MAKALAH OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

Memenuhi tugas mata kuliah Telaah Matematika SMP

Nama Kelompok :

1. Diah Aritriana (1501060040)

2. Ganang Gesit Pamungkas (1501060047)

Dosen pengampu :

Reni Untarti,M.Pd

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

2016

i

KATA PENGANTAR

Puji  syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, berkat rahmat dan

karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah ini dalam mata kuliah

Telaah Matematika SMP dengan materi Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar.

Kami merasa dalam pembuatan makalah ini masih banyak memiliki

kekurangan baik dari segi penulisan, isi dan sebagainya. Maka kami sangat

mengharapkan kritik dan saran guna perbaikan untuk pembuatan makalah yang

lebih baik di hari yang akan datang. 

Semoga tulisan sederhana ini dapat diterima dan bermanfaat bagi

semua pembaca. Khususnya bagi mahasiswa-mahasisiwi Fakultas Keguruaan

dan Ilmu Pendidikan untuk meningkatkan pengetahuan dan pengembangan

keterampilan kependidikan demi terciptanya pendidik professional.

Atas selesainya tugas ini kami mengucapkan terimakasih bagi segala

pihak yang telah ikut membantu dalam menyelesaikan makalah ini.

Purwokerto, September 2016

Penyusun

Kelompok 3

ii

DAFTAR ISI

Halaman Judul.......................................................................................................

i

Kata Pengantar.......................................................................................................

ii

Daftar Isi................................................................................................................

iii

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang...........................................................................................

1

B. Rumusan Masalah.....................................................................................

1

C. Tujuan 2

BAB II PEMBAHASAN

A. Definisi dan Unsur-Unsur Bentuk

Aljabar…………………………………………................................

3

B. Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar........................................................

4

1. Penjumlahan Bentuk Aljabar.........................................................

4

2. Pengurangan Bentuk Aljabar.........................................................

5

3. Perkalian Bentuk Aljabar..............................................................

5

4. Pembagian Bentuk Aljabar............................................................

9

5. Perpangkatan Bentuk Aljabar........................................................

9

iii

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan ..............................................................................................12

B. Saran ..............................................................................................

12

Daftar Pustaka.......................................................................................................

13

iv

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”,

“hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan

sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama

sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang. Aljabar adalah

cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. Untuk

mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol (biasanya berupa huruf)

untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan

dan alat bantu memecahkan masalah. Aljabar memiliki beberapa operasi. Operasi

hitung bentuk aljabar yang paling dasar dipelajari pada kelas VII semester 1.

Operasi bentuk aljabar terdiri dari penjumlahan, pengurangan, perkalian,

pembagian dan perpangkatan bentuk aljabar. Sebelum dibahas tentang operasi

hitung maka dibahas terlebih dahulu definisi dan unsur-unsur bentuk aljabar.

Seorang guru matematika harus bisa menjelaskan tentang materi tersebut

kepada peserta didiknya. Guru sebaiknya menggunakan media pembelajaran yang

sesuai dengan materi tersebut untuk mempermudah pemahaman peserta didik

tentang materi operasi hitung bentuk aljabar. Maka dari itu, penulis membahas

tentang cara guru dalam mengajarkan materi operasi bentuk aljabar dalam

makalah berjudul “Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar”.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang, penulis merumuskan masalah sebagai berikut :

1. Apa definisi dan unsur- unsur bentuk aljabar ?

2. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang penjumlahan bentuk

aljabar ?

3. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang pengurangan bentuk

aljabar ?

4. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang perkalian bentuk aljabar ?1

5. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang pembagian bentuk aljabar ?

6. Bagaimana cara mengajarkan kepada siswa tentang perpangkatan bentuk

aljabar ?

C. Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah, penulis merumuskan tujuan sebagai berikut :

1. Mengetahui definisi dan unsur- unsur bentuk aljabar .

2. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang penjumlahan bentuk

aljabar .

3. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang pengurangan bentuk

aljabar.

4. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang perkalian bentuk aljabar .

5. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang pembagian bentuk

aljabar .

6. Mengetahui cara mengajarkan kepada siswa tentang perpangkatan bentuk

aljabar .

2

BAB II

PEMBAHASAN

A. Definisi dan Unsur-Unsur Aljabar

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat

huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Unsur-unsur yang perlu diketahui dalam aljabar :

1. Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk

aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

2. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari

masing-masing variabel yang sama.

3. Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari

masing-masing variabel yang tidak sama.

4. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui

nilainya dengan jelas.

5. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan

tidak memuat variabel.

6. Koefisien adalah  faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Pada bahasan operasi perkalian bilangan bulat, telah dibahas arti perkalian dua

bilangan bulat sebagai berikut :

3 x 5 = 5 + 5 + 5 => jumlah limaan terdiri atas tiga suku

Dengan menggunakan arti perkalian di atas, dapat diuraikan tentang pengertian

bentuk aljabar sebagai berikut :

3 x a = a + a + a = 3a

Sedangkan untuk a x a ditulis sebagai a2 , a x a x a ditulis a3 , dan seterusnya.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti berikut ini:

1. 2a dan -7xy => disebut aljabar suku tunggal.

2. 3p + 4 => disebut aljabar suku dua atau binom.

3. 4x + 2y -5 => disebut aljabar suku tiga atau trinom.

3

Perhatikan bentuk aljabar  5x + 3y + 8x – 6y + 9

1. Bentuk aljabar di atas memiliki 5 suku.

2. 5x dan 8x, 3y dan -6y disebut suku sejenis.

3. 5x dan 3y disebut suku tak sejenis.

4. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.

5. Adapun bilangan 9  disebut konstanta.

6. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada

suku 8x adalah 8, dan pada suku –6yadalah –6.

B. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Pada operasi hitung bentuk aljabar penulis menggunakan media kertas asturo agar

peserta didik lebih mudah dalam memahami.

Misalkan media kertas yang digunakan sebagai berikut:

Lambang Warna kertas

X Merah

Y Kuning

Z Hijau

1. Penjumlahan Bentuk Aljabar

a. Suku dengan koefisien positif dilambangkan dengan kertas berwarna

(bukan putih), sedangkan suku dengan koefisien negatif dilambangkan

dengan kertas warna yang dibalik (putih).

b. Menjumlahkan suku sejenis artinya sama dengan menggabungkan

kertas yang berwarna sama. Misalkan 3x + 2x berarti 3 kertas warna

merah digabungkan dengan 2 kertas warna merah, hasilnya 5 kertas

warna merah..Artinya 3x + 2x = 5x.

c. Menjumlahkan suku sejenis tetapi berlainan koefisien berarti

mengurangkan. Misalkan z + (–2z) berarti 1 kertas warna hijau

digabungkan dengan 2 kertas warna hijau yang dibalik (warna putih),

hasilnya 1 kertas warna hijau yang dibalik (warna putih). Hal tersebut

diartikan z + (–2z) = – 1z = –z.4

d. Menjumlahkan suku tidak sejenis artinya sama dengan menggabungkan

kertas-kertas yang tidak satu warna. Misalkan 3x + z + 2x + (–2z)

berarti 3 kertas warna merah digabungkan dengan 2 kertas warna

merah, sedangkan 1 kertas warna hijau digabungkan dengan 2 kertas

warna hijau yang dibalik (putih). Hasilnya 5 kertas warna merah dan 1

kertas warna hijau yang dibalik (putih). Ini berarti 3x + z + 2x + (–2z) =

5x + (–z) = 5x – 2z.

2. Pengurangan bentuk aljabar

a. Mengurangkan berarti menjumlahkan dengan kebalikannya. Misalkan

2x – 5x diubah menjadi 2x + (–5x). Artinya 2 kertas warna merah

digabungkan dengan 5 kertas warna merah yang dibalik (putih).

Hasilnya 3 kertas warna merah yang dibalik (putih), artinya 2x – 5x = –

3x. Sedangkan –3y + 4z – (–2y) diubah menjadi –3y + 4z +2y berarti 3

kertas warna kuning yang dibalik (putih) digabungkan dengan 2 kertas

warna kuning hasilnya 1 kertas warna kuning yang dibalik (putih),

sedangkan 4 kertas warna hijau tetap. Artinya –3y + 4z – (–2y) = –y +

4z.

b. Ketentuan lain sama dengan penjumlahan.

3. Perkalian Bentuk Aljabar

Perlu kalian ingat kembali bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku

sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a(b+c) = (ab)+(ac)

dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a (b – c) = (ab) –

(a c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada

perkalian bentuk aljabar.

a. Koefisien tidak dilambangkan dengan jumlah kertas sehingga dalam

perkalian, koefisien dikalikan dengan koefisien seperti operasi bilangan

bulat.

b. Variabel dilambangkan dengan kertas dalam posisi berjajar. Misalkan

xy dilambangkan dengan kertas warna merah dijajarkan dengan kertas

warna kuning.

5

c. Tanda pangkat dilambangkan dengan kertas yang ditempelkan

sebanyak pangkatnya. Misalkan x dikali x dilambangkan dengan kertas

warna merah dijajar dengan kertas warna merah, dan selanjutnya dapat

diwakili oleh satu kertas warna merah yang ditempel. y2z dilambangkan

dengan satu kertas warna kuning yang ditempel dijajar dengan satu

kertas warna hijau.

d. Dalam mengerjakan perkalian, koefisien dikalikan dengan koefisien

sedangkan variabel dikalikan dengan variabel. Misalkan 3xz (–2z)

berarti koefisiennya: 3 (–2) = –6, sedangkan variabelnya: xz z

dilambangkan dengan satu kertas warna merah, satu kertas warna hijau,

dan satu kertas warna hijau. Karena kertas warna hijau ada dua lembar,

maka bentuk di atas menjadi satu kertas warna hijau dan satu kertas

warna hijau yang ditempel. Artinya 3xz (–2z) = [3 (–2)] [ xz z ]

= –6 xz2.

Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan

suku dua dinyatakan sebagai berikut:

k(ax) = kax

k(ax + b) = kax + kb

Contoh soal:

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakanlah.

a.        4(p + q)

b.        5(ax + by)

c.         3(x – 2) + 6(7x + 1)

d.        –8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:

a.        4(p + q) = 4p + 4q

b.        5(ax + by) = 5ax + 5by

c.         3(x – 2) + 6(7x + 1)

= 3x – 6 + 42x + 6 = (3 + 42)x – 6 + 6 = 45x

6

d.        –8(2x – y + 3z) = –16x + 8y – 24z

Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk

menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan

sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif

perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua

bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan

perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar

suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian

berikut.

(nx+b)(mx+d) = nx (mx+d)+b(mx+d)

 = nmx2+ndx+mbx+bd

=nmx2+(nd+mb)x+bd

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku

sebagai berikut.

= ax.cx2 + ax.dx + ax.e + b.cx2 + b.dx + b.e

= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be

= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar

suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian

berikut.

(ax + b) (cx2 + dx + e) = ax(cx2 + dx + e)+ b(cx2 + dx + e)

7

= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be = acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x +

be

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau

selisih.

1.         (2x + 3) (3x – 2)

2.        (–4a + b) (4a + 2b)

3.        (2x – 1) (x2 – 2x + 4)

4.        (x + 2) (x – 2)

 

8

4. Pembagian Bentuk Aljabar

a. Pembagian variabel dilambangkan dengan pengurangan kertas yang

mewakili variabel yang dibagi oleh kertas yang mewakili variabel

pembagi. Variabel yang dibagi diletakkan di bagian atas sedangkan

variabel pembagi diletakkan di bagian bawah. Misal x2y3z : x2y

dilambangkan dengan 2 kertas warna merah, 3 kertas warna kuning, dan

1 kertas warna hijau dikurangi dengan 2 kertas warna merah dan 1

kertas warna kuning. Hasilnya adalah sisa pengurangan tersebut yaitu 2

kertas warna kuning dan 1 kertas warna hijau. Jadi, x2y3z : x2y = y2z.

b. Ketentuan lain sama dengan perkalian.

5. Perpangkatan bentuk Aljabar

Rumus perpangkatan secara umum : 

Rumus Perpangkatan Aljabar :

( a + b )n  = ( a + b )  x ( a + b ) x  ( a + b ) , . . . x ( a + b )

Dengan (a+b) sebanyak n

Sebelum mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan

bentuk aljabar, maka yang perlu diperhatikan yaitu :

a. abn berbeda dengan (ab)n

Dalam bentuk abn maka yang dipangkatkan n hanya b nya saja, namun

pada bentuk (ab)n maka yang dipangkatkan n semuanya, yaitu (ab)

9

Contoh :

(2a)2 = (2a)(2a) = 4a2

Sedangkan

2a2 = 2 x a x a = 2a2

b. (-ab)n berbeda dengan – (ab)n

Dalam bentuk (-ab)n, maka yang dipangkatkan n adalah (-ab).

Sedangkan dalam bentuk – (ab)n yang dipangkatkan n adalah ab.

Cara menyelesaikan perpangkatan aljabar

Apabila suatu bilangan aljabar berpangkat 2 maka masih mudah dalam

mengerjakannya namun bagaimana cara untuk mengerjakan atau

menyelesaikan perpangkatan aljabar yang pangkatnya lebih dari 2 ?.

Sebelum mengetahui bagaimana cara untuk menyelesaikan perpangkatan

aljabar yang lebih dari dua, kita harus mengetahui terlebih dahulu mengenai

segitiga pascal. Karena dalam penyelesaikan perpangkatan aljabar segitiga

pascal sangat membantu. Perpangkatan segitiga pascal berikut ini :

Cara penggunaan segitiga pascal dalam penyelesaian perpangkatan aljabar :

(a+b)0 = 1

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5a4b +10a3b2 + 10a2b3 +5ab4 +b5

Contoh soal

Tentukan hasil perpangkatan bilangan tersebut !

1. (-2a)2

2. – (3b)3

10

Penyelesaian

1. (-2a)2 = (-2a) x (-2a) = 4a2

2. – (3b)3 = - {(3b) (3b) (3b)} = -27b3

Berapakah hasil perpangkatan bentuk aljabar berikut ?

1. (x+2y)2

2. (x+2)3

3. (3a-2)4

Penyelesaian:

1. Rumus (a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(x+2y)2 dengan a = x dan b = 2y

(x+2y)2 = x2 + 2(2xy) + 2xy2 = x2 +4xy +2xy2

2. Rumus (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(x+2)3 dengan a = x dan b = 2

(x+2)3 = x3 +3x2.2 +3x.22 +23 = x3 +6x2 + 12x + 8

3. Rumus (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(3a-2)4 dengan a = 3a dan b = -2

(3a-2)4 = (3a)4 + 4(3a)3. -2 + 6(3a)2.(-2)2 + 4(3a)

.(-2)3 + (-2)4

= 81a4 + 4. 27a3.-2 + 6.9a2.4 + 12a.-8 + 16

= 81a4 -216a3 + 216a2 -96a + 16

11

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan di atas , penulis menyimpulkan sebagai berikut :

1. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya

memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Unsur-unsur aljabar terdiri dari suku, variable, konstanta dan koefisien.

2. Operasi hitung bentuk aljabar terdiri operasi penjumlahan, pengurangan,

perkalian , pembagian dan perpangkatan bentuk aljabar. Penggunaan

media kertas digunakan untuk mempermudah pemahaman siswa SMP

tentang operasi hitung bentuk aljabar. Khusus pada perpangkatan tidak

menggunakan media kertas tetapi dengan bantuan segitiga pascal.

B. Saran

Seorang guru sebaiknya menggunakan media pembelajaran yang sesuai dengan

materi yang akan diajarkan kepada peserta didik. Agar peserta didik dapat

memahami materi tersebut dengan baik.

12

DAFTAR PUSTAKA

Adinawan, Cholik. 2013. Matematika SMP/MTs Jilid 1A Kelas VII. Jakarta :

Erlangga

http://syaryanto.blogspot.co.id/2012/07/operasi-hitung-pada-bentuk-aljabar.html

http://bljrmatematika.blogspot.co.id/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html

https://miaratnasih.wordpress.com/2014/01/03/operasi-hitung-bentuk-aljabar-2/

13