WORKSHOP MATEMATIKA

Ardiansyah 201013500600Indri dwi 201013500581Siti rohmawati 201013500572Berlian natalia 201013500608Yustitia 201013500596

H O M E M E N U

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat bentuk umum persamaan kuadrat akar-akar persamaan kuadrat jumlah & hasil kali persamaan kuadratmembentuk persamaan kuadrat baru pertidaksamaan kuadrat

Persamaan Eksponen persamaan eksponen (sifat-sifat eksponen) bentuk persamaan eksponen

Logaritma fungsi logaritma persamaan logaritma

Persamaan & Pertidaksamaan Kuadarat

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Bentuk umum :

a = koefisien x2 ; b = koefisien x ; c = konstanta

Jika a = 1 dan b dan c ≠ 0

b = 0 (persamaan kuadrat sempurna)

c = 0 (persamaan kuadrat tidak lengkap)

Akar-akar Persamaan Kuadrat

• Memfaktorkan

Untuk menyelesaikan akar persamaan kuadrat dari sebuah persamaan dengan cara memfaktorkan, pahamilah berikut ini!

ax2 + bx + c = 0

maka dengan demikian,

x2 + bx + c = 0 maka bentuk faktornya (x + m)(x + n)

ax2 + bx + c = 0 maka faktornya (ax + m)(x + n) dgn a ≠ 1

x2 + c = 0 maka faktornya (x + m)(x – m) dgn c = m2

Hasil kaliHasil jumlah

You must remember this

!!!

Akar-akar Persamaan Kuadrat

1. Akar-akar persamaan x² - 6x + 9 = 0 adalah p dan q, maka nilai p dan q adalah ....

Jawab :

x² - 6x + 9 = 0

(x - 3) (x - 3)

x=3 x=3

maka p = 3 dan q = 3

2. Akar-akar persamaan x² + 13x + 42 = 0Tentukanlah nilai x₁ -x₂,

dengan syarat x₁ lebih besardari x₂. Jawab :x² + 13x + 42 = 0(x + 6) (x + 7)X₁ = -6 x₂ = -7Maka x₁ - x₂ = -6 – (-7)

= 1

Akar-akar Persamaan Kuadrat

• Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan menggunakan cara ini adalah yang berbentuk :

Maka cara melengkapkan kuadrat sempurna ialah :

(x + p)2 = x2 + 2px + p2

(x – p)2 = x2 – 2px + p2

x2 ± bx + (½b)2= (x ± ½b)2

Akar-akar Persamaan Kuadrat

• Melengkapkan kuadrat sempurna

contoh:

1. x2 – 2x – 2 = 0 2. x2 + 6x + 2 = 0

x2 – 2x = 2 x2 + 6x = - 2

(x – 1)2 = 2 + 12 (x + 3)2 = - 2 + 32

(x – 1)2 = 3 (x + 3)2 = 7

x – 1 = x + 3 =

x1,2 = + 1 x1,2 = - 3

x1 = + 1 x1 = - 3

x2 = + 1 x2 = = 3

7

7

3

3

7

7

Akar – Akar Persamaan Kuadrat• Menggunakan Rumus ABC

Jika suatu bentuk persamaan kuadrat umum ax2 + bx + c = 0 dengan

a sebagai koefisien x2 ; b sebagai koefisien x dan c merupakan

konstanta. Maka akar persamaan dapat diketahui dengan rumus

ABC , yaitu :

Contoh :

1. Carilah akar-akar dari persamaan x2 -10x + 13 = 0

Jawab :

a = 1 ; b = -10 ; c = 13 , maka

Akar – Akar Persamaan Kuadrat

Contoh :

2. Carilah akar-akar dari persamaan 2x2 – 4x – 3 = 0

Jawab :

a = 2 ; b = - 4 ; c = - 3 , maka

Akar – Akar Persamaan Kuadrat

You do, you try, and you can !!!

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

Rumus-rumus penting :

x1 + x2 = x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

x1 x2 = x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

contoh : tentukan x12 + x2

2 dari persamaan x2 -7x + 5 = 0 !

Jawab :

x2 – 7x + 5 = 0 (a = 1 ; b = - 7 ; c = 5)

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

x12 + x2

2 = ( )2 – 2 ( )

x12 + x2

2 = (7)2 – 2(5)

x12 + x2

2 = 49 – 10 = 39

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar

2. Tentukan x13 + x2

3 dari persamaan x2 -7x + 5 = 0 !

Jawab :

x2 – 7x + 5 = 0 (a = 1 ; b = - 7 ; c = 5)

x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1 + x2)

x13 + x2

3 = ( )3 – 3 ( )( )

x13 + x2

3 = (7)3 – 3(5)(-7)

x13 + x2

3 = 49 + 105 = 154

Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

Rumus menentukan persamaan kuadrat baru :

• Menggunakan rumus jumlah & hasil kali akar

x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

• Menggunakan perkalian faktor

(x – x1)(x – x2) = 0

contoh :

1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -1 dan 5 !

Jawab :

(x – x1)(x – x2) = 0 (x –(-1)) (x – 5) = 0

(x + 1)(x – 5) = 0

x2 – 4x – 5 = 0

Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

2. Persamaan kuadrat x2 – 2x – 1 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 – 2 dan x2 – 2 !

Jawab :

x2 – 2x – 1 = 0 (a = 1 ; b = -2 ; c = -1)

x1 + x2 = 2 x1 . x 2 = -1

α + β = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2) = 3(2) = 6

α . β = 3x1 . 3x2 = 9x1 . x2 = 9(-1) = -9

Persamaan kuadrat baru – (x1 + x2)x + x1x2 = 0

x2 – (6)x + (-9) = 0

x2 – 6x – 9 = 0

Langkah – langkah menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat :

1. Menjadikan ruas kanan menjadi nol

2. Mengubah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat

3. Mengubah bentuk persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor

4. Menentukan nilai pembuat nol

5. Melukis garis bilangan & tempatkan nilai pembuat nol

6. Menentukan tanda (+) atau (-) dengan mensubstitusi bilangan interval pada garis bilangan

7. Menentukan himpunan penyelesaiannya

Pertidaksamaan Kuadrat

Contoh soal :

Tentukan HP dari : a. x2 – 2x – 3 ≥ 0 b. x2 – x – 2 < 0

Jawab :

a. x2 – 2x – 3 ≥ 0 b. x2 – x – 2 < 0

(x – 3)(x + 1) ≥ 0 (x – 2)(x + 1) < 0

x1 = 3 x2 = - 1 x1 = 2 x2 = -1

HP = {x|x < -1 atau x > 3} HP = {x| - 1 < x < 2}

Pertidaksamaan Kuadrat

-1 3

- - - ++++++

-1 2

- - - ++++++

Persamaan Eksponen

Sifat – Sifat Eksponen

1. Bentuk af(x) = 1 (dgn a > 0 dan a ≠ 0, maka f(x) = 0)

Contoh : tentukan HP dari 35x–10 = 1

Jawab : 35x–10 = 1 35x–10 = 30

5x–10 = 0

5x = 10

x = 2

2. Bentuk af(x) = aP (dgn a > 0 dan a ≠ 0, maka f(x) = p)

Contoh : tentukan HP dari 52x–1 = 625

Jawab : 52x–1 = 625 52x–1 = 53

2x–1 = 3

2x = 4

x = 2

Persamaan Eksponen

3. Bentuk af(x) = ag(x) (dgn a > 0 dan a ≠ 0, maka f(x) = g(x) )

Contoh : tentukan HP dari 25x+2 = (0,2)1–x

Jawab : 25x+2 = (0,2)1–x 25x+2 = (0,2)1–x

52(x+2) = 5-1(1–x)

2x + 4 = -1 + x

x = -5

4. Bentuk af(x) = bf(x) (dgn a > 0 dan a ≠ 0, b > 0 dan b ≠ 0, dan a ≠ b, maka f(x) = 0)

Contoh : tentukan HP dari 6x–3 = 9x–3

Jawab : 6x–3 = 9x–3 6x–3 = 9x–3

x–3 = 0

x = 3

Persamaan Eksponen

5. Bentuk A (af(x))2 + B (af(x)) + C = 0

misal af(x) = p,maka berubah menjadi Ap2 + Bp + C = 0

Contoh : tentukan HP dari 22x – 2x+3 + 16 = 0

Jawab :

22x – 2x+3 + 16 = 0 (22)x – 2x . 23 + 16 = 0

misal 2x = p , menjadi

p2 – 8p + 16 = 0

(p – 4)(p – 4) = 0

p = 4

untuk p = 4 2x = 4 2x = 22 x = 2

Persamaan Eksponen

Fungsi Logaritma

1. Bentuk alog f(x) = alog m (jika alog f(x) = alog m, maka f(x) = m)

Contoh : tentukan HP dari 2log (x2 – 4x + 5) = 1

Jawab : 2log (x2 – 4x + 5) = 1 2log (x2 – 4x + 5) = 2log 2

x2 – 4x + 5 = 2

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

HP = {1,3}

2. Bentuk alog f(x) = blog f(x) (jika alog f(x) = blog f(x), a tdk sebasis b →f(x) = 1)

Contoh : tentukan HP dari 2log (x2 –x + 1) = 5log (x2 –x + 1)

Jawab : x2 –x + 1 = 1 x2 –x = 0 x(x – 1) = 0

x1 = 0 atau x2 = 1

Persamaan Logaritma

3. Bentuk alog f(x) = alog g(x) (jika alog f(x) = alog m, maka f(x) = g(x))

Contoh : tentukan HP dari log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2)

Jawab : x2 + 5x – 7 = x – 2 x2 + 4x – 5 = 0

(x + 5)(x – 1) = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

HP = {1,3}

4. Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x) (jika f(x)log g(x) = f(x)log h(x), →g(x) = h(x))

Contoh : tentukan HP dari xlog (2x + 1) = 1

Jawab : xlog (2x + 1) = 1 xlog (2x + 1) = xlog x

2x + 1 = x

x = -1

Persamaan Logaritma

5. Bentuk A (alog x2 + B (alog x) + C = 0

misal alog x= y,maka berubah menjadi Ay2 + By + C = 0

Contoh : tentukan HP dari 2log2 x– 3log x+ 1 = 0

Jawab :

2log2 x– 3log x+ 1 = 0 2(log x)2 – 3log x + 1 = 0

misal log x = y , menjadi

2y2 – 3y + 1 = 0

(2y – 1)(y – 1) = 0

y1 = ½ atau y2 = 1

untuk y = ½ log x = ½ x = 10½ x =

untuk y = 1 log x = 1 x = 101 x = 10

Persamaan Logaritma

10