MAKALAH TUGAS PROGRAM LINIER KD IVMEMAKSIMUMKAN KEUNTUNGAN PRODUKSI ROTI TARCIS

Disusun oleh:Kelompok 6Gunawan Prabowo(M0109033)Ardina Rizqy R(M0112013)Meta Ilafiani(M0112055)Susantini(M0112085)

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS NEGERI SEBELAS MARETSURAKARTA

DAFTAR ISI

Halaman Judul..iDaftar Isi...iiBAB I Pendahuluan1.1 Latar Belakang...11.2 Rumusan Masalah..11.3 Tujuan11.4 Manfaat..2BAB II Landasan Teori2.1 Masalah Program Linear..32.2 Penyelesaian Masalah Program Linear4BAB III Pembahasan73.1 Kasus Usaha Produksi Roti Tarcis73.2 Penyelesaian83.3 Analisis Sensitivitas113.4 Dualitas163.5 Program19BAB IV Penutup214.1 Kesimpulan214.2 Saran21Daftar Pustaka...22Lampiran...........23

1

ii

BAB IPENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANGProgram Linier merupakan metode dengan menggunakan matematika yang penerapannya digunakan untuk mencari maksimum dari keuntungan maupun minimum dari biaya yang dikeluarkan dari suatu permasalahan dengan menggunakan sumber daya yang terbatas. Metode tersebut telah dipergunakan di berbagai bidang, seperti bidang ekonomi, industri, militer, sosial, dan lain-lain. Dalam metode ini, dikenal 2 fungsi, yaitu fungsi tujuan linier dan fungsi kendala. Fungsi-fungsi tersebut dimodelkan secara matematis dari suatu permasalahan.Usaha roti tarcis merupakan salah satu contoh masalah program linier dalam kehidupan nyata dan bertujuan untuk memaksimumkan keuntungan-keuntungan dari kedua jenis roti tarcis tersebut dengan melihat bahan-bahan yang dibutuhkan untuk memproduksi satu loyang. Maka, permasalahan ini dapat diselesaikan dengan metode all slack, analisis sensitivitas, dan dualitas.

1.2 RUMUSAN MASALAHBerdasarkan uraian di atas, dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut:1. Bagaimana menyelesaikan permasalahan dari produksi roti tarcis untuk mencari keuntungan yang maksimum dengan persediaan yang ada?2. Berapa loyang dari roti tarcis jenis pisang dan keju yang harus diproduksi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum?3. Jika terjadi perubahan maka perubahan yang bagaimana agar tetap diperoleh keuntungan yang maksimum per loyang?

1.3 TUJUANTujuan penulisan makalah ini adalah:1. Dapat menyelesaikan permasalahan dari produksi roti tarcis untuk mencari keuntungan yang maksimum dengan persediaan yang ada.2. Mengetahui banyaknyaloyang dari roti tarcis jenis pisang dan keju yang harus diproduksi agar mendapatkan keuntungan yang maksimum.3. Mengetahui perubahan yang akan terjadi agar tetap diperoleh keuntungan yang maksimum per loyang.

1.4 MANFAATManfaat penulisan makalah ini adalah:1. Lebih mengetahui tentang produksi roti tarcis dilihat dari matematika.2. Dapat menerapkan ilmu mengenai Program Linier dalam menyelesaikan masalah tersebut.

BAB IILANDASAN TEORI

2.1 Masalah Program Linear (Linear Programing)Sejak akhir dasawarsa 1940-an, pemrograman linier telah terbukti merupakan salah satu alat riset operasi yang paling efektif. Metode ini biasa digunakan di bidang-bidang, seperti: militer, industri, pertanian, transportasi, ekonomi, kesehatan, dan bahkan ilmu sosial dan perilaku. Selain itu, tersedianya program komputer yang dapat memecahkan masalah-masalah program linier yang sangat luas merupakan faktor penting dalam tersebarnya penggunaan teknik ini.Penggunaan program linier di dunia nyata sangat luas. Pada kenyataannya, program linier harus dipandang sebagai dasar penting untuk pengembangan teknik-teknik operasi riset lainnya, termasuk pemrograman integer, stokastik, arus jaringan, dan kuadratik. Dalam hal ini, pemahaman tentang program linier sangat penting untuk implementasi teknik-teknik lain. Masalah program linier dapat dipandang dalam satu kerangka sebagai sebuah model alokasi sumber daya dimana sumber daya yang terbatas dialokasikan untuk kegiatan-kegiatan variabel. Dengan asumsi masalah program linier adalah maksimisasi, keuntungan dari sebuah kegiatan ekonomi diukur dalam bentuk penggunaan sumber daya dan kontribusinya pada fungsi tujuan. Pengaruh bersih kedua faktor ini diukur berdasarkan pengurangan biaya dari kegiatan ekonomi. Secara umum, langkah-langkah penyelesaian dalam analisis masalah adalah:1) definisi masalah2) pengembangan model3) pemecahan model4) pengujian keabsahan model5) implementasi hasil akhir

2.2 Penyelesaian Masalah Program LinierUntuk menentukan penyelesaian masalah program linier dalam kasus ini dapat menggunakan 3 metode yaitu:

2.2.1 Metode All SlackMetode ini digunakan apabila terdapat variabel slack.Variabel slackadalah variabel yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan menjadi persamaan (=). Penambahan variabel ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, variabel slack akan berfungsi sebagai variabel basis.

2.2.2 Analisis SensitivitasAnalisis sensitivitas digunakan untuk mencari pengaruh perubahan dalam parameter model Program Linier terhadap pemecahan optimum. Tujuan dari analisis ini adalah untuk memperoleh informasi tentang pemecahan optimum yang dimungkinkan terjadi dengan tidak mengubah parameter-parameter tersebut.Analisis sensitivitas ini digunakan untuk mengetahui:1) perubahan ruas kanan kendalaPerubahan pada ruas kanan kendala sebesar akan memberikan efek pada tabel simpleks yaitu:a. Jika bernilai positif maka persediaan sumber daya bertambah.b. Jika bernilai negatif maka persediaan sumber daya berkurang.Perubahan :a. Efek pada ruas kanan (sifat kefisibelan penyelesaian)b. Perubahan terjadi sedemikian hingga variabel basis bernilai 0 atau dengan kata lain terdapat pembatasan nilai

2) Perubahan koefisien fungsi objektifPerubahan koefisien fungsi objektif sebesar akan memberian efek pada tabel simpleks yaitu:a. Jika bernilai positif, maka koefisien variabel ke i bertambahb. Jika bernilai negative, maka koefisien variabel ke i berkurangPerubahan tidak memengaruhi keoptimalan asalkan pada tabel optimal, koefisien persamaan z dari variabel non basis bernilai 0 (kasus maksimisasi) atau 0 (kasus minimisasi).

2.2.3 DualitasDual adalah sebuah masalah program linier yang diturunkan secara matematis dari satu model program linier primal.Bentuk Dual dapat disusun dari bentuk primal asalkan masalah program linier disusun dalam bentuk standar.Untuk menyusun dual, koefisien pada primal disusun seperti tabel berikutVar primal ..

Ruas kanan kendala dual .....

Koefisien ruas kiri kendala dual ....

..

.......

..

Jadi, dualitas diperoleh dari primal dengan cara:I. Untuk tiap kendala primal terdapat satu variabel dualII. Untuk tiap variabel primal terdapat satu kendala dualIII. Koefisien fungsi objektif primal menjadi ruas kanan kendala dualIV. Ruas kanan kendala primal menjadi koefisien fungsi objektif dualV. Koefisien kendala variabel membentuk koefisien pada ruas kiri kendala dualUntuk jenis optimasi (maksimum/minimum) tipe kendala dan tanda variabel dual adalah:Primal StandarDual

Fungsi ObjektifFungsi ObjektifTipe KendalaVariabel

MaksimisasiMinimisasiTak terbatas

MinimisasiMaksimisasiTak terbatas

Optimal dual dapat diperoleh dari optimal primal dengan rumusKoefisien z optimal dari variabel iterasi awal primal = ruas kiriruas kanan kendala dual yang terkait dengan variabel basis iterasi awal primalSehingga diperoleh sifat nilai optimal fungsi objektif primal sama dengan nilai optimal fungsi objektif dual.

BAB IIIPEMBAHASAN

3.1 Kasus Usaha Produksi Roti TarcisUsaha Produksi Roti Tarcis memproduksi 2 jenis roti, yaitu roti tarcis pisang dan roti tarcis keju oleh usaha rumahan di daerah Sumber.Satu roti tarcis pisang dijual dengan harga Rp 2.000,00 dan satu roti tarcis keju dijual dengan harga Rp 3.000,00. Kedua roti tersebut menggunakan bahan-bahan dasar yang sama. Hanya saja isi dari roti tarcis itu sendiri yang dibedakan, yaitu pisang dan keju. Untuk membuat roti tarcis pisang maupun keju sebanyak 1 loyang dibutuhkan 0.5 kg Tepung Cakra, 0.25 kg Mentega, 0.25 kg Corvet, dan 1 butir telur. Untuk pembuatan roti tarcis pisang sebanyak 1 loyang dibutuhkan 0.5 sisir pisang yang dibelah menjadi 2. Sedangkan untuk membuat roti tarcis keju dibutuhkan 0.25 kg keju kotak.Modal yang digunakan untuk memproduksi roti tarcis tersebut sebanyak Rp 20.000,00 untuk tarcis pisang dan Rp 30.000,00 untuk tarcis keju.Berikut adalah rincian untuk modal dari kedua roti tersebut.PengeluaranRoti Tarcis PisangRoti Tarcis Keju

Tepung CakraRp 3.650,00Rp 3.650,00

MentegaRp 3.900,00Rp 3.900,00

CorvetRp 625,00Rp 625,00

TelurRp 1.000,00Rp 1.000,00

PisangRp 10.000,00-

Keju-Rp 20.000,00

PlastikRp 675,00Rp 675,00

TotalRp 20.000,00Rp 30.000,00

Biasanya disediakan bahan-bahan sebesar 10 kg Tepung Cakra, 4 kg mentega, 4 kg corvet,1 kg telur, 5 sisir pisang, dan 2 kg keju. Pengusaha rumahan ini berkeinginan memaksimumkan keuntungannya setiap hari dalam memproduksi roti tersebut.Rumuskan model matematika daripermasalahan tersebut yang dapat digunakan untukmemaksimumkan keuntungan.

3.2 Penyelesaian1) Variabel Keputusana) x = banyaknya loyang untuk memproduksi roti tarcis pisangb) y = banyaknya loyang untuk memproduksi roti tarcis keju2) Fungsi Objektifa) Harga penjualani) Roti Tarcis PisangHarga satu roti tarcis pisang = Rp 2.000,00Dalam satu loyang terdapat 15 roti sehingga penjualan roti sebanyak satu Loyang, yaitu Rp 30.000,00ii) Roti Tarcis KejuHarga satu roti tarcis pisang = Rp 2.500,00Dalam satu loyang terdapat 15 roti sehingga penjualan roti sebanyak satu Loyang, yaitu Rp 37.500,00b) ModalPengeluaranRoti Tarcis PisangRoti Tarcis Keju

Tepung CakraRp 3.650,00Rp 3.650,00

MentegaRp 3.900,00Rp 3.900,00

CorvetRp 625,00Rp 625,00

TelurRp 1.000,00Rp 1.000,00

PisangRp 10.000,00-

Keju-Rp 20.000,00

PlastikRp 675,00Rp 675,00

TotalRp 20.000,00Rp 30.000,00

Maka, fungsi objektifnya sebagai berikut:Max: z = (Harga penjualan Modal) x + (Harga penjualan Modal) yMax: z = (Rp 30.000 Rp 20.000) x + (Rp 37.500 Rp 30.000) yMax: z = 10.000 x + 7.500 y

c) Kendala: Kendala IPenggunaan bahan tepung cakra dalam pembuatannya. Maka, dapat dirumuskan menjadi:0.5 x + 0.5 y 10 Kendala IIPenggunaan bahan mentega dalam pembuatannya. Maka, dapat dirumuskan menjadi:0.25x + 0.25 y 4 Kendala IIIPenggunaan bahan corvet dalam pembuatannya. Maka, dapat dirumuskan menjadi:0.25 x + 0.25 y 4 Kendala IVPenggunaan bahan tepung cakra dalam pembuatannya. Maka, dapat dirumuskan menjadi:x + y 14 Kendala VPenggunaan bahan pisang dalam pembuatan roti tarcis pisang. Maka, dapat dirumuskan menjadi:x 10 Kendala VIPenggunaan bahan keju dalam pembuatan roti tarcis keju. Maka, dapat dirumuskan menjadi:y 8

d) Hidden Conditionx, y 0e) Model Program LinierMax: z = 10.000 x + 7.500 yTerhadap kendala:0.5 x + 0.5 y 100.25x + 0.25 y 4x + y 14x 10y 8

Penyelesaian dengan Metode SimplekDilakukan penyelesaian dengan menggunakan metode simplek.1) Bentuk Standar:Maksimumkan z = Terhadap kendala 0.5 x + 0.5 y 100.25x + 0.25 y 4x + y 14x 10y 8 Variabel SlackPersamaan

Tabel Awal Simplek :Iterasi 1

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)-10000-7500000000

s10.50.5100001020

s20.250.2501000416

s311001001414

s410000101010

s501000018

Iterasi 2

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)0-7500000100000100000

s100.5100-0.50510

s200.25010-0.2501.56

s301001-1044

x1100001010

s5010000188

Iterasi 3

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)0000750025000130000OPTIMAL

s10010-0.5003

s20001-0.25000.5

x201001-104

x1100001010

s50000-1114

InterpretasiBerdasarkan tabel optimal penyelesaian program linier menggunakan metode all-slack diatas dapat diketahui bahwa jumlah jenis roti tarcis harus diproduksi sebanyak 150 roti tarcis pisang dan 60 roti tarcis keju supaya usaha roti tarcis tersebut menghasilkan keuntungan maksimum. Dengan nilai z adalah:z =

Artinya keuntungan maksimum yang diperoleh usaha roti tarcis sebesar Rp 130.000,00.

3.3 Analisis Sensitivitas

1. Perubahan ruas kanan kendalaBentuk Standar:Maksimumkan Terhadap kendala

Persamaan Tabel optimum:Iterasi 3

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)0000750025000130000OPTIMAL

s10010-0.5003

s20001-0.25000.5

x201001-104

x1100001010

s50000-1114

Ruas kanan kendala 1 menjadi 1) 2) 3) 4) 5) i. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelanii. Untuk 1) 2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelan6) Memenuhi syarat kefisibelanRange adalah . Jadi, dengan perubahan pada range tersebut, penyelesaian tetap dengan nilai . Ruas kanan kendala 2 menjadi 1) 2) 3) 4) 5) i. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelanii. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) 3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelanRange adalah . Jadi, dengan perubahan pada range tersebut, penyelesaian tetap dengan nilai . Ruas kanan kendala 3 menjadi 1) 2) 3) 4) 5) i. Untuk 1) 2) 3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) ii. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) 4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelanRange adalah . . Jadi, dengan perubahan pada range tersebut, penyelesaian tetap dengan nilai . Ruas kanan kendala 4 menjadi 1) 2) 3) 4) 5) i. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelanii. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Range adalah . Jadi, dengan perubahan pada range tersebut, penyelesaian tetap dengan nilai Ruas kanan kendala 5 menjadi 1) 2) 3) 4) 5) iii. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) 4) Memenuhi syarat kefisibelan5) Memenuhi syarat kefisibelaniv. Untuk 1) Memenuhi syarat kefisibelan2) Memenuhi syarat kefisibelan3) Memenuhi syarat kefisibelan4) 5) Range adalah . Jadi, dengan perubahan pda range tersebut, penyelesaian tetap dengan nilai .

2. Perubahan Fungsi Objektif pada Koefisien Variabel

Iterasi 3

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)0000750025000130000OPTIMAL

s10010-0.5003

s20001-0.25000.5

x201001-104

x1100001010

s50000-1114

Perubahan fungsi objektif pada koefisien Basisx1x2s1s2s3s4s5Solusi

z000075000130000

Sehingga:Vnb s3: Vnb s4: Range yang memenuhi keoptimalan adalah , nilai z optimal adalah pada range di atas.

Perubahan fungsi objektif pada koefisien Basisx1x2s1s2s3s4s5Solusi

z00000130000

Sehingga:Vnb s3: Vnb s4: Range yang memenuhi keoptimalan adalah , nilai z optimal adalah pada range di atas.

3.4 DualitasModel standart primalMemaksimumkan: Z =Terhadap kendala :

Tabel simplek optimal :Iterasi 3

Basisx1x2s1s2s3s4s5SolusiRasio

Z(maks)0000750025000130000OPTIMAL

s10010-0.5003

s20001-0.25000.5

x201001-104

x1100001010

s50000-1114

Tabel koefisien

10000750000000

0.50.51000010

0.250.25010004

110010014

100001010

01000018

Bentuk DualMinimumkan : w =Terhadap kendala

tidak dibatasiDidominasi,,,,

Variabel basis iterasi awal

Koefisien persamaan z optimal00750025000

Ruas kiri-kanan dengan variabel basis iterasi awal primal

Minimumkan w = =10(0)+4(0)+14(7500)+10(2500)+8(0) =105000+25000 =130000Terlihat

3.5 Program

BAB IIIPENUTUP

A. KESIMPULANDari pembahasan bab III, penulis menyimpulkan:1) Jumlah roti tarcis yang harus produksi agar optimum, yaitu 150 roti tarcis pisang dan 60 roti tarcis keju sehingga dapat memperoleh keuntungan sebesar Rp 130.000,002) - Jika terjadi perubahan jumlah tepung pada range maka keuntungan tetap dengan nilai . Jika terjadi perubahan jumlah mentega pada range maka keuntungan tetap dengan nilai . Jika terjadi perubahan jumlah telur pada range maka keuntungan tetap dengan nilai + 7500 Jika terjadi perubahan jumlah pisang pada range. maka keuntungan tetap dengan nilai +2500 Jika terjadi perubahan jumlah keju pada range maka keuntungan tetap dengan nilai .

B. SARANPenulis menyarankan supaya setiap harinya pengusaha rumahan tersebut memproduksi roti tarcis pisang sebanyak 150 dan roti tarcis keju sebanyak 60 sehingga dapat memperoleh keuntungan maksimum yaitu Rp 130.000,00 dengan persediaan terbatas.

DAFTAR PUSTAKA

Taha, Hamdy A. 1996. Riset Operasi. Penerbit Binarupa Aksara: Jakartahttp://arfa.staff.mipa.uns.ac.id

LAMPIRAN