Arief Goeritno NIDN 0430016301 Lektor KepalaKRITERIAPERFORMANSI (KINERJA)

Masa lalu, kriteria untuk penilaian terhadap suatu sistem, adalah stabilitas dan ketelitian statis (static accuracy).

Kepesatan perkembangan sistem pengontrolan, dimana segala sesuatu yang dihasilkan suatu sistem makin kompleks, maka perlu keberadaan kriteria yang lebih tepat.

Kinerja suatu sistem pengontrolan bergantung kepada stabilitas, sensisitivitas, ketelitian statis, transient response, dan residual noise jitter.

Penetapan kriteria yang digunakan bergantung kepada tujuan atau fungsi sistem pengontrolan tersebut.

Masalah-masalah yang akan dibahas selanjutnya:(a) Stabilitas,(b) Sensistivitas,(c) Ketelitian Statis,(d) Transient Response,(e) Integral of Time Multiplied by Absolute Error (ITAE), dan(f) Kriteria Kesalahn RMS (RMS-error).+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

1 STABILITAS

Suatu sistem pengontrolan feedback harus stabil, walaupun sinyal masukan bermacam-macam bentuk, misal terdapat sinyal masukan yang tidak diinginkan masuk ke dalam loop (derau = noise), naik-turunnya catu daya (power supply), dan perubahan-perubahan yang terjadi pada beberapa parameter daam sistem.

###Timbul pertanyaan, apa sebenarnya yang dimaksud dengan stabil? Hal ini merupakan konsep matematis yang tidak akan dibicarakan/dibahas di isini. Cukup hanya diketahui saja, kapan suatu sistem tersebut tidak stabil. Sistem disebut tidak stabil kalau dengan sinyal masukan yang terbatas menghasilkan keluaran yang tidak berhingga.

Suatu sistem umpan balik (feedback) sederhana dengan closed loop transfer function (CLTF):

Untuk kondisi terbatas, akan menjadi tidak berhingga, apabila .

Hal itu akan terjadi, apabila dan .

Margin (jarak) terhadap , disebut , sedangkan margin terhadap , disebut .

Untuk suatu sistem yang stabil, biasanya dipilih: ) , artinya pada waktu , . ) >>>(= 12 dB), artinya pada waktu , .

2 SENSITIVITAS

Sensitivitas adalah ketergantungan suatu karakteristik terhadap elemen tertentu dalam sistem tersebut.

Misal:

Maka: terhadap didefinisikan:

Contoh:

Untuk diketahui:

(a) Sensitivitas terhadap

sedangkan:

dan

Untuk kondisi dimana berubah x%, maka juga berubah x%.

(b) Sensitivitas terhadap

sedangkan:

Sehingga:

Kalau (diinginkan) , maka:

(c) Sensitivitas terhadap :

sedangkan:

Sehingga:

3 KETELITIAN STATIS(STEADY STATE ERROR)

Secara teroritis, suatu sistem harus mampu mengikuti perubahan-perubahan posisi, kecepatan, percepatan, dan perubahan-perubahan derivative yang orde-nya lebih tinggi tanpa harus ada kesalahan (error). Namun keinginan seperti tersebut tidaklah praktis/realitis.

Untuk penentuan penampilan steady state suatu sistem harus digunakan finite value theorem Transformasi Laplace.

Suatu sistem yang stabil, nilai transien cenderung menjadi kecil dan sistem mendekati keadaan steady state pada waktu mendekati tidak berhingga.

Steady State Error (sse), terdapat 3 golongan: (i) Zero ErrorKeluaran mengikuti masukan tanpa terdapat kesalahan(ii) Finite and Constant ErrorKeluaran mengikuti masukan dengan kesalahan yang tertentu dan sifatnya konstan.(iii) Infinite ErrorKeluaran menyimpang dari masukan dengan kesalahan yang semakin besar. Hal itu berarti, bahwa sistem tersebut tidak dapat mengikuti masukan sama sekali.

Diinginkan dicari kesalahan steady state error suatu sistem feedback sederhana:

Kesalahan Steady State:

Umumnya, ingin diketahui kemampuan sistem mengikuti posisi, kecepatan, dan percepatan. Untuk itu diberikan masukan seperti tabel berikut:

Unit Step

Unit Ramp

Unit Parabolik

Untuk penentuan kesalahan steady state, ditulis dalam bentuk:

dengan: = overall gain factor dan = tipe sistem tersebut.

(a) Masukan unit step:

= konstanta posisi (position constant)

Untuk sistem:#tipe-0: ; #tipe-1: ; #tipe-2: ; #tipe-3: ; #tipe-n: ;

(b) Masukan unit ramp:

= konstanta kecepatan (velocity constant)

Untuk sistem:#tipe-0: ; #tipe-1: ; #tipe-2: ; #tipe-3: ; #tipe-n: ;

(c) Masukan unit parabolik:

= konstanta percepatan (acceleration constant)

Untuk sistem:#tipe-0: ; #tipe-1: ; #tipe-2: ; #tipe-3: ; #tipe-n: ;

4 RESPON/TANGGAPAN TRANSIEN/PERALIHAN(TRANSIENT RESPONSE)

TRANSIENT RESPONSE biasanya ditentukan untuk masukan tangga satuan (unit step input). Parameter-parameter karakteristik transien diukur untuk masukan unit step yang diberikan kepada sistem orde-2.

Untuk sistem dengan orde lebih tinggi dari 2 dilakukan pendekatan (approximation). Dipilih kutub-kutub konjuget (conjugate poles) yang paling dominan (yang paling dekat dengan sumbu khayal, sumbu tegak). Hal ini dibicarakan lebih lanjut pada bagian mengenai ROOT LOCUS (tempat-tempat kedudukan akar, TKA).

(1) Tanggapan sistem feedback (umpan balik) orde-2Telah diturunkan TF dari servomotor ac fase dua, diperoleh:

Misal, sistem akan dijadikan otomatis dengan memakai feedback, diagram blok-nya menjadi:

TF akan berubah menjadi:

Pembilang dan penyebut dibagi dengan

Normalisasi ke bentuk persamaan dasar:

Diketahui: dan = omega-n = frekuensi resonansi (resonant frequency) = dibaca xi = faktor redaman (damping factor).

Persamaan tersebut diberikan masukan unit step ke sistem, maka akan , diperoleh:

(a) Keadaan-1: Damping Factor () = 1

Ekspansi Heaviside:

Persamaan awal:

Nilai A, B, dan C disubstitusikan, diperoleh:

Maka:

Diperoleh hasil:

>>>critically damped

(b) Keadaan-2: Damping Factor () > 1

Dijabarkan dengan partial fraction:

Substitusi , , dan ke persamaan awal, diperoleh:

Maka:

>>>over damped

(c) Keadaan-3: Damping Factor () < 1

Ekspansi Heaviside:

Persamaannya:

***)

Sehingga:

Cara lain:

Persamaan awal:

Konstanta A

Konstanta B.

..

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

Ingat persamaan Euler!

Konstanta C

..

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

Ingat persamaan Euler!

Substitusi , , dan ke persamaan awal:

diperoleh:

INGAT..!

Penyelesaian terhadap

Nilai cosinus dan sinus pada gambar disubstitusikan:

>>>under damped

Dalam keadaan-3, terdapat beberapa hal yang perlu dicermati:(i) Frekuensi getaran (damped frequency of oscillation)

(ii) Periode Getaran

(iii) Peak Overshoot terjadi pada:

(iv) maksimum terjadi pada peak overshoot

peak overshoot (biasanya) dinyatakan dalam persentase

(2) Tanggapan transien sistem feedback (umpan balik) orde-2Dimisalkan suatu sistem orde-2 dengan CLTF (closed loop transfer function)

, dengan:

Tanggapan terhadap masukan unit step, adalah:

Sebagaimana yang telah dicari.

(*) Rise Time: waktu untuk mencapai peak overshoot.

(**) Settling Time: waktu untuk mencapai kondisi dimana kesalahan mutlak lebih kecil atau sama dengan 5%.

(***) Parameter yang biasanya dipakai untuk penentuan karakteristik transien, yaitu: Percentage Peak Overshoot Rise Time Settling Time#Jika hanya dilihat dan overshoot saja, maka merupakan nilai terbaik, tetapi akan menjadi besar.

#Jika dijadikan criteria, maka dipilih .

#Pada umumnya, dipilih nilai pada kisaran 0,4-0,7

5 KRITERIA ITAE(Integral of Time Multiplied by Absolute Error)

Dalam criteria transien, , , dan peak overshoot ditinjau secara terpisah, padahal sebenarnya saling berkaitan.

Semakin kecil , semakin besar peak overshoot dan semakin besar pula .

Kriteria ITAE melihat semua parameter secara keseluruhan. Berdasarkan cara ini, kesalahan pada saat-saat permulaan tidak selalu dianggap buruk, karena hal ini sering tidak dapat dihindarkan dalam suatu sistem pengontrolan

Melalui kriteria ITAE, dibuat minimum, sehingga:

Kriteria ITAE digunakan untuk sistem orde-2, maka akan diperoleh nilai optimum untuk .

Misal:

Maka: dengan nilai optimum untuk sistem orde-1 sampai orde-5, yaitu:Orde-1:

Orde-2:

Orde-3:

Orde-4:

Orde-5:

Untuk contoh diambil:

dengan: .

TF tersebut akan menghasilkan yang minimum.

Contoh (penggunaannya)

Untuk sistem tersebut, diketahui:

Tentukan , , dan ; agar kriteria ITAE terpenuhi!

Jawaban:Digunakan teknik grafik aliran isyarat atau penyederhanaan diagram blok, diperoleh TF:

Untuk penggunaan standar tabel ITAE, TF tersebut harus dinormalisasi melalui cara: Pembilang dan penyebut dibagi dengan: Kemudian masukkan:

Akhirnya, penyebut baru disamakan dengan:

Hasil dapat ditunjukkan, bahwa:

Diperoleh hasil:;

6 KRITERIA KESALAHAN RMS(Root Mean Square, EFEKTIF)

Kriteria ini digunakan untuk membuat pengaruh derau minimum. Sistem pengontrolan biasanya mempunyai masukan (input) yang acak (random). Kalau kriteria ITAE digunakan untuk sistem yang demikian, maka performansi-nya (kinerja-nya) tidak akan memuaskan, karena kesalahan akan ditentukan oleh probabilitas dari masukan.

Seandainya ITAE tetap akan digunakan, maka harus diperhatikan semua kemungkinan bentuk sinyal masukan, kemudian rata-ratanya harus diambil. Dalam hal itu, performansinya hanya akan memuaskan untuk sinyal masukan rata-rata. Cara untuk mencari rata-rata agak sulit, karena menyangkut distribusi probabilitas dari sinyal masukan.

Untuk proses-proses yang mempunyai masukan acak, criteria performansinya yang biasa digunakan, adalah kesalahan RMS.Contoh:

; Kesalahan RMS =

Sistem pengontrolan tersebut harus dibuat sedemikian sehingga minimum.

Beberapa penggunaannya: rancangan (disain) filter rancangan (disain) equalizerE(t)

+

-

Km

s(Tm.s+1)

C(t)

R(t)

Ctritically Damped

Over Damped

Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)

1

Under Damped (terjadi overshoot dan oscillation)

1

1

K1

+

-

E(s)

R(s)

c(t)

r(s)

SISTEM

G

K2

C

R

K1

+

-