r

BAGIAN IGARIS

I.1. Pengertian Garis

Garis adalah kurva lurus yang tidak berujung dan tidak berpangkal.

Artinya, dapat diperpanjang pada kedua garisnya1. Sebuah garis memiliki panjang,

namun tidak memiliki lebar maupun ketebalan. Sebuah garis dapat lurus,

lengkung, atau kombinasi lengkung dan lurus. Sebuah garis dapat diwakili oleh

lintasan kapur tulis/pensil pada papan tulis/kertas atau rentangan karet. Sebuah

garis lurus tak terbatas keberadaannya. Sebuah garis ditandai oleh huruf Kapital

dari dua titik padanya atau dengan sebuah huruf kecil seperti gambar berikut ini :

• •

I.2. Segmen/ruas garis lurus

Sebuah segmen garis lurus adalah bagian dari sebuah garis lurus antara

dua buah titiknya. Ditandai dengan huruf kapital titik-titik ujungnya atau dengan

sebuah huruf kecil seperti gambar di bawah ini :

Jadi, AB atau r menunjukan segmen garis lurus antara A dan B. Dalam

menyatakan segmen garis lurus dapat disingkat menjadi segmen garis atau

segmen, bahkan jika maknanya jelas cukup garis saja. Dengan demikian, jika

tidak dinyatakan lain, garis AB atau AB berarti segmen garis lurus AB.

I.3. Membagi sebuah garis lurus menjadi beberapa bagian

Sebuah garis lurus dapat dibagi menjadi beberapa bagian dengan syarat,

1 Idris Harta. Matematika Bermakna. (Surakarta : Mediatama, 2006) Hal.152

1

A B a

A B

yaitu sebagai berikut :

1) Garis keseluruhan (utuh) sama dengan jumlah bagian-bagiannya;

2) Garis keseluruhan lebih panjang dari bagian-bagiannya.

Jadi, jika AB dibagi menjadi tiga bagian a, b, dan c, maka AB = a + b + c.

Dan juga AB lebih panjang daripada a yang dapat ditulis AB > a.

Jika sebuah garis dibagi menjadi dua bagian yang sama harus memiliki

syarat sebagai berikut :

1) Titik pembagi adalah titik tengah garis;

2) Sebuah garis yang melalui titik tengah disebut pembagi dua (bisect) garis

tersebut.

Jadi, jika AM = MB, maka M disebut titik tengah AB, dan CD pembagi

dua (bisect) AB.

I.4. Dua Garis Sejajar, Berpotongan, dan Berimpit

Dua garis disebut sejajar jika kedua garis tersebut berada pada bidang yang

sama dan tidak memiliki titik potong.

Dua garis disebut berpotongan jika kedua garis tersebut berada pada

bidang yang sama dan memiliki satu titik potong.

Dua garis disebut berimpit jika kedua garis tersebut berada pada bidang

yang sama dan memiliki tak hingga titik potong.

Dua garis disebut bersilangan jika kedua garis tersebut berada pada bidang

yang berbeda dan tidak memiliki titik potong.

Untuk lebih jelasnya mengenai garis sejajar, berpotongan, dan berimpit

perhatikan gambar berikut :

2

A

D

C

BA MB

PH

G

C

H G

C

Berdasarkan gambar diatas, kubus ABCD.EFGH memilki dua belas rusuk

yang sama panjang. Ada empat kemungkinan kedudukan ruas garis pada bangun

ruang tersebut, yaitu :

1. Garis AB dan AE berpotongan di titik A dan terletak pada satu bidang datar;

2. Garis Garis AE dan BF jika diperpanjang tidak berpotongan dan terletak pada

satu bidang datar dan dikatakan sejajar;

3. Garis EP dan EG terletak pada satu garis dan terletak pada satu bidang datar

maka dikatakan berimpit;

4. Garis AE dan BC tidak, berpotongan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada

satu bidang datar maka disebut bersilangan.

I.5. Garis Horizontal Dan Vertikal

Perhatikan gambar disamping!

Gambar disamping menunjukkan kubus

ABCD. EFGH. Garis-garis horizontal

(mendatar) adalah garis AB, DC, EF, dan

HG. Sedangkan garis-garis vertikal (tegak)

adalah AE, BF, CG, DH.

3

E F

A B

D

E F

A B

D

Pengetahuanmu

Apakah garis EG dan FH horizontal? Dan apakah garis CF dan BG vertikal?

I.6. Sifat-Sifat Garis Sejajar

A) Banyaknya garis yang dapat dibuat melalui satu titik di luar suatu garis

Banyaknya garis yang dapat dibuat melalui satu titik di luar suatu garis

hanya dapat ditarik satu garis yang sejajar dengan garis tersebut. Untuk lebih

paham lihat gambar dibawah ini.

4

G

C

B

A

M

P

A

Pada gambar diatas, tampak bahwa melalui titik A hanya dapat ditarik satu

garis yang sejajar dengan garis BF, yaitu garis AE

B) Dua garis sejajar yang dipotong oleh garis lain

Jika suatu garis memotong salah satu garis dari dua garis sejajar maka

garis tersebut akan memotong garis yang lain. Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika garis AB dan garis A berpotongan di garis M di titik P, maka garis M

juga akan berpotongan di garis B. Seandainya, garis M tidak memotong garis B,

pastilah garis M akan sejajar dengan garis B.Garis M dan A keduanya melalui titik

P. Jadi, melalui satu titik P (diliuar garis A) dapat dibuat dua garis sejajar dengan

suatu garis yang diketahui (garis B). Hal itu bertentangan dengan sifat yang

pertama. Pengandaian garis M tidak memotong B adalah salah. Jadi, yang benar

adalah garis M memotong garis B.

C) Sebuah garis yang sejajar dengan dua garis lain

Jika sebuah garis sejajar dengan dua garis lain maka kedua garis yang lain

itu saling sejajar. Perhatikan gambar dibawah ini.

E F

A B

D

B

cC

Jika garis AC dan AB , maka CB. Hal itu dapat dijelaskan sebagai

berikut. Seandainya garis C dan garis B tidak sejajar pastilah, keduanya

berpotongan di titik A. Jadi, melalui titik A dapat dibuat dua garis yang sejajar

dengan garis K. Hal itu tidak sesuai dengan sifat pertama. Jadi, pengandaian garis

C tidak sejajar dengan garis B adalah salah, yang benar adalah CB.

BAGIAN IISUDUT

B

A C

A

ba

B

A

D

C

II.1. Pengertian Sudut

Sebuah sudut adalah gambar bentuk oleh dua buah garis lurus yang

bertemu disuatu titik. Garis-garis tersebut adalah sisi sudut, sementara titiknya

adalah vertex (titik sudut). Lambang atau simbol sudut adalah . Dari gambar

berikut AB dan AC adalah sisi sudut,B sedangkan A titik sudut (vertex).

II.2. Menamai sudut

Sebuah sudut boleh diberi nama dengan berbagai cara seperti berikut :

1) Huruf titik sudutnya apabila hanya ada satu titik sudut, seperti .

2) Huruf kecil atau sebuah angka yang ditempatkan antara sisi-sisi sudut dekat titik

sudutnya seperti a atau b .

3) Tiga huruf dengan huruf titik sudut di antara dua titik lainnya yang terletak pada

masing-masing sudut. Berdasarkan gambar B dapat dinamai ABD atau DBA ; D

dapat dinamai BDC atau CDB .

II.3. Ukuran Sudut (besar sudut)

Ukuran sudut dapat dinyatakan dalam tiga bentuk besaran, yaitu sebagai

berikut 2:

1) Derajat

Jika busur lingkaran dibagi menjadi 360 bagian, maka besar sudut yang

menghadapi 1 bagian busur disebut 1 derajat dan ditulis 1. Jadi, satu lingkaran

penuh dikatakan besar sudutnya 360. Setengah lingkaran besat sudutnya 180, dan

seperempat lingkaran besar sudutnya 90.

2) Radian

Ukuran radian adalah ukuran sudut yang diperoleh dengan cara

membandingkan panjang busur lingkaran dengan jari-jari lingkaran. Dengan

demikian satu radian adalah besar sudut yang mempunyai panjang busur sama

dengan jari-jari lingkarannya. Besar sudut satu lingkaran penuh = radian = 2

radian. Besar sudut setengah lingkaran = radian = 180

3) Grad

Jika busur satu lingkaran penuh dibagi menjadi 400 bagian, maka besar sudut

yang menghadapi 1 bagian busur besarnya 1 grad. Jadi 1 lingkaran penuh besar

sudutnya 400 grad, setengah lingkaran besar sudutnya 200 grad = 180 = radian.

II.4. Jenis-Jenis Sudut

Sudut dibagi menjadi lima macam, yaitu sebagai berikutr :

1) Sudut lancip (Acute angle) adalah sudut yang besarnya kurang dari 90.

(0 < a < 90).

2) Sudut siku-siku (Righ angle) adalah sudut yang besarnya 90.

3) Sudut tumpul (Obtuse angle) adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 tetapi

kurang dari 180. ( 90 < b < 180)

4) Sudut lurus (Straight angle) adalah sudut yang besarnya 180.

5) Sudut refleks (Reflex angle) adalah sudut yang besarnya lebih dari 180 tetapi

kurang dari 360. (180 < d < 360).

2 www.google.co.id/aksioma dasar tentang garis dan sudut/ diakses pada 10 April 2011 pukul 20:00 WIB.

B

II.5. Sudut Pelurus, Sudut Penyiku , Sudut Bersisian , Sudut

Bertolak Belakang

Definisi :

1. Pelurus suatu sudut ialah tambahan sudut untuk menjadi 180o

2. Penyiku suatu sudut ialah tambahan sudut untuk menjadi 90o

3. Dua sudut yang satu kakinya bersekutu dan mempunyai titik sudut yang sama

disebut dua sudut bersisian

4. Dua sudut yang kedua kakinya bersambungan disebut dua sudut bertolak

belakang.

II.6. Teorema Sudut Pelurus, Penyiku, Dan Bertolak Belakang

Teorema 1. Selisih pelurus dan penyiku sudut yang sama , sama dengan 90

Diketahui : A

Buktikan : Pelurus A ± penyiku A = 90

Bukti: Pelurus A = 180- A

Penyiku A = 90 - A

Pelurus A - penyiku A = (180 - A) ±(90- A)

= 180- A - 90 + A

= 90 ......(terbukti)

Teorema 2. Dua sudut yang pelurusnya sama , akan sama besarnya

Diketahui : Pelurus A = pelurus B

Buktikan : A = B

Bukti: Pelurus A = pelurus B

180 - A = 180 - B

ABC dan CBD saling bersisian belakang

AEB dan CED sudut bertolak belakang

D

C

E

D

C

A

B

A

B

A

4

3

2

1

A

C

B

A = B .....(terbukti)

Teorema 3. Dua sudut yang penyikunya sama , akan sama besarnya

Diketahui : Penyiku A = penyiku B

Buktikan : A = B

Bukti: Penyiku A = penyiku B

90 - B = 90 - A

A = B .....(terbukti)

Teorema 4. Sudut yang bertolak belakang sama besar.

Diketahui : A 1 dan B3 saling bertolak belakang

Buktikan : A 1 = B3

Bukti: A 1 + B2 = 180 (saling berpelurus)

A 3 + B4 = 180 (saling berpelurus)

A 1 ± B3 = 0

A 1 = B3 ..... (terbukti)

II.7. Sudut-Sudut Berpasangan Dan Sifat-

Sifatnya.

Sifat-sifat sudut berpasangan adalah sebagai

berikut :

1) Sudut berdampingan (Adjacent angles) adalah dua

sudut yang mempunyai titik sudut yang sama dan salah

satu sisinya berimpit. Jika suatu sudut C dibagi menjadi

dua sudut yang berdampingan, yaitu A dan B, maka A

+ B = C.

2) Sudut bertolak belakang (vertical angles) adalah dua

sudut yang tidak berdampingan yang dibentuk oleh dua

garis yang berpotongan. Sudut-sudut yang bertolak

belakang besarnya sama. Jadi, jika AB dan CD dua garis

yang berpotongan, maka 1=3 dan 2 =4 .

4

3

2

1

A

b

aD

CB

a

b

A

D

CB

A

BC

D

a b

A B

3) Sudut komplemen (Complementary angles) adalah

dua sudut yang jumlahnya 90. Jika dua sudut komplemen

besarnya a dan b, maka a + b = 90. Dua sudut

berdampingan merupakan sudut komplemen apabila sisi-

sisi luarnya saling tegak lurus. Jadi, AB dan BC saling

tegak lurus.

4) Sudut suplemen (Supplementary angles) adalah dua

sudut yang jumlahnya 180. Jika a dan b dua sudut

komplemen, maka a + b = 180. Dua sudut berdampingan

merupakan sudut suplemen jika dari sisi-sisi luarnya dapat

dibentuk suatu garis lurus. AB dan BC terletak pada garis

lurus AC yang sama. Jika dua sudut suplemen sama besar,

maka sudutnya pastilah sudut-sudut siku-siku.

BAGIAN IIITEOREMA GARIS DAN SUDUT

III.1. Postulat Garis

Post. 1 : Hanya sebuah garis lurus dapat ditarik • •

dari dua buah titik tertentu.

Misal, AB satu-satunya garis lurus dapat ditarik

antara titik A dan B.

D

CB

A

P

A B

B

A B

M

D

C

A

C

Post. 2 : Dua buah garis lurus dapat berpotongan

hanya di sebuah titik.

Misal, hanya titik P titik potong antara AB dan

CD.

Post. 3 : Sebuah garis lurus merupakan garis

terpendek antara dua buah titik.

Misal, garis lurus AB adalah paling pendek

daripada garis lengkung atau garis patah AB.

Post. 4 : Hanya sebuah lingkaran dapat dibuat

dengan sebuah titik tertentu sebagai pusat dan

sebuah ruas (segmen) garis sebagai jari-jari.

Misal, hanya lingkaran A dapat dibuat dengan A

sebagai pusat dan AB sebagai jari-jari.

Post. 5 : Bangun geometri dapat dipindahkan

tanpa merubah ukuran dan bentuk.

Misal, I dapat dipindahkan posisinya ke posisi

yang baru tanpa mengubah ukuran dan bentuk.

Post. 6 : Sebuah ruas garis lurus hanya memilki

satu titik tengah. •

Misal, Hanya M titik tengah AB.

Post. 7 : Sebuah sudut hanya mempunyai satu

garis bagi.

Misal, hanya AD garis bagi sudut A.

A

I

I

BAP

P

CBA

BA

A B

Post. 8 : Melalui sebuah titik pada sebuah garis

lurus hanya dapat dibuat sebuah garis lurus yang

tegak lurus pada garis tersebut.

Misal, jika P pada AB maka hanya PC ┴ AB.

Post. 9 : Melalui sebuah titik di luar sebuah garis

lurus hanya dapat dibuat sebuah garis lurus yang

tegak lurus pada garis tersebut.

Misal, jika P di luar AB maka hanya PC ┴ AB.

III.2. Teorema (Dalil) Dasar Sudut

Teorema adalah suatu pernyataan yang harus dibuktikan. Teorema-

Teorema berikut untuk membuktikannya diperlukan definisi, aksioma, atau

postulat. Prinsip termasuk pernyataan geometri yang sama pentingnya dengan

teorema, aksioma, postulat, dan definisi3.

Prinsip 1: Semua sudut tegak lurus adalah sama.

A= B

Prinsip 2: Semua sudut lurus adalah sama.

A= B

Prinsip 3: Komplemen sudut yang sama atau sama

besar adalah sama. Ini merupakan kombinasi

prinsip (a) komplemen sudut yang sama adalah

sama (A=B masing-masing komplemen dari

X); (b) Komplemen sudut yang sama besar

adalah sama (C=D masing-masing

komplemenya adalah Xdan Y).

Prinsip 4: Suplemen sudut yang sama adalah sama.

3 Sudirman, Cerdas Aktif Matematika. (Jakarta : Ganeca Exact, 2007) Hal. 188

XA

B

YX

C D

B

CA

DC

B

C

A

D

B

C

A

D

5 6

1 2

4 3

Ini merupakan kombinasi prinsip (a) suplemen

sudut yang sama adalah sama (A=B masing-

masing suplemen dari X); (b) Suplemen sudut

yang sama besar adalah sama (C=D masing-

masing suplemenya adalah Xdan Y).

Prinsip 5: Sudut bertolak belakang adalah sama.

A=B mengikuti prinsip 4, karena A dan B

merupakan suplemen dari sudut yang sama, yaitu

C.

III.3. Garis Sejajar, Jarak, Kongruensi, Dan Hubungan Antar

Sudut

A. Garis sejajar

Dua buah garis sejajar adalah dua buah garis lurus pada suatu bidang yang

sama yang tidak berpotongan walaupun diperpanjang sampai jauh tak hingga.

Simbol sejajar adalah ║. Misal, AB ║CD dibaca “AB sejajar CD”.

Garis potong (transversal) dari dua buah garis atau lebih adalah garis yang

memotong garis-garis tersebut. Misal, EF merupakan garis potong AB dan CD.

Sudut dalam adalah sudut antara dua garis dengan garis potongnya;

sedangkan Sudut luar adalah sudut yang berada di luar dua garis tersebut. Misal,

dalam gambar di samping 1, 2 , 3, dan 4 merupakan sudut-sudut dalam;

sedangkan 5, 6 , 7 , dan 8 merupakan sudut-sudut luar.

YX

8 7

A

BP

B. Sudut-sudut berpasangan yang dibentuk oleh dua garis sejajar dipotong

oleh garis suatu garis potong (Transfersal).

Dari gambar garis sejajar AB dan CD yang dipotong oleh garis EF di atas

didapat pasangan sudut-sudut yang disebut :

1) Sudut sehadap, yaitu sudut yang arah bukanya sama. Dari gambar di atas,

sudut-sudut yang sehadap, adalah masing-masing pasangan 1 dengan 8, 2

dengan 7 , 3 dengan 6 , dan 4 dengan 5.

2) Sudut dalam berseberangan, yaitu sudut-sudut antara dua garis sejajar yang

posisinya berseberangan dari garis potong. Dari gambar di atas, sudut-sudut

dalam berseberangannya adalah masing-masing pasangan 1, dengan 3, dan

2 , dengan 4 .

3) Sudut luar berseberangan, yaitu sudut-sudut di sebelah luar dua garis sejajar

yang posisinya berseberangan dari garis potong. Dari gambar di atas, sudut-

sudut luar berseberangannya adalah masing-masing pasangan 5 dengan 7

serta 6 , dengan 8

C. Prinsip-prinsip garis sejajar (Postulat garis sejajar)

Prinsip 1 : Melalui sebuah titik di luar suatu garis lurus, hanya dapat di tarik

sebuah garis yang sejajar dengan garis tersebut. (Melalui titik P hanya ada satu

garis A sejajar B)

•

Pembuktian bahwa dua garis sejajar

Prinsip 2 : Dua garis sejajar, jika sudut-sudut sehadapnya sama besar. (A║B ,

jika C = D )

B

C A

D

BD

CA

BD

CA

C

C

C

B

A

B

C

A

Prinsip 3 : Dua garis sejajar, jika sudut-sudut dalam berseberangannya sama

besar. (A║B , jika C = D )

Prinsip 4 : Dua garis sejajar, jika sudut-sudut dalamnya saling bersuplemen atau

jumlahnya 180. (A║B , jika C dan D saling bersuplemen atau C + D =

180).

Prinsip 5 : Dua garis sejajar, jika kedua garis tersebut tegak lurus terhadap suatu

garis yang sama. (A║B, jika A C dan B C)

Prinsip 6 : Dua garis sejajar, jika sudut-sudut dalam berseberangannya sama

besar. (A║B, jika A ║C dan B║C)

Aa

BD

AC

BD

C

B

AC

D

A

B

C

Sifat-sifat garis sejajar

Prinsip 7 : Jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut sehadapnya sama besar. (jika

A║B , maka C = D)

Prinsip 8 : Jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dalam berseberangannya sama

besar. (Jika A║B , maka C = D )

Prinsip 9 : Jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dalamnya saling bersuplemen

atau jumlahnya 180. (Jika A║B , maka C dan D saling bersuplemen atau

C + D = 180).

Prinsip 10 : Jika dua garis sejajar, maka kedua garis tersebut tegak lurus terhadap

suatu garis yang sama. (Jika A║B, maka A C dan B C)

B

A

C

B

b

C

A

a

cD

Prinsip 11 : Jika dua garis sejajar, maka sudut-sudut dalam berseberangannya

sama besar. (Jika A║B, maka A║C dan B║C)

Prinsip 12 : Jika sisi-sisi dua buah sudut masing-masing saling sejajar, maka baik

sudutnya maupun sudut suplemennya sama besar. (Jika A║C dan B║D, maka

a= b dan a + c = 180)

DAFTAR PUSTAKA

Harta , Idris. 2006. Matematika Bermakna. Mediatama . Surakarta .

Sudirman. 2007.Cerdas Aktif Matematika. Ganeca Exact. Jakarta.

www.google.co.id/aksioma dasar tentang garis dan sudut/ diakses pada

10 April 2011 pukul 20:00 WIB.

TUGAS MATA KULIAH GEOMETRI

AKSIOMA DASAR TENTANG GARIS DAN SUDUT

Oleh Kelompok 1 :

Sharikha Al Mustashrikha Shintia Farizka Muhammad Taufiq

Dosen Pembimbing : Abul Walid, S.PdI

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN TADRIS

FAKULTAS TARBIYAH

IAIN STS JAMBI

2011