Irisan kerucut

BAB II

IRISAN KERUCUT

A. Pengertian Irisan kerucut

1. Definisi Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut

lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu.

2. Macam – Macam Irisan Kerucut

Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

Jika bidang yang mengiris melalui puncak kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa titik.

Jika bidang yang mengiris berimpit dengan garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa sebuah garis.

Jika bidang yang mengiris melalui sumbu simetri kerucut dan tegak lurus lingkaran alas,

maka irisan terbentuk berupa segitiga. Jika bidang yang mengiris tegak lurus sumbu simetri kerucut, tetapi tidak melalui

puncak, maka irisan yang terbentuk berupa lingkaran.

Jika bidang yang mengiris sejajar garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa parabla.

Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, maka irisan yang terbentuk berupa elips.

Jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, memotong lingkaran alas, dan tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut maka irisannya berbentuk hiperbola.

B. LINGKARAN

a. Pengertian lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik

tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran.

b. Menentukan Persamaan Lingkaran

1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r

Perhatikan gambar di bawah ini !

Y Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada Gambar di samping adalah :

P(x,y)

x2 + y2 = r2

X

Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran.

a. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2 + y2 = r2. b. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r2. c. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2 + y2 > r2.

r

O

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 !

Jawab:

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 52

x2 + y2 = 25

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 ! Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r2 = 5 berarti r = 5 .

2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r

Y P(x,y)

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

b

X O a

Contoh:

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 ! Jawab:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 72

(x – a)2 + (y – b)2 = 49

2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya ! Jawab:

Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka : (4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r2

62 + 82 = r2

r2 = 100

Persamaan lingkarannya : (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 100

3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan menjadi suku-suku

yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r2

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0

atau ditulis :

x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0

Dengan :

r (a,b)

1) Pusat lingkaran P(-2

1A, -

2

1B)

2) Jari-jari lingkaran r = CBA 22 )2

1()

2

1(

Contoh:

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 ! Jawab:

Pusat lingkaran = P(-2

1A, -

2

1B) = P(-3, -2)

Jari-jari lingkaran :

r = 416349323 22

Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4.

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 !

Jawab:

3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0

x 2 + y 2 - 3

4x +

3

8y –

3

1= 0

Pusat P(-2

1A, -

2

1B) = P(

6

8,

6

4 ) = P(

3

4,

3

2 )

Jari-jari r = CBA 22 )2

1()

2

1(

r = 3

1)

3

4()

3

2( 22

r = 233

1

9

23

c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaaan garis

singgung di titik P(x1,y1) adalah :

x1. x + y1. y = r2

Y

P(x,y)

X

g

Contoh:

Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan

persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) ! Jawab:

x1. x + y1. y = r2

3x + 4y = 25

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran

r

O

Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah :

y = mx r 12 m

P(a, b)

Y

g2

X

g1

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 !

Jawab:

Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5

Untuk 4x – 3y – 5 = 0, maka gradien m1 = 3

4

Gradien garis singgung m2 = -4

3

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

y = m2x r 12 m

y = -4

3x 5 1

16

9

y = -4

3x 5.

4

5

y = -4

3x +

4

25 atau y = -

4

3x -

4

25

3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut :

y - b = m(x – a) r 12 m

Contoh:

Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 =

0! Jawab:

Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari 10 , maka persamaan

garis singgungnya :

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2

(2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10

3(x + 1) – 1(y – 2) = 10

3x + 3 – y + 2 = 10

O

3x – y = 5

d. Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam

1. Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl)

A Sl B

d

L2

L1

Panjang garis singgung persekutuan luar (Sl) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :

Sl = 22 )( rRd

Contoh:

Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q

berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya !

Jawab:

S R

Buat QT sejajar dengan SR

Sl = 22 )( rRd

QT = 22 )( QRPSPQ

= 22 )24(10

= 96

= 4 6 cm.

2. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd)

Q

M Sd

d

N L2

L1

Panjang garis singgung persekutuan dalam (Sd) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu :

Q R

O r P

T

P Q

R

O

P r

Sl = 22 )( rRd

Contoh:

Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan

jari-jari 1 cm, OP = 5 cm. Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya !

Jawab: S

R

Q

Buat PS sejajar QR

Sd = 22 )( rRd

PS = 22 )( RSOROP

= 22 )12(5

= 16

= 4 cm

C. PARABOLA

a. Pengertian Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama

dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).

b. Persamaan Parabola 1. Persamaan Parabola dengan Puncak O(0,0)

Perhatikan gambar berikut ini !

d Y

A L2 P(x,y)

Q B

O F(p,0) X

L1

x = -p

Persamaan parabola dengan titik puncak O(0,0) dan titik focus F(p,0) adalah :

y2 = 4px

Keterangan: - Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

O

P

- Titik F(p,0) adalah titik fokus parabola

- Garis x = -p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri

- L1L2 adalah lactus rectum = 4p Parabola terbuka ke kanan

Contoh:

Diketahui peramaan parabola y2 = 16x. Tentukan koordinat puncak, koordinat focus,

persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya ! Jawab:

a. koordinat puncak O(0,0)

b. koordinat focus (4,0) c. sumbu simetri pada sumbu X, dengan persamaan y = 0

d. Persamaan garis direktriksnya x = -4 atau x + 4 = 0

d Y

A L2 P(x,y)

Q B

O F(4,0) X

L1

x = -4

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :

y2 = -4px

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola - Titik F(-p, 0) adalah titik fokus parabola

- Garis x = p adalah garis direktriks - Sumbu X adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke kiri.

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(0,p) persamaannya adalah :

x2 = 4py

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

- Titik F(0, p) adalah titik fokus parabola

- Garis y = -p adalah garis direktriks

- Sumbu Y adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke atas.

Untuk parabola yang puncaknya di O(0,0) dan fokusnya di F(-p,0) persamaannya adalah :

x2 = -4py

Keterangan:

- Titik O(0,0) adalah titik puncak parabola

- Titik F(0, -p) adalah titik fokus parabola

- Garis y = p adalah garis direktriks

- Sumbu Y adalah sumbu simetri

Parabola terbuka ke bawah.

2. Persamaan Parabola dengan Puncak P( ,)


Y d

A P(x,y)

y =

(,) F( + p, )

O X

Persamaan parabola yang berpuncak di titik (, ) adalah :

(y - )2 = 4p(x - )

Keterangan :

- titik puncak P(, )

- titik fokus F( + p, )

- persamaan direktriks : x = - p

- persamaan sumbu simetri : y =

Parabola terbuka ke kanan. Contoh:

Tentukan persamaan parabola jika titik puncaknya (2, 3) dan titik fokusnya (6, 3) !

Jawab:

Puncak (2, 3) dan focus (6, 3), maka : p = 6 – 2 = 4 Persamaan parbolanya :

(y - )2 = 4p(x - )

(y - 3)2 = 4.4(x - 2)

y2 – 6y + 9 = 16(x – 2)

y2 – 6y + 9 = 16x – 32

y2 – 6y – 16x + 41 = 0

Contoh:

Diketahui persamaan parabola sebagai berikut : y2 + 4y – 4x + 8 = 0. Tentukan koordinat puncak , koordinat focus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks, dan sketsa gambarnya !

Jawab:

y2 + 4y – 4x + 8 = 0

y2 + 4y = 4x - 8

(y + 2)2 – 4 = 4x - 8

(y + 2)2 = 4x - 4

(y + 2)2 = 4(x – 1) (y - )2 = 4p(x - )

Berarti : = -2; = 1; p = 1

Jadi, koordinat puncaknya (1, -2), koordinat fokusnya ( + p, ) = (2, -2), persamaan sumbu

simetrinya y = -2, dan persamaan garis direktriksnya : x = - p x = 1 – 1 x = 0

Grafiknya :

Y

1 2 X O

-1 y = -2

-2 F

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke kiri persamaannya adalah :

(y - )2 = -4p(x - )

Keterangan :


- titik fokus F( - p, )

- direktriks x = + p

- persamaan sumbu simetri : y =

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke atas persamaannya adalah :

(x - ) 2 = 4p(y - )

Keterangan :


- titik fokus F(, + p)

- direktriks y = - p

- persamaan sumbu simetri : x =

Untuk parabola yang berpuncak di P(, ) dan terbuka ke bawah persamaannya adalah :

(x - ) 2 = -4p(y - )

Keterangan :


- titik fokus F(, - p)

- direktriks x = + p

- persamaan sumbu simetri : x =

D. ELIPS

a. Pengertian Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu

mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api.

b. Persamaan Elips

1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)

Perhatikan gambar di bawah ini !

Y

P(x,y)

X fF

d2 d1

Persamaan Elips dengan Pusat di O(0,0) adalah :

12

2

2

2

b

y

a

x atau b2x2 + a2y2 = a2b2

Keterangan :

- Pusat O(0,0) - Puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0) - Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan a2 = b2 + c2

- Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y - Sumbu simetri yang melalui titik fokus F1 dan F2 disebut sumbu utama / sumbu

transversal. - Sumbu simetri yang tegak lurus sumbu utama disebut sumbu sekawan. - Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan = 2b

- Direktriks : x = c

a 2

- Eksentrisitas : e = a

c

12

2

2

2

a

y

b

x merupakan persamaan elips dengan pusat O(0,0) yang sumbu panjangnya 2b

dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

2. Persamaan Elips dengan Pusat ( ,)

1)()(

2

2

2

2

b

y

a

x

Keterangan:

- Pusat (, )

- Puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )

- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )

- Sumbu simetri x = dan y =

- Sumbu panjang = 2a dan sumbu pendek = 2b


a 2


c

F2 O F1

1)()(

2

2

2

2

a

y

b

x merupakan persamaan elips dengan pusat (, ) yang sumbu

panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X.

Contoh:

Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut ini :

a) 9x2 + 25y2 = 900

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

Jawab:

a) 9x2 + 25y2 = 900

136100

22

yx

a = 10, b = 6, c = 8 pusat O(0,0)

Fokus (8, 0) dan (-8, 0) Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20

Sumbu pendek = 2b = 12

Direktriks : x = c

a 2

= 8

100 =

2

112

Eksentrisitas : e = 5

4

10

8

a

c

b) x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0

(x – 2)2 – 4 + 4(y + 3)2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36

19

)3(

36

)2( 22

yx

pusat (2, -3)

a = 6, b = 3, c = 332793922 ba

Fokus (3 3 2, -3)

Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12

Sumbu pendek = 2b = 6

Direktriks : x = c

a 2

= 234233

36

Eksentrisitas : e = 32

1

6

33

a

c

E. HIPERBOLA

a. Pengertian Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jarak titik itu terhadap dua

buah titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tertentu itu disebut fokus dari hiperbola.

b. Persamaan Hiperbola

1. Persamaan Elips dengan Pusat O(0,0)


g2 Y g1

P

X

F2(-c, 0) A2 O A1 F1(c, 0)

Persamaan Hiperbola dengan Pusat di O(0,0) adalah :

12

2

2

2

b

y

a

x atau b2x2 - a2y2 = a2b2

Keterangan :

- Pusat O(0,0) - Fokus F1(c, 0) dan F2(-c, 0) dengan c2 = a2 + b2 - Titik puncak A1(a, 0) dan A2(-a, 0), selisih jarak = 2a dengan c > a

- Persamaan direktriks : x = c

a 2

- Persamaan asymtot ; y = a

b x

12

2

2

2

b

x

a

y merupakan persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) yang sumbu utama pada

sumbu Y. Contoh:

Tentukan persamaan hiperbola jika diketahui puncaknya P1(-5, 0) dan P2(5, 0) serta fokusnya F1(-8, 0) dan F2(8, 0) !

Jawab:

Puncak (5, 0), maka a = 5

Fokus (8, 0), maka c = 8

b2 = c2 – a2 = 64 -25 = 39

Persamaan hiperbola : 13925

22

yx

Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan 13664

22

yx

.

Tentukan : a) Koordinat puncak d) persamaan garis asymtot

b) Koordinat fokus e) Sketsa grafiknya c) Persamaan garis direktriks

Jawab:

Hiperbola 13664

22

yx

, berarti :

a2 = 64 a =8

b2 = 36 b =6

c = 10366422 ba

a) Koordinat puncaknya (8, 0) dan (-8, 0) b) Titik fokusnya (10, 0) dan (-10, 0)

c) Persamaan garis direktriknya: x = c

a 2

x = 10

64

d) Persamaan garis asymtot : y = a

b x y =

8

6 x

e) Grafiknya :

Y 6

X F2(-10, 0) A2 (-8,0) O A1(8,0) F1(10, 0)

-6

F. Persamaan Hiperbola dengan Pusat ( ,)

1)()(

2

2

2

2

b

y

a

x

Keterangan:

- Pusat (, )

- Titik puncak A1( + a, ) dan A2( - a, )

- Fokus F1( + c, ) dan F2( - c, )

- Sumbu utama y = dan sumbu sekawan x =


a 2


c

- Asymtot : (y - ) = a

b (x - )

1)()(

2

2

2

2

b

x

a

y merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (, ) dan sumbu

utama sejajar sumbu Y. Contoh:

Diketahui hiperbola dengan persamaan dalam bentuk umum sebagai berikut : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0.

Tentukan : a) Koordinat titik pusat d) persamaan garis asymtot b) Koordinat titik focus e) Sketsa grafiknya

c) Koordinat titik puncak

Jawab:

Bentuk persamaan diubah ke dalam bentuk umum : 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0

9x2 – 18x – 16y2 – 64y = 199

9(x2 – 2x) – 16(y2 + 4y) = 199

9(x – 1)2 – 9 – 16(y + 2)2 + 64 = 199

9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 199 + 9 - 64

9(x – 1)2 – 16(y + 2)2 = 144

19

)2(

16

)1( 22

yx

Bandingkan dengan 1)()(

2

2

2

2

b

y

a

x

Diperoleh:

= 1 dan = -2

a2 = 16 a = 4

b2 = 9 b = 3

c = 591622 ba

a) Koordinat titik pusat (1, -2)

b) Koordinat puncak ( a, ) = (5, -2) dan (-3, -2)

c) Koordinat fokus ( c, ) = (6, -2) dan (-4, -2)

d) Persamaan asymtot :

(y - ) = a

b (x - ) (y + 2) =

3

4 (x - 1)

e) Grafiknya:

Y

O X F2(-4,-2) A2 (-3,-2) A1(5,-2) F1(6,-2)

Irisan kerucut

Education

Transcript of Irisan kerucut