4.1 Tentukan akar-akar nyata dari:(a) Secara grafik.Diasumsikan Xo = -1,6 dan X1 = -0,4Selang 0,4XF(X)

-1,6-2,41

-1,2-0,73

-0,80,67

-0,41,78

Maka X = -0,8

Selang 0,2XF(X)

-1,6-2,41

-1,4-1,54

-1,2-0,73

-1,00,003

-0,80,67

-0,61,26

-0,41,78

Maka X = -1,0

Selang 0,1XF(X)

-1,6-2,41

-1,5-1,96

-1,4-1,54

-1,3-1,12

-1,2-0,73

-1,1-0,36

-1,00,003

-0,90,34

-0,80,67

-0,70,97

-0,61,26

-0,51,53

-0,41,78

Maka X = -1,0

Jadi, akar-akar nyata dari metode grafik adalah X = -0,8 dan X = -1,0(b) Menggunakan formula kuadratik.

Jadi, akar-akar nyata dari metode formula kuadratik adalah X = -1 dan X = 3

(c) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagidua untuk menentukan akar tertinggi. Lakukan tebakan awal dengan dan . Hitunglah kesalahan taksiran dan kesalahan sebenarnya setelah setiap iterasi.

Iterasi pertama F(Xi) = -0,874(2,9)2 + 1,75(2,9) + 2,627 = 0,35 F(Xr) = -0,874(3)2 + 1,75(3) + 2,627 = 0,011 F(Xi).F(Xr) = 0,35 x 0,011 = 0,003 F(Xi).F(Xr) > 0 Maka, akar terletak pada sub interval kedua dan Xi baru = Xr

Iterasi kedua

F(Xi) = -0,874(3)2 + 1,75(3) + 2,627 = 0,011 F(Xr2) = -0,874(3,05)2 + 1,75(3,05) + 2,627 = -0,17 F(Xi).F(Xr) = 0,35 x (-0,17) = -0,00187 F(Xi).F(Xr) < 0 Maka, akar terletak pada sub interval pertama dan Xu baru = Xr

Iterasi ketiga

F(Xr3) = -0,874(3,025)2 + 1,75(3,025) + 2,627 = -0,07 F(Xi).F(Xr) = 0,35 x (-0,07) = -0,0245 F(Xi).F(Xr) < 0 Maka, akar terletak pada sub interval pertama.

Jadi, akar-akar nyata dari metode bagidua adalah X = 3 dan X = 3,05 dan

4.2 Tentukan akar-akar nyata dari:

(a) Secara grafik.Diasumsikan Xo = 0,40 dan X1 = 0,50Selang 0,2XF(X)

0,40-0,19

0,42-0,13

0,44-0,06

0,46-0,0037

0,480,056

0,500,1

Maka X = 0,46

Selang 0,1XF(X)

0,40-0,19

0,41-0,16

0,42-0,13

0,43-0,09

0,44-0,06

0,45-0,03

0,460,0037

0,470,026

0,480,056

0,490,08

0,500,1

Maka X = 0,46

Jadi, akar-akar nyata dari metode grafik adalah X = 0,46

(b) Menggunakan bagidua untuk menempatkan akar terendah. Lakukan tebakan awal dengan dan dan iterasikan hingga jatuh di bawah satu tingkat

Iterasi pertama F(Xi) = -2,1 + 6,21(0,4) 3,9(0,4)2 + 0,667(0,4)3 = -0,19 F(Xr) = -2,1 + 6,21(0,5) 3,9(0,5)2 + 0,667(0,5)3 = 0,11 F(Xi).F(Xr) = (-0,19) x 0,11 = -0,0209 F(Xi).F(Xr) < 0 Maka, akar terletak pada sub interval pertama dan Xu baru = Xr

Iterasi kedua

F(Xr2) = -2,1 + 6,21(0,45) 3,9(0,45)2 + 0,667(0,45)3 = -0,03 F(Xi).F(Xr) = (-0,19) x (-0,03) = 0,0057 F(Xi).F(Xr) > 0 Maka, akar terletak pada sub interval kedua dan Xi baru = Xr

Iterasi ketiga

F(Xi) = -2,1 + 6,21(0,45) 3,9(0,45)2 + 0,667(0,45)3 = -0,03 F(Xr) = -2,1 + 6,21(0,475) 3,9(0,475)2 + 0,667(0,475)3 = 0,04 F(Xi).F(Xr) = (-0,03) x 0,04 = -0,0012 F(Xi).F(Xr) < 0 Maka, akar terletak pada sub interval pertama dan Xu baru = Xr

Iterasi keempat

F(Xr) = -2,1 + 6,21(0,4625) 3,9(0,4625)2 + 0,667(0,4625)3 = 0,0039 F(Xi).F(Xr) = (-0,03) x 0,0039 = -0,000117 F(Xi).F(Xr) < 0 Maka, akar terletak pada sub interval pertama dan Xu baru = Xr

Jadi, akar-akar nyata dari metode bagidua adalah X = 0,45 dan X = 0,475 dimana nilai tersebut memiliki yang jatuh di bawah satu tingkat .

4.3Tentukan akar-akar nyata dari:f(x) = -23,33 + 79,35x 88,09x2 + 41,6x3 8,68x4 + 0,658x5a) Secara grafikb) Menggunakan metode bisection (bagidua) untuk menentukan akar tertinggi terhadap s = 1%. Lakukan tebakan awal dengan xi = 4,5 dan xu = 5c) Lakukan perhitungan yang sama seberti b), namun menggunakan metode false position (posisi salah)

Jawaban

a) Metode grafik

Metode sederhana untuk mengestimasi akar persamaan f(x) adalah dengan mencari x yang akan menyebabkan f(x) = 0 adalah dengan membuat plot fungsi dan mengamati kapan fungsi tersebut melintasi sumbu-x. Beberapa nilai x disubstitusikan ke persamaan komputasi.

xf(x)

-3-2233.12

-2-818.806

-1-198.308

0-23.33

1-24.532

267.426

3600.844

lalu didapatkan grafik,

dan pada grafik terlihat nilai f(x) = 0 terjadi ketika x = 1,6.Apabila x = 1,6 dimasukkan ke dalam persamaan polinomial maka,

f(x) = -23,33 + 79,35x 88,09x2 + 41,6x3 8,68x4 + 0,658x5f(1,6) = -23,33 + 79,35(1,6) 88,09(1,6)2 + 41,6(1,6)3 8,6(1,6)4 + 0,65(1,6)5f(1,6)= -0,13917 0

Perbandingan dengan program Microsoft ExcelSetelah melalui beberapa pencarian f(x) mendekati 0, maka ditemukan maka akar persamaan polinomial f(x) = -23,33 + 79,35x 88,09x2 + 41,6x3 8,68x4 + 0,658x5 adalah x = 1,60134 karena nilai f(x) nya paling mendekati 0.

Jika dibandingkan dengan menghitung memakai program Microsoft Excel, hasil dari analisis grafik juga berkisar pada x 1,6. Namun, mencari akar persamaan dengan program komputer jauh lebih akurat dan cepat.

b) Menggunakan metode bagidua untuk menentukan akar tertinggi terhadap s = 1%. Lakukan tebakan awal dengan xi = 4,5 dan xu = 5

xi : harga x terendahxu: harga x tertinggi

xr: taksiran pertama akar

lalu harga xr dievaluasi untuk menentukan subinterval mana yang akan memuat harga akar dengan cara sebagai berikut:Jika f(xi ).f(xr) < 0, akar terletak pada subinterval pertama, maka xr = xu baru.Jika f(xi ).f(xr) > 0, akar terletak pada subinterval kedua, maka xr = xi baru.Jika f(xi ).f(xr) = 0, maka proses komputasi berhenti dan akarnya = xr.Buat taksiran akar baru = xr baru dari,

Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat dengan kebutuhan yaitu biasanya |a| |s| yang ditentukan. Jika ya hentikan komputasi, jika tidak kembali lagi ke evaluasi.

Melihat grafik pada soal a), tampak tidak ada akar persamaan di kisaran 4,5 5, dan ketika dilakukan metode bagidua, iterasi yang dilakukan cenderung divergen jika xi = 4,5 dan xu = 5 maka xi diganti menjadi 1,6 dan xu diganti menjadi 1,62 serta melakukan iterasi hingga didapat s = 1% atau 0,01.

Iterasixixuxrf(xi)f(xr)Keterangans

11.61.621.61-0.139170.912656186f(xi).f(xr)0 ; xi baru = 1.588055

21.5880551.71.599721-1.3592911.684359-0.16812919f(xi).f(xr)>0 ; xi baru = 1.5997210.72924701

31.5997211.71.601143-0.1681211.684359-0.020316892f(xi).f(xr)>0 ; xi baru = 1.6011430.08884198

41.6011431.71.601315-0.0203611.684359-0.002453001f(xi).f(xr)>0 ; xi baru = 1.6013150.01071308

dengan hanya melakukan empat kali iterasi dengan rentang xi dan xu lebih besar dari pada rentang xi dan xu yang digunakan pada metode bagidua b), maka metode posisi salah ini dapat dikatakan lebih akurat.

4.4Tentukan akar real dari ln x = 0,5a) Secara grafikb) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagidua dengan tebakan awal xi = 1 dan xu = 2c) Menggunakan tiga iterasi dari metode posisi salah dengan tebakan awal yang serupa pada b)

Jawaban

a) Secara grafik

f(x) = ln (x) = 0,5Maka dicari akar real persamaan ln (x) yang mendekati 0,5.

xf(x) = ln (x)

10

1.10.09531018

1.20.182321557

1.30.262364264

1.40.336472237

1.50.405465108

1.60.470003629

1.70.530628251

1.80.587786665

1.90.641853886

20.693147181

xf(x) = ln (x)

1.60.470003629

1.610.476234179

1.620.482426149

1.630.488580015

1.640.494696242

1.650.500775288

1.660.506817602

1.670.512823626

1.680.518793793

1.690.524728529

1.70.530628251

sehingga didapat grafik untuk menentukan akar real ln x = 0,5 yakni x yang paling mendekati adalah x = 1,65

b) Menggunakan tiga iterasi dari metode bagidua dengan tebakan awal xi = 1 dan xu = 2Iterasixixuxrf(xi)f(xr)Keterangankesalahan

1121.500.405465108f(xi).f(xr)>0 ; xu baru = 1.5

21.521.750.4054651080.559615788f(xi).f(xr)>0 ; xi baru = 1.7514.28571429

31.7521.8750.5596157880.628608659f(xi).f(xr)>0 ; xi baru = 1.8756.666666667

menentukan akar real persamaan ln(x) dengan metode bagidua cenderung menghasilkan hasil yang divergen karena fungsi ln sendiri yang tidak bisa menghasilkan bilangan negatif.

c) Menggunakan tiga iterasi dari metode posisi salah dengan tebakan awal yang serupa pada b)Iterasixixuxrf(xi)f(xu)f(xr)Keterangan

112100.69314720f(xi).f(xr)=0 ; x = xr = 1

iterasi hanya dilakukan satu kali karena f(xi).f(xr) = 0 pada iterasi pertama sehingga akar persamaannya realnya adalah 1. Metode grafik lebih akurat dalam menentukan persamaan ln(x).

5.1. Gunakan metode Newton-Raphson untuk menemukan akar tertinggi dari :

Lakukan suatu tebakan awal dari . Kerjakan komputasi hingga lebih kecil dari . Juga lakukan suatu pengecekan kesalahan dari jawaban akhir anda.Jawab :Tebakan Awal

Turunan pertama dari fungsi dapat dievaluasi sebagai berikut:

Dimana dapat disubsitusikan bersama fungsi semula ke dalam Persamaan berikut ini:

Dimulain dengan sebuah tebakan awal , persamaan iteratif ini dapat diterapkan seperti dibawah ini:1. Iterasi 10.

0. 0.

1. Iterasi 21.

1. 1.

1. Iterasi 32.

2. 2.

1. Data Iterasi Newton Raphson Iterasixi+1

13,0023813,25%

23,0000010,079%

330,000033%

Jadi akar tertinggi dari adalah x = 3Menggunakan Program Microsoft Excel

3,1-0,35875-3,6753,0023813,251387787 %

3,002381-0,008338294-3,504173,0000010,079317857 %

3,000001-4,95442E-06-3,534,71849E-05 %

Jadi akar tertinggi dari adalah x = 3Pengecekan KesalahanHasil yang didapatkan pada persoalan di atas dapat dicek kesalahannya dengan menggunakan persamaan berikut ini:

Persamaan di atas dapat diterapkan pada hasil-hasil dari soal di atasSolusi:Turunan pertama dari adalah :

yang dapat dievaluasikan pada sebagai berikut :

Turunan kedua adalah :

Hasil-hasil ini dapat dimasukkan ke dalam persamaan agar memenuhi:

Atau

Dari soal di atas, kesalahan awal adalah, yang dapat dimasukkan ke dalam persamaan kesalahan untuk meramalkan:

5.2 Tentukan akar-akar nyata dari: f(x)= -2,1 + 6,21x 3,9x2 + 0,667x3(a) Secara grafik(b) Menggunakan metode Newton-Raphson dalam s=0,01%

Jawab (a) Secara grafik Asumsi yang digunakan yaitu menggunakan asumsi awal X0= -4 sampai X1=2Selang yang digunakan yaitu x = 0,5

xy

-2-35,4

-1,5-22,44

-1-12,8

0,5-6,26

0-2.1

0.50,11

10,877

1.50,69

20,056

Pada grafik, nilai x yang dimana y-nya mendekati nilai 0 jatuh ketika x= 2.

Untuk membuktikan keakuratan perhitungan maka dibuat kembali dengan selang x=0.25

Asumsi yang digunakan yaitu menggunakan asumsi awal X0= -1 sampai X1=2.5Selang yang digunakan yaitu x = 0.25

xy

-1-12,87

-0,75-9,23

-0,5-6,26

-0,25-3,9

0-2,1

0,25-0,78

0,50,1

0,750,64

10,87

1,250,87

1,50,69

1,750,398

20,056

Berdasarkan perhitungan dan grafik didapatkan kesimpulan bahwa dengan menggunakan selang x=0,25, nilai y yang mendekati 0 jatuh pada x = 2. Sehingga disimpulkan bahwa akar nyata yaitu x=2 dengan nilai y sebesar 0,056.

(b) Metode Newton Raphson- Trial 1Xi = 2.03 ; f(Xi)= 0,01453f(Xi) = 6,21 37.8x + 2,001x2 sehingga f(2.03)= -62,2781Xi+1 = = =2.030a x 100% x Kesimpulannya adalah bahwa akar dari -2,1 + 6,21x 3,9x2 + 0,667x3 adalah x= 2.03

5.7. Gunakan metode Newton-Raphson dengan tebakan awal x=7 dengan 4 kali iterasiF(x)= x4-8.6x3-35,51x2+464x-998,46

- Trial 1Xi = 7 ; f(Xi)= 3440,73f(Xi) = 4x3-25,8x2-71.02+464 sehingga f(7)= 74,66Xi+1 = = =-39,08a x 100% x -Trial 2Xi = -39,08 ; f(Xi)= 2880872f(Xi) = 4x3-25,8x2-71.02+464 sehingga f(-39,08)= -274903Xi+1 = = =-28,6004a x 100% x

- Trial 3Xi = -28,6 ; f(Xi)= -112183f(Xi) = 4x3-25,8x2-71.02+464 sehingga f(-28,6)= -20,7Xi+1 = = =-20,7a x 100% x

- Trial 4Xi = -20,7 ; f(Xi)= 264495,9f(Xi) = 4x3-25,8x2-71.02+464 sehingga f(-20,7)= -44599,9Xi+1 = = = -14,76a x 100% x Kesimpulannya adalah berdasarkan keempat iterasi yang telah dilakukan, yang memiliki nilai error paling sedikit adalah x=-39,08. Namun untuk akar positifnya, yang memiliki nilai error paling sedikit yaitu 7. Hal ini terjadi karena pada soal hanya diminta untuk melakukan iterasi sebanyak 4 kali dan dimulai dari nilai x=7. Sehingga akar nyata positif dari persamaan x4-8.6x3-35,51x2+464x-998,46 adalah 7 dengan error yang sangat besar 117,90%

5.6. Cari akar nyata positif dari:

dengan menggunakan metode secant. Kerjakan tebakan awal dan . Lakukan sebanyak empat interasi. Hitunglah dan interpretasikan hasil-hasil anda.Jawab:METODE NEWTON-RAPHSONPertama kita harus mencari hasil akhir dengan menggunakan Newton-Raphson

Turunan pertama dari fungsi dapat dievaluasi sebagai berikut:

Dimana dapat disubsitusikan bersama fungsi semula ke dalam Persamaan berikut ini:

Dimulai dengan sebuah tebakan awal , persamaan iteratif ini dapat diterapkan seperti dibawah ini:1. Iterasi 14.

4. 4.

1. Iterasi 25.

5. 5.

1. Data Iterasi Newton Raphson Iterasixi+1

17,3726510,012%

27,3719740,0092%

Jadi akar dari adalah x = 7,371974METODE SECANTMetode yang digunakan adalah sebagai berikut:

Aproksimasi ini dapat dimasukkan ke dalam Persamaan berikut agar memenuhi persamaan iterasi berikut:

Berdasarkan metode Newton-Raphson didapatkan hasilnya adalah 2,372028 Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi 5

Iterasi 6

Iterasi 7

1. Data Iterasi metode Secant Iterasixi+1

17,124193,36%

27,210921232,18%

37,4047035830,44%

47,3655003040,08%

57,3696202390,032%

67,3697243920,03%

77,3697240780,03%

Jadi akar dari adalah x = 7,369724078Menggunakan Program Microsoft Excel

79-39,25592,837,12419314336,112

97,124193592,83-28,7397,210923272,184635

7,124193147,210923-28,739-19,85327,4047025480,443959

7,210923277,404703-19,85325,0349727,3655003040,087815

7,4047025487,36555,034972-0,591297,3696202390,031929

7,3655003047,36962-0,59129-0,014587,3697243920,030516

7,3696202397,369724-0,014584,41E-057,3697240780,03052

Jadi akar dari adalah x = 7,369724078