Laporan 1 revisi 13311018

Laporan Tugas 1 Simulasi Sains Materi

oleh :

Michael Martin 13311018

Program Studi Teknik Fisika

Fakultas Teknologi Industri - Institut Teknologi Bandung

Jl, Ganesha 10, Bandung 40132

Penyelesaian Persoalan Schrodinger Infinite Square Well

dengan Metoda Fungsi Basis

Abstrak

Persoalan Schrodinger Infinite square well dapat diselesaikan dengan metoda

analitik, namun metoda analitik sulit digunakan untuk perhitungan berulang-ulang karena

itulah dibutuhkan perhitungan numerik yang dapat dilakukan oleh komputer, dan salah

satunya adalah metoda fungsi basis. Dimana dengan fungsi basis tertentu dan jumlah

pengulangan tertentu akan didapat suatu grafik solusi numerik yang identik dan berhimpit

dengan grafik solusi analitik hingga tingkatan energi tertentu.

Pendahuluan

Persoalan-persoalan mekanika kuantum berbeda dengan persoalan pada mekanika

klasik karena pada mekanika klasik persoalannya dapat diselesaikan dengan menurunkan,

mengintegralkan, dan menggunakan nilai kondisi awal pada persamaan yang diturunkan dari

sifat fisis sistem yang dapat diamati, hal ini berbeda dengan mekanika kuantum, yang untuk

setiap persoalannya akan berhubungan dengan persamaan gelombang Ψ(x,t) , yang

didapatkan dengan menyelesaikan persamaan Schrodinger :

Persamaan ini dapat disederhanakan dalam kondisi persamaan Schrodinger satu dimensi dan

tidak tergantung pada waktu (one dimensional and time independent Schrodinger equation),

penyederhanaan diawali dengan pemisahan fungsi gelombang yang bervariabel posisi dengan

waktu,sehingga :

dan setelah disederhanakan dengan menurunkan fungsi Ψ(x,t) dan mensubsitusikan beberapa

variabel, didapatkan persamaan :

Dengan ψ(x) adalah fungsi gelombang, V(x) adalah nilai energi potensial, m adalah massa dan

ħ adalah konstanta Planck yang dibagi dengan 2ᴨ. Sedangkan untuk E adalah suatu

konstanta yang memiliki hubungan :

dimana H dapat didefinisikan sebagai keadaan yang menyatakan nilai total energi tertentu,

atau dapat disebut sebagai Hamiltonian yang memiliki persamaan :

dan dalam bentuk operator, Hamiltonian operator memiliki persamaan :

Selain itu hasil dari pemisahan variabel x dan t dalam penyelesaian persamaan Schrodinger

satu dimensi dan tidak bergantung pada waktu menghasilkan suatu persamaan variabel t ,

yaitu :

Sehingga didapat persamaan fungsi Ψ(x,t), yaitu :

namun karena untuk setiap tingkatan energi tertentu memiliki fungsi gelombang yang

berbeda beda

Sehingga dapat disimpulkan bahwa solusi umum darifungsi gelombang Ψ(x,t) adalah

kombinasi linear dari fungsi-fungsi gelombang dari tiap-tiap tingkatan energi tertentu,

sehingga didapat solusi umumnya adalah :

dan jika sistem ditinjau pada suatu nilai t=0, didapat persamaan

Dimana cn adalah suatu nilai konstanta tertentu.

Salah satu persoalan yang sering ditemui dalam persamaan Schrodinger satu dimensi

dan tidak tergantung waktu adalah kasus sumur potensial persegi tak hingga (infinite square

well). Dimana dalam persoalan ini dimodelkan suatu sumur potensial seperti :

Gambar 1. Model sumur potensial persegi tak hingga

Dimana sumur potensial tak hingga tersebut memenuhi syarat

Sehingga elektron yang ada didaerah 0<x<a akan bebas bergerak, kecuali pada kedua ujung

yang memiliki potensial V(x) tak hingga yang mengakibatkan sebuah elektron tersebut

terjebak dalam sumur potensial persegi tak hingga karena ketika sebuah elektron bergerak

mendekati salah satu ujung, elektron akan memantul balik diakibatkan potensial kedua ujung

yang sangat tinggi, hal ini juga yang menyebabkan untuk ψ(x)=0 di luar sumur tersebut dan

V(x)=0 di dalam sumur tersebut.

Secara analitik persoalan ini hanya akan menghasilkan sebuah persamaan solusi ψ(x)

didaerah 0<x<a , yang diawali dengan persamaan Schrodinger satu dimensi dan tak

tergantung waktu untuk V(x)=0 ,yaitu

atau jika di tulis

didapat bahwa

Dengan syarat bahwa untuk daerah ini E >= 0 didapat bahwa model persamaan ini adalah model

persamaan osilator sederhana yang memiliki persamaan umum :

Dan dengan memasukan persyaratan batas ψ(0)=0 dan ψ(a)=0 ,didapatkan solusi :

ѱn(x) = An sin (nᴨx/a) ; n = 2,4,6,8,.....

ѱn(x) = Bn cos (nᴨx/a) ; n = 1,3,5,7,....

Dengan nilai Energi untuk nilai n tertentu (En) memiliki persamaan

Dalam persoalan kali ini diketahui bahwa sebuah sumur potensial persegi tak hingga pada

daerah -1<x<1 yang memiliki syarat :

V(x) = 0 , untuk -1<x<1;

V(-1) → ∞ ;

V(1) → ∞;

Dan untuk mencari solusi ψ(x) secara numerik diperlukan suatu fungsi basis фn(x) , yang

akan menentukan hasil akhir solusi numerik yang akan dibandingkan dengan solusi analitik.

Dari fungsi basis фn(x) ini dapat ditentukan variabel-variabel lain yang dibutuhkan dalam

perhitungan numerik , yaitu :

Ḫ= (Ћ2 / 2m).(d

2 / dx

2) + V(x) ;

Hmn=∫ фm *(x) Ḫ фn(x) dx ;

Smn= ∫ фm *(x) фn(x) dx ;

dan dari H dan S tersebut dapat dicari nilai Eigen value dari tingkatan energi tertentu yang

menyatakan nilai energi pada tingkatan tersebut, dan juga dapat diplot solusi numerik ψ(x),

dengan menggunakan persamaan

Hѱ=ESѱ;

ѱn(x) = ∑ cn . фn(x);

dimana pada persoalan kali ini dipakai fungsi basis

фn(x)=xn(x-1)(x+1) ;

dan dari hasil plot ψ terhadap x dari solusi numerik akan dibandingkan dengan plot ψ

terhadap x dari solusi analitik, yaitu :

ѱn(x) = An sin (nᴨx/a) ; n = 2,4,6,8,.....

ѱn(x) = Bn cos (nᴨx/a) ; n = 1,3,5,7,....

dan dari hasil yang didapat akan diketahui pengaruh fungsi basis dengan hasil solusi numerik

dan perbandingannya dengan solusi analitik.

Metode

Perhitungan secara numerik dilakukan dengan menggunakan aplikasi Scilab, dan

langkah pengerjaannya diawali dengan melakukan perhitungan terhadap analitik terhadap

solusi dari Hmn dan Smn , dengan menggunakan persamaan :

Hmn=∫ фm *(x) Ḫ фn(x) dx ;

Smn= ∫ фm *(x) фn(x) dx ;

dan nilai ini didapat untuk nilai m+n bernilai genap , yaitu

Hmn = −𝟏 𝒏+𝟐 (𝒏+𝟏)

𝒎+𝒏+𝟑 −

𝒏(𝒏−𝟏)

𝒎+𝒏−𝟏 +

𝟐(𝐧𝟐+𝒏+𝟏)

𝒎+𝒏+𝟏 ;

Smn = 𝟐

𝒎+𝒏+𝟓 −

𝟒

𝒎+𝒏+𝟑 +

𝟐

𝒎+𝒏+𝟏 ;

setelah itu perhitungan untuk Hmn dan Smn dilakukan dengan menggunakan Scilab, dengan

nilai m dan n tertentu sesuai dengan jumlah eigen value yang akan dipakai, hingga

didapatkan nilai Hmn dan Smn dalam bentuk matriks berdimensi m x n.

Setelah itu dilakukan perhitungan dengan menggunakan program Scilab untuk

mendapatkan nilai generalize eigen value beserta eigen vektornya. Selanjutnya nilai eigen

value yang didapat diurutkan dari yang terkecil (ground state) menuju yang terbesar (tingkat

eksitasi ke d-1 ) dengan disertai indeksnya, agar eigen vector dari tingkatan eigen value yang

ingin diplot dapat dipanggil dengan mudah dengan menyertakan indeks dari eigen value yang

telah diurutkan.

Untuk mendapatkan plot hasil numerik dipanggil eigen vektor (cn) dimasukan dalam

persamaan ѱn(x) = ∑ cn . фn(x), lalu iterasi dilakukan degan menggunakan Scilab untuk

mengeplot ѱn(x) terhadap x , dengan batas bawah x = -1, batas atas x=1, dan perhitungan

dilakukan untuk setiap perubahan nilai x , Δx = 0.01, atau dalam Scilab dituliskan

x = -1:0.01:1 . Kode program dapat dilihat dalam lampiran

Hasil Simulasi

Dilakukan plotting grafik untuk nilai, p = 5, p menandakan jumlah eigen value

yang dipakai , dan pada kasus ini menggunakan 5 nilai eigen value, didapatkan hasil

plottingnya :

Gambar 3. Grafik ground state menggunakan 5 eigen value

Gambar 4. Grafik keadaan tereksitasi pertama menggunakan 5 eigen value

Gambar 5. Grafik keadaan tereksitasi kedua menggunakan 5 eigen value

Tingkatan tereksitasi ke (d-1) Energi numerik Energi analitik Selisih energi numerik dan analitik

1 1.233700554 1.23370055 4.24E-09

2 4.937694101 4.934802201 0.002891901

3 11.14670296 11.10330495 0.043398005

4 25.0623059 19.7392088 5.323097097

5 43.86959649 30.84251375 13.02708274

Tabel 1. Perbandingan energi untuk 5 nilai eigen


yang dipakai , dan pada kasus ini menggunakan 12 nilai eigen value, didapatkan

hasil plottingnya :


Tingkatan tereksitasi ke (d-1) Energi numerik Energi analitik Selisih energi numerik dan analitik

1 1.23370055 1.23370055 -2.13E-13

2 4.9348022 4.934802201 -5.21E-11

3 11.10330495 11.10330495 1.77E-09

4 19.73920896 19.7392088 1.61E-07

5 30.84312383 30.84251375 6.10E-04

6 44.41800656 44.4132198 0.004786755

7 61.00750282 60.45132696 0.556175867

8 80.42727297 78.95683521 1.470437758

9 121.1686855 99.92974456 21.23894096

10 158.471883 123.370055 35.10182797

11 434.6436822 149.2777666 285.3659156

12 576.0088268 177.6528792 398.3559476



yang dipakai , dan pada kasus ini menggunakan 30 nilai eigen value, didapatkan

hasil plottingnya :


Analisis

Setelah didapatkan hasil plotting dan tabel yang menyatakan selisih antara nilai energi

antara solusi numerik dan solusi analtik, dapat disimpulkan bahwa keidentikan antara solusi

numerik dan solusi analitik ditentukan oleh selisih kedua nilai ini, hal ini dikarenakan solusi

ѱn(x) akan menghasilkan persamaan yang berbeda jika terjadi perbedaan energi, karena untuk

suatu fungsi gelombang disuatu tingkatan tertentu akan memiliki suatu nilai energi spesifik

pada tingkatan tersebut, sehingga jika selisihnya melebihi batas tertentu, akan ditemukan

kedua solusi tidak saling berhimpit, baik kedua solusi saling berbeda fasa atau berbeda plot

solusi. Hal ini dapat dilihat pada gambar ini

Gambar 12. Grafik keadaan tereksitasi ketiga menggunakan 5 eigen value

Dimana dalam kasus ini selisih antara nilai energi solusi numerik dan eksak mencapai

26,97 % .

Selain itu jumlah eigen value yang dipakai mempengaruhi hasil yang didapat dari

hasil simulasi, karena jumlah eigen value yang dipakai menandakan jumlah iterasi yang

dilakukan untuk mendapatkan nilai Hmn, Smn dan hasil plotting numerik , namun semakin

banyak iterasi yang digunakan tidak menjamin semakin bagus solusi numerik yang didapat,

hal ini dapat dilihat dengan membandingkan tabel 2 dan tabel 3, dapat dilihat bahwa pada

jumlah iterasi 30 kali justru didapatkan hasil yang lebih jelek daripada iterasi 12 kali, hal ini

dapat dilihat dari munculnya nilai imajiner pada nilai energi pada solusi numerik.

Peran basis dalam perhitungan numerik adalah dalam mendapatkan nilai Hmn, Smn dan

generalized eigen value yang menyatakan nilai energi dari solusi numerik, hal ini dapat

dilihat dari persamaan Hmn, Smn yang membutuhkan fungsi basis фn(x) dalam

perhitungannya,dan hal ini juga menyebabkan nilai energi dari solusi numerik tergantung

pada fungsi basis фn(x) , karena generalized eigen value solusi numerik didapat dengan

menggunakan fungsi pencari nilai generalized eigen value pada matriks Hmn dan matriks Smn

yang didapat. Selain itu setiap fungsi basis фn(x) yang dipakai dalam perhitungan harus

memenuhi persyaratan batas yaitu фn(-1)=0 dan фn(1)=0 , agar sesuai dengan persyaratan

syarat batas ѱ(-1)=0 dan ѱ(1)=0, dan untuk setiap fungsi basis фn(x) yang dipakai terdapat

suatu nilai p tertentu (p menandakan jumlah iterasi dan jumlah eigen value yang dipakai)

dimana pada nilai p tersebut plot solusi numerik mendekati solusi analitik lebih baik dari nilai

p lainnya.

Kesimpulan

Perbedaan eigen value (nilai energi) antara solusi numerik dan solusi analitik

menentukan apakah grafik solusi numerik dan solusi analitik akan berhimpit atau

tidak, dan tiap nilai d-1 tertentu memiliki suatu batas mutlak, dimana ketika mutlak

perbedaan eigen value antara kedua solusi lebih besar dari batas itu, solusi numerik

dan solusi analitik tidak lagi berhimpit.

Dibutuhkan basis фn(x) yang memenuhi syarat batas ( фn(-1)=0 ; фn(1)=0 ) dan dapat

menghasilkan eigenvalue numerik yang tidak jauh berbeda dengan eigen value eksak,

karena фn(x) menentukan nilai Hmn=∫ фm *(x) Ḫ фn(x) dx ; Smn= ∫ фm *(x).фn(x) dx

, dimana Hmn dan Smn akan menentukan nilai generalized eigen value dari persamaan

Hѱ=ESѱ .

Untuk setiap basis фn(x) dihasilkan solusi numerik ѱn(x) = ∑ cn . фn(x) , dimana

untuk persamaan basis tertentu akan memiliki suatu nilai n optimal dimana pada nilai

tersebut grafik solusi numerik yang didapat akan cenderung lebih lama berhimpit

dengan solusi eksak hingga akhirnya tidak stabil pada suatu nilai index d-1 tertentu.

Laporan 1 revisi 13311018

Documents

Transcript of Laporan 1 revisi 13311018