Kuliah s1 Anava 2014
-
Upload
dina-fadhilah -
Category
Documents
-
view
234 -
download
1
description
Transcript of Kuliah s1 Anava 2014
• Analisis variance adalah suatu metode untuk menguraikan keragaman total data kita menjadi komponen-komponen yang mengukur berbagai sumber keragaman
• Analisis variance :
1. klasifikasi berdasarkan satu kriterium disebut klasifikasi satu-arah.
2. klasifikasinya didasarkan pada dua kriteria maka disebut klasifikasi dua-arah.
PENDAHULUAN
Lanjutan….. Xij adalah pengamatan ke –j dari populasi ke -i Ti adalah total semua pengamatan dalam contoh dari populasi
ke-i, xi adalah rata-rata pengamatan dalam contoh dari populasi ke-i,
T adalah total semua nk dan pengamatan, dan x adalah rata-rata semua nk pengamatan.
Setiap pengamatan dapat ditulis dalam bentuk :xij = μi + єij
Dimana : xij : pengamatan ke-j dari populasi ke-i
μi : nilai tengah ke-i
єij : simpangan pengamatan ke-j dalam contoh ke-i dari nilai tengah populasi ke-i
Lanjutan….. Akan lebih memudahkan jika pada uraian selanjutnya, suku-suku
kuadrat diberi notasi berikut:
Identitas jumlah kuadrat dapat dilambangkan dengan persamaan :
JKT = JKK + JKG
k
i
n
jij xxJKT
1 1
2..)(
2
1
...)( xxnJKKk
ii
k
ii
n
iij xxJKG
1
2
1
)(
Jumlah kuadrat total
Jumlah kuadrat untuk nilai tengah kolom
Jumlah kuadrat galat
Lanjutan….. Salah satu nilai dugaan bagi σ2 yang didasarkan pada k - 1
derajat bebas adalah:
Nilai dugaan bagi σ2 yang lain, yang didasarkan pada k (n - 1) derajat bebas adalah :
Ragam seluruh data tanpa memperhatikan pengelompokkannya yang mempunyai nk – 1 derajat bebas adalah :
12
1 k
JKKs
Bila H0 benar, s1 merupakan penduga tak bias bagi σ2..akan tetapi, bila H1 benar JKKcenderung meghasilkan nilai yang lebih besar.
12
2
nk
JKGs
Nilai dugaan ini tak bias, baik hipotesis nol benar atau salah..
12
nk
JKTs Yang merupakan nilai dugaan tak bias bagi σ2
bila Ho benar.
Lanjutan…..
Untuk lebih memudahkan menghitung JKT, JKK, dan JKG kita akan memakai rumus berikut, dan kemudian dengan memanfaatkan dalil identitas jumlah kuadrat.
k
i
n
jij nk
TxJKT
1 1
22
nk
T
n
TJKK
k
ii 2
1
2
JKKJKTJKG
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Seluruh mean populasi adalah sama
Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda
Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang mungkin sama)
k3210 μμμμ:H
samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:
ANOVA 1 Faktor
Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar
Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA seluruhidak
321 μμμ
ANOVA 1 Faktor
Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)
Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA semuaidak
321 μμμ 321 μμμ
or
(sambungan)
Nilai F kritik
Nilai F-kritik terkait dengan 2 derajad bebas yang terpisah. Derajad bebas pembilang (v1) setara dengan
banyaknya perlakuan – 1 atau (k-1) Serajad bebas penyebut (v2) sama dengan
jumlah data (N) – perlakuan (k) atau N-k
KESIMPULAN
Bila F hitung < F tabel Keputusannya: hipotesis nol diterima berarti rata-
rata pengukuran adalah sama Bila Fhitung > F tabel
Keputusannya: hipotesis nol ditolak berarti rata-rata pengukuran adalah berbeda
Lanjutan….. Rata-rata nilai tengah populasi pada baris ke-i didefinisikan
sebagai :
Rata-rata nilai tengah populasi bagi kolom ke-j adalah :
Rata-rata rc nilai tengah populasi :
c
c
jij
i
1
r
r
iij
j
1
rc
r
i
c
jij
1 1
Lanjutan….. Untuk menentukan apakah sebagian keragaman disebabkan
oleh perbedaan antar baris. Kita lakukan uji hipotesis
H’0: μ1 = μ2 = ……= μr = μ
H’1: tidak semua μi sama
Untuk menentukan apakah sebagian keragaman disebabkan oleh perbedaan antar kolom. Kita lakukan uji hipotesis
H’’0: μ.1 = μ.2 = ……= μ.c = μ,
H’’1: tidak semua μ.j sama
Setiap pengamatan dapat dituliskan dalam bentukxij = μij + єij
єij mengukur simpangan nilai pengamatan xij dari nilai tengah populasi μij
Lanjutan….. Identitas jumlah-kuadrat ini secara ringkas dapat dituliskan
sebagai : JKT = JKB + JKK + JKG
sedangkan dalam hal ini
galatkuadrat jumlah ...
kolom tengah nilai bagikuadrat jumlah ...
baris tengah nilai bagikuadrat jumlah ...
totalkuadrat jumlah ...
2
1 1
2
1
2
1
2
1 1
r
i
c
jjij
c
jj
r
ii
r
i
c
jij
xxxJKG
xxrJKK
xxcJKB
xxJKT
Salah satu penduga bagi σ2, yang didasarkan pada r - 1 derajat bebas adalah :
Nilai dugaan kedua bagi σ2, yang didasarkan pada c - 1 derajat bebas adalah :
Nilai dugaan ketiga bagi σ2, yang didasarkan pada (r - 1) (c – 1) derajat bebas dan bersifat bebas dari s1
2 dan s22 adalah
:
Lanjutan…..
12
1
rJKB
s
12
2
cJKK
s
112
3
crJKG
s Yang bersifat tak bias bagaimanapun kebenaran hipotesis nolnya
Lanjutan….. Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh baris
semuanya sama dengan nol. Kita hitung rasio :
Hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila :
Untuk menguji hipotesis nol bahwa pengaruh kolom semuanya sama dengan nol, kita menghitung rasio :
Hipotesis nol ditolak pada taraf nyata α bila :
23
21
1s
sf
11,11 crrff
23
22
2s
sf
11,12 crcff
Lanjutan….. Dalam prakteknya pertama-tama dihitung JKT, JKB, JKK dan
baru dengan menggunakan dalil identitas jumlah kuadrat diperoleh JKG melalui pengurangan. Derajat bebas galat juga diperoleh melalui pengurangan
(r – 1)(c – 1) = (rc – 1) – (r – 1) – (c – 1)
Rumus hitung bagi keempat jumlah kuadrat diberikan di bawah ini:
JKKJKBJKTJKGrcT
r
T
JKK
rcT
c
TJKB
rcT
xJKT
c
jj
r
ii
r
i
c
jij
,
21
2.
,
21
2.
1 1,
22
..
..
..
Lanjutan….. Perhitungan dalam masalah analisis ragam untuk klasifikasi
dua arah dengan satu pengamatan per sel, dapat diringkaskan seperti tabel di bawah ini:
Lanjutan…. Tiga hipotesis yang akan diuji adalah :
1. H’0; α1 = α2 = ….= αr = 0
H’1; sekurang-kurangnya satu αi tidak sama dengan
nol2. H’’
0; β1 = β 2 = ….= βc = 0 H’’
1; sekurang-kurangnya satu βj tidak sama dengan nol3. H’’
0; (αβ)11 = (αβ)12 = ….= (αβ)rc = 0 H’’’
1; sekurang-kurangnya satu (αβ)ij tidak sama dengan nol
Masing-masing uji tersebut akan didasarkan pada pembandingan nilai dugaan yang bebas bagi σ2, yaitu dengan cara menguraikan jumlah kuadrat total menjadi empat komponen melalui identitas :
JKT = JKB + JKK + JK(BK) + JKG
Lanjutan….
galatkuadrat jumlah ...
kolom dan baris interaksi bagikuadrat jumlah...)(
kolom tengah nilai bagikuadrat jumlah ...
garis tengah nilai bagikuadrat jumlah ...
totalkuadrat jumlah ...
2
1 1 1
2
1 1.
2
1
2
1
2
1 1 1
r
i
c
j
n
kjij
r
i
c
jjiij
c
jj
r
ii
r
i
c
j
n
kij
xxxJKG
xxxxnBKJK
xxrnJKK
xxcnJKB
xxJKT
Banyaknya derajat bebas juga diuraikan menurut identitas :
111111 nrccrcrrcn
Lanjutan…. Dengan membagi setiap jumlah kuadrat pada ruas kanan dari
identitas jumlah kuadrat di atas dengan derajat bebasnya masing-masing, maka diperoleh empat nilai dugaan bagi σ2, yang semuanya merupakan penduga tak bias bila hipotesis nolnya besar.
Untuk menguji hipotesis H’0 bahwa pengaruh baris
semuanya sama, kita menghitung rasio:
yang merupakan nilai peubah acak f1 yang mempunyai sebaran f dengan (r – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas bila H’
0 benar.
12
1
rJKB
s1
22
cJKK
s )1(1)(2
3
crBKJK
s)1(
24
nrc
JKGs
24
21
1s
sf
Lanjutan…. Hipotesis Nol itu ditolak pada taraf nyata α bila :
Untuk menguji hipotesis H’’0 bahwa pengaruh kolom
semuanya sama, kita menghitung rasio :
yang merupakan nilai peubah acak f2 yang mempunyai sebaran f dengan (c – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas bila H’’
0 benar.
Hipotesis ini ditolak pada taraf nyata α bila :
1,11 nrcrff
24
22
2s
sf
1,12 nrccff
Lanjutan…. Untuk menguji hipotesis H’’
0 bahwa pengaruh interaksi semuanya sama, kita menghitung rasio :
yang merupakan nilai peubah acak f3 yang mempunyai sebaran f dengan (r – 1)(c – 1) dan rc(n – 1) derajat bebas.
Adanya interaksi dalam suatu percobaan dapat menyembunyikan atau menutupi beda yang nyata antarpengaruh baris atau pengaruh kolom.
Karena alasan inilah maka setiap uji yang menghasilkan penerimaan hipotesis tersebut dianggap tida sah bila interaksi nyata.
24
23
3s
sf
Dimana : r = jumlah baris c = jumlah kolom n = jumlah pengulangan
percobaan
Jumlah-jumlah kuadrat di atas biasanya diperoleh melalui rumus hitung berikut :
)(
....
)(
..
..
..
21
2
1
2...
1 1
2
,
21
2.
,
21
2..
1 1 1,
22
BKJKJKKJKBJKTJKGrcn
Trn
T
cn
T
n
T
BKJK
rcnT
rn
T
JKK
rcnT
cn
TJKB
rcnT
xJKT
c
jj
r
ii
r
i
c
jij
c
jj
r
ii
r
i
c
j
n
kijk