BAB1

KON SEP DASAR

MATEMATIKA EKON OMI

1.1 Ruang Lingkup Matematika Ekonomi

Matematika ekonomi sebagai cabang ilmu ekonomi membahas masalah-

masalah ekonomi dengan menggunakan pendekatan dan lambang-lambang

ekonomi. Pembahasan pada matematika ekonomi memanfaatkan konsep dan

teknik perhitungan yang relevan untuk memecahkan masalah-masalah ekonomi.

Dalam mempelajari matematika ekonomi topik-topik matematika murni

yang digunakan, misalnya fungsi, kalkulus, himpunan, deret dan matriks. Topik-

topik inilah yang dipakai dalam penerapan ekonomi.

Berbeda halnya dengan matematika murni, yang menggunakan simbol-

simbol yang umum digunakan, yaitufx, y, z, simbol-simbol dalam matematika

ekonomi sesuai dengan variabel ekonominya, misalnya harga (P= price), kuantitas

(Q= quantity), biaya (C= cost), tabungan (S= saving), konsumsi (C=

consumption), dan lain-lainnya.

Pada matematika ekonomi nilai-nilai variabel harus bernilai positif.

Matematika ekonomi tidak mengenal variabel yang nilainya negatif. Dengan

demikian, secara grafis nilai-nilai variabel ekonomi hanya berlaku pada kwadran

pertama.

1.2 Model-model Ekonomi

Model ekonomi adalah abstraksi tentang hubungan ekonomi untuk

menyederhanakan penanganan masalah-masalah ekonomi yang kompleks. Model

ekonomi dibentuk untuk mempelajari tingkah laku unit-unit ekonomi dalam

hubungannya dengan kegiatan-kegiatan ekonomi, misalnya kegiatan produksi,

konsumsi, dan distribusi barang dan jasa.

Bentuk-bentuk model antara lain: 1) Fungsi umum kualitatif, 2) Tabel/

grafik, dan 3) Fungsi Aljabar/ matematis. Ketiga bentuk model tersebut akan

diuraikan satu persatu.

1.3 Fungsi Umum Kualitatif

Adalah suatu model ekonomi atau persamaan yang menunjukkan

perubahan perilaku sebagai akibat perubahan lain yang ada hubungannya.

Misalnya: perubahan perilaku konsumsi sebagai akibat dari pendapatan nasional,

atau perubahan permintaan barang sebagai akibat perubahan harga barang tersebut

atau harga barang lain.

Contoh:

Qdx= f (Px,Py,T,M)

Dimana:

Qdx = kuantitas permintaan barang x

Px = harga barang x

Py = harga barang y

M = pendapatan perseorangan

T = selera

Dari contoh model atau persamaan di atas dapat dilihat bahwa hubungan

yang sebetulnya kompleks dapat disederhanakan dalam satu persamaan atau

fungsi.

1.4 Model Tabel atau Grafik

Untuk melengkapi bentuk fungsi umum yang bersifat kualitatif seringkali

dianggap tidak cukup. Ekonom akan melengkapinya dengan ilustrasi angka-angka

dan dinyatakan dalam bentuk tabel yang kemudian digambarkan dalam grafik.

Contoh:

Qd P Qs Titik

4 30 18 A

10 20 10 B

16 20 2 C

1.5 Fungsi Aljabar atau Matematis

Dalam pembuatan model-model Aljabar atau matematis yang penting

diperlukan adalah bentuk persamaan (equation) dengan unsur-unsur utamanya:

variabel, konstanta, koefisien, dan parameter.

Variabel adalah sesuatu yang nilainya dapat berubah-ubah dalam suatu

masalah tertentu. Konstanta adalah sesuatu yang nilainya tetap atau tidak berubah.

Jika konstanta dengan variabel digabungkan menjadi satu, maka angka konstanta

yang ada di depan variabel disebut koefisien dari varibel tersebut. Koefisien atau

konstanta yang bervariabel atau dinyatakan dalam huruf atau lambang huruf awal

abjad Yunani atau Arab disebut parameter. Persamaan selanjutnya dapat

dibedakan menurut:

a. Persamaan Definisi adalah bentuk persamaan yang mempunyai arti sama.

π = TR – TC

b. Persamaan Keseimbangan adalah persamaan yang menggambarkan

kondisi keseimbangan model antara lain adalah:

1. Keseimbangan pasar, yaitu keseimbangan antara Quantity demand

(Qd) dan Quantity supply (Qs) atau Qd = Qs.

2. Keseimbangan pendapatan Nasional (National Income)

S+T+ M=I+ G+ X

Nasional Income = Y = Aggregate expenditure dan Windrawal

(Saving + Taxes + Import) = Injection (Investment + Government

expenditure + Export).

c. Persamaan Tingkah Laku (Behavioral)

Adalah persamaan yang menunjukkan hubungan tingkah laku antara

variabel sebagai akibat perubahan variabel yang lain. Untuk lebih jelasnya

dapat dilihat pada contoh berikut:

Qd = 10 - 2P

Persamaan tersebut menunjukkan hubungan tingkah laku antara P (price

atau harga) dengan Qd (jumlah barang yang akan diminta). Angka "10" adalah

konstanta, sedangkan angka "2" yang bergabung dengan variabel harga (P)

disebut koefisien.

Contoh lain persamaan tingkah laku adalah perubahan perilaku pada

konsumsi sebagai akibat dari perubahan pendapatan: C = a + b Yd. Dalam

persamaan ini besarnya pengeluaran konsumsi (C) dipengaruhi oleh besarnya

disposable income (Yd). Yang perlu diperhatikan dalam persamaan perilaku

selalu harus dibuat asumsi-asumsi mengenai pola perubahan perilaku dari variabel

yang diteliti.

1.6 Teori Himpunan

Himpunan adalah kelompok obyek-obyek (elemen) yang dapat dibedakan

secara jelas. Sebagai contoh misalnya: Himpunan Mahasiswa Ekonomi,

Himpunan Bilangan Nyata, Himpunan Binatang Berkaki Empat, Himpunan

Bilangan Bulat Positif dan lain-lain. Secara umum cara penulisan atau notasi dari

himpunan adalah: ) Misalnya: A = {a, b, c, d, . .}

a, b, c, d, adalah elemen atau anggota himpunan dari himpunan A (ditulis huruf

besar). Dengan demikian a, b, c, d adalah elemen himpunan A yang dinotasikan a

Є A, b Є A, c Є A, d Є A, ... .

Himpunan yang tidak mempunyai anggota himpunan disebut Null set atau

A = 0. Disebut himpunan nol jika hanya mempunyai satu anggota, yaitu bilangan

nol A = 0 1. Seluruh totalitas dari elemen-elemen himpunan terkumpul ke dalam

suatu universal himpunan atau disebut Sample space = S .

1.7 Hubungan Antar Himpunan

a. Suatu himpuan A sama dengan B, jika anggota himpunan A sama dengan

elemen-elemen himpunan B misal: a E A dan a juga elemen himpunan B, a E

B, maka A = B

Contoh:

A = {10, 15, 20, 25}

B = {25, 10, 20, 15}

Maka A = B

b. Jika A dan B adalah 2 buah himpunan, maka himpunan A memiliki interseksi

atau himpunan bagian (∩) dengan himpunan B.

A = { 1, 2, 3, 4) dan B = { 2, 4, 8, 14}, maka A ∩ B = {2,4}.

c. Himpunan bagian (sub-set) dinotasikan dengan . Jika himpunan A adalah

suatu himpunan bagian dari B, maka setiap elemen dari A juga adalah suatu

elemen dari B.

A= {a, b, c, d} dan B= {a, b, c, d, e, f, g, h)

maka A B (A himpunan bagian dari B)

d. Gabungan atau Union dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan baru

yang berisikan elemen-elemen baik yang dimiliki A maupun B.

A B =C (dibaca A gabungan B)

Contoh :

A = {1, 3, 6, 10}

B = {4, 8,}

Maka

C =A B= {1, 3, 4, 6, 8, 10}

Cara lain untuk menyatakan hubungan antar dua atau lebih himpunan adalah cara

menyajikan dalam bentuk diagram, yang sering disebut diagram Venn.

A∩B A∩B = ø A B

A∩B A∩B = ø A B

e. Himpunan Komplemen = A'

Himpunan komplemen adalah himpunan obyek yang bukan merupakan

elemen A, melainkan merupakan unsur dari himpunan universal = Sample

space.

Contoh :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A = {0, 1, 2, 3}

B = {2, 3, 4, 5, 6}

AA B

A B

Maka:

A` = {4, 5, 6, 7,8}

B` = {0, 1, 7, 8}

(A B)` = {7, 8}

(A∩B)` = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8}

(A B)` = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8}

(A∩B)` = {7, 8}

Dalam bentuk diagram Venn

A` (A B)` (A∩B)`

f. Operasi Himpunan

Perkalian dua buah himpunan A dan B dapat ditulis A x B.

Contoh:

A = {3, 4} dan B = {a, b}

Maka

A x B = {(3xa), (3,b), (4,a), (4,b)}

B x A = {(ax3), (a,4), (bx3), (bx4)}

A x B = B x A

Selisih himpunan antara dua buah himpunan dapat ditulis A - B atau B - A.

Contoh:

A = {4, 5, 6, 7, 8}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A - B = {6, 7, 8}

B - A = {1, 2, 3}

A

Soal-soal latihan

1. Tulislah dengan menggunakan cara penulisan himpunan.

a. Himpunan bilangan bulat positif.

b. Himpunan bilangan pecahan.

c. Himpunan bilangan bulat negatif.

2. Jika S = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 4, 6}. Carilah

a. A∩B

b. A B

c. (A B)`

d. (A∩B)`

e. A - B

3. Jika A B = {5, 6, 7, 8}, A B = {5, 7} dan A - B = {6},

cari A dan B

4. Sebuah Perusahaan Daerah yaitu PT. Keramik Jaya mempunyai 80 orang

karyawan. Terdapat informasi sebagai berikut;

50 orang mempunyai televisi berwarna.

44 orang mempunyai radio.

38 orang mempunyai almari es.

22 orang mempunyai televisi berwarna dan radio

16 orang mempunyai televisi berwarna dan almari es dan

10 orang punya radio dan Almari es

6 orang mempunyai ketiganya.

Berapa orang karyawan yang tidak mempunyai televisi, dan tidak mempunyai

radio maupun tidak mempunyai almari es?

5. Dalam suatu kelas yang terdiri dari 70 mahasiswa, terdapat 32 mahasiswa

yang senang matematika, 36 mahasiswa yang senang akuntansi, dan 10

mahasiswa yang senang matematika dan akuntansi. Berapa banyak

mahasiswa yang tidak senang, kedua mata kuliah tersebut?.

6. Dari diagram di samping, arsirlah daerah yang merupakan

himpunan.

A∩(B∩C)

A∩(B∩C)'

7. Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, }

A = {1, 2, 3 ,7}

B = {1, 3, 5, 6}

C = {3, 4, 5, 7}

Gambarkan diagram Venn dari S, A, B, dan C

8. Gambarkan diagram Venn dari:

a. (A - B) (B - A)

b. A' ∩ (B∩C)

c. (A∩B) (B∩C)

d. A - (B∩C)

e. A∩(B∩C)'