Maka:

1.ddt

[u(t) + v(t)] = u’(t) + v’(t)

2.ddt

[cu(t)] = cu’(t)

3.ddt

[f(t)u(t)] = f’(t)u(t) + f(t)u’(t)

4.ddt

[u(t) . v(t)] = u’(t) . v(t) + u(t) . v’(t)

5.ddt [u(t) v(t)] = u’(t) v(t) + u(t) v’(t)

6.ddt

[u(f(t))] = f’(t)u’(f(t))

Bukti:

u(t) = (f1(t), f2(t), f3(t))

v(t) = (g1(t), g2(t), g3(t))

maka

u(t) . v(t) = f1(t) g1(t) + f2(t) g2(t) + f3(t) g3(t) = ∑i=1

3

f i (t ) gi(t)

sehingga dengan menggunakan aturan hasil kali yang biasa diperoleh

38

ddt

[u(t) . v(t)] = ddt∑i=1

3

f i (t ) gi(t) = ∑i=1

3ddt

[fi(t) gi(t)]

= ∑i=1

3

¿¿(t) gi(t) + fi(t) g’i(t)]

= ∑i=1

3

f 'i(t) gi(t) + ∑i=1

3

f i(t) g’i(t)

= u’(t) . v(t) + u(t) . v’(t)

c. Integral

Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu r(t) dapat

didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai real,

kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Tetapi kita dapat menyatakan

integral dari r dalam bentuk integral fungsi-fungsi komponennya f, g

dan h, sehingga:

∫a

b

r ( t ) dt = ( ∫a

b

f ( t ) dt ) i +(∫a

b

g ( t ) dt ) j + ( ∫a

b

h ( t ) dt ) k

Teorema dasar kalkulus ke fungsi vektor kontinu:

∫a

b

r (t)dt = R(t)¿ba

= R(b) – R(a)

Untuk R adalah antiturunan dari r, yakni R’(t) = r(t)

Contoh

Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2t k, maka

∫r ( t ) dt=¿¿ ( ∫2cos t dt) i + ( ∫sin t dt) j + ( ∫2 t dt) k

¿ 2 sin t i – cos t j + t2k + C

Dengan C adalah konstanta pengintegralan vektor,

2. Fungsi Dua Peubah

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang

mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat

satu z =f(x,y)

Notasi : f : A → R ( A C R2)

(x,y) →z = f(x,y)

39

Z=f(x,y)

Df

z

y

x

contoh

1 f(x,y) = x2 + 4 y2

2.f(x,y) =13√36−9 x2−4 y2

3. f(x,y) = √(2 y−x2)x2+( y−2)2

Daerah asal (Df) dan Daerah nilai (Rf)

Df = {(x, y) ∈ R2 | f (x, y) ∈ R}

Rf = {f (x, y) (x, y) ∈ Df}

Tentukan dan gambarkan Df dari :

1. f(x,y) = x2 + 4 y2

2. f(x,y) = 13√36−9 x2−4 y2

3. Grafik Fungsi Dua Peubah

(Grafiknya berupa permukaan di ruang)

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f

(x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbuh z akan memotong grafik tepat

di satu titik.

40

z

y

x

z

y

x

3

3

2

2

z

y

x

z

2

Contoh:

Gambarkan grafik,

1. f (x,y) = 2x2 + 3y2

z = 2x2 + 3y2

z = x2

12

+ y2

13

2. f (x,y) = 3 – x2 – y2

z – 3 = – x2 – y2

3. f (x,y) = 13√36−9 x2−4 y2

9z2 = 36−9 x2−4 y2

9x2 + 4y2 + 9z2 = 36

x2

4+ y2

9+ z2

4=1

4. f (x,y) = √16−x2− y2

z2 = 16−x2− y2 ≥ 0

x2+ y2+z2=42

41

I. Fungsi Peubah banyak

1. Domain dan range

Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan

, dan

1) Mencari

Persamaan 1)

….(1)

Persamaan 2)

.... (2)

42

dikali

dikali

Maka,

2) Mencari

Persamaan 1)

….(1)

Persamaan 2)

…(2)

43

dikali

dikali

Maka,

Jadi, , dan

J. Integral Rangkap

1. Integral Ganda

Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari

interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3,

4, ….n.

44

∫a

b

f ( x )dx= limn→∞

∑k=1

n

f ( xk) Δxk

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua

variable.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup

R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub

daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk

dan bentuklah jumlah :

∑k=1

n

f ( xk , yk ) Δk A=f ( x1 , y1 ) Δ1 A+ f ( x2 , y2 )Δ2 A+. .. . .. .+ f ( xn , yn ) Δn A

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap

(lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

∬R

f (x , y )dA=limn→∞

∑k=1

n

f ( xk , yk ) Δk A

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral

berulang

yang ditulis dalam bentuk :

∬R

f (x , y )dA=∬R

f ( x , y )dxdy

=∫a

b { ∫y=f 1( y )

y=f2( y)

f ( x , y )dx}dy

45

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih

dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian

hasilnya diintegral kembali terhadap y.

∬R

f (x , y )dA=∬R

f ( x , y )dydx

=∫a

b { ∫y=f 1( y )

y=f2( y)

f ( x , y )dy}dx

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih

dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian

hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum

akan memberikan hasil yang sama.

2. Integral Lipat Dua Dengan Batas Persegi Panjang

Bentuk umum :

∬R

f (x , y )dA=∬ f ( x , y )dxdy

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }

a,b,c dan d adalah konstanta

Contoh :

1 .∫0

1

∫1

2

dxdy

46

2 .∫2

4

∫1

2

(x2+ y2 )dxdy

3 .∫2

4

∫1

2

( xy+3 y2)dydx

4 .∫2

4

∫0

π2

(sin θ+r cos 2θ )dθ dr

3. Integral Lipat Dua Dengan Batas Bukan Persegi Panjang

a .∬R

f ( x , y )dA= ∫x=a

b

∫y=f 1( x )

f 2 ( x)

f ( x , y )dy dx

dimana :

R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

b .∬R

f ( x , y )dA= ∫y=c

d

∫x=f 1( y )

f 2 ( y )

f ( x , y )dx dy

dimana :

R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh :

47

1 .∫0

1

∫x2

x

xy 2dydx

2 .∫1

2

∫y

3 y

( x+ y )dxdy

3 .∫0

2

∫2 x2

x2+ x

xdydx

4 .∫π

π2

∫cos 2θ

sin 2θ

2drd θ

4. Aplikasi Integral Lipat Dua

Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

∬R

f (x , y )dA

dapat dijelaskan sbb :

LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) =

1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

A=∬R

dA atau A =∬R

dxdy= ∬R

dydx

48

Dalam koordinat polar :

A=∬R

dA = ∫θ1=α

θ2=β

∫ρ1

υ2

ρ d ρ d θ

contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Jawab :

A=∬R

dA=∫0

2

∫2y-4

2-y

dxdy=∫0

2

x ∫2y-4

2-y

dt

=∫0

2

(2− y−2 y−4 )dy=∫0

2

(6−3 y )dy

=(6y-32

y2 )∫0

2

=(12−6 )=6

K. Kalkulus Integral Vektor

1. Medan vektor

2. Integral vektor

BAB III KESIMPULAN

L. Kesimpulan

M. Saran

DAFTAR PUSTAKA

49