Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

IRISAN KERUCUT

(KONIK)

1. PENGERTIAN IRISAN KERUCUT

Ambillah sebuah kerucut lingkaran tegak, dengan dua cabangnya.

Kita potong kerucut itu dengan berbagai bidang yang dengan sudut

yang berbeda terhadap sumbu simetri. Bidang itu memotong kerucut

menurut kurva-kurva masing-masing dinamakan elips, parabola, dan

hiperbola. Dalam bentuknya yang istimewa anda juga akan

memperoleh sebuah lingkaran, sebuah titik, garis-garis yang

berpotongan dan satu garis.

Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan

memotong suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar.

Hasil irisan kerucut yang berupa lingkaran, parabola, elips, dan

hiperbola akan diuraikan dalam pembahasan berikut.

2. LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat lingkaran, dan jarak

yang sama ke pusat lingkaran dinamakan jari-jari.

1. Persamaan Lingkaran

Bentuk umum persamaan lingkaran

r2 = OB2 + AB2

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

Sehingga dapat disimpulkan bentuk

umum persamaan lingkaran adalah

(a, b) = koordinat titik pusat lingkaran

r = panjang jari-jari lingkaran

Bentuk lain persamaan lingkaran adalah

r2 = (x – a)2 + (y – b)2

= x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2

= x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Titik pusat lingkaran ( ) dan panjang jari-jari lingkaran r =

Contoh soal:

1. Diketahui persamaan lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, tentukan

koordinat titik pusat dan jari-jarinya?

Jawab:

Dik. Pers. Lingkaran (x – 5)2 + (y – 3)2 = 45, maka

a = 5, dan b = 3, r2 = 45

titik pusat lingkaran adalah (a, b) = (5, 3) dan

jari-jari = r =

2. Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan

persamaan

x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

Jawab

Dik. Pers. Lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0, maka

A = -4, B = -6, dan C = -12

Koordinat titik pusat = ( ) =

Jari-jari lingkaran adalah

r =

3. Tentukan titik pusat dan panjang jari-jari lingkaran dengan

persamaan (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16 ?

Jawab :

Dik. Pers. Lingk. : (x – 2)2 + (y – 6)2 = 16

Titik pusat (2,6)

Jari-jari

r2 = 16 maka panjang jari-jari r =

4. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2 –

10x + 4y – 7 = 0 ?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0

x2 + y2 – 10x + 4y – 7 = 0

x2 – 10x + y2 + 4y – 7 = 0

x2 – 10x + y2 + 4y = 7

(x2 – 5x + 25) + (y2 + 2y + 4) = 7 + 25 + 4

(x – 5)2 + (y + 2)2 = 36

Jadi : titik pusat (5,-2) dan jari-jari r = 6

5. Tentukan persamaan lingkaran jika koordinat titik pusatnya (-2, 5)

dan jari-jari 3

Jawab :

Dik. Titik pusat (a, b) = (-2, 5), maka a = -2, dan b = 5

Jari-jari r = 3

Persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – (-2))2 + (y – 5)2 = 32

(x + 4)2 + (y – 5)2 = 9

Atau

(x + 4)2 + (y – 5)2 = 9 x2 + 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 9

x2 + y2 + 8x – 10y + 16 + 25 – 9 = 0

x2 + y2 + 8x – 10y + 32 = 0

6. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-

jari 4 cm?

Jawab:

Dik. Titik pusat (a,b) = (0,0)

Jari-jari r = 4

Dit. Persamaan lingkaran?

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 0)2 + (y – 0)2 = 42

x2 + y2 = 16

7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan melalui

titik A(4,3)?

Jawab:


Melalui titik A (3,4)


(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 0)2 + (y – 0)2 = r2

x2 + y2 = r2

x2 + y2 = 25

8. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(2,1) dan berjari-

jari 3 cm?

Jawab:


Jari-jari r = 3


(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 2)2 + (y – 1)2 = 32

x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 9

x2 + y2 – 4x – 2y + 4 + 1 – 9 = 0

x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0

9. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di P(-2,2) dan melalui

titik A(3,1)?

Jawab:

Dik. Titik pusat (a,b) = (-2,2)

Melalui titik A (3,1)


(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – (-2))2 + (y – 2)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 2)2 = 13

x2 + 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 13

x2 + y2 + 4x – 4y + 4 + 4 – 13 = 0

x2 + y2 + 4x – 4y – 5 = 0

Latihan _____________________________________________________

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut:

1. x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

2. x2 + y2 – 2x – 3y – 10 = 0

3. x2 + y2 + 2x + 3y + 25 = 0

4. x2 + y2 – 7x + 3y + 6 = 0

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat

O(0,0) dan jari-jari berikut:

1. 3

2. 7

3. 13

1. Tentukan persamaan umum lingkaran jika

diketahui pusat dan jari-jarinya sebagai berikut:

1. Pusat (-2,5), dan jari-jari 3

2. Pusat (1,-4), dan jari-jari 5

3. Pusat (3,4), dan jari-jari

4. Pusat (1,-4), dan melalui titik (3,2)

5. Pusat (1/2, 1,2), dan melalui titik

4. Titik (2,a) terletak pada lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y

– 4 = 0. Tentukan nilai a ?

5. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran

yang melalui titik (2,2), (2,-4), dan (5,-1) ?

6. Tentukan pusat, jari-jari, dan persamaan lingkaran

yang melalui titik (1,3), (6,-2), dan (-3,-5) ?

7. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik

O(0,0) dan memotong sumbu x dan sumbu y

positif sepanjang 3 dan 6?

8. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu

lingkaran dengan pusat (2,3) dan jari-jari 3 ?

9. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu

lingkaran dengan persamaan (x – 2)2 + (y + 3)2 =

16 ?

10. Gambarlah pada koordinat cartesius suatu lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 ?

2. Garis Singgung Lingkaran

Apabila terdapat sebuah garis dan sebuah lingkaran, maka

terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis terhadap lingkaran,

yaitu:

1. Garis memotong lingkaran

2. Garis menyinggung lingkaran

3. Garis diluar lingkaran

Dengan ketentuan sebagai berikut:

Jika A(x1, y1), maka:

1. (x1 – a)2 + (y1 – b) < r2 : titik A memotong

lingkaran

2. (x1 – a)2 + (y1 – b) = r2 : titik A menyinggung

lingkaran

3. (x1 – a)2 + (y1 – b) > r2 : titik A diluar

lingkaran

a b c

Ingat kembali bentuk umum persamaan garis lurus:

Jika diketahui dua titik :

Jika diketahui gradien atau kemiringannya : y – y1 = m (x - x1)

Perhatikan gambar disamping, sebuah lingkaran dengan titik pusat

O (a, b) dan titik A (x1, y1) terletak pada lingkaran serta garis g

adalah garis singgung lingkaran di titik A (x1, y1).

Gradien garis OA = mOA =

Karena garis g tegak lurus dengan garis OA, maka

mg . mOA = -1

mg = (substitusi ke pers. Umum garis lurus)

y – y1 = mg (x - x1)

y – y1 = - (x - x1)

(y1 – b) y – (y1 – b) y1 = - (x1 – a) x + (x1 – a) x1

(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a) x1 + (y1 – b) y1

(x1 – a) x + (y1 – b) y = x12 – ax1 + y1

2 – by1

(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x12 – 2ax1 + a2) + ax1 – a2 + (y1

2 – 2by1 + b2)

+ by1 – b2

(x1 – a) x + (y1 – b) y = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 + ax1 + by1 – a2 – b2

(x1 – a) x + (y1 – b) y = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2

x1x – ax + y1y – by = r2 + ax1 + by1 – a2 – b2

x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 = r2 – a2 – b2

x1x – ax + y1y – by - ax1 - by1 - r2 + a2 + b2= 0

x1x + y1y – ax - ax1 – by - by1 + c = 0

x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0

Jadi bentuk umum persamaan lingkaran adalah

Atau dapat ditulis:

Ket:

(a,b) adalah titik pusat lingkaran

c = a2 + b2 – r2

r = jari-jari lingkaran

x1, y1 adalah koordinat titik singgung pada lingkaran

Persamaan garis singgung bergradien (kemiringan) m pada sebuah

lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r dapat ditentukan

dengan rumus berikut:

Contoh soal:

1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2

+ y2 = 8 yang melalui titik (2,2)?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 = 8

Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0

r2 = 8

titik singgung (x1, y1) = (2, 2) x1 = 2, dan y1 = 2

Dit. Pers. Lingk ?

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x – 0) (2 – 0) + (y – 0) (2 – 0) = 8

2x + 2y = 8

Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (2,2) adalah x + y = 4

2. Tentukan pers. Garis singgung yang melalui titik (-

5, 12) pada lingkaran x2 + y2 = 169

Jawab:


Titik pusat (a, b) = (0,0) a = 0, dan b = 0

r2 = 169

titik singgung (x1, y1) = (-5, 12) x1 = -5, dan y1 = 12

Dit. Pers. Lingk ?

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x – 0) (-5 – 0) + (y – 0) (12 – 0) = 169

-5x + 12y = 169

Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (-5,12) adalah -5x +

12y = 169

3. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x – 1)2 +

(y – 5)2 = 20 di titik (5, 7)?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20

Titik pusat (a, b) = (1, 5) a = 1, dan b = 5

r2 = 20


Dit. Pers. Lingk ?

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x – 1) (5 – 1) + (y – 5) (7 – 5) = 20

4x – 4 + 2y – 10 = 20

4x + 2y – 14 – 20 = 0

Jadi pers. Garis singgung lingkaran di titik (5, 7) adalah 4x + 2y –

34 = 0

4. Tentukan pers. Garis singgung lingkaran (x + 3)2

+ (y – 2)2 = 58 di titik (0, 9)?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : (x + 3)2 + (y – 2)2 = 58

Titik pusat (a, b) = (-3, 2) a = -3, dan b = 2

r2 = 58


Dit. Pers. Lingk ?

(x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

(x – (-3)) (0 – (-3)) + (y – 2) (9 – 2) = 58

(x + 3) (3) + (y – 2) (7) = 58

3x + 9 + 7y – 14 = 58

3x + 7y + 9 – 14 – 58 = 0


63 = 0


+ y2 – 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1)?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

A = -4, B = -6, dan C = -12

Koordinat titik pusat = ( ) =

Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3

c = -12


Dit. Pers. Lingk ?

x1x + y1y – a(x + x1) – b(y + y1) + c = 0

5x + y – 2(x + 5) – (-3)(y + 1) + (-12) = 0

5x + y – 2x - 10 + 3(y + 1) – 12 = 0

5x + y – 2x - 10 + 3y + 3 – 12 = 0

5x – 2x + y + 3y - 10 + 3 – 12 = 0

3x + 4y – 19 = 0


19 = 0


+ y2 = 9 yang bergradien 3?

Jawab:



r2 = 9 Jari-jari r =

gradien m = 3

Dit. Pers. Garis singgung lingkaran ?

y – b = m(x – a) ±

y – 0 = 3(x – 0) ±

y = 3x ±

Jadi PGSL adalah y = 3x + dan y = 3x -


+ y2 = 25 yang sejajar garis 3x – 4y + 10 = 0 ?

Jawab:




gradien sejajar dengan garis 3x – 4y +10 = 0

gradien garis 3x – 4y +10 = 0 sama dengan gradien

garis singgung lingkaran.

3x – 4y +10 = 0

-4y = -3x – 10

y = Jadi gradien m =


y – b = m(x – a) ±

y – 0 = (x – 0) ±

y = x ±

Jadi PGSL adalah y = x + dan y = x -

8. Tentukan persamaan garis singgung pada

lingkaran x2 + y2 + 6x + 8 = 0 yang bergradien 3?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 + 6x + 8 = 0

Titik pusat (a, b) = (-3, 0) a = -3, dan b = 0

c = 8

c = a2 + b2 – r2

r2 = a2 + b2 - c

r2 = (-3)2 + 02 - 8


gradien m = 3


y – b = m(x – a) ±

y – 0 = 3(x – (-3)) ±

y = 3(x + 3) ±

Jadi PGSL adalah y = 3x + 9 + dan y = 3x + 9 -

9. Tentukan persamaan garis singgung pada

lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0 yang

bergradien -¾ ?

Jawab:

Dik. Pers. Lingk. : x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

Titik pusat (a, b) = (2, -3) a = 2, dan b = -3

c = -12

c = a2 + b2 – r2

r2 = a2 + b2 - c

r2 = 22 + (-3)2 – (-12)

r2 = 4 + 9 + 12 = 25 Jari-jari r =

gradien m = -¾


y – b = m(x – a) ±

y – (-12) = -¾ (x – 2) ±

y + 12 = -¾ (x – 2) ±

4y + 48 = -3 (x – 2) ±

3x + 4y + 48 – 6 ± = 0

3x + 4y + 42 ± = 0

Jadi PGSL adl 3x + 4y + = 0 dan 3x + 4y + = 0

10. Tentukan pers. Garis singgung pada lingkaran (x –

1)2 + (y – 5)2 = 20 yang bergradien -½ ?

Dik. Pers. Lingk. : (x – 1)2 + (y – 5)2 = 20

Titik pusat (a, b) = (1, 5 ) a = 2, dan b = -3

r2 = 20

gradien m =-½


y – b = m(x – a) ±

y – (-3) = -½ (x – 2) ±

y + 3 = -½x + 1 ±

y = -½x + 1 – 3 ±

y = -½x - 2 ±

Jadi PGSL adl y = -½x + 3 = 0 dan y = -½x – 7

Latihan _____________________________________________________

1. Tentukan letak titik-titik dibawah ini terhadap lingkaran x2 + y2 = 50

?

1. (6, 4)

2. (-7, 1)

3. (5, -5)

4. (8, -7)

2. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di

titik berikut?

1. (3, 4)

2. (3, -4)

3. (-3, -4)

4. (-3, 4)

3. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 5

yang melalui titik (-2, 1) ?

4. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y –

2)2 = 58 yang melalui titik (4, 5) ?

5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 4x +

2y – 8 = 0 yang melalui titik (-5, -3) ?

6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 - 2x -

10y + 17 = 0 yang melalui titik (4, 5) ?


dengan gradien 2?


dengan gradien ?


yang sejajar dengan garis 3x + 4y + 2 = 0 ?


yang tegak lurus dengan garis 5x + 12y + 10 = 0 ?

11. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 3)2 + (y –

2)2 = 58 yang sejajar dengan sumbu y ?

12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y

+ 20 = 0 yang ditarik dari titik pangkal O (0, 0) ?

3. PARABOLA

Sebuah parabola adalah himpunan titik-titik P yang berjarak sama

dari garis arah (direktris) ℓ dan fokus F yaitu yang memenuhi hubungan

Garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktris disebut dengan

sumbu simetri, dan segmen garis yang dibatasi oleh parabola, tegak

lurus dengan sumbu simetri, dan melalui titik fokus disebut latus

rectum.

1. Persamaan Parabola

Oleh karena sebuah parabola itu simetrik terhadap sumbunya,

sudah lazim untuk menempatkan untuk sumbu x misalnya pada

sumbu simetri kurva tersebut. Kita ambil fokus F disebelah kanan

titik asal, misalnya di (p, 0). Garis arah ℓ kita ambil di sebelah

kirinya dengan persamaan x = -p. Dengan demikian, puncak

parabola ada di titik asal (0,0) dari syarat:

dan rumus jarak, kita peroleh

Ruas kiri dan kanan dikuadratkan, maka akan diperoleh:

(x – p)2 + (y – 0)2 = (x + p)2 + (y – y)2

x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2

y2 = 4px

Dengan demikian maka persamaan parabola dengan titik puncak

di (0,0) dan titik fokus F (p, 0) adalah:

Ket :

Titik puncak (0,0)

Titik fokus F (p, 0)

Direktris x = -p

Sumbu simetri y = 0

Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan

menggeser grafik parabola yang berpusat di (0,0). Misalkan

parabola y2 = 4px, digeser sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan

b satuan sepanjang sumbu y, maka didapatkan parabola dengan

puncak (a, b)

Berdasarkan rumus transformasi, maka

diperoleh persamaan parabola dengan titik

puncak di (a, b) adalah

Ket :

Titik puncak (a,b)

Titik fokus F (a+p, b)

Direktris x = -p + a

Sumbu simetri y = b

Bagaiman jika x dan y dipertukarkan?, maka

kita akan peroleh persamaan y2 = 4px akan

berubah menjadi

Ket :

Titik puncak (0,0)

Titik fokus F (0, p)

Direktris y = -p

Sumbu simetri x = 0

Persamaan x2 = 4py, merupakan

persamaan parabola tegak dengan fokus di

(0,p) dan garis arah y = -p. Begitu juga, jika persamaan parabola x2

= 4py titik puncaknya digeser ke titik (a, b) maka akan membentuk

persamaan

Ket :

Titik puncak (a, b)

Titik fokus F (a, b+p)

Direktris y = -p + b

Sumbu simetri x = a

Contoh soal:

1. Dari parabola-parabola berikut ini, tentukan koordinat titik puncak,

titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan

panjang latus rektum ?

1. y2 = 4x

2. y2 = -12x

3. x2 = -8Y

4. x2 = 6Y

Jawab:

1. Dik. Pers. Parabola : y2 = 4x

4px = 4x 4p = 4 p =

Titik puncak : (0,0)

Titik fokus : (p, 0) = (1, 0)

Pers. Sumbu simetri : y = 0

Pers. Direktris : x = -p x = -1

Panjang latus rectum :

2. Dik. Pers. Parabola : y2 = -12x

4px = -12x 4p = -12 p =


Titik fokus : (p, 0) = (-3, 0)

Pers. Sumbu simetri : y = 0

Pers. Direktris : x = -p x = -(-3) = 3


3. Dik. Pers. Parabola : x2 = -8y

4py = -8y 4p = -8 p =


Titik fokus : (0, p) = (0, -2)

Pers. Sumbu simetri : x = 0

Pers. Direktris : y = -p y = -(-2) = 2


4. Dik. Pers. Parabola : x2 = 6y

4py = 6y 4p = 6 p =


Titik fokus : (0, p) = (0, )

Pers. Sumbu simetri : x = 0

Pers. Direktris : y = -p y =


2. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan

persamaan direktrisnya x = -4. tentukan pula panjang latus

rectumnya?

Jawab :

Dik. Direktrisnya x = -4 x = -p -p = -4 p = 4

F (p, 0) F (4, 0)

Puncak (0,0)

Pers. Parabola : y2 = 4px

y2 = 4(4)x

y2 = 16x

Panjang latus rectum 4p = 16

3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -8) dan

persamaan direktrisnya y = 6. tentukan pula panjang latus

rectumnya?

Jawab :

Dik. Direktrisnya y = 6 y = -p -p = 6 p = -6

F (0, p) F (0, -6)

Puncak (0,0)

Pers. Parabola : x2 = 4py

x2 = 4(-6)y

x2 = -24y

Panjang latus rectum 4p = 24

4. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (-

3, 4).?

Jawab :

Dik. Puncak (a, b) = (2, 4) a = 2, dan b = 4

Fokus (a+p, b) = (-3, 4) a+p = -3 2 + p = -3 p = -5

Pers. Parabola

(y – b)2 = 4p(x – a)

(y – 4)2 = 4 . (-5)(x – 2)

(y – 4)2 = -20(x – 2)

Y2 – 8y + 16 = -20x + 40

Y2 – 8y + 20x – 24 = 0

5. Diberikan persamaan parabola y = 4(x - 3)2 – 2. Tentukan titik

puncak, fokus, direktris, dan Pers. Sumbu simetrinya?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola : y = 4(x - 3)2 – 2

y = 4(x - 3)2 – 2 y + 2 = 4(x – 3)2

= (x – 3)2

(x – 3)2 = ¼ (y + 2)

Pers. Parabola (x – a)2 = 4p(y – b)

4p = ¼ p =

a = 3, dan b = -2 Titik puncak (a, b) = (3, -2)

titik fokus (a, b+p) (3, -2 + ) = (3, )

Pers. Sumbu simetri x = a x = 3

Latihan _____________________________________________________

1. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu

simetri, persamaan direktris, dan panjang latus rektum dari

parabola y2 = 20x ?



parabola x2 = -¾ y ?

3. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (0, -2) dan

persamaan direktrisnya y = 2 ?

4. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (3, 0) dan titik

puncaknya di (0,0) ?



parabola 2x2 – 7y = 0 ?

6. Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya pada sumbu x

dan melalui titik (-2, 6) ?

7. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (1, 2) dan

persamaan direktrisnya x = 5 ?

8. Dari persamaan parabola-parabola berikut ini:

1. (y – 2)2 = 16(x + 3)

2. (x + 3)2 = 4(y – 1)

3. x2 = -16(y – 7)

4. (x + 1)2 = -4(y +2)

Tentukan:

i. titik puncak

ii. titik fokus

iii. persamaan direktris

iv. panjang latus rectum

9. Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y – 31 = 0.

Tentukan :

i. titik puncak

ii. titik fokus

iii. persamaan direktris

iv. panjang latus rectum

10. Buatlah sketsa grafik parabola y2 = 8x dan x2 + 6x – 8y – 31 = 0 ?

2. Persamaan Garis Singgung Parabola

Garis g adalah garis singgung pada parabola y2 = 4px di titik

A(x1, y1). Karen garis g melalui titik A(x1, y1), maka persamaan garis

singgung g adalah :

y – y1 = m (x – x1)

Nilai m (gradien) dicari dengan mendiferensialkan persamaan

parabola y2 = 4px

Sehingga gradien m pers. y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah

disubstitusikan persamaan garis g

sehingga diperoleh bentuk-bentuk persamaan garis singgung pada

parabola sebagai berikut :

Bentuk Persamaan Bentuk Pers. Garis Singgung

Jika diketahui y2 = 4px adalah persamaan parabola dan m

adalah gradien garis yang menyinggung parabola tersebut maka

dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya.

Persamaan gabungan antara parabola y2 = 4px dengan garis g

: y = mx + n adalah : (mx + n)2 = 4px

m2 x2 + 2mnx – 4px + n2 = 0

m2 x2 + (2mn – 4p)x + n2 = 0

syarat garis singgung pada parabola adalah

D = 0

(2mn – 4p)2 – 4m2n2 = 0

4m2n2 – 16mnp + 16p2 – 4m2n2 = 0

16p2 = 16mnp

p = mn n =

Jadi persamaan garis singgung parabola dengan gradien m adalah

sebagai berikut :

Bentuk Persamaan Bentuk Pers. Garis Singgung

Contoh soal:

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (2, 4) ?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola : y2 = 8x 4p = 8 p = 2

Titik singgung (x1, y1) = (2, 4) x1 = 2, dan y1 = 4

Dit. Pers. Garis Singgung ?

y1y = 2p (x + x1) 4y = 2 . 2(x + 2)

y = x + 2

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x + 1)2 = -3(y – 2)

pada titik (2, -1) ?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola : (x + 1)2 = -3(y – 2) 4p = -3 p = -¾

-a = 1 a = -1

-b = -2 b = 2

Titik singgung (x1, y1) = (2, -1) x1 = 2, dan y1 = -1


(x1 – a) (x – a) = 2p (y + y1 – 2b)

(2 – (-1)) (x – (-1)) = 2 (-¾) (y + (-1) – 2 . 2)

3 (x + 1) = -3/2 (y – 1 – 4)

6(x + 1) = -3(y – 5)

6x + 6 = -3y + 15

-2x – 2 = y – 3 y = -2x – 2 + 3 y = -2x + 1

3. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y2 = 6x yang

mempunyai gradien 2 ?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola : y2 = 6x 4p = 6 p =

Gradien m = 2


y = mx + p/m

= 2x +

= 2x +

4. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola (y + 5)2 = -8(x -

2) yang bergradien 3 ?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola : (y + 5)2 = -8(x - 2) 4p = -8 p = -2

Gradien m = 3

a = 2, dan b = -5


(y – b) = m(x – a) + p/m

(y – (-5)) = 3 (x – 2) + (-2/3)

y + 5 = 3x – 6 –

y = 3x -

5. Kemiringan garis singgung parabola x2 = -14y di sebuah titik adalah

. Tentukan koordinat-koordinat titik itu dan buatlah

sketsanya ?

Jawab :

Dik. Pers. Parabola x2 = -14y 4p = -14 p =

Gradien m =

Dit. Koordinat Titik Singgung?

Pers. Gar. Singg : y = mx – m2p

y = x – ( )2 (- )

y = x + 2

Titik singgung adalah, y = x + 2 disubstitusikan ke pers.

Parabola

x2 = -14y

x2 = -14( x + 2)

x2 = x - 28

x2 - x + 28 = 0

(x - 2 )2 = 0

x = Substitusi ke pers. Garis singgung atau ke pers. Parabola

y = ( ) + 2

y = -2

Jadi koordinat titik singgung adalah ( , -2)

Latihan _____________________________________________________

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di titik (18,

12) ?

2. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = 4y di titik (2, -

1) ?

3. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y – 2)2 = 4(x – 1) di

titik (5, -2) ?

4. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x - 2)2 = 2(y + 3) di

titik (6, 5) ?

5. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang

bergradien 3 ?

6. Tentukan persamaan garis singgung parabola (x – 2)2 = 12(y – 1)

yang bergradien 2 ?

7. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang sejajar

dengan garis 3x + 2y = 8

8. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang tegak

lurus dengan garis y = x + 5 ?

9. Kemiringan garis singgung parabola y2 = 5x di sebuah titik adalah

. Tentukan koordinat titik itu ?

10. Kabel penggantung bagian tengah sebuah jembatan gantung

berbentuk sebuah parabola. Jarak antara menara penyangga adalah

800 meter. Kbel digantungkan pada menara di sebuah titik yang

letaknya 400 meter diatas lantai jembatan. Berapakah tinggi kabel

itu. Berapakah tinggi batang penggantung kabel yang letaknya 100

meter dari menara (misalkan bahwa kabel itu menyinggung lantai

jembatan di tengan jembatan) ?

4. ELIPS

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu (titik fokus) yang diketahui

adalah tetap (konstan). Dalam kasus elips ini, elips memiliki dua

puncak yang kita namakan A1 dan A2. sebutlah titik tengah antara A1

dan A2 yang terletak pada sumbu panjang sebagai pusat elips. Elips

letaknya simetris terhadap pusatnya, oleh karenanya elips disebut

konik terpusat.

1. Persamaan Elips

Untuk menurunkan persamaan elips ini, kita letakkan sumbu x

sepanjang sumbu panjangnya sedangkan titik asalnya kita pilih di

pusat elips. Kita misalkan titik fokus F1(c, 0), F2(-c, 0) puncaknya ada

di A1 (-a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, b), titik T(x, y) pada elips, dan A1A2 = 2a,

maka sesuai dengan definisi:

Elips = { T l TF1 + TF2 = 2a }

= { (x, y) l = 2a }

( = 2a - )2

(x + c)2 + y2 = 4a2 – 4a + (x – c)2 + y2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 - 4a + x2 – 2cx + c2 +

y2

4a = 4a2 – 4cx

( = a2 – cx)2

a2 (x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2x2 – 2 a2cx + a2c2 + a2y2) = a4 – 2a2cx + c2x2

a2x2 – 2 a2cx + 2a2cx - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2

a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 – a2c2

(a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2

(a2 – c2) x2 + a2y2 = (a2 – c2) a2 : sama-sama dibagi (a2 – c2) a2

Perhatikan gambar disamping

a2 = b2 + c2

b2 = a2 – c2

sehingga didapatkan persamaan elips

a2 > b2

Ket :

Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0)

Titik fokus F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0)

Titik Puncak A1 (a, 0) dan A2 (-a, 0), B1(0, b) dan B2(0, -b)

Panjang sumbu mayor A1A2 = 2a

Panjang sumbu minor B1B2 = 2b

Panjang latus rectum =

Jika persamaan elips dirotasi 900 terhadap pusat (0,

0) maka persamaannya akan menjadi :

a2 > b2

Ket :

Pers. Elips dengan pusat di titik (0, 0)

Titik fokus F1 (0, c) dan F2 (0, -c)

Titik Puncak A1 (0, a) dan A2 (0, -a), B1(b, 0) dan B2(-b, 0)




Jika persamaan elips dengan pusat (0, 0) titik

pusatnya di pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan

menjadi :

a2 > b2

Ket :

Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q)

Titik fokus F1 (c+p, q) dan F2 (-c+p, q)

Titik Puncak A1 (a+p, q) dan A2 (-a+p, q), B1(p, b+q) dan B2(p, -b+q)




Begitu juga jika persamaan elips dengan pusat (0, 0)

titik pusatnya di pindahkan ke titik (p, q) maka persamaannya akan

menjadi :

a2 > b2

Ket :

Pers. Elips dengan pusat di titik (p, q)

Titik fokus F1 (p, c+q) dan F2 (p, -c+q)

Titik Puncak A1 (p, a+q) dan A2 (p, -a+q), B1(b+q, p) dan B2(-b+q, p)




Contoh soal :

1. Tentukan persamaan elips dengan titik puncaknya (13, 0) dan

fokusnya F1(12, 0) dan F2(-12, 0) ?

Jawab :

Dik. Titik puncak (a, 0) = (13, 0) a = 13

Fokus F1(c, 0) = (12, 0) c = 12

Titik pusat (0, 0)

a2 = 132 = 169

c2 = 122 = 144

b2 = a2 – c2 = 169 – 144 = 25

Dit. Pers. Elips ?

2. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(0, 4) dan F2( 0, -4) dan

titik puncak (0, 5) dan (0, -5) ?

Jawab :

Dik. Titik puncak (0, a) = (0, 5) a = 5

Fokus F1(0, c) = (0, 4) c = 4

Titik pusat (0, 0)

a2 = 52 = 25

c2 = 42 = 16

b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9

Dit. Pers. Elips ?

3. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus,

titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang

latus rectumnya ?

Jawab :

Dik. Pers. Elips : a2 > b2

Titik pusat (0, 0)

a2 = 81 a = 9

b2 = 25 b = 5

c2 = a2 – b2 = 81 – 25 = 56 c =

Dit. Unsur Elips ?

Titik fokus F1(0, c) = (0, ) dan F2(0, -c) = (0, - )

Titik puncak A1(0, a) = (0, 9) dan A2(0, -a) = (0, -9)

B1(b, 0) = (5, 0) dan B2(-b, 0) = (-5, 0)

Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 9 = 18

Panjang sumbu minor : 2b = 2 . 5 = 10


4. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan fokus,

titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan panjang

latus rectumnya ?

Jawab :


Titik pusat (0, 0)

a2 = 30 a =

b2 = 9 b = 3

c2 = a2 – b2 = 30 – 9 = 21 c =

Dit. Unsur Elips ?

Titik fokus F1(0, c) = (0, ) dan F2(0, -c) = (0, - )

Titik puncak A1(0, a) = (0, ) dan A2(0, -a) = (0, - )

B1(b, 0) = (3, 0) dan B2(-b, 0) = (-3, 0)

Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . = 2



5. Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1, 3) dan F2(7, 3) dan

titik puncak (10, 3) ?

Jawab :

Dik. Fokus F1(c+p, q) = (7, 3) dan F2(-c+p, q) = (1, 3 q = 3

c+p = 7 ............... pers (1) -c+p = 1 .............. pers (2)

p = 7 – c (substitusi ke pers 2) -c + p = 1

-c + (7 – c) = 1

-2c = -6, c = 3

p = 7 – c = 7 – 3 = 7 - 3 = 4

Titik pusat (p, q) = (4, 3)

Titik puncak (a+p, q) = (10, 3) a + p = 10

a + 4 = 10 a = 6

a2 = 62 = 36

c2 = 32 = 9

b2 = a2 – c2 = 36 – 9 = 25

Dit. Pers. Elips ?

6. Diketahui elips dengan persamaan . Tentukan

fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, dan

panjang latus rectumnya ?

Jawab :


Titik pusat (p, q) = (1, 2) p = 1 dan q = 2

a2 = 25 a = 5

b2 = 9 b = 3

c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16 c = 4

Dit. Unsur Elips ?

Titik fokus F1(c+p, q) = (5, 2) dan F2(-c+p, q) = (-3, 2)

Titik puncak A1(a+p, q) = (6, 2) dan A2(-a+p, q) = (-4, 2)

B1(p, b+q) = (1, 5) dan B2(p, -b+q) = (1, -1)

Panjang sumbu mayor : 2a = 2 . 5 = 10



7. Tentukan persamaan elips dengan pusat (4, -2), puncak (9, -2) dan

salah satu fokusnya (0, -2) ?

Jawab :

Dik. Pusat (p, q) = (4, -2) p = 4, dan q = -2

Puncak (a+p, q) = (9, -2) a+p = 9 a = 9 – 4 = 5

Fokus F2(-c+p, q) = (0, -2) -c+p = 0 -c = 0 – 4 = -4

c = 4

a2 = 52 = 25

c2 = 42 = 16

b2 = a2 – c2 = 25 – 16 = 9

Dit. Pers. Elips ?

Latihan _____________________________________________________

1. Diketahui panjang sumbu mayor 10, sumbu minor,

6. Jika pusat elips (0, 0) dan sumbu utama x.

Tentukan persamaan elips tersebut ?

2. Diketahui elips dengan titik puncak (3, 0) dan titik

ujung sumbu minor (0, -1). Tentukan persamaan

elips tersebut ?

3. Diketahui persamaan elips Tentukan

titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ?

4. Jika persamaan elips 4x2 + 9y2 = 36. Tentukan

titik fokus, titik puncak, dan latus rectumnya ?

5. Tentukan persamaan elips jika titik fokusnya (2,0)

dan (-2,0) serta melalui titik (1,3) ?

6. Diketahui elips dengan titik puncak (-4, 3) dan (12,

3). Jika salah satu fokusnya (8, 3), tentukan

persamaan elips tersebut ?

7. Diketahui persamaan elips .

Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus

rectumnya ?

8. Diketahui persamaan elips .

Tentukan titik fokus, titik puncak, dan latus

rectumnya ?

9. Jika elips berpusat di (2, 3) dan memiliki panjang

sumbu mayor dan minor 24 dan 8, tentukan

persamaan elipsnya ?

10. Buktikan bahwa panjang latus rectum = ?

2. Persamaan Garis Singgung Elips

Ditentukan elips

Titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) terletak pada elips. Kerena titik P dan Q

pada elips maka terdapat hubungan sebagai berikut.

atau b2x12 + a2y1

2 = a2b2

....................................... (1)

Gradien garis PQ = mPQ =

Berdasarkan persamaan (1), persamaan garis PQ adalah

y – y1 = mPQ(x – x1)

y – y1 = (x – x1)

Jika garis PQ diputar dengan pusat P maka pada suatu titik saat titik

Q akan berimpit dengan titik P. Dalam hal ini garis PQ akan berubah

menjadi garis singgung di titik P pada elips maka koordinat Q =

koordinat P atau x1 = x2 dan y1 = y2. Sehingga persamaan garis

singgung elips di titik P(x1, y1) adalah:

y – y1 = (x – x1)

y – y1 = (x – x1)

a2y1y – a2y12 = -b2x1x + b2x1

2

b2x1x + a2y1y = b2x12 + a2y1

2

b2x1x + a2y1y = a2b2 ........................ (sama-sama dibagi a2b2)

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik (x1, y1) pada elips

adalah:

Persamaan Persamaan Garis Singgung

Jika garis singgung pada elips memiliki gradien m maka

persamaan garis singgungnya adalah :

Persamaan Persamaan Garis Singgung

Contoh:

1. Tentukan persamaan garis

singgung pada elips di

titik (4, 3)?

Jawab:

Dik. Pers. Elips :

Titik singgung : (x1, y1) = (4, 3)


maka pers. Garis singgung adalah x + y = 7


singgung elips

pada titik (5, -3)?

Jawab:

Dik. Pers. Elips :

Titik singgung : (x1, y1) = (5, -3)


2(x – 1) – (y + 2) = 9 maka pers. Garis singgung adalah 2x - y

= 13


singgung elips 3x2 + 16y2 = 48,

di titik ?

Jawab:

Dik. Pers. Elips : 3x2 + 16y2 = 48

Titik singgung : (x1, y1) =


3x2 + 16y2 = 48

maka pers. Garis singgung adalah x + 4y = 8


singgung elips ,

dengan gradien 1 ?

Jawab:

Dik. Pers. Elips :

Gradien m : 1


y = x ± maka pers. Garis singgung adalah y = x – 5 dan y =

x + 5


singgung elips

, dengan

gradien -2 ?

Jawab:

Dik. Pers. Elips : , a2 = 15, b2 = 4, p = -3, q = 4

Gradien m : -2


y = -2x – 6 + 4 ± 8

y = -2x – 2 ± 8 maka pers. Garis singgung adalah y = -2x + 6

dan y = -2x - 10

Latihan _____________________________________________________

1. Tentukan persamaan garis singgung elips dengan

persamaan , pada titik (12,8) ?


persamaan , pada titik (-3,5) ?


persamaan 4x2 + 9y2 – 72 = 0, pada titik (3,2) ?

4. Tentukan persamaan garis singgung elips 4x2 +

3y2 – 8x – 6y – 45 = 0, pada titik (2, -3) ?

5. Diketahui persamaan elips ,

tentukan persamaan garis singgung dengan

gradien 2 ?

6. Tentukan persamaan garis singgung pada elips

4x2 + 9y2 = 36 dengan gradien ?

7. Diketahui garis y = mx + 2 dan elips ,

Tentukan batas nilai m agar garis y = mx + 2

menyinggung elips ?

8. Diketahui persamaan elips 2x2 + 3y2 – 6 = 0.

Tentukan persamaan garis singgung elips yang

tegak lurus dengan garis y = -x + 3 ?

9. Tentukan persamaan garis singgung elips 25x2 +

16y2 = 400 yang sejajar dengan garis 3x + y + 1

= 0, ?

10. Tentukan persamaan elips yang garis

singgungnya di titik (2, -1) adalah 2x – 3y – 7 =

0 ?

HIPERBOLA

55Safari, SPd (SMK NW Kumbung) _________________________________

Irisan kerucut bakal soal uas ganjil

Documents

Transcript of Irisan kerucut bakal soal uas ganjil