TUGAS TEORI BILANGAN

KONGGRUENSI LINEAR

DISUSUN OLEH :

KELOMPOK 2 :

NAMA ANGGOTA KELOMPOK:

SUSI LIMBONG (A1C212025)

PUTRI KURNIASIH (A1C212041)

DELIMA SUKMA EVA (A1C2120)

WINA DEVIA APPRIANI (A1C2120)

AVEN S SIMANJUNTAK (A1C2120)

NORTON SIRINGO-RINGO (A1C2120)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JAMBI

2014

KONGRUENSI LINEAR

A. Pengertian Konggruensi

Kongruensi mempunyai beberapa sifat yang sama dengan persamaan dalam Aljabar.

Dalam Aljabar, masalah utamanya adalah menentukan akar-akar persamaan yang dinyatakan

dalam bentuk f(x) = 0, f(x) adalah polinomial. Demikian pula halnya dengan kongruensi,

permasalahannya adalah menentukan bilangan bulat x sehingga mememnuhi kongruensi

f(x) ¿ 0 (mod m)

Definisi 1

Jika r1, r2, r3, ... rm adalah suatu sistem residu lengkap modulom. Banyaknya selesaian dari

kongruensi f(x) ¿ 0 (mod m) adalah banyaknya ri sehingga f(ri) ¿ 0 (mod m).

Contoh:

1. f(x) = x3 + 5x – 4 ¿ 0 (mod 7)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 2, karena

f(2) = 23 + 5(2) – 4 = 14 ¿ 0 (mod 7)

Ditulis dengan x ¿ 2 (mod 7).

Untuk mendapatkan selesaian kongruensi di atas adalah dengan mensubstitusi x dari 0, 1,

2, 3, ...., (m-1).

2. f(x)=x3 –2x + 6 ¿ 0 (mod 5)

Jawab

Selesaiannya adalah x = 1 dan x = 2, sehingga dinyatakan dengan

x ¿ 1 (mod 5) dan x ¿ 2 (mod 5).

3. f(x)=x2 + 5 ¿ 0 (mod 11)

Jawab

Tidak mempunyai selesaian, karena tidak ada nilai x yang memenuhi kongruensi

tersebut.

B. Pengertian konggruensi linear

Bentuk kongruensi yang paling sederhana adalah kongruensi yang berderajat satu dan

disebut dengan kongruensi linear. Jika dalam aljabar kita mengenal persamaan linear yang

berbentuk ax = b, a ¿ 0, maka dalam teori bilangan dikenal kongruensi linear yang

mempunyai bentuk ax ¿ b (mod m). Hubungan antara modulo kongruensi-kongruensi

merupakan syarat terpenting dalam menentukan apakah suatu sistem kongruensi linear

mempunyai penyelesaian atau tidak.

Contoh:

Apakah sistem kongruensi x = 8 (mod 12) ; x = 6 (mod 9) mempunyai penyelesaian?

Jawab:

Karena (12; 9) = 3 dan kongruensi pertama mengakibatkan x = 8 =2 (mod 3), sedangkan

kongruensi kedua mengakibatkan x = 6 = 0 (mod 3), maka sistem konggruensi tersebut tidak

mempunyai penyelesaian.

Definisi 2

Kongruensi sederhana berderajat satu atau yang disebut kongruensi linear mempunyai bentuk

umum ax ¿ b (mod m), dengan a,b,m ∈ Z , a ¿ 0, dan m > 0. Penyelesaiannya adalah setiap

bilangan x0 yang memenuhi ax0 ≡ b(mod n).

Teorema 1

Kongruensi linear ax ¿ b (mod m), dengan a,b,m ∈ Z , a ¿ 0, dan m > 0. Apabila FPB dari a

dan m bukan pembagi dari b, maka konggruensi linear ax ¿ b (mod m) tidak mempunyai

penyelesaian.

Contoh:

a. 6 x≡7(mod 8) tidak mempunyai penyelesaian, karena (6,8 )=2 bukan pembagi dari 7.

b. 36x ≡ 8 (mod 102)

(36,102) = 6 dan 6 tidak membagi 8, maka 36x ≡ 8 (mod 102) tidak mempunyai

selesaian.

Teorema 2

Kongruensi linear ax ¿ b (mod m), dengan a,b,m ∈ Z , a ¿ 0, dan m > 0. Jika (a,m) = 1,

maka kongruensi linear ax ¿ b (mod m) hanya mempunyai satu selesaian.

Contoh:

a. 7x ¿ 3 (mod 12)

Jawab

Karena (7,12) = 1, atau 7 dan 12 relatif prima dan 1 │ 3 maka 7x ¿ 3 (mod 12)

Hanya mempunyai 1 selesaian.

b. 3x ¿ 4 (mod 5)

Jawab

Karena (3,5) = 1, atau 3 dan 5 relatif prima dan 1 | 4 maka 3x ¿ 4 (mod 5) hanya

memiliki 1 selesaian.

c. 3x ≡ 2 (mod 5)

Jawab:

Karena (3,5) = 1 dan 1│2, maka 3x ≡ 2 (mod 5) mempunyai satu selesaian .

Teorema 3

Kongruensi linear ax ¿ b (mod m), dengan a,b,m ∈ Z , a ¿ 0, dan m > 0. Apabila (a ,m )=d

dan d∨b , maka konggruensi linear ax ¿ b (mod m), akan mempunyai sebanyak d buah

penyelesaian.

Contoh:

a. 6x ¿ 9 (mod 15)

Jawab

Karena (6,15) = 3 atau 6 dan 15 tidak relatif prima dan 3│ 9, maka kongruensi di atas

mempunyai 3 selesaian (tidak tunggal).

b. 144x ¿ 216 (mod 360)

Jawab

Karena (144,360) = 72 dan 72│ 216, maka kongruensi 144x ¿ 216 (mod 360)

mempunyai 72 selesaian.

c. 15x ≡ 6 (mod 18)

Jawab:

Karena (15,18) = 3 dan 3│6, maka 15x ≡ 6 (mod 18) mempunyai tiga selesaian.

C. Konggruensi linear simultan

Kongruensi linier simultan didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri dari

beberapa kongruensi linier satu variabel dan dengan nilai modulo yang berbeda untuk

mencari suatu selesaian dari beberapa kongruensi linier yang memenuhi masing-

masing kongruensi linier pembentuknya. Adapun bentuk umum dari kongruensi linier

simultan adalah sebagai berikut:

x≡a1 (modn1)

x≡a2 (modn2)⋮

x≡ar (modnr)

beberapa contoh dari kongruensi linier simultan satu variabel adalah sebagai berikut:

Contoh:

a. x≡3 (mod 8 )dan x≡7 (mod 10 )

b. x≡3 (mod 8 )dan x≡6 (mod 10 )

Untuk mengetahui apakah kongruensi linier simultan satu variabel

mempunyai selesaian dan tidak mempunyai selesaian maka akan diselidiki terlebih

dahulu dengan menggunakan kemungkinan sebagai berikut:

x≡a1(modn1)

x≡a2 (modn2)

Mempunyai selesaian jika dan hanya jika d∨a2−a1; d=(n1 , n2). Akan tetapi

tidak memiliki selesaian jika dan hanya jika d tidak dapat dibagi a2−a1 ;d=(n1 , n2).

Contoh:

a. x≡3 (mod 8 )dan x≡7 (mod 10 )

Jawab :

Diketahui d= (10,8 )=2.

Karena 2∨(7−3), mk dua konggruensi linear simultan tersebut mempunyai

selesaian.

b. x≡3 (mod 8 )dan x≡6 (mod 10 )

Jawab:

Diketahui d= (10,8 )=2.

Karena 2 tidak dapat dibagi (6-3), maka konggruensi linear simultan tersebut

tidak mempunyai selesaian.

Sering kita dituntut secara simultan untuk menentukan selesaian yang

memenuhi sejumlah kongruensi. Hal ini berarti dari beberapa kongruensi linear yang

akan ditentukan selesaiannya dan memenuhi masing-masing kongruensi linear

pembentuknya.

Contoh :

a. x ¿ 3 (mod 8)

x ¿ 7 (mod 10)

Jawab:

Karena x ¿ 3 (mod 8), maka x = 3 + 8t (t∈Z).

Selanjutnya x = 3 + 8t disubstitusikan ke x ¿ 7 (mod 10), maka diperoleh

3 + 8t ¿ 7 (mod 10) dan didapat

8t ¿ 7-3 (mod 10)

8t ¿ 4 (mod 10)

Karena (8,10) = 2 dan 2 │4 atau 2 │7-3, maka kongruensi 8t ¿ 4 (mod 10)

mempunyai dua selesaian bilangan bulat modulo 10 yaitu

8t ¿ 4 (mod 10)

4t ¿ 2 (mod 5)

t ¿ 3 (mod 5)

Jadi t ¿ 3 (mod 5) atau t ¿ 8 (mod 10)

Dari t ¿ 3 (mod 5) atau t = 3 + 5r (r∈Z) dan t ¿ 8 (mod 10) atau x = 3 + 8t

Selanjutnya dapat dicari nilai x sebagai berikut:

x = 3 + 8t

= 3 + 8(3+5r)

= 3 + 24 + 40r

= 27 + 40r atau x ¿ 27 (mod 40) atau x ¿ 27 (mod [8,10])