BAB 1 PENDAHULUAN LATAR BELAKANGPada pembahasan ini akan dikembangkan metoda untuk menyatakan fungsi pemaksa sinusoida atau respons sinusoida dengan suatu simbol bilangan kompleks yang disebut" Transformasi fasor" atau disingkat dengan " Fasor ". Fasor adalah sebuah bilangan yang menyatakan Amplitudo dan sudut fa sa dari sebuah fungsi sinusoida. Fasor akan memberikan ciri-ciri dari sinusoida yang sama lengkapnya, seperti yang dinyatakan sebagai fungsi waktu analitik. Bekerja dengan fasor, ( dan bukan dengan diferensial dan integral dari sinusoida seperti yang dilakukan pada pembahasan-pembahasan terdahulu ), kita akan melaksanakan suatu penyederhanaan yang sangat menakjubkan.

1.2 RUMUSAN MASALAHApa yang dimaksud bilangan kompleks?Apa yang dimaksud operasi aljabar?Apa yang dimaksud aljabar fasor?Apa yang dimaksud operasi aljabar fasor?

TUJUANUntuk mengetahui definisi bilangan kompleks.Untuk mengetahui operasi aljabar.Untuk mengetahui definisi aljabar fasor.Untuk mengetahui operasi aljabar fasor.

BAB 2 PEMBAHASAN

2.1 Bilangan Kompleks

2.1.1. Definisi

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

z = (x, y)

Kita namakan x bagian nyata (real part) dari z dan y bagian khayal (imaginary part) dari z dan kita lambangkan

Re z = x Im z = y

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.

Bilangan Nyata. Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata rasional , , dan seterusnya, serta bilangan nyata irasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat, seperti yang nilainya adalah 3,14., dengan angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata, seperti diperlihatkan oleh Gb.1.1.

||||||||m-2-1012345

Gb.1.1. Posisi bilangan nyata di sumbu nyata.

Tinjaulah suatu fungsi y = x dengan x adalah bilangan bulat. Jika

kita plot nilai fungsi y, kita akan mendapatkan gambar seperti Gb.1.2.

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gb.1.2. Plot y = x

Pada Gb.1.2. ini sumbu mendatar adalah sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata di posisikan. Sumbu tegak juga merupakan sumbu nyata di mana bilangan-bilangan nyata yang merupakan nilai y diposisikan. Bidang yang dibatasi oleh kedua sumbunyata ini disebut bidang-nyata. Kita lihat di bidang-nyata ini bahwa kita hanya dapat menggambarkan nilai y sampai pada x = 0, karena untuk x < 0 kita tidak mendapatkan nilai y yang berupa bilangan nyata.

Walaupun kita tidak mendapatkan nilai y yang nyata untuk x negatif, namun x untuk x yang negatif dapat didefinisikan sebagai suatu bilangan imajiner (khayal).

Jika didefinisikan bahwa

1 = j(1.1).

maka

4 = 1 4 = 1 4 = j2

9 = 1 9 = j3

81 = j9

100 = j10 dst.

Sekarang kita dapat memandang j sebagai sebuah operator; artinya jika j beroperasi pada bilangan nyata 5 misalnya, kita mendapatkan bilangan imajiner j5 dan jika beroperasi pada bilangan nyata b kita mendapatkan bilangan imajiner jb.

Sumbu tegak pada Gb.1.2. dapat diubah menjadi sumbu imajiner untuk memosisikan bilangan imajiner sehingga sumbu-sumbu yang membatasi bidang sekarang adalah sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im); bidang yang dibatasi oleh kedua sumbu ini disebut bidang kompleks.

Jika setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y) dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya sebagaimana dikatakan dalam pendefisian bilangan kompleks yang diberikan di awal sub-bab ini.

2.1.2 Pernyataan Bilangan Kompleks

Jika setiap bilangan-nyata mempunyai satu nilai, maka suatu bilangan-kompleks juga mempunyai satu nilai namun satu nilai ini terdiri dari dua komponen yaitu komponen nyata dan komponen imajiner. Jadi satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

z = a + jb(1.2)

dengan a bilangan nyata, b juga bilangan nyata, dan jb adalah bilangan imajiner.

Perhatikan Gb.1.3. yang merupakan plot dari satu bilangan kompleks z.

Im

jb z = a + jb

aRe

Gb.1.3. Representasi grafis bilangan kompleks.

Bentuk penulisan bilangan kompleks seperti (1.1) disebut bentuk sudut siku. Sebutan ini mudah difahami jika kita melihat Gb.1.3 di mana z merupakan sudut siku dari segitiga siku-siku dengan sisi a dan jb.

Bilangan kompleks z juga dapat ditulis dengan cara lain, yaitu dengan melihat panjang penggal garis yang menghubungkan titik asal dengan z, yang dalam Gb.1.3. diberi nama , dan sudut yang dibentuk oleh garis ini dengan sumbu nyata yang pada Gb.1.3. diberi tanda . Dari Gb.1.3. jelas terlihat bahwa

a = cos dan b = sin (1.3)

sehingga bilangan kompleks z dapat dituliskan sebagai

z = (cos + j sin )(1.4)

Sudut disebut argumen (ditulis argz) dan penggal garis yang menghubungkan titik z ke titik awal disebut modulus. Dari Gb.1.3. jelas bahwa

arg z = = tan1b

(1.5)

a

sedangakan modulus z adalah

modulus z = =

a2 + b2(1.6)

Dengan demikian maka (1.2) dapat ditulis sebagai

z = a2 + b2 (cos + j sin )(1.7)

CONTOH:

1). Suatu bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk sudut siku

z1 = 3+ j4

Sudut dengan sumbu nyata adalah

1 = tan1(4 / 3) 53,1oPernyataan z1 dapat kita tuliskanz1 = 32 + 42 (cos53,1o + j sin 53,1o )= 5(cos53,1o + j sin 53,1o )

2). Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

z2 = 10(cos 20o + j sin 20o )

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

2 = 10(cos 20o + j sin 20o )

10(0,94 + j0,34) = 9,4 + j3,4)

Kesamaan Bilangan Kompleks. = a2 + b2 merupakan nilai mutlak, karena ia adalah panjang penggal garis. Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai yang sama akan tetapi dengan sudut yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai sama akan tetapi memiliki yang berbeda. Dua bilangan kompleks sama besar jika mereka mempunyai baik maupun yang sama besar, atau dengan kata lain memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

_egatif dari Bilangan Kompleks. Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya. Jadi jika z = a + jb maka z = a jb . Perhatikan representasi grafis pada

Gb.1.4.

Im

jb z = a + jb

+180o

Re

a

= za jb

Gb.1.4. Negatif dari suatu bilangan kompleks.

CONTOH:

1). Jika z1 = 4 + j6 maka z2 = z1 = 4 j6

2). Sudut dengan sumbu nyata

1 = tan1(6 / 4) = 56,3o

2 = 56,3o +180o = 236,3o

3). z1 dapat dinyatakan sebagaiz = 42 + 62 (cos56,3o + j sin 56,3o )

7,2(cos56,3o + j sin 56,3o )

z1 = 7,2(cos(56,3o +180o ) + j sin(56,3o +180o )) 7,2( 0,55 j0,83) = 3,96 j61

Konjugat Bilangan Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

Jika z = a + jb maka z = a jb(1.8)

Perhatikan Gb.1.5.

Im

z = a + jb

jb

Re

a

jb

z = a jb

Gb.1.5. Kompleks konjugat.

CONTOH:

1). Jika z = 5+ j6 makaz = 5 j6

2). Sudut dengan sumbu nyata

= tan1(6 / 5) = 50,2o = 50,2o

3). z dapat dinyatakan sebagai

= 52 + 62 (cos50,2o + j sin 50,2o ) 7,8(cos50,2o + j sin 50,2o )

= 7,8(cos50,2o j sin 50,2o )

4). Jika z = 5 j6 maka z = 5 + j6

Im

z = 5 + j6

Re

z = 5 j6

5). Jika z = 5 j6 maka z = 5 + j6

Im

z = 5 + j6

Re

z = 5 j6

2.2 Operasi-Operasi Aljabar

2.2.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Karena bilangan kompleks terdiri dari dua komponen maka operasi penjumlahan harus dilakukan pada kedua komponen. Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Demikian pula selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

z1 + z2 = (a1 + jb1) + (a2 + jb2 ) = (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )

(2.1)

z1 z2 = (a1 + jb1) (a2 + jb2 ) = (a1 a2 ) + j(b1 b2 )

CONTOH:

Jika s1 = 2 + j3 dan s2 = 3 + j4 maka

s1 + s2 = (2 + j3) + (3+ j4)

= 5 + j7

s1 s2 = (2 + j3) (3+ j4)= 1 j1

2.2.2 Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian dua bilangan kompleks dialksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen.

(z1)(z2 ) = (a1 + jb1)(a2 + jb2 )

= a1a2 + jb1a2 + jb1a2 b1b2(2.2)

= a1a2 + 2 jb1a2 b1b2

Jikaz2= zmaka z1 z adalah

1

1

z1 z = (a + jb)(a jb)

1

= a2 jba + jba + b2(2.3)

= a2+ b2

CONTOH:

Jika z1 = 2 + j3 dan z2 = 3+ j4 maka

z1)(z2 ) = (2 + j3)(3+ j4) 6 + j9 + j9 12

6 + j18

CONTOH:Jika z1= 2 + j3 danz2= z = 2 j3 maka

1

z1)(z1 ) = (2 + j3)(2 j3) 4 j6 + j6 + 9

5 + 9 = 4

Jadi perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya akan menghasilkan bilangan nyata. Sifat ini akan kita manfaatkan dalam melakukan pembagian bilangan kompleks.

2.2.3 Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1. Dalam mencari hasil bagi dua bilangan kompleks, kita kalikan pembagian ini dengan 1 dan bilangan 1 ini kita pilih sama dengan rasio konjugat bilangan kompleks pembagi dengan dirinya sendiri. Dengan cara demikian kita akan memperoleh suatu pembagian di mana bilangan pembaginya adalah bilangan nyata.z1=

a1 + jb1a2 jb2

z2

a2 + jb2 a2 jb2(2.3)

(a1a2 + b1b2) + j(b1a2 b2a1)

=

a2+ b2

22

CO_TOH:

Jika z1 = 2 + j3

danz2 = 3+ j4 maka

z1=2 + j3

3 j4=(6 +12) + j(8 + 9)=18+ j1

3+ j4

3 j4

z2

32 + 4225

25

2.2.4 Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

Pernyataan bilangan kompleks bentuk sudut siku adalah seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu z = a + jb . Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui

relasi geometri sederhana. Relasi (1.3), (1.5), dan (1.6), yaitu

= cosdan = sin

1

= 2+ 2dan = tan

Memungkinkan pengubahan dari bentuk sudut siku ke bentuk polar dan juga sebaliknya. Bentuk polar diturunkan dari fungsi eksponensial kompleks yang akan kita lihat lebih dulu.

Fungsi Eksponensial Kompleks. Kita telah mengenal fungsi eksponensial nyata. Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial

y = ex

merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata.

Jika zadalah bilangankompleks z = + jmakadidefinisanfungsi eksponensial kompleks

ez = e(+ j)= e (cos + j sin );(2.4)

dengan e adalah fungsi eksponensial riil`Melaluiidentitas Euler,e j = cos + j sin Fungsiexponensialkompleks (2.4) dapat kita tuliskan

ez = ee j

(2.5)

Bentuk Polar. Relasi (2.5) memberikan memberikan jalan untuk representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar

z = e j(2.6)

Modulus z (nilai absolut) adalah , ditulis | z | = =2 + 2 dan

argumen z kita dituliskan juga sebagai z. Perhatikan representasi grafis Gb.2.1.

Im

z

Re

Gb.2.1. z = e j ; arg z = z = .

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5.

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya

z = 0,5 rad.

Bentuk sudut sikunya adalah:

= 10 (cos0,5 + j sin 0,5)

10 (0,88 + j0,48) = 8,8 + j4,8

Im

z = 5e j0,5100,5 radRe

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4.

Modulus z adalah | z | = = 32 + 42= 5

Argumennya adalah z = = tan1 4= 0,93 rad .

3

Representasi polar adalah: z = 5e j0,93

Im

z = 5e j0,935

0,93 radRe

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 2 + j0 . Modulus z adalah | z | = = 4 + 0 = 2 .

Argumen = tan1(0 / 2) = tidak bernilai tunggal. Kitaharus berhati-hati menentukan argumennya. Di sini kita harus memilih = rad karena komponen imajiner 0 sedangkan

komponen nyata 2. Representasi polar adalah z = 2e j .

Im

z = 2e j

Re

2

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleksz = 0 j2 .

Modulus z adalah | z | = = 0 + 4 = 2 .

Argumen = tan1( 2 / 0) = / 2 ;komponen imajiner 0

sedangkan komponen nyata 2.

Representasi polar adalah z = 2e j / 2 .

Im

Re

j2 z = 2e j / 2

2.2.5 Manfaat Bentuk Polar

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks. Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

z1)(z2 ) = 1e j1 2e j2 12e j(1 +2 )

(2.7)z1=1e j1=1e j(1 2 )

2

z2

2e j2

CONTOH:

Misalkan bilangan kompleks z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4.z1z2= 10e j0,5 5e j0,4 = 50e j0,9

z

10e j0,5

1

=

= 2e j0,1

z2

5e j0,4

Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks yang dinyatakan dalam bentuk sudut siku, diperoleh dengan mengganti j dengan j seperti diperlihatkan secara grafis pada Gb.2.2.a; hal ini telah kita pelajari.

Im

z= + jIm

z = e j

Re

Re

z = + j

z = e j

a)

b)

Gb. 2.2. Bilangan kompleks konjugat.

Jika dinyatakan dalam bentuk polar, sudut argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya, seperti diperlihatkan secara grafis oleh Gb.2.2.b.

2.3 Bilangan Kompleks untuk Menyatakan Fugsi Sinus

Berikut ini kita akan melihat pemanfaatan bilangan kompleks untuk menyatakan fungsi sinus. Tindakan demikian ini kita jumpai dalam analisis rangkaian listrik.

2.3.1 Fungsi Sinus

Sinyal listrik sebagai fungsi waktu yang berbentuk sinusoidal adalah

y = Asin(t)(3.1)

dengan A adalah amplitudo (simpangan maksimum), adalah frekuensi sudut = 2f dengan f frekuensi siklus. Namun

pernyataan sinyal sinus sering dilakukan menggunakan fungsi cosinus yaitu bentuk pernyataan yang dianggap normal:

y = Acos(t )(3.2)

jika puncak pertama fungsi terjadi pada t > 0 dan

disebut sudut fasa.

a) y = Acost

b)y = Acos(t )

Gb.3.1. Fungsi sinusoidal dinyatakan dengan fungsi cosinus.

Dengan bentuk normal ini maka fungsi

y = Asin(t) dituliskan sebagai

y = Acos(t / 2)

di mana = /2 pada Gb.3.1.b.

2.4 Fasor

Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk

z = Ae j = A(cos + j sin )(3.3)

Dengan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus dan sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaituAcos = Re Ae j = komponen nyata dari z, dan(3.4)Asin x = Im Ae jx = komponen imajiner dari z

Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks Aejx saja yang diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal sinus y = Acos(t+) dapat kita tulis sebagaiy = Acos(t + ) = Re Ae j(t+) = Re Ae je jt= Ae je jt

tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi.

Jika kita bekerja pada suatu frekuensi tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktor ejt pada pernyataan fungsi sinus (3.5) tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup dengan mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi

sinyal sinus v = A cos(t + )

dinyatakan dengan(3.6)

V = Ae j

Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya. Fasor ini merupakan bilangan kompleks dan dapat digambarkan secara grafis seperti terlihat pada Gb.3.2. Gambar grafis seperti ini disebut diagram fasor.

Im

V|A| Re

Gb.3.1. Fasor V = Ae j

Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen dengan modulus dan argumen pada bilangan kompleks. Jadi penulisan fasor dalam bentuk yang juga kita sebut bentuk polar adalah

= Ae j ditulis sebagai

= A(3.7)

V

V

Fasor V = A kita gambarkan dalam bidang kompleks, seperti terlihat pada Gb.3.1.

Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu :

= A = A (cos + j sin )(3.8)

V

Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk polar

1b

2

2

V = a + jb =

+ b

tan

a

(3.9)

a

Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudut-siku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasi-operasi fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah kita pelajari.

2.4.1 Operasi Fasor

Perkalian Fasor. Perkalian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.

JikaA=A1danB= B2 maka

(3.10)

C=AB= AB(1 + 2 )

Hal ini mudah difahami, karena jika kita menuliskan

= Ae j1

dan

= Be j2

A

B

= Ae j1 Be j2= ABe j(1+2 ) = AB( +

maka C

2)

1

Pembagian Fasor. Pembagian fasor mudah dilakukan bila fasor dituliskan dalam bentuk polar.

Jika

= A1

dan

= B2maka

A

B

A1

A

(3.11)

A

D =

=

=

( 2)

B

B2

B1

Hal ini juga mudah difahami. Jika kita menuliskan

= Ae j1dan

= Be j2

A

B

Ae j1Aj j

Aj( )

A

maka D =

=

e

1 e

2=

e1 2

=

( 2)

Bej2B

B

B

1

Penjumlahan dan Pengurangan Fasor. Operasi penjumlahan ataupun pengurangan lebih mudah dilakukan jika kita menuliskan fasor dalam bentuk sudut-siku.

Jika

= a1 + jb1dan

= a2 + jb2

A

B

maka

=

+

= (a1 + a2 ) + j(b1 + b2 )

C

A

B

b+ b

(a

)2 + (b

)2

=

+ a

+ b

tan112

(3.12)

+ a

1212

a

12

D = A B = (a1 + jb1) (a2 + jb2 )

b b

(a

)2 + (b

)2

=

a

b

tan112

a

1212

a

12

Jika fasor dinyatakan dalam bentuk polar, kita ubah dulu ke bentuk sudut siku untuk mudah dijumlahkan / dikurangkan

JikaA = A1 dan B = B2 maka

C = A + B= ( Acos 1 + B cos 2 ) + j( Asin 1 + B sin 2 ) (3.13)

D = A B= ( Acos 1 B cos 2 ) + j( Asin 1 B sin 2 )

Fasor _egatif dan Fasor Konjugat. Jika dituliskan dalam bentuk sudut-siku, nilai negatif fasor adalah negatif dari masing-masing komponen riil dan imajiner.

ImAARe

AA

Gb.12.2. Fasor dan negatifnya serta konjugatnya

Jika

= a1 + jb1maka

= a1 jb1

A

A

= a+ jb

* = a jb

JikaA

maka A

11

11

Dalam bentuk polar,

Jika

= A

A

maka

= A( +180o )

A

(3.14)

= A( 180o ) dan

* = A

A

Fasor Dengan Sudut Fasa 90o dan 0o. Bentuk sudut-siku dari

fasor dengan sudut 90o dan 0o adalah

= A90o = jA ;

A

= B 90o = jB ;(3.15)

B

= C0o = C

C

CONTOH:

a). v1(t) = 10 cos(500t 45o )

Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah

V= 10 45oatau1

V1 = 10cos(45o ) + j10sin(45o ) = 7,07 j7,07

b). v2 (t) = 15cos(500t + 30o )

Pernyataan fasor sinyal sinus ini dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah

V2= 1530oAtau

= 15cos(30o ) + j15sin(30o ) = 12,99 + j7,5

V2

c). i1(t) = 4 cos1000t

Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah

= 40o

= 4 cos(0o ) j4sin(0o ) = 4

I1

atau I1

d). i2 (t) = 3cos(1000t 90o )

Pernyataan fasor dalam bentuk polar dan bentuk sudut siku adalah

I2 = 3 90o atau I2 = 3cos(90o ) + j3sin(90o ) = j3

e). I3 = I1 + I2 dari c) dan d)

Fasor hanya dapat dijumlahkan jika frekuensinya sama. Karena kedua arus dalam soal e) ini berfrekuensi sama maka fasornya dapat kita jumlahkan I3 = I1 + I2 = 4 j3.

Hasil penjumlahan ini dapat kita ubah kembali dalam bentuk polar menjadi

1 3

2

2

o

I3 =

(4)

+ (3)

tan

= 5216,9

4

f). S

=

I*

; S

=

*

1

V

2

V

I

1

1

2

2

S

=

*

= (10 45o ) (40o ) = 40 45o

1

V

I

1

1

S

=

*

= (1530o ) (390o ) = 45120o

2

V

I

2

2

g). Z =

V1

; Z

=V2

1

I1

2

I2

10 45o

V

= 2.5 45o ;

Z1=

1

=

40o

I1

V

1530o

= 5 60o

Z

2=

2

=

390o

I2

Konsekuensi Pernyataan Sinyal Sinus dalam Fasor

Karakteristik piranti dalam rangkaian listrik dinyatakan oleh hubungan antara arus dan tegangannya. Untuk resistor , induktor, dan kapasitor hubungan tersebut adalah:

Resistor : vR = RiR

Induktor : vL= LdiL

(3.16)

dt

Kapasitor : iC = C

dvC

atau vC =1iC dt

dt

C

R, L, dan C berturut-turut adalah resistansi, induktansi, dan kapasitansi dari piranti yang bersangkutan. Relasi-relasi ini adalah relasi di mana tegangan maupun arus merupakan fungsi waktu. Jika tegangan dan arus dinyatakan dalam bentuk fasor maka harus dilakukan penyesuaian pada relasi tegangan-arus elemen tersebut.

Resistor. Jika arus pada resistor adalah

iR (t) = I Rm cos(t + ) = I Rme j(t+)

maka tegangannya adalahvR(t) = RiR(t) = RIRme j(t+)

Jika dinyatakan dalam fasor maka

R = R

R

(3.17)

V

I

Hubungan arus dan tegangan resistor ini mirip dengan hubungan tegangan dan arus jika dinyatakan sebagai fungsi waktu.

Induktor. Untuk induktor, jika arus induktor adalah

iL(t) = ILmcos(t + ) = ILme j(t+)

maka tegangan induktor adalah

vL(t) =L

diL (t)=Ld(I Lme j(t+) )= jL(Imej(t+))

dt

dt

Dalam bentuk fasor,

L = jL

L = jX L

L = ZL

L

V

I

I

I

(3.18)

dengan : X L = L dan Z L =jL

Jadi dengan pernyataan sinyal dalam fasor, hubungan tegangan dan arus induktor tidak lagi berbentuk hubungan diferensial, melainkan berbentuk linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZL = jXL ;XL disebut reaktansi induktif , ZL disebut impedansi induktor.

Kapasitor. Untuk kapasitor, jika tegangan kapasitor adalah

vC

(t) = VCmcos(t + ) = VCme j(t+)

maka arus kapasitor adalah

iC(t) = C

dvC

= C

d((VCme j(t+) )=

jC(VCmej(t+))

dt

dt

yang dalam bentuk fasor dapat kita tuliskan sebagai

C = jC

C

atau

I

V

=1

=

j

= jX

= Z

(3.19)

V

I

I

I

I

C

jCC

CC

C

C

C

C

=

1

ZC =

j

dengan :X C

dan

C

C

Seperti yang kita peroleh pada induktor, hubungan tegangan dan arus kapasitor tidak lagi berupa hubungan integral, melainkan berupa hubungan linier dengan faktor proporsionalitas sebesar ZC = jXC ; XC kita sebut reaktansi kapasitif, ZC kita sebut impedansi kapasitor.

BAB 3 PENUTUP

Fasor adalah bilangan kompleks yang tetap, biasanya dinyatakan dalam bentuk eksponensial, mewakili amplitudo kompleks (magnitudo dan fasa) dari fungsi sinusoid dari waktu. Fasor digunakan oleh ahli elektronik untuk mempermudah perhitungan yang melibatkan sinusoid, dimana persamaan diferensial dapat diubah ke aljabar.Impedansi dari unsur sirkuit dapat didefinisikan sebagai perbandingan tegangan fasor yang membentangi unsur dengan arus fasor yang mengaliri unsur, seperti yang ditetapkan oleh amplitudo relatif serta fasa dari tegangan dan arus. Ini identik dengan definisi dari hukum Ohm diatas, mengakui bahwa faktor ejt saling meniadakan.

DAFTAR PUSTAKA

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=8&ved=0CC8QFjAD&url=http%3A%2F%2Fkk.mercubuana.ac.id%2Felearning%2Ffiles_modul%2F10199-14-860422071140.pdf&ei=dKqDVNzsPIedugTwuIKwDA&usg=AFQjCNFwXNXJL4rqefqKEUM4pJEWBEXYOw&sig2=1gtOgXnsw6qGkR5XjJ9Dzw