INTEGRAL FOURIER

Andaikan syarat berikut ini berlaku untuk f(x):1. f(x) memenuhi syarat Dirichlet (seperti pada Deret Fourier) dalam (-L,L)

2. ∫−∞

∞

|f (x )|dx konvergen, yaitu terintegralkan mutlak pada (−∞,∞)

maka teorema integral Fourier menyatakan bahwa

f ( x )=∫0

∞

{A (∝ )cos∝ x+B (∝ )sin∝ x }d∝……….(1)

dimana

{A (∝)=1π ∫

−∞

∞

f ( x ) cos∝x dx

B (∝ )= 1π ∫

−∞

∞

f ( x ) sin∝ xdx ……….(2)

Hasil (1) berlaku bila x merupakan titik kontinu f(x)

Jika x adalah titik diskontinu dari f(x) maka ruas kiri / f(x) diganti dengan f ( x+0 )+ f (x−0)

2

Bentuk-bentuk ekivalen dari teorema Integral Fourier:

f ( x )= 1π ∫

α=0

∞

∫u=−∞

∞

f (u ) cos∝ ( x−u ) du d∝ ……….(3)

f ( x )= 12π ∫

−∞

∞

e−i∝ x d∝∫−∞

∞

f (u ) ei∝ udu ……….(4)

= 12 π ∫

−∞

∞

∫−∞

∞

f (u ) e i∝(u− x)du d∝

Bukti rumus (3)

Dari (1) dan (2), pada (2) variabel x diganti u

f ( x )=∫0

∞

¿¿

¿ 1π∫0

∞

❑∫−∞

∞

f (u ){cos∝u cos∝ x+¿sin∝u sin∝ x }dud∝ ¿

¿ 1π∫0

∞

❑∫−∞

∞

f (u )cos (∝u¿¿−∝ x)dud∝¿¿

¿ 1π∫0

∞

❑∫−∞

∞

f (u )cos∝(u¿¿−x )du d∝¿¿

¿ 1π∫0

∞

❑∫−∞

∞

f (u )cos∝(x¿¿−u)du d∝¿¿

Bukti rumus (4)

Ingat! e i∝(u−x)=cos∝ (u− x )+i sin∝(u−x )

∫−∞

∞

❑∫−∞

∞

f (u ) sin∝(u¿¿−x)du d∝=0¿¿

sehingga dapat ditulis

f ( x )= 12π ∫

−∞

∞

❑∫−∞

∞

f (u )cos∝(u¿¿−x )du d∝+ 12 π

i∫−∞

∞

∫−∞

∞

f (u ) sin∝ (u−x )du d∝¿¿

¿ 12 π ∫

−∞

∞

❑∫−∞

∞

f (u ) {cos∝(u¿¿−x)+i sin∝(u−x )}du d∝ ¿¿

¿ 12 π ∫

−∞

∞

❑∫−∞

∞

f (u ) ei∝(u−x)du d∝

Integral Fourier untuk f(x) ganjil atau genap

Ingat! :

∫−A

A

f ( x )dx=0 , jika f(x) ganjil

∫−A

A

f ( x )dx=2∫0

A

f (x ) dx , jika f(x) genap

Jika f(x) genap:

B (∝ )=1π ∫

−∞

∞

f ( x ) sin∝ x dx=0 , → f ( x ) sin∝ x dx adalah fungsi ganjil

Sedangkan

A (∝ )= 1π ∫

−∞

∞

f ( x ) cos∝ xdx , → f ( x ) cos∝ x dx adalah fungsi genap

¿ 2π∫0

∞

f ( x )cos∝ x dx

∴ f ( x )=∫0

∞

A (∝) cos∝ xd∝

= 2π∫0

∞

cos∝ x d∝∫0

∞

f (u ) cos∝u du ………. (5)

Jika f(x) ganjil:

A (∝ )= 1π ∫

−∞

∞

f ( x ) cos∝ x dx=0 , → f ( x ) cos∝ x dx adalah fungsi ganjil

B (∝ )=1π ∫

−∞

∞

f ( x ) sin∝ x dx , → f ( x ) sin∝ x dx adalah fungsi genap

¿ 2π∫0

∞

f ( x )sin∝ xdx

∴ f ( x )=∫0

∞

B (∝ ) sin∝ xd∝

= 2π∫0

∞

sin∝ x d∝∫0

∞

f (u ) sin∝u du ………. (6)

Transformasi Fourier

Dari (4) :

f(x) = 12 π ∫

−∞

∞

e−i∝ x d∝∫−∞

∞

f (u )e i∝u du

ditulis sebagai berikut: { F (∝ )= 1√2 π ∫

−∞

∞

f (u ) ei∝u du

f ( x )= 1√2 π ∫

−∞

∞

F (∝ ) e−i∝ x d∝

F (∝) disebut “ transformasi fourier” dari f(x), ditulis F (∝ )=F {f ( x ) } ;sedangkan f(x) disebut “invers transformasi fourier dari F(α)” ditulis f(∝ )=F−1{F (α )}

Jika f(x) fungsi genap:

{ F c (∝ )=√ 2π∫0

∞

f (u ) cosαu du

f ( x )=√ 2π∫0

∞

F c (∝ ) cosαx d∝

Jika f(x) fungsi ganjil

{ F s (∝ )=√ 2π∫0

∞

f (u )sin αudu

f ( x )=√ 2π∫0

∞

F s (∝ )sin αx d∝

Kesamaan (Identitas) Parseval untuk Integral Fourier

1. ∫−∞

∞

{F (∝ )}2 d∝=∫−∞

∞

{f (x ) }2dx

2. ∫0

∞

{Fc (∝ )}2d∝=∫0

∞

{f ( x )}2 dx

3. ∫0

∞

{F s (∝ ) }2 d∝=∫0

∞

{f ( x ) }2 dx

Laplace Integral

1. f ( x )=e−kx , x > 0 , k = konstanta positifCarilah transformasi fourier cosinusnya

→ F c (∝ )=√ 2π∫0

∞

f ( x )cos αx dx

= √ 2π∫0

∞

e−kxcos αx dx

I=∫e−kx cos∝ x dx

= e−kx sin∝ x∝ −∫−k e−kx sin∝ x

∝ dx

= e−kx sin∝ x∝ + k

∝∫ e−kxsin∝ xdx

= e−kx sin∝ x∝ + k

∝ {−e−kx cos∝x∝ − k

∝∫ e−kxcos∝ xdx }

= e−kx sin∝ x∝ − k

∝2 e−kx cos∝ x− k2

∝2 I

(1+ k2

∝2 ¿ I= e−kx

∝ ¿)

(α2+k2

∝2 ¿ I= e−kx

∝ ¿)

I = ∝

∝2+k 2 e−kx ¿

∫0

∞

e−kxcos∝ xdx= ∝∝2+k2

1ekx ¿¿

= ………. = k

∝2+k 2

→ Fc (α )=√ 2π

k

∝2+k 2

Jika hasil di atas di substitusikan ke rumus inversnya

→ f ( x )=√ 2π∫0

∞

Fc (∝ ) cos∝x d∝

= √ 2π∫0

∞

√ 2π

k∝2+k2 cos∝ x d∝

= 2 kπ ∫

0

∞ cos∝ x∝2+k2 d∝

∫0

∞ cos∝ x∝2+k2 d∝= π

2 kf ( x)= π

2ke−kx ……………(¿)

2. f ( x )=e−kx , x > 0 , k = konstanta positifCarilah transformasi fourier sinusnya

→ F s (∝ )=√ 2π∫0

∞

f ( x ) sin αx dx

= √ 2π∫0

∞

e−kxsin α xdx

= ………. = √ 2π

∝

∝2+k 2

dan inversnya

→ f ( x )=√ 2π∫0

∞

F s (∝ )sin∝x d∝

= √ 2π∫0

∞

√ 2π

∝∝2+k2 sin∝ xd∝

= 2π∫0

∞ ∝ sin∝ x∝2+k 2 d∝

→∫0

∞ ∝ sin∝ x∝2+k2 d∝=π

2e−kx……………¿

(*) dan (**) disebut Laplace Integral